考虑流动性成本和市场影响的动态投资组合优化

值函数满足以下离散动态编程原则tn（z，s，w）=supαtn∈AEvtn+1Ztn+1、Stn+1、Wtn+1|Ztn=z，Stn=s，Wtn=wvtN（z，s，w）=U（w）（2.7），我们假设投资者从100%持有现金账户开始，并在最终时间清算所有therisky资产，即α（t）-= αtN=0.3解决方案在本节中，我们描述了解决递归动态规划问题（2.7）的方法。我们的算法可以分解为三个主要部分：1。首先，按照第3.1节所述的Kharroubi等人（2014）的控制随机化方法，对问题的所有状态变量（包括内生状态变量）进行正向模拟；2、然后是一个反向递归动态规划，其中条件期望通过最小二乘回归逼近，最优分配通过穷举搜索获得，如第3.2节所述；3、最后，第3.3.3.1节第1步：蒙特卡罗模拟中描述的通过第二步生成的估计更新第一步模拟控制变量的迭代程序。第一个主要部分包括模拟所有随机状态变量的大样本。回报预测因子ZT和资产超额回报率R是外生风险因素，因此易于模拟。相比之下，资产价格代表投资组合价值Wt是内生风险因素，即其动态依赖于控制αt。为了模拟启动算法所需的St、Wt，werely采用了Kharroubi et al.（2014）的控制随机化技术。

综上所述，我们首先模拟了回报预测的样本Zmtn公司1.≤m级≤M0级≤n≤N、 资产超额收益rmtn公司1.≤m级≤M0级≤n≤Nand随机portfolioweightsαmtn1.≤m级≤M0级≤n≤N、 然后计算相应的绝对持有量qmtn1.≤m级≤M0级≤n≤N、 资产价格SNSm（tn）-o1级≤m级≤M0级≤n≤Nand组合值SNWm（tn）-o1级≤m级≤M0级≤n≤根据算法1。下一小节将解释如何将这些初始随机权重转化为最优分配的估计值。3.2步骤2：离散化、回归和最大化我们的LSMC算法的第二部分是通过穷举搜索进行回归和最大化。我们将控制空间分解为≈ Ad={a，…，aJ}。根据动态规划原理（2.7），在时间tN，目标函数（2.4）等于^vtN（z，s，w）=U（w）。

在时间tn，假设映射^vtn+1：（z，s，w）7→ ^vtn+1（z，s，w）已估算，其中一个获得svtn（z，s，w）=supαtn∈AEh^vtn+1Ztn+1，S（tn+1）-, W（tn+1）-Ztn=z，S（tn）-= s、 W（tn）-= wi公司≈ maxaj公司∈AdEh^vtn+1Ztn+1，S（tn+1）-, W（tn+1）-Ztn=z，αtn=aj，S（tn）-= s、 W（tn）-= wi。通过决定αtn=aj，时间内的内生状态变量（tn）-可以在时间tn:vtn（z，s，w）=maxaj时更新到其RPost事务值∈AdE“^vtn+1Ztn+1，S（tn+1）-, W（tn+1）-Ztn=Ztn，αtn=αtn，qtn=qtn，Stn=Stn，Wtn=Wtn#（3.1），其中Ztn=zαtn=ajqtn=qtn-1+Q（aj，s，w）Stn=s+MI（Q（aj，s，w））Wtn=w- TC（Q（aj，s，w））·d- LC（Q（aj，s，w））·d+MI（Q（aj，s，w））·qntherefore，对于每个蒙特卡罗路径m=1。。。，M、 我们将决策αmto更新为aj，并在时间tn重新计算相应的内生变量^qmtn=Qaj，~Sm（tn）-,Wm（tn）-^qmtn=▄qmtn-1+^qmtn^Smtn=▄Sm（tn）-+ 密歇根州^qmtn^Wmtn=~Wm（tn）-- TC公司^qmtn·~d- 信用证^qmtn·~d+MI^qmtn·^qmtn，然后在时间t（n+1）前一步重新计算内生状态变量-, i、 e.，^Sm（tn+1）-=^Smtn×exprmtn+1^Wm（tn+1）-=^Wmtn+rfqf，mtn+^qmtn·^Smtn×rmtn+1.最后，设置{Lk（z，s，w）}1≤k≤Kto是状态变量基函数的向量。我们通过最小二乘最小化，即n^βjk，tno1，估计“连续值”（方程（3.1）中的条件期望值≤k≤K=arg最小值β∈RKMXm=1PKk=1βkLkZmtn、^Smtn、^Wmtnαmtn=aj-^vtn+1Zmtn+1，^Sm（tn+1）-,^Wm（tn+1）-αmtn=aj.

