基于小波的SWIFT方法求解倒向随机微分方程

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英文标题：
《On the wavelets-based SWIFT method for backward stochastic differential
  equations》
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作者：
Ki Wai Chau and Cornelis W. Oosterlee
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We propose a numerical algorithm for backward stochastic differential equations based on time discretization and trigonometric wavelets. This method combines the effectiveness of Fourier-based methods and the simplicity of a wavelet-based formula, resulting in an algorithm that is both accurate and easy to implement. Furthermore, we mitigate the problem of errors near the computation boundaries by means of an antireflective boundary technique, giving an improved approximation. We test our algorithm with different numerical experiments.
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中文摘要：
提出了一种基于时间离散和三角小波的倒向随机微分方程数值算法。该方法将基于傅立叶的方法的有效性与基于小波的公式的简单性相结合，产生了一种既精确又易于实现的算法。此外，我们通过抗反射边界技术缓解了计算边界附近的误差问题，给出了一种改进的近似。我们用不同的数值实验来测试我们的算法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_wavelets-based_SWIFT_method_for_backward_stochastic_differential_equations.pdf (370.4 KB)

2022-5-30 20:42:39 上传

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关键词：倒向随机微分方程 随机微分方程 SWIFT 随机微分 微分方程

关于基于小波的后向随机微分方程SWIFT方法Ski Wai Chau和Cornelis W.Oosterlee 2018年10月12日摘要我们提出了一种基于时间离散和三角小波的后向随机微分方程数值算法。这种方法结合了基于傅立叶的方法的有效性和基于小波的公式的简单性，从而产生了一种既准确又易于实现的算法。此外，我们还通过反反射边界技术缓解了计算边界附近的误差问题，给出了改进的近似。我们用不同的数值实验来测试我们的算法。1引言自从[15]中引入倒向随机微分方程（BSDE）的一般概念以来，它一直是一个热门的研究课题。特别是在数学金融和保险领域，无论是在通常的完全市场环境下，还是在结合市场缺陷和抵押品要求的情况下，BSDE都是评估或有债权的有力工具。通过直接求解或将问题转化为偏微分方程（见[16]），找到此类方程的解析解通常很困难，甚至是不可能的。因此，对数值方法的需求很大。虽然解决BSDE的大多数所谓概率方法依赖于随机过程的时间离散化，但它们不同于计算出现的条件期望的方法。使用的技术包括【12】中的最小二乘蒙特卡罗回归、【5】中的混沌分解公式、【6】中的容积法等。特别是，我们对基于Fourier级数的方法感兴趣。

这些方法将期望值的计算与传递概率密度函数的特征函数联系起来，传递概率密度函数要么给定，要么易于近似。一种特殊的方法是【18】中提出的BCOS方法，该方法源自期权定价的COS方法【8】。基于傅立叶级数的期权定价方法有了新的发展。【14】中提出了萨农小波逆傅立叶技术（SWIFT方法）用于定价欧洲期权，而【13】中开发了一种所谓的快速SWIFT变体，用于定价美国和障碍期权。快速SWIFT方法虽然也基于香农小波，但它的另一个好处是简化了算法和误差公式。此外，由于小波形成局部基，因此调整单个近似值更容易。我们提出了一种新的解决BSDE的方法，将[11]和[18]中使用的时间积分的一般θ-方法与SWIFT方法相结合。我们还改进了以前关于SWIFT的工作，提供了一个考虑计算范围的替代推导。在第2节中，将介绍我们正在考虑的BSDE的类别以及一些符号和标准假设。第3节介绍了SWIFT公式的推导和我们的BSDE数值算法，而第4节则涉及我们算法的误差和计算复杂性。我们在第5节的计算基础上进一步改进了我们的算法。第6节中进行了各种数值实验，第7.2节给出了结论性意见，给出了过滤后的完全概率空间的倒向随机微分方程2.1设置(Ohm, F、 F，P），F：=（Ft）0≤t型≤在最终时间T>0的固定期限内，满足通常条件的过滤。

