基于小波的SWIFT方法求解倒向随机微分方程

通过稍微滥用旋转，我们假设我们隐式地执行了这一繁琐的步骤，并将SWIFT公式应用于任何有限的范围【a，b】。在本文中，我们将采用[13]中提出的SWIFT公式的快速变体。代替用HVJv代替v，我们近似v byv（x）≈JJXr=1-合资企业rm^1J，r（x）。这背后的原因留给了错误部分，但这给出了Exp[v（tp+1，X）的近似值tp+1）]，我们在FBSDE的离散时间近似中看到，Exp[v（tp+1，Xtp+1）]≈Exp“JJXr=1-合资企业tp+1，rm^1J，r（Xtp+1）#=JJXr=1-合资企业tp+1，rmExp[ДJ，r（Xtp+1）]。期望值Exp[ДJ，r（Xtp+1）]可通过exp[ДJ，r（X）计算tp+1）]=Exp“JXk=1cosmCkX公司tp+1- Ckr公司#= R（JXk=1Exp（x+u（tp，x））t+σ（tp，x）ωp+1））exp(-iCkr）]）=R（JXk=1exp（i2mCkx）Φ（tp，x，2mCk）exp(-（3.2），其中复数的实部表示为R{}和Φ是x的特征函数tp+1- 十、tp，即Φ（τ，，) := 经验值iu（τ，）t型-σ（τ，）t型.【13】的作者演示了如何计算向量（Exp【ДJ，r（Xtp+1）]）r=（1-JJ） 使用快速傅立叶变换（FFT）算法。我们的算法中由方程（3.2）导出的计算复杂度为O（J log（J））。Exp[v（X）表中的期望值tp+1）ωp+1]也出现在FBSDE的离散时间近似中，它们可以通过以下公式计算：Exp[v（tp+1，Xtp+1）ωp+1]≈Exp“JJXr=1-合资企业tp+1，rm^1J，r（Xtp+1）ωp+1#=JJXr=1-合资企业tp+1，rmExp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1），Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]由以下公式给出：Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]=σ（tp，x）tExp[DxаJ，r（Xtp+1）]=R（σ（tp，x）tJXk=1mCkExp[经验（μ2mCk）（x+u（tp，x））t+σ（tp，x）ωp+1））exp(-iCkr）]）=R（σ（tp，x）tJXk=1mCkexp（i2mCkx）Φ（tp，x，2mCk）exp(-iCkr）），（3.3）其中，第一个等号来自“按部分积分”参数，我们还注意到dxДJ，r（x）=-PJk=1mCksin（2mCkx- Ckr）。

同样，我们可以使用FFT来计算这些期望值。在接下来的两节中，我们将结合SWIFT公式的快速变量和方程式（2.3）中FBSDE的离散时间近似值。3.3函数z的快速近似p（x）有三种不同的期望，Exp[Ztp+1]，经验值[Yp+1ωtp+1]和Exp[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]，需要在方程（2.3b）中进行近似。应用quick-SWIFT公式，我们得到：Exp[Ztp+1]≈JJXr=1-Jz公司p+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；Exp[是tp+1ωp+1]≈JJXr=1-Jy公司p+1rmR（σ（tp，x）tJXk=1mCkei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；Exp[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]≈JJXr=1-Jf公司tp+1，rm，yp+1rm, zp+1rm·R（σ（tp，x）tJXk=1mCkei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）。我们用一个SWIFT型f公式表示FBSDE的近似值，该公式结合了点（tp，x）处的w和E离散化（^yp（x），^zp（x）），然后是^zpsatis定义了以下关系：^zp（x）=R（JJXk=1ei2mCkx“Φ（tp，x，2mCk）JXr=1-J-1.- θθ^zp+1rme-iCkr公司#)+R（iJσ（tp，x）JXk=1ei2mCkxmCkΦ（tp，x，2mCk）·“JXr=1-Jθ^yp+1rm+（1）- θ）tθftp+1，rm，^yp+1rm, ^zp+1rme-iCkr公司#),（3.4）对于p=0，1，P- 1.3.4函数y的快速近似Y的p（x）方程（2.3c）如果θ>0，则tp包含显式部分和隐式部分。显式部分由：h（tp，x）：=Exp[Y]表示tp+1]+t（1- θ） Exp[f（tp+1，Xtp+1）]。