（3.2）因此，TnAj时间的“连续值”∈ Adis表示为^CVjtn（z，s，w）=KXk=1^βjk，tnLk（z，s，w），以及映射^αtn：（z，s，w）7→^αtn（z，s，w）和^vtn：（z，s，w）7→ ^vtn（z，s，w）由^αtn（z，s，w）=arg maxaj估计∈Ad^CVjtn（z，s，w）或^vtn（z，s，w）=maxaj∈Ad^CVjtn（z、s、w）。值得注意的是，控制的离散化允许我们用每个控制水平的一个回归（3.2）代替Kharroubi et al.（2014）的扩展控制回归。3.3步骤3：控制迭代在正向模拟中，使用随机控制生成内生状态变量αmtn1.≤m级≤M0级≤n≤N、 虽然在第2步中，内生状态变量将被向后更新和校正，但vtn（z，s，w）=supαtn的评估∈AEh^vtn+1Ztn+1，S（tn+1）-, W（tn+1）-Ztn=z，S（tn）-= s、 W（tn）-= 基于路径相关变量SNSM（tn）样本制作的Wii-, Wm（tn）-o1级≤m级≤M仍然依赖于历史随机对照αmtn1.≤m级≤M0级≤n≤n-1、从理论上讲，这一事实并不影响分配估计的最优性，因为回归提供了各地vtn（z，s，w）的估计，包括最优控制内生变量s（tn）所在的区域-和W（tn）-最终会说谎。在实践中，如果由于样本量不足或回归基础不足等原因，回归在最佳区域的数值不准确，可能会导致较大的数值误差。为了避免这种可能性，我们建议迭代整个算法，将初始随机控制替换为前一次运行产生的估计最优控制。这个迭代过程将带来整个samplenSm（tn）-, Wm（tn）-o1级≤m级≤McLowers到最优区域，从而提高总体投资组合配置估计。

我们在第5节中的数值实验表明，这种迭代过程确实提高了精度，尤其是对于小样本量和高度非线性的效用函数，并且大多数改进都发生在一次额外的迭代之后。3.4总结和备注最后，本小节提供了向后迭代的详细描述，然后是一些传统的实现细节。在时间tN给出“连续值”的算法摘要-1，算法2中总结了一个反向迭代的详细实现（参见第3.2节），其中我们设置n▄αm（t）-o1级≤m级≤M=0，nqm（t）-o1级≤m级≤M=0和▄qf，M（t）-= W（t）-= 初始投资金额。下面将讨论其他实施细节。算法2反向动态编程1：输入：Zmtn、rmtn、~αmtn、~qmtn、~Sm（tn）-,Wm（tn）-1.≤m级≤M0级≤n≤N^CVjtN-1，^βjtN-1.1.≤j≤J2：结果：^αt3：对于所有再平衡时间tn=tn-1.tdo4：所有决策aj∈ Addo5：对于所有蒙特卡罗路径m=1。。。，M do6：计算^qmtn、^Smtn、^Wmtn从…起qmtn-1、~Sm（tn）-,Wm（tn）-, αmtn=aj使用算法17：计算^Sm（tn+1）-=^Smtn×exprmtn+1和^Wm（tn+1）-=^Wmtn+rfqf，mtn+^qmtn·^Smtn×rmtn+18： 对于所有再平衡时间tn=tn+1。

