基于小波的SWIFT方法求解倒向随机微分方程

此外，对于任何给定的x，我们通过定义知道yp（x）是满意度=tθf（tp，x，y，zp（x））+h（tp，x）。注意，符号^ypwas由方程式（3.8）定义。利用上述符号，并给出f是Lipschitz关于Z的额外信息，我们可以导出函数y的一步近似误差:|^y,Ip（x）- yp（x）|≤ |^y,Ip（x）- ^yp（x）|+| yp（x）- yp（x）|≤εP ic ardp+tθ| f（tp，x，^yp（x），^zp（x））- f（tp，x，yp（x），zp（x））|+| h（tp，x）- h（tp，x）|≤εP ic ardp+ξ|^yp（x）- yp（x）|+ξ|^zp（x）- zp（x）|+| h（tp，x）-h（tp，x）|≤（1+ξ）εP ic ardp+ξ| y,Ip（x）- yp（x）|+ξ|^zp（x）- zp（x）|+| h（tp，x）- h（tp，x）|。术语εP ic ardp：=|^y,Ip（x）- ^yp（x）|是应用Picard迭代的错误，它取决于t和f相对于y的Lipschitz系数，如本节前面所述。constantM与立定假设（A3）中f的Lipschitz系数有关，ξ：=Mtθ≤ 最后一个不等式是由| y一词的伸缩参数引起的p（x）-yp（x）|。重新排列这些项可以得到以下误差范围：| y,Ip（x）- yp（x）|≤1+ξ1- ξεP ic ardp+1- ξ（ξ|^zp（x）- zp（x）|+| h（tp，x）- h（tp，x）|）。（4.5）4.4 FBSDE递归模式的误差对于FBSDE系统、时间分割和离散化模式，我们可以应用第4.2节的结果，推导出相关预期的局部近似误差。当我们用函数y逼近期望值时p+1和zp+1在BSDE格式中，近似向量由（ρy）给出p+1={y,Ip+1（2-mr）}r=1-JJρzp+1={^zp+1（2-mr）}r=1-JJ、 对于p=0，P- 2、在终端时间tP=T时，它们定义为（ρyP={YT | XT=2-mr}r=1-JJρzP={ZT | XT=2-mr}r=1-JJ、 或（ρyP={<YT、 ^1J，r>}r=1-JJρzP={<ZT、 ^1J，r>}r=1-JJ、 取决于我们使用的方案。

当接近涉及f（tp+1，x，y）的期望值时p+1（x），zp+1（x）），近似向量ρfp+1={f（tp+1，2-mr，ρyp+1（2-mr），ρzp+1（2-mr）}r=1-JJ、 对于p=0。P-从方程（4.3）中，我们知道SWIFT公式的近似误差由四部分组成。在此之前，任何函数v的SWIFT公式在点（t，x）处的局部近似误差，对于两种类型的期望，定义为ζm，Jv（tp，x）或ζm，J，ωv（tp，x），由ζm，Jv（tp，x）：=Exp[v（xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}]- Exp[￠v（Xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}]+Exp[~v（X）tp+1）- HVJv（Xtp+1）]+JJXr=1-JHVJv公司rm-vrmExp[~nJ，r（X）tp+1）]；ζm，J，ωv（tp，x）：=Exp[v（xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}ωp+1]- Exp[￠v（Xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}ωp+1）+Exp[（￠v（Xtp+1）- HVJv（Xtp+1））ωp+1）+JJXr=1-JHVJv公司rm- vrmExp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]。应用上述所有结果和现有假设，我们可以推导出SWIFT BSDE方案的重复误差公式：M | zp（x）- ^zp（x）|≤|ζm，Jzp+1（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+|ζm，J，ωfp+1（tp，x）|+JJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+JJXr=1-Jyp+1rm-ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|、（4.6）和m | yp（x）- ^y,Ip（x）|≤M+|ζM，Jzp+！（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）+ζm，J，ωfp+1（tp，x）+ζm，Jyp+1（tp，x）+ζm，Jfp+1（tp，x）+JJXr=1-Jzp+1rm- ^zp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+JJXr=1-Jyp+1rm- ^yp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|），（4.7），常数M，和md取决于基础的FBSDE、离散化方案和Picard迭代错误，但不取决于M和J。其证明留待附录。4.4.1误差范围和参数选择可通过重复应用方程式（4.6）和（4.7）找到将SWIFT方案应用于FBSDE系统时（0，x）处的误差范围。

