考虑流动性成本和市场影响的动态投资组合优化

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英文标题：
《Dynamic portfolio optimization with liquidity cost and market impact: a
  simulation-and-regression approach》
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作者：
Rongju Zhang, Nicolas Langren\\\'e, Yu Tian, Zili Zhu, Fima Klebaner,
  Kais Hamza
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a simulation-and-regression method for solving dynamic portfolio allocation problems in the presence of general transaction costs, liquidity costs and market impacts. This method extends the classical least squares Monte Carlo algorithm to incorporate switching costs, corresponding to transaction costs and transient liquidity costs, as well as multiple endogenous state variables, namely the portfolio value and the asset prices subject to permanent market impacts. To do so, we improve the accuracy of the control randomization approach in the case of discrete controls, and propose a global iteration procedure to further improve the allocation estimates. We validate our numerical method by solving a realistic cash-and-stock portfolio with a power-law liquidity model. We quantify the certainty equivalent losses associated with ignoring liquidity effects, and illustrate how our dynamic allocation protects the investor\'s capital under illiquid market conditions. Lastly, we analyze, under different liquidity conditions, the sensitivities of certainty equivalent returns and optimal allocations with respect to trading volume, stock price volatility, initial investment amount, risk-aversion level and investment horizon.
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中文摘要：
我们提出了一种模拟和回归方法来解决一般交易成本、流动性成本和市场影响下的动态投资组合分配问题。该方法扩展了经典的最小二乘蒙特卡罗算法，将转换成本（对应于交易成本和瞬时流动性成本）以及多个内生状态变量（即受永久市场影响的投资组合价值和资产价格）纳入其中。为此，我们改进了离散控制情况下控制随机化方法的准确性，并提出了一种全局迭代程序来进一步改进分配估计。通过用幂律流动性模型求解现实的现金和股票组合，验证了我们的数值方法。我们量化了与忽略流动性效应相关的确定性等价损失，并说明了我们的动态配置如何在非流动性市场条件下保护投资者的资本。最后，我们分析了在不同的流动性条件下，确定性等价收益和最优配置对交易量、股价波动、初始投资金额、风险规避水平和投资期限的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Dynamic_portfolio_optimization_with_liquidity_cost_and_market_impact:_a_simulati.pdf (871.13 KB)

2022-5-27 14:27:01 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 流动性 Quantitative Optimization

具有流动性成本和市场影响的动态投资组合优化：一种模拟回归方法*, Nicolas Langrené+、Yu Tian、Zili Zhu§、Fima KlebanerP和Kais HamzakFirst version：2016年10月25日修订版：2017年8月28日摘要我们提出了一种模拟和回归方法，用于解决存在一般交易成本、流动性成本和市场影响的动态投资组合分配问题。该方法扩展了经典的最小二乘蒙特卡罗算法，将转换成本、对应的交易成本和瞬时流动性成本以及多个内生状态变量（即受永久市场影响的投资组合价值和资产价格）纳入其中。为此，Weim提高了离散控制情况下控制随机化方法的准确性，并提出了一种全局迭代程序，以进一步改进分配估计。我们通过用幂律流动性模型求解现实的现金和股票组合来验证我们的数值方法。我们量化了与忽略流动性影响相关的确定性等价损失，并举例说明了我们的动态配置如何在非流动性市场条件下保护投资者的资本。最后，我们分析了在不同流动性条件下，确定性等价收益和最优配置对交易量、股价波动、初始投资金额、风险规避水平和投资期限的敏感性。关键词：动态投资组合选择；投资组合优化；交易成本；流动性成本；市场影响；最优随机控制；转换成本；最小二乘蒙特卡罗；模拟和回归JEL分类：G11；D81；C15；C44；C61MSC分类：91G10；93E20；91B24；65C05；91G60；91B06；90C39；93E24*通讯作者。电子邮箱：rongju。zhang@monash.edu.

