考虑流动性成本和市场影响的动态投资组合优化

最后，第5.4小节提供了关于流动性设置的投资组合绩效和分配的敏感性分析。但首先，我们详细介绍了用于执行本节中报告的数值实验的数值设置。数据和建模表1总结了用于收益预测的金融工具。我们将一阶向量自回归模型校准为月度对数回报（即，对数St-日志St-1） 2007年10月至2016年1月。我们假设现金账户的年利率为1.2%，并使用SPDR标准普尔500指数ETF作为股票回报的代理。转换成本为关注流动性影响，为简单起见，我们假设在数值研究中没有固定或成比例的交易成本。关于流动性成本和市场影响建模，我们使用幂律函数（4.2），其中我们假设流通股数量Θ=9.88亿股，交易持续时间δ=5分钟。我们将分析以不同水平（σday，Volday）为特征的流动性影响，并遵循通常的美国股市，例如σday∈ [2，13]和Volday∈ [10m，120m]。确定性等价回报对于所有的数值测试，我们通过CER=U计算的每月调整确定性等价回报（CER）来报告投资组合绩效-1（E[U（WT）]）T- 1.≈ U-1MMXm=1U（WmT）！T- 1、月收益率通常小于1%，因此我们以基点（0.01%）显示确定性等价收益率，以便于比较。LSMC设置我们使用M=10Monte Carlo模拟和N=12个月时间步（一年期和12个再平衡期），除非我们测试这两个参数的数值敏感性（第5.1小节）。LSMC算法完成后，我们生成另一个M=10的样本来计算CER。

我们将I表示为整个SMC算法的额外控制迭代次数（第3.3小节），I=0表示只有一次LSMC运行，没有额外迭代。这些数据来自雅虎财经。投资组合权重我们将α表示为股票部分的分配百分比，1- α作为现金部分的分配。我们假设一组步长为0.01的离散容许控制，即α∈ {0.01，0.02，…0.99，1.00}=Ad。基础函数和回归我们首先通过除以其无条件平均值来衡量所有外部风险因素（在我们的案例中为对数回报）。对于内生风险因素（投资组合财富W），我们将其转换为U（W/W），其中W是初始投资组合财富，U（·）是CRRA效用函数。这些转换后的量构成了回归基础的输入。对于回归基，我们使用一个简单的二阶多元多项式基。我们通过观察目标函数w.r.t的曲线图来选择这个基础及其顺序。在不同的中间时间，回归基础。发现表面形状接近线性，但略有弯曲，这表明二阶多项式可能是有效的。5.1蒙特卡罗收敛表2报告了第3节中描述的投资组合分配算法2的蒙特卡罗收敛性，该算法涉及一个简单的现金和股票分配问题，CARA效用U（w）=- 经验值(-γw），无风险利率为0.012，股票年回报率平均值为0.03，波动率为0.15。这些收敛结果与Kharroubi等人（2014）（KLP）的原始控制随机化算法进行了比较，我们将投资组合分配纳入相同的二阶全局多项式基础。主要观察结果是，算法2一致地提高了二阶基KLP算法的精度。

对于长期限（N=15）、大风险规避（γ=15）或小样本量（M=10），改善更为显著。在这三种情况下，使用控制迭代（第3.3小节）的好处是显而易见的，大多数改进是在一次额外的控制迭代（I=1）后实现的。表3中可以观察到类似的结果，其中报告了不同流动性设置下CER的蒙特卡罗收敛，其特征是每日波动率σday和每日交易量Volday。从某种意义上说，带有一个附加控制迭代（I=1）的算法2优于KLP和没有附加迭代（I=0）的算法2。添加进一步的控制迭代（I=2和更多）不会比I=1带来显著的改善。当市场流动性影响很小时，例如小σ日或大Volday，小蒙特卡罗样本量足以收敛，而大市场流动性影响则需要大样本量，例如大σ日或小Volday。

对于这个数值选择的其余部分，我们将使用M=10，I=1，以确保收敛性和准确性。最后一点是，对于足够大的样本量（M≥ 10） ，我们的LSMC方法I=0 greatlyyout对大风险规避水平（表2）执行KLP算法，但对大转换成本但低风险规避水平（表3）几乎没有差异，表明在模拟和回归近似动态规划方案的准确性方面，最终支付函数的非线性比切换成本的大小起着更重要的作用。5.2控制权和财富分布的时间演化图1显示了投资组合分配分布和财富分布的时间演化。当市场流动性影响很小时（σday=2.5，Volday=1.2亿，左侧栏），投资组合配置和财富分布都很广，投资期开始和结束时的投资组合周转率都很大。相比之下，对于较大的市场流动性影响（σday=12.5，Volday=1200万，右侧栏），交易成本非常高，算法不允许出现较大的投资组合周转率。因此，投资组合分配分布在相对较低的水平（α’0.2）上较为紧密，且其时间演化平稳。关于财富分配，正如预期的那样，市场流动性越低，CER越低（如表3所示），财富分配的分散性越低。这是由于库存配置较低且更稳定。5.3与忽略流动性影响相关的确定性等价损失稳定4比较了在做出分配决策时注意流动性影响的投资者的CER与忽略流动性影响的投资者的CER。