该边界由网格{（0，x）}中每个点的局部近似误差的加权和给出∪ {（tp，2-mr）| t=1，P和r=1- JJ} ，其中（0，x）的权重为1，权重为Xu∈ДpJppYl=1（| Eul-1l[英寸J，ul（Xtl）]|+| Eul-1l[英寸J，ul（Xtl）ωl+1]|），对于{（tp，2），（4.8）-mr）| t=1，P和r=1- JJ} ，其中νpis是包含长度p+1向量u=（u，u，…，up）的集合，其中第一个元素u=x，其他元素等于2-mr forr=1- JJ、 附录中提供了一个推导此类错误界限的简单示例。然而，由于该误差界使用agrid中多个点的局部近似误差，因此实际计算误差界的成本将很高。不同网格点的权重和局部误差表现不同。当| r |很小时，局部误差在数值试验中以指数形式收敛，系数为2-mJ和增加J，但当| r |接近J时，它可能无法收敛到零。另一方面，当| r |接近J时，方程式（4.8）中的权重很快趋于零，并减少了误差。我们没有一个简单的公式来描述这种平衡。最后但并非最不重要的一点是，参数P（时间点的数量）影响误差范围内的项数总数、局部误差值和方程（4.8）中的权重值。从这个误差范围中量化P对总体误差的影响是非常重要的。在实践中，我们建议使用三步方法来选择方案的参数，并全面了解可能存在的错误。首先，根据（X，Y，Z）的离散误差选取参数P。这可以通过第4.1节中的错误界限或文献中的其他现有错误界限来实现。

原因是m和J对离散误差没有影响，而P影响近似误差的各个部分。接下来，我们应该根据误差公式（4.3）选择参数J和m。感兴趣的是方程中的第三项，它随收缩范围增大，但随小波阶J减小。因此，我们应首先确定截断范围2-mJ为常量值a，在ou r方案中，超出计算范围的尾部概率低于固定公差水平。这可以通过考虑XT的累积量来实现，参见[8]。最后，我们选取一个J值，使总误差相应地收敛于d调整，从而使截断范围保持不变。这种方法对于应用程序非常有用（与错误界限本身相比）。4.5计算复杂度在每个时间步tp，必须执行以下操作：o计算Exp[ДJ，k（Xtp+1）]和Exp[ДJ，k（Xtp+1）ωp+1]通过FFT算法，在O（J log（J））运算中。如果X的特征函数不取决于时间点；o^z的计算p（x），^h（tp，x）和^y,0p（x）通过矩阵向量乘法，在O（J）运算中；o^y的计算,x网格上的Iby-I-Picard迭代，在O（IJ）操作中f（tp，x，^y）的评估,Ip（x），^zO（J）运算中的p（x））。算法中最耗时的部分是矩阵向量乘法。所提出的算法对于时间步长P具有线性计算复杂度，并且在终端时间的起始评估为O（J）阶。

总的来说，SWIFT类型方法的复杂性为O（J+P[J+IJ+J log（J）+J]）。-2.-mJα2α+2-mJ 2β- 2.-mJ 2-mJβ图1：近似范围(-2.-mJ，2-mJ]和精度范围[α，β]。5抗反射边界回忆方程（4.3），E[v（X）的近似值t型+t） | X当满足两个条件时，SWIFT公式得出的t=x]可能存在显著的局部误差。第一个条件是交替延伸v在范围内偏离v[-η- 2.-mJ，-2.-mJ]或[2-mJ，η+2-对于某些数η>0，第二个条件是X的概率t型+t | X上述范围内的t=x很大。而第一个条件几乎总是正确的，因为X是一个扩散过程，只有当起点x接近边界时，第二个条件才成立- 2.-mJ或2-乔丹。在此之前，可能会有间隔(-2.-mJ，α）和（β，2-其中SWIFT公式不准确。我们建议使用反反射边界技术来处理此问题。抗反射边界条件是图像去模糊方法中常用的外推技术。关于其在图像去模糊中的应用，读者可以参考文献[7]及其参考文献。在实践中，假设我们将函数θ（x）近似为(-2.-mJ，2-我们知道近似值对于x是精确的∈ [α，β]，即|θ（x）-对于一些小的正实数。给定数字α>-2.-mJ和β<2-mJ，因此在边界附近有一些不精确性，但是（α，2α+2-mJ），（2β- 2.-mJ，β） [α，β]（见图1）。我们将推断x的θ（x）近似值∈ (-2.-mJ，α）和x∈ （β，2-mJ]通过应用具有精确近似的抗反射条件。