过程ω：=（ωt）0≤t型≤这是一种适应过滤F的布朗运动，我们感兴趣的是数值求解以下一维解耦正反向随机微分方程，称为FBSDEs。dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dωt；dYt=-f（t，Xt，Yt，Zt）dt+Ztdωt，（2.1），其中0≤ t型≤ T功能u：Ohm ×【0，T】×R→ R和σ：Ohm ×【0，T】×R→ R指正向随机过程X和X的漂移和微分系数∈ f是X的初始条件。函数f：Ohm ×[0，T]×R×R×R称为反向过程的驱动函数，g（XT）给出了函数g的终端条件yti：Ohm ×R→ R、 所有含ω的随机积分都是It^o型的。假设u（t，x）和σ（t，x）都是可测函数，其均为L等规壳聚糖x，并在x中满足线性增长条件。因此，正向随机微分方程存在唯一的强解，Xt=x+Ztu（τ，xτ）dτ+Ztσ（τ，xτ）dωτ。该过程也满足马尔可夫性质，即τ的E[Xτ| Ft]=E[Xτ| Xt]≥ t、 式中，E[·]表示对概率测度P的期望。一对适应过程（Y，Z）被称为FBSDE的解。如果Y是连续实值适应过程，Z是实值可预测过程，因此rt | Zt | dt<∞ 几乎可以肯定的是，P和配对满足方程（2.1）。我们希望通过及时向后解决问题来发现（Y，Z）。我们通过沿时间方向∧：0=t<t<t<t<…<tP=T。在本文中，我们假设我们有一个固定的统一时间步长t=tp+1- tp，p和定义ωp+1：=ωtp+1- ωtp~ N（0，t） ，一个正态分布过程。离散化正演过程X是由byX定义的t： =x，xtp+1：=Xtp+u（tp，Xtp）t+σ（tp，Xtp）ωp+1，p=0。

P-1，它是从经典的Euler离散化导出的。请注意，我们在此仅定义了离散时间点的离散化过程。虽然可以将定义扩展到[0，T]，但我们的演示没有必要这样做。采用符号X=（X，Y，Z），我们可以从后向方程中观察到，Ytp=Ytp+1+Ztp+1tpf（τ，Xτ）dτ-Ztp+1tpZτdωτ，（2.2）简单离散化不足以产生近似值。这是因为我们需要Ytp+1的值来近似Ytp，但Ytp+1不适用。为了解决这个问题，我们遵循文献中的标准方法，例如，在[4]中。通过对方程（2.2）两侧取条件期望，并通过θ-时间离散化近似时间积分，asin[18]，我们得到了Ytp=Ep[Ytp+1]+Ztp+1tpEp[f（τ，Xτ）]dτ≈ Ep【Ytp+1】+tθf（tp，Xtp）+t（1- θ） Ep[f（tp+1，Xtp+1）]，θ∈ [0，1]。符号Epand Exp定义为P[·]：=E[·| Xtp]=E[·| Ftp]，Exp[·]=E[·| Xtp=x]。对于过程Z，我们通过乘以ωp+1到方程（2.2）的两侧，取条件期望，0=Ep[Ytp+1ωp+1）+Ztp+1tpEp[f（τ，Xτ）ωp+1]dτ-Ztp+1tpEp[Zτ]dτ≈Ep[年初至今+1ωp+1]+t（1- θ） Ep[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]-tθZtp- t（1- θ） Ep【Ztp+1】，θ∈ （0，1）。我们再次将θ-方法应用于时间积分。然而，θ方法的两个参数θ和θ不一定是相同的。我们定义了一个不同的时间近似值（Y, Z) 对于（Y，Z）：YtP：=克（XtP），ZtP=σ（tP，XtP）Dxg（XtP），（2.3a）表示p=p- 1.0，Ztp：=-1.- θθEp【Z】tp+1]+θtEp【Y】tp+1ωp+1]+1- θθEp[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]，（2.3b）Ytp：=Ep【Y】tp+1]+tθf（tp，Xtp）+t（1- θ） Ep[f（tp+1，X（2.3c）再次使用简化符号X= （十）, Y, Z). 注意，θ和θ的各种组合给出了不同的近似方案。