莫纳什大学数学科学学院+RiskLab，CSIRO莫纳什大学数学科学学院§RiskLab，CSIROP莫纳什大学数学科学学院，莫纳什大学1简介流动性对动态多期投资组合选择方法（又称资产配置、投资组合优化或投资组合管理）设计的影响引起了学术界和实务界的极大关注。流动性通过两种主要方式影响投资组合配置：临时流动性成本和永久市场影响。流动性成本，也称为实施短缺、暂时性市场影响或暂时性市场影响，是已实现交易价格与交易前价格之间的差异。市场影响是由于限额指令簿的交易后“弹性”，交易后资产价格的永久性变化。这些流动性影响取决于几个因素，如交易平台的性质、交易执行的持续时间、交易量、资产波动性等。到目前为止，动态投资组合选择的流动性建模一直受到分析解的难处理性和数字方法处理内生随机价格的能力有限的阻碍。本文旨在介绍一种新的模拟和回归方法，该方法能够处理一般交易成本、流动性成本和市场影响下的多元投资组合分配问题。关于动态投资组合选择的原始文献从没有交易成本的简单问题开始。Mossin（1968）、Samuelson（1969）、Merton（1969）和Merton（1971）等开创性论文为长期投资者提供了最优资产配置策略的封闭式解决方案。

然而，在现实中，每笔交易都会产生佣金（或经纪成本），因此有人提出了几项改进措施来说明交易成本。闭式解的例子有Davis和Norman（1990）、Shreve和Soner（1994）、Liu（2004）和G’rleanu和Pedersen（2013）。数值方法的例子有Lynch和Tan（2010）、Muthuraman和Zha（2008）以及Brown和Smith（2011）。瞬时流动性成本被视为另一种交易成本，许多研究者也在动态投资组合选择问题的背景下进行了研究。切丁和罗杰斯（2007）展示了最优投资组合的存在，以及如何将最优策略下的边际价格过程转化为鞅，并将最优终端财富作为测度的变化。我们参考了Ma、Song和Zhang（2013）以及Lim和Wimonkittiwat（2014）求解Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的示例。除了流动性成本外，在处理大型交易时，永久性市场影响也是一个关键因素，因为它会因资产价格的变化而影响投资组合的估值。这一影响已被广泛纳入投资组合清算问题的研究中。例如，Bertsimas和Lo（1998）、Almgren和Chris（2000）、Obizhaeva和Wang（2013）以及Tsoukalas、Wang和Giesecke（2015）。这些工作虽然局限于线性或线性二次目标函数，但提供了非流动市场中交易建模的广泛概述。Ly Vath、Mnif和Pham（2007）将永久市场影响下的动态投资组合选择描述为状态约束下的脉冲控制问题，其中作者将值函数描述为相关拟变分HJB不等式的唯一约束粘性解。该框架已在Gaigi、Ly Vath、Mnif和Toumi（2016）中扩展到数值近似。

Gárleanu和Pedersen（2013）推导了一个封闭形式的最优投资组合政策，该政策适用于具有二次交易成本的均值-方差框架，从而包括流动性成本和市场影响。根据该框架，提出了许多扩展，例如Collin Dufresne、Daniel、Moallemi和Saˇglam（2015）以及Mei、DeMiguel和Nogales（2016）。然而，由于难以分析的公式，当存在市场影响时，这些方法的应用范围受到限制。为了拓宽应用范围，最小二乘蒙特卡罗（LSMC）算法是一种可行的解决方案。LSMC算法最初由Carriere（1996）、Longstaff和Schwartz（2001）以及Tsitsiklis和Van Roy（2001）开发用于美式期权定价，现已扩展到解决Brandt、Goyal、Santa Clara和Stroud（2005）、Garlappi和Skoulakis（2010）以及Cong和Oosterlee（2016）的动态投资组合选择问题。Brandt et al.（2005）通过求解未来值函数的泰勒级数展开的一阶条件，确定半封闭形式。Garlappiand Skoulakis（2010）声称，Brandt et al.（2005）方法的收敛性不稳定，无法处理控制变量依赖于内生财富变量的问题。相反，他们引入了一种状态变量分解方法来克服这个缺点。然而，这种分解依赖于可观测成分和收益随机偏差之间的线性分离，这不能应用于一般收益分布。Cong和Oosterlee（2016）使用多级策略对在后向递归程序中迭代更新的控制变量进行正向模拟，其中允许的控制集被构造为多级策略解决方案的小邻域。