，tN-1do9：所有决策al∈ Addo10：计算^qmtn、^Smtn、^Wmtn从…起^qmtn-1，^Sm（tn）-,^Wm（tn）-, αtn=al使用算法111:Compute^CVltnZmtn、^Smtn、^Wmtn=PKk=1^βlk，tnLkZmtn、^Smtn、^Wmtnαmtn=al12： 结束时间13：更新^qmtn、^Smtn、^Wmtnαtn=arg maxal∈Ad^CVltn公司Zmtn、^Smtn、^Wmtn14： 计算^Sm（tn+1）-=^Smtn×exprmtn+1和^Wm（tn+1）-=^Wmtn+rfqf，mtn+^qmtn·^Smtn×rmtn+115： 结束for16：计算^WmtNfrom^qmtN-1，^Sm（tN）-,^Wm（tN）-, αmtN=0使用算法117:end for 18:if tn>tthen19：状态变量基函数的最小二乘近似，{Lk（z，s，w）}1≤k≤K： n^βjk，tno1≤k≤K=arg最小值β∈RKMXm=1KXk=1βkLkZmtn、^Smtn、^Wmtnαmtn=aj- U^WmtN!20： 公式：^CVjtn（z，s，w）=PKk=1^βjk，tn·Lk（z，s，w）21：else22：计算：^CVjt=MPMm=1U^WmtN23：结束if24：结束for25：结束for26：初始最优控制：^αt=arg maxaj∈Ad^CVjtVFI与PFI可以使用LSMC算法的两种替代实现方式：价值函数迭代（VFI、Carriere（1996）、Tsitsiklis和Van Roy（2001）、a.k.a.回归面价值迭代）和性能函数迭代（PFI、Longstaff和Schwartz（2001）、a.k.a.实现价值迭代或投资组合权重迭代）。差异在于tn+1-最小二乘回归（3.2）中的响应：VFI方案从之前的回归中回归估计的连续值函数，而PFI方案回归估计最优策略下的实现路径。PFI方案产生更准确的结果，因为它避免了VFI方案回归误差的复合。然而，当一些状态变量是内生的时，PFI方案需要重新计算所有内生状态变量，直到视界结束，这在时间上增加了从线性到二次的计算复杂性。相比之下，VFI的计算复杂性在时间步数上是线性的。

Van Binsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）以及Denault和Simonato（2017）对VFI与PFI的更多讨论。在本文中，我们选择实现PFI方案，因为它具有更高的精度和稳定性。状态向量的降维虽然理论上所有风险因素都需要包含在回归中，以便在决策时考虑所有可用信息，但在实践中，偏差-方差权衡建议忽略几乎没有额外信息的变量。在投资组合配置问题中，投资组合财富是资产价格的线性组合，由Wtn=Stn·qtn决定，因此大多数相关价格变化可以反映在单个财富变量中。此外，我们的目标是最大限度地提高最终财富的预期效用，因此，与价格变量相比，财富变量在近似此类目标函数时扮演着更重要的角色。在测试和比较不同的回归输入子集后，我们决定去除回归中的内生价格变量，只回归（Z，W）。这样做可以提高回归估计的无样本质量，并且其优点是资产的数量不会增加LSMC算法中每个最小二乘回归的数值复杂性。交易后与交易前变量的回归内生状态变量从时间tn的演变-to tn可分解为直接确定的组件，取决于转换成本TC(qtn），LC(qtn）和MI(qtn），以及依赖于时间tN到tN的状态变量动态的随机分量。