我们对Y有一个明确的sch-eme如果θ=0，则使用隐式格式。变量Ztp取决于Ep[Ztp+1]仅当θ6=1时。而且，由于终端进程Yt和Zt相对于X具有确定性t和X是一个马尔可夫过程，通过归纳可以证明tp=yp（Xtp），Ztp=zp（Xtp），wher e zpand y公司与Discretization方案相关的pare确定性函数。我们将使用符号（yp（x），zp（x））当我们想强调我们的近似值的依赖性时。在求解方程（2.3）中的近似值时，需要在每个时间步计算多个条件期望。在这篇文章中，我们选择的方法是一种基于小波的方法，在[14]中介绍。2.2假设在本文中，除了u和σ的条件外，我们还假设以下是正确的：（A1）函数f（t，x，y，z）相对于（x，y，z）是连续的，并且存在所有单侧导数。（A2）函数g（x）在x中是连续的，并且存在所有左侧和右侧导数。在处理θ6=1的离散格式时，我们又增加了一个假设：（A3）函数f是Lips chitz in（y，z），即| f（t，x，y，z）- f（t，x，y，z）|≤ M（| y- y |+| z- z |）；x、 y，y，z，z∈ R、 t型∈ [0，T]，对于某些常数M。在假设（A1）-（A3）（（A1）-（A2）如果θ=1）下，第3节中给出的FBSDE的数值算法定义良好。虽然方程式（2.3a）中的Dxg可能在可数的许多不同点上未定义，但它只能由这些点上的e边导数代替。上述条件也可以确保我们的算法总体上具有令人满意的性能，更多细节将在第4节中介绍。

然而，上述条件不足以保证一对自适应过程（Y，Z）的存在，这是任何数值算法的基础。我们引入一个额外的假设来确保方程（2.1）的解（Y，Z）的存在唯一性。（A4）存在一个常数M，使得| f（t，x，y，z）|+| g（x）|≤ M（1+| x |ν+| y |+| z |）），x、 y，z∈ R、 t型∈ [0，T]，ν≥.有关BSDE解的存在性和唯一性的进一步结果，请参考文献[16]，并进一步研究扩展此结果。我们想提出的最后一点是，离散化过程与原始过程的收敛速度也取决于函数u、σ、f和g。我们将在第4.1节中讨论这些要求；这些条件不包括在现有假设中。3 SWIFT方法为了计算离散FBSDE（2.3）中出现的期望值，我们将使用基于小波的SWIFT方法。在本节中，我们首先为【14】和【13】中使用的SWIFT公式提供一个替代推导。我们没有在整条实线上使用基于hannon小波的近似空间，而是在有限域上构造一个Shannon小波尺度函数，并用该尺度函数推导出我们的公式。这种方法是有益的，因为在计算斯威夫特公式的小波系数时需要计算积分范围。在标度函数中加入截断范围简化了近似误差的公式。接下来，我们应用SWIFT方法计算方程（2.3）中FBSDE的离散时间近似中的条件期望，并生成递归、向后求解FBSDE的算法。在第3.1节和第3.2节中，我们用有限差分法推导了SWIFT公式，并计算了对FBSDE算法的相关期望值。

第3.3节和第3.4节讨论了函数z的近似值p（x）andyp（x）。3.1比例函数我们从一些初步定义和结果开始讨论。对于任何固定实数形式和整数J 6=0，我们定义了内积和范数：<v，w>：=mJZ-mJ公司-2.-mJv（x）w（x）dx，| | v | |：=√< v、 v>。函数v在L中((-2.-mJ，2-如果| | v | |是一个整数，则为mJ]）空格。可以看出，集合Γm，J：=cos公司2n个- 12Jπmx公司, 罪2n个- 12Jπmx公司n=1，2。,对于内积是正交的，并且在L中是稠密的((-2.-mJ，2-mJ]）。利用上述定义，我们一起构造了一个具有局部化基的近似空间，这是Truncated SWIFT近似方法的基础。考虑2J干扰函数ДJ，r:r→ R、 ДJ，R（x）：=JXk=1cos公司2公里- 12Jπmx公司cos公司2公里- 12Jπm级rm+ 罪2公里- 12Jπmx公司罪2公里- 12Jπm级rm=JXk=1cos2公里- 12Jπ（2mx- r）（3.1）=J如果x=2Jml+rm，则l为偶数整数，-J如果x=2Jml+rml，则l为奇数整数，sin（π（2mx-r） ）2 sin（π2J（2mx-r） ）否则，其中r=1- J、 2- JJ、 这种定义是[9]中不等式（2.13）给出的标度函数的特例，其中作者提出了一种基于正交多项式构造小波的统一方法。文献[9]中广泛研究了ДJ，r的性质，与我们的数值方法相关的性质在下一个定理中列出，并给出了它们的证明。定理3.1。方程（3.1）中定义的标度函数φJ，r满足以下性质：（a）两个标度函数之间的内积由以下方程给出：<φJ，r，φJ，s>=φJ，rsm, r、 s=1- J、 2- JJ、 因此，{ДJ，r | r=1- J、 2- JJ} 形成一个正交集。（b） 标度函数ДJ，ris位于rm周围。