后来，Cong和Oosterlee（2017）将Jain和Oosterlee（2015）的随机捆绑技术与Brandt et al.（2005）的方法相结合。综上所述，这三篇论文为使用LSMC算法解决动态投资组合选择问题开辟了道路，但在现阶段，它们在交易成本、流动性成本和市场影响的可能公式方面仍然有限和受限。在本文中，我们对这一文献做出了三点贡献。我们的第一个贡献是提出aLSMC算法来解决动态投资组合选择问题，在交易成本、流动性成本和市场影响的公式中没有限制，并以计算可处理的方式考虑具有一般动态的多个资产。我们的方法是文献中最通用的方法，并且可以很容易地适用于涉及最优多重切换问题的其他应用。我们的第二个贡献是改进Kharroubi、Langrené和Pham（2014）在离散控制情况下的控制随机化算法的数值性能。在Kharroubi等人（2014）中，随机对照是回归输入的一部分，回归基础也相应扩展。然而，控制变量的回归基础不足可能会减慢该方法的收敛速度，对于高度非线性的支付更是如此。此外，在实践中，为控制找到适当的基础可能会有问题。为了避免这种困难，我们通过对控制空间进行离散化并对每个控制级别执行一次回归来说明控制信息。这种离散控制方法将最优切换方法（Boogert和DeJong（2008）、A"id、Campi、Langrené和Pham（2014））扩展到具有内生状态变量的情况。

最后，我们通过用前一次运行的最优控制估计替换初始随机控制来迭代整个算法。我们表明，这些组合修改改进了投资组合分配估计。我们的第三个贡献是对动态投资组合配置如何受到暂时和永久流动性影响进行实证研究。我们应用我们的方法来解决一个现实的现金和股票投资组合分配问题，我们采用了Almgren、Thum、Hauptmann和Li（2005）的幂律流动性模型。我们衡量了与忽略流动性问题相关的确定性等价损失，并说明了我们的动态配置在非流动性市场中保护投资者资本的能力。最后，基于不同的流动性情景，我们分析了确定性等价回报和投资组合配置对交易量、股价波动、初始投资金额、风险规避水平和投资期限的敏感性。论文概要如下。第2节阐述了我们的动态投资组合选择问题，包括交易成本、流动性成本和市场影响。第3节描述了为解决此问题而开发的LSMC算法。第4节描述了我们使用的参数流动性模型。第5节描述了我们的数值实验，第6节总结了本文。2问题描述在本节中，我们提供了要解决的投资组合分配问题的详细数学描述。考虑一个有限时间范围内的动态投资组合选择问题。假设有d项风险资产可供投资。表示rfas为无风险利率。设{rt}0≤t型≤T型=rit公司1.≤我≤d0≤t型≤Tand{St}0≤t型≤T型=坐1.≤我≤d0≤t型≤t分别表示资产收益和价格。表示{Zt}0≤t型≤Tas回报预测向量。