出于演示目的，我们在本段中使用财富变量W作为回归中的一个回归变量，使用简单的线性效用函数U（W）=W，表示SC(qtn）作为相应的总切换成本，它是时间tn的直接决定因素，表示从时间tn到tNas的随机因素tn，tn.然后，通过对W（tn）的回归得出两个备选回归-: EhW（tn）-- SC公司(qtn）+tn，tn西（田纳西州）-我≈ βW（tn）-（3.3）Wtn回归：EhW（tn）-- SC公司(qtn）+tn，tn | Wtni≈ βW（tn）-- SC公司(qtn）（3.4）在这里，交易前回归（3.3）说明了确定性和随机演化，而交易后回归（3.4）只说明了随机演化。出于几个原因，我们支持交易后变量的回归。首先，确定性组件SC(qtn）是Ftn适应的，因此不需要进行回归。其次，转换成本SC(qtn）是在算法的这个阶段，根据随机投资组合头寸qtn计算得出的-1，并因此而变得更加多样化。因此，转换成本SC公司qmtn公司1.≤m级≤母马不顺w.r.t海退（tn）-o1级≤m级≤M、 这可能会导致大量的信息丢失w.r.t.通过锚定EhSC周围的不平稳性来降低切换成本(qtn）| W（tn）-i（高估大型SC的条件预期（3.3）(qtn）实现，以及低估smallSC的条件期望（3.3）(qtn）实现）。

因此，从回归器中减去切换成本将通过从回归中移除辅助随机性来避免这个问题。最后，从实际决策的角度来看，投资者在做出投资组合再平衡决策时，会考虑已知的即时交易成本、流动性成本和市场影响。4幂律流动性函数提出的投资组合分配算法的一个关键特征是其灵活性，以适应一般交易成本、流动性成本和市场影响。这就是为什么所提出的算法hasso涉及到总成本TC、LC和MI的原因。在本节中，我们现在针对下一节5中的实施和测试，为这些成本指定一个现实的模型。交易成本是指经纪人收取的佣金，通常为固定金额或比例费率，因此易于核算。本文的重点将是流动性成本和市场影响。在交易过程中，以下是关键的可观察因素：St-= 交易开始前的市场价格St=交易完成后的市场价格'St=交易量加权平均价格在我们的框架内，交易后价格St反映了（永久性）市场影响，即MI=St- St公司-平均价格包含（临时）流动性成本，即信用证=\'\'St- St公司-.实际上，限额指令簿的形状因投资组合资产的特征而异。Almgren等人（2005年）发现了美国股市流动性成本和市场影响的幂律。Obizhaeva和Wang（2013）假设价格发生线性变化，并使用负指数函数对限额订单的弹性进行建模。

Tian、Rood和Oosterlee（2013）发现，对于大盘股或中盘股，价格与可用市场订单之间存在“平方根”关系，而对于欧洲市场的小盘股，价格与可用市场订单之间存在“平方”关系。Cont、Kukanov和Stoikov（2014）显示了纽约证券交易所上市股票的不同类型的“平方根”关系。在本文中，我们采用Almgren et al.（2005）校准的幂律函数来分析市场流动性不足对动态投资组合选择问题的影响。这些幂律函数由MI给出(q） =0.314·σ天·qVolday公司·ΘVolday1/4（4.1）LC(q）=密歇根州(q） +0.142·符号(q） ·σ天·qδ·Volday5月3日（4.2）其中Volday是股票的日交易量，σday是股票价格的日波动率，δ是交易执行的时间长度，Θ是流通股的数量。在下面的数字部分中，我们将确定δ和Θ的值，并重点关注σday和volday对portfolioselection问题的影响。5数值实验在本节中，我们将在现金和股票组合上测试我们的算法。该数字部分的概述如下：1。第5.1小节验证了我们的方法在不同风险规避水平、投资期限和流动性设置下的蒙特卡罗收敛性。第5.2小节讨论了不同流动性设置下投资组合价值分布和百分比分配的时间演变。第5.3小节确定了与忽略流动性影响相关的确定性等价损失。4.