对于忽略流动性影响的投资者，我们在LSMC算法中设置LC=MI=0，然后重置LC=LC(q） 和MI=MI(q） 用于计算CER。不出所料，流动性意识强的投资者总是有一个积极的CER，而流动性盲投资者的CER可以在非流动性市场中达到负值。流动性意识投资组合配置相对于流动性盲目投资组合配置的巨大收益表明，在真实生活中，考虑这些成本对于实现绩效目标至关重要，而在现实生活中，这些流动性效应确实会发生。它还说明了我们的算法正确处理中间成本的能力。5.4敏感性分析表5报告了CER和初始库存分配α对每日交易量的敏感性。在不同的日波动率水平下，增加日交易量（从而增加流动性，参见方程式（4.1）-（4.2））对CER和α的影响是一致的：CER和α以递减率增加。同样，表6显示，日波动率增加（因此流动性减少，参见方程式（4.1）-（4.2））会以递减的速度降低CER和α。表7报告了CER和初始库存分配α对初始投资金额W的敏感性-. 正如预期的那样，CER和α相对于W降低-由于对更大的投资组合有更大的流动性影响。在极端流动性影响下（σday，Volday）=（12.51200万），W的α保持为零-> 6亿美元，这意味着几乎不可能重新平衡投资组合，因此就预期效用而言，完全无风险配置是最佳的初始投资。表8报告了CER和α对投资期限的敏感性。

当时间范围增加时，初始分配迅速收敛到一定水平：当流动性影响较小时（σday=2.5，Volday=1.2亿），初始分配下降到该限制，而在其他两种情况下（σday=7.5，Volday=55m，σday=12.5，Volday=12m），初始分配增加到该限制。然后，在σday=2.5、Volday=120m和σday=7.5、Volday=55m这两种情况下，随着时间的推移，减持率降低，而当流动性影响较大时（σday=12.5、Volday=12m），减持率单调增加。最后，表9报告了CER和α对CRRA效用风险规避水平γ的敏感性。正如预期的那样，当风险规避增加时，CER和α在每种流动性情况下都会下降。为了总结这一数字部分，我们可以强调，本文提出的一般投资组合分配算法的一个关键特征是能够衡量和解释不完全流动性对动态投资组合分配的影响。在验证了算法的稳定性和收敛性之后，我们能够计算并报告投资组合分配和投资组合绩效对各种参数的敏感性。这种分析可以适应不同的模型、市场和投资风格，并深入了解在流动性较低的市场中调整动态投资组合配置的最有利方式。6结论本文描述了一种模拟和回归方法，用于解决具有一般交易成本、临时流动性成本和永久市场影响的投资组合分配问题。为了处理永久性的市场影响，我们将价格动态建模为内生状态变量，这些内生状态变量与外生回报动态相分离，同时保持算法的计算复杂性与这些额外的内生变量相同。

所选算法的模拟性质使其适用于具有真实资产动态和真实流动性影响的多元投资组合。该算法将Kharroubi等人（2014）的控制随机化方法应用于离散投资组合分配。对于每个分配水平，相应地更新内生状态变量，并通过简单的线性最小二乘回归来估计值函数。我们使用第一次运行的最优控制估计作为第二次运行的初始控制来迭代整个算法。我们的数值试验表明，在二阶多项式基础上，提出的控制离散化与全局控制迭代相结合的方法优于Kharroubi et al.（2014）的控制回归方法，尤其是在高度非线性的效用函数（高风险厌恶）下。我们利用Almgren等人（2005）的幂律流动性模型，应用我们的方法来解决现实的现金和股票投资组合。我们表明，与忽视流动性影响相关的损失可能是实质性的，这表明在实际市场中做出投资组合配置决策时，有必要考虑流动性影响。最重要的是，我们的算法能够保护非流动市场中的投资组合价值。进一步，我们分析了确定性等价回报和最优配置对交易量、股价波动、初始资本、风险规避水平和投资期限的敏感性。该算法的灵活性推动了未来的研究，以调查超出预期效用、替代流动性模型的替代投资组合绩效衡量，或纳入其他特征，如跨资产价格影响。

它还可以很容易地适用于最优组合流动问题和更一般的具有内生不确定性的最优切换问题。参考Sa"id，R.，L.Campi，N.Langreneé和H.Pham（2014）。高维最优多重切换问题的概率数值方法。暹罗金融数学杂志5（1），191–231。（第3页引用）Almgren，R.和N.Chris（2000）。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》3（2），5–39。（第2页引用）Almgren，R.、C.Thum、E.Hauptmann和H.Li（2005）。股票市场影响。风险，57–62。（Citedon第3、11和15页）Bertsimas，D.和A.Lo（1998年）。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》1（1），1–50。（第2页引用）Boogert，A.和C.de Jong（2008）。使用蒙特卡罗方法评估天然气储量。《衍生品杂志》15（3），81–98。（第3页引用）Brandt，M.、A.Goyal、P.Santa Clara和J.Stroud（2005）。动态投资组合的模拟方法，用于学习收益可预测性。金融研究回顾18831–873。（第3页引用）Brown，D.和J.Smith（2011年）。具有交易成本的动态投资组合优化：启发式和对偶界。管理科学57（10），1752-1770。（第2页引用）Carriere，J.（1996）。使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值。保险：数学与经济学19（1），19–30。（第3页和第9页引用）切丁，U.和L.C.G.罗杰斯（2007）。离散时间内的流动性影响建模。数学金融17（1），15–29。（第2页引用）Collin Dufresne，P.、K.D.Daniel、C.C.Moallemi和M.Saˇglam（2015）。具有可预测回报和交易成本的动态资产配置。工作文件，可从SSRN获取https://ssrn.com/abstract=2618910.（第2页引用）Cong，F.和C.W.Oosterlee（2016）。

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