此向量{Zt}0≤t型≤它用于构建资产的动态。Letαt=αit1.≤我≤dbe时间t时各风险资产的投资组合配置；无风险资产中的分配由αft=1给出-P1级≤我≤dαit。以类似的方式，让qt=qit公司1.≤我≤d0≤t型≤t说明每项风险资产中持有的单位数量，并将其列为0≤t型≤t指定无风险现金中分配的金额。定义qit：=qit- qit公司-作为时间t时ITH风险资产的交易量。让A Rdbe可接受的投资组合策略集。这些集合可能包括投资者定义的约束，例如每个单独资产的权重限制。最后，设{Wt}0≤t型≤t停止投资组合价值（或财富）过程。对于每笔交易，由于交易成本、流动性成本和市场影响，会立即向内生资产价格和投资组合价值转移。让TC(qt）=TCi公司qit公司1.≤我≤d、 信用证(qt）=LCi公司qit公司1.≤我≤丹德米(qt）=信息产业部qit公司1.≤我≤D分别表示交易成本、流动性成本和交易产生的市场影响的向量QIT对于每个风险集i=1。。。，d、 通常，我们将这些数量写为事务量的确定函数：TCi:R→ R、 LCi：R→ R和MIi:R→ R、 因此TC:Rd→ Rd，LC：Rd→ RdandMI：Rd→ Rd.给定交易qit公司1.≤我≤dat时间t，立即发生以下变化：St=St-+ 密歇根州(qt），重量=重量-- TC公司(qt）·~d- 信用证(qt）·d+MI(qt）·qt。（2.1）其中~ dis是一个大小为d的向量，所有条目均等于1。需要注意的是，投资组合头寸有两种可能的描述：使用每个资产数量（单位数量）的绝对头寸和使用每个资产财富比例αt的相对头寸。我们使用αt描述我们的投资组合分配决策，而交易成本、流动性成本和市场影响取决于qt。

幸运的是，这两种描述之间有一种自然的一一对应关系，即αt×Wt=qt×St，（2.2），其中“×”表示按元素乘法，我们也表示“÷”为按元素除法。假设在时间t，人们希望从绝对头寸qt重新平衡投资组合-1至相对重量αt∈ A、 然后，利用动力学（2.1）和关系式（2.2），以下方程组成立：αt×Wt公司-- TC公司(qt）·~d- 信用证(qt）·d+MI(qt）·qt= qt×（St-+ 密歇根州(qt））。（2.3）这是一个由财富变量耦合的非线性方程组。求解这些方程可以同时更新α和qt，从而避免实际分配和目标分配之间的潜在不匹配。数值求解（即给定α和qt-, find qt）我们使用算法1中描述的固定点参数。根据我们的数值实验，当公差设置为tol=10时，可以在三次迭代内获得稳定解-4、该算法确保交易后投资组合持有量（计入即时交易成本、流动性成本和市场影响）与所需的投资组合分配αt完全匹配。忽略此实际再平衡可能会导致实际交易后分配与初始目标分配之间的巨大不匹配。

Wedenote交易量作为αt，St的函数-和Wt-, i、 e。，qt=Q（αt，St-, Wt公司-) 式中Q:Rd×Rd×R→ Rd.算法1计算qt和qft1：输入：qt-, St公司-, Wt公司-和αt2：结果：qt，qft，Stand Wt3：设置为4：初始猜测：qt=αt×Wt-÷St-5： 当距离>tol do6时：St=St-+ 密歇根州(qt）7：重量=重量-- TC公司(qt）·~d- 信用证(qt）·d+MI(qt）·qt8：qauxt=αt×Wt÷St9：dist=P | qauxt- qt |/qauxt10:qt=qauxt11:end while12:qft=Wt- qt·st选择动态投资组合配置是为了在所有可能的策略{αt}上最大化投资者对最终财富的预期效用[U（WT）]∈ A} 0个≤t型≤T、 设F={Ft}0≤t型≤t所有状态变量生成的过滤。在任何时候t∈ [0，T]，目标函数readsvt（z，s，w）=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TE[U（WT）| Zt=z，St-= s、 Wt公司-= w），（2.4），其中Vt=Vt（Zt，St-, Wt公司-) α皮重Ft适应。问题的状态变量为：1。外部状态变量：收益预测Zt2。内生状态变量：相对投资组合权重αt，绝对投资组合持有量qt，资产价格代表投资组合价值w。因此，我们将再平衡时间限制为等距离散网格0=t<···<tN=t。资产价格过程演变为ASTN+1=Stn×exprtn+1+ 密歇根州(qtn），（2.5），财富过程演变为Wtn+1=Wtn+rfqftn+qtn·Stn×rtn+1- TC公司qtn+1·~d- 信用证qtn+1·~d+MIqtn+1· qtn+1，（2.6），其中（2.5）-（2.6）中的q满足关系式（2.3）。