我们的意思是，对于子空间vj：=spancos公司（2k- 1） π2Jmx, 罪（2k- 1） π2Jmxk=1，2，J,我们有ДJ，rДJ，r（2-mr）= minn | |χ| |：χ∈ VJ，χrm= 1o。（c） {ДJ，r | r=1- J、 2- JJ} 是VJ的基础。（d） 尺度函数νJ，ris也是一个核多项式，因为对于任何函数v inVj，我们都有<v，ДJ，r>=vrm.证据我们可以通过直接计算和应用集合Γm，J的正交性来证明（a），使得<ΓJ，r，ΓJ，s>=nXk=1cos公司2公里- 12Jπm级rmcos公司2公里- 12Jπm级sm+ 罪2公里- 12Jπm级rm罪2公里- 12Jπm级sm=^1J，rsm=J、 如果s=r，sin（（s-r） π）2 sin（s）-r） π2J= 0，否则。接下来，让χ（x）=JXk=1ckcos公司（2k- 1） π2Jmx+ dksin公司（2k- 1） π2Jmx,和χrm= 1表示某些常数ckand dk。通过Cauchy-Schwarzinequality的一个简单应用，我们得到1=χrm=JXk=1ckcos公司（2k- 1） π2Jr+ dksin公司（2k- 1） π2Jr!≤JXk=1（ck+dk）！JXk=1cos公司（2k- 1） π2Jr+罪（2k- 1） π2Jr!!= J | |χ| |。最后一个等式来自集合Γm，Jand的正交性，因为ck和dk是任意的，| |χ||≥Jfor anyχ∈ VJ，因此χrm= 1、另一方面，如ДJ，rrm=JXk=1cos公司（2k- 1） π2Jmrm+罪（2k- 1） π2Jmrm!= J、 我们知道这一点ДJ，rДJ，r（2-mr）=< ДJ，r，ДJ，r>J=J，这得出了（b）的证明。语句（c）为真，因为{ДJ，r | r=1- J、 2- JJ} 具有与VJ的生成集相同的元素数；它的元素是正交的，因此相互独立。第（d）部分来自第（a）和（c）部分。对于任何v∈ VJ，v（·）=PJs=1-根据（c）和（a）部分，我们得到了<v，ДJ，r>=JXs=1-JVs<ДJ，s，ДJ，r>=JXs=1-合资企业ДJ，srm= vrm.空间VJand和s标度函数{ДJ，r}r=1-JJare分别是我们的近似空间和我们的基函数。

因此，对于L中的任何函数v((-2.-mJ，2-mJ]）sp ace，其在VJ上的投影，表示为HVJv，可以用JPJR=1的形式书写-J<HVJv，~nJ，r>~nJ，r=JPJr=1-J<v，ДJ，r>ДJ，r.3.2快速计算公式和系数假设我们希望近似一个有限积分rrv（）q（）d，其中v在L范围内((-2.-mJ，2-mJ]），我们有RRQ（）d<∞. 我们将用HVJv代替v来解决这个问题。这给出了以下近似值：ZRv（）q（）d≈ZRq（）JJXr=1-J<v，ДJ，r>ДJ，r（）d=ZRq（）JJXr=1-JmJZ公司-mJ公司-2.-mJv公司()JXk=1cos（Ck（2m - r） ）dJXk=1cos（Ck（2m- r） ）d=JXr=1-JZRq（）MJXK=1cos（Ck（2m- r） ）dZ-mJ公司-2.-mJv公司()mJJXk=1个COS（Ck（2米 - r） ）d,这是【14】中提出的SWIFT公式，其中Ck：=2k- 12Jπ。在上面的推导中，我们只列出了函数v和q对伪变量的依赖关系。实际上，v和q将依赖于其他变量，例如时间。在本文的其余部分，我们将在符号中添加额外的依赖项，而无需另行通知，只要有必要进行表示。备注3.2。而近似的精度取决于函数v和q的其他性质，应在本文的其余部分进行研究，v∈ L((-2.-mJ，2-mJ]）和q可积是确定上述近似值所需的唯一条件。备注3.3。我们只确定了现场的近似值(-2.-mJ，2-以零为中心。对于任何函数v，使得rba（v（））d<∞ 对于有限的范围（a，b），我们需要执行变量′=的更改-a+b，用于′∈ （a）-a+b，b-a+b]，设v′（′）=v（′+a+b）=v（）。然后，我们可以相应地选取J和m，并对v′进行逼近。