对于x∈ (-2.-mJ，2-mJ]，我们定义^θa（x）：=2^θ（α）-^θ（2α- x） 对于x∈ (-2.-mJ，α）；^θa（x）：=^θ（x）代表x∈ [α，β]；^θa（x）：=2^θ（β）-^θ（2β- x）对于x∈ （β，2-mJ），（5.1），并使用^θain代替^θ作为我们的近似值。如果θ在R上是两次连续可微的，那么通过简单应用泰勒定理，我们得到：θ（x）=θ（α）+dθdx（α）（x- α） +dθdx（）（x- α） ；θ（2α- x） =θ（α）-dθdx（α）（x- α） +dθdx（）（x- α） ，其中x∈ （2）-mJ，α），∈ （x，α）和∈ （α，2α-x） 。x的近似误差∈ (-2.-mJ，α）然后被|θ（x）束缚-^θa（x）|≤|θ（x）- 2θ（α）+θ（2α- x） |+2 |θ（α）-^θ（α）|+|θ（2α- x）-^θ（2α- x）|≤(-2.-mJ公司-α） sup∈(-2.-mJ，2α+2-mJ）dθdx（）+ 3。可以为集合（2β）推导出类似的公式-2.-mJ，2-mJ）。对于递归方案，可以在每个时间步应用方程（5.1）。备注5.1。SWIFT公式的精确近似范围取决于X的分布t型+t | Xt=x，并且在此之前，它取决于模型。将反反射边界技术应用于SWIFT公式的性能取决于目标函数相对于起点x的平滑度、SWIFT公式在[α，β]范围内的精度以及范围的长度。6个数值实验在MATLAB 9.0.0中进行了一些数值研究。该计算机配备Intel（R）Core（TM）i5-2520M CPU@2.50GHz和7.7 GB RAM。已使用四种不同的离散格式来测试θ的不同选择对数值算法的影响。

它们是：方案A：θ=0，θ=1，方案C：θ=1，θ=1，方案B：θ=0.5，θ=1，方案D：θ=0.5，θ=0.5。f函数z当y方案A的pis显式求解，其他sch EME的pis隐式求解有5次Picard迭代。对于每个给定的例子，我们将数值算法与计算域[κ]相关联- L√κ、 κ+L√κ] ，其中累积量κ=x+u（0，x）T，κ=σ（0，x）T，L=10。类似于[18]中的设置。值2-mJ=L√κ是每个示例的常数。J的值被假定为2.6.1示例1该示例已在[18]中研究过，并源于[20]。考虑的FBSDE为dXt=dωt，dYt=-（YtZt- Zt+2.5Yt- sin（t+Xt）cos（t+Xt）- 2 sin（t+Xt））dt+Ztdωt.（6.1）我们取初始和终端条件x=0，YT=sin（Xt+t）。精确解由（Yt，Zt）=（sin（Xt+t），cos（Xt+t））给出。（6.2）终端时间设置为T=1和（Y，Z）=（0，1）。驱动程序函数f取决于时间t和当前状态Xt。快速SWIFT方法的结果如图2a所示，而混合SWIFT方法的结果如图2b所示。我们观察到，快速SWIFT和混合SWIFT方法之间没有显著差异。对于schemesA、B和C，Y（x）和Z（x）的近似误差均为O(t） 订单，将错误与O合并((t） ）用于方案D。备注6.1。本节中一些示例的d河函数并非普遍为Lipschitz函数。然而，请注意，为了使第4.3节中的控制参数有效，对于任何固定的z，驱动函数应该是关于y的Lipschitz。本节中的所有驱动函数都满足这一较弱的条件。

当我们设计假设和条件时，我们的目标是清晰的表述，而不是一般的适用性，并且我们的方法可以应用于比我们这里描述的更广泛的BSDE。要更深入地分析Picarditerations在BSDE数值处理中的应用，请参阅[10]。6.2示例2：欧洲看涨期权下一步，我们通过求解anFBSDE计算Black-Scholes模型下看涨期权的价格v（t，ST）。发现的过程满足：dSt=‘uStdt+’σStdωt.（6.3）根据[18]中的推理，我们假设金融市场是完整的，没有交易限制，看涨期权可以完全对冲。然后（v（t，St），’σStDsv（t，St））求解FBSDE，dSt=‘uStdt+’σStdωt，dYt=-(-rYt公司-\'u-r′σZt）dt+Ztdωt，（6.4），终端条件YT=max（ST- K、 0）。驱动函数相对于y和z是连续的和线性的。我们在测试中使用以下参数值：S=100，K=100，r=0.1，(R)u=0.2，(R)σ=0.25，T=0.1。（6.5）精确解Y=3.65997和Z=14.14823由文献[3]中的Black-Scholes公式给出。我们切换到log资产域Xt=log（St）并解决dXt公司=\'u-\'\'σdt+(R)σdωt，dYt=-(-rYt公司-\'u-r′σZt）dt+Ztdωt，（6.6），其中YT=max（exp（XT）- K、 0）。关于快速SWIFT方法的结果，我们参考图3a。我们注意到，随着时间步数的增加，sch-eme D的结果并没有改善。这是因为Z的终值不连续，产生了显著的误差。对于混合快速法，如图3b中的n所示，不连续性产生的误差已被消除。

近似值^y（x） 和^z（x） 关于对于方案A、B和C，为t，对于方案D，为2阶。由于方程式（6.6）中的驱动函数dep结束于u，近似误差也取决于u，即使最终结果v（0，x）与漂移无关。对于相同数量的时间步P，误差随着|u的增加而增加，如图4所示。通过在递归时间步中应用反反射边界条件，可以进一步改进近似算法。在图5中，我们看到了在混合SWIFT算法中添加抗反射步骤的结果。计算范围中间附近的近似值与参考值几乎相同，但在区间两端附近进行抗反射调整的近似值似乎比没有进行抗反射调整的近似值要好得多。6.3示例3：利率的买卖价差我们接下来考虑一个在【2】中引入的财务模型，其中我们有不同的应收利率和领先利率。由此产生的市场是不完善的，驱动函数是非线性的。假设代理人可以投资于无风险回报率为r的债券，并以r>r的利率借入资金。对于任何在时间T支付F g（XT）的欧洲型衍生工具，如果基础资产St=log（XT）遵循几何布朗运动，则其在时间0的价格可以通过解FBSDE获得：dXt公司=\'u-\'\'σdt+(R)σdωt，dYt=--rYt公司-\'u-r'σZt- （R）- r） 最小值年初至今-Zt′σ，0dt+Ztdωt，以payoff作为终端条件。我们使用了[1]和[18]中研究的示例。支付函数由g（XT）=（eXT）给出- K）+- 2（外景- K） +，这等于一个长调用和两个短调用的组合，前者的strikeK=95，后者的strikeK=105。

我们使用参数值S=100，r=0.01，\'u=0.05，\'σ=0.2，T=0.25，K=95，K=105，r=0.06。我们注意到^z（x） 无法使用图6a中的方案D转换为参考值。参考值Y=2.9584544和Z=0.55319，通过BCOS方法获得，具有大量时间步长P。切换到混合SWIFT方法，其结果如图6b所示，对于方案A、带C，Y的近似误差收敛到零，阶数约为1，对于s方案D，近似误差收敛到阶数。对于方案B和C，我们对Z也有一阶收敛，但对于方案A和D，收敛阶数更高。6.4示例4该示例取自【19】。对于正向过程，漂移和扩散系数取决于时间和状态。我们的目标是解决以下FBSDE：dXt=1+2 exp（t+Xt）dt+exp（t+Xt）1+exp（t+Xt）dωt，dYt=--2Yt1+2 exp（t+Xt）-YtZt1+exp（t+Xt）- YtZt公司dt+Ztdωt，终端条件YT=g（XT）=exp（t+XT）1+exp（t+XT）。精确解由（Yt，Zt）给出=exp（t+Xt）1+exp（t+Xt），（exp（t+Xt））（1+exp（t+Xt））. （6.7）我们选择终端时间T=1，初始条件x=1。有关快速SWIFT方法的结果，请参阅图7。虽然每个方案的总误差不同，但近似值^y（x） 和^z（x） 与O收敛(t） f或所有方案，如预期。在这里，由于漂移和波动性与状态和时间相关，Euler格式的弱阶起着重要作用。6.5讨论与BCOS方法相比，当使用的基函数数目相同且正向过程与时间无关时，SWIFT类型方法的计算时间略低。最耗时的部分是用于计算^z值的矩阵向量乘法pand^h。