（3.5）函数h是两个期望的线性组合，Exp[Ytp+1]和Exp[f（tp+1，Xtp+1）]，可通过以下快速SWIFT公式进行近似计算：Exp[Ytp+1]≈JJXr=1-Jy公司p+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；（3.6a）膨胀[f（tp+1，Xtp+1）]≈JJXr=1-Jf公司tp+1，rm，yp+1rm, zp+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）。（3.6b）因此，我们得到了h的近似值：^h（tp，x）：=Exp[^yp+1（Xtp+1）]+t（1- θ） Exp[f（tp+1，Xtp+1，^yp+1（Xtp+1），^zp+1（Xtp+1））]=R（JJXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）·JXr=1-Jh^yp+1rm+ t（1- θ） f级tp+1，rm，^yp+1rm, ^zp+1rmie-iCkr），（3.7）和函数^yP由：^y隐含定义p（x）=tθf（tp，x，^yp（x），^zp（x））+^h（tp，x）。（3.8）每当θ6=0时，执行Picard迭代I次以恢复^yp（x），这与[10]和[18]中使用的程序相同。迭代的初始猜测定义为经验的近似值tp+1]如评估（3.6a）所示。第4.3节将讨论收敛迭代和引入的额外误差的条件。生成近似值（^y）的总体算法（x） ，^z（x） ）因为（Y，Z）已在算法1.4错误和计算复杂性中总结。在本节中，我们将讨论使用aSWIFT-ty-pe方法求解FBSDE时错误的主要组成部分。它们是FBSDE的离散化误差、S WIFT公式的近似误差和Picard迭代引入的误差。我们还将讨论SWIFT方法的计算复杂性。

为了符号的简单性，我们将使用M来表示一个通用常量，其中的值和依赖关系可能会随着行的变化而变化。beginfor s=1- J至J do^yP（2-ms）=g（2-ms），^zP（2-ms）=σDxg（2-ms）和^fP（2-ms）=f（T，2-ms，^yP（2-ms），^zP（2-ms））。endCompute（E-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）ωP]）r，k=1-JJwith（3.2）和（3.3）。对于p=p-1对1文件计算函数（^zp（2-ms））s=1-JJwith（3.4）。计算函数（^yp（2-ms））s=1-JJwith（3.8）和Picard迭代（如有必要）。计算函数（f（tp，2-ms，^yp（2-ms），^zp（2-ms）））s=1-JJ、 计算（E-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）ωp]）r，k=1-J如果（X）的分布tp- 十、tp-1） 与时间相关。endCompute^z（x） 和^y（x） 。endAlgorithm 1：快速SWIFT方法。4.1 FBSDE的离散化误差由于随机过程的离散时间近似而产生的误差取决于参数θ和θ、漂移u、波动率σ、驱动函数f和终端条件g。很难为所有FBSDE提供一个统一的结果，我们的方法可以应用于此。然而，在某些特定的假设下，我们可以推导出由于时间离散化引起的全局误差的误差界。采用以下错误符号：εyp（Xp）：=yp（Xtp）- yp（Xtp），εzp：=zp（Xtp）- zp（Xtp），εfp（Xtp）：=f（tp，Xtp）- f（tp，Xtp），离散化err或的结果之一在以下定理中。定理4.1（[18]，定理1]）。假设正演过程具有常数系数u和σ，而离散化方案具有θ=θ=。

IfExP-1[|εzP |]~ O((t） ），经验值-1[|εyP |]~ O((t） ），然后是exh |εyp |+√t |εzp | i≤ M级(t） ，对于1≤ p≤ P、 其中，常数M取决于数字T、u和σ以及函数g和f。对于一般漂移和扩散系数，对于正向过程X的不规则离散化，我们可能只有一阶弱收敛，这可能成为我们算法的主要误差。关于定理4.1和其他收敛结果的证明，读者可参考文献[18]及其参考文献。4.2 SWIFT公式的误差在本小节中，我们将讨论SWIFT类型公式的数值近似误差。为了使我们的公式适用于一步近似和递归情况，我们采用以下设置。考虑期望值E[v（Xt型+t） | Xt=x]对于定义在R和假设e上的函数v，v是连续的，且其所有左侧和右侧导数都定义得很好，我们将我们的期望近似值定义为^e[v（xt型+t） | Xt=x]：=JJXr=1-JρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]，（4.1），其中{ρv（2-mr）}r=1-JJis是与函数v相关的近似向量，有待定义。对于任意函数v:R→ R和给定范围(-2.-mJ，2-mJ]，我们将v与下面定义的交替扩展相关联。定义4.2。

函数v的交替扩展，用▄v表示，是定义在r上的函数，它满足：（a）▄v（x）=v（x）x个∈ (-2.-mJ，2-mJ]；（b） v（x+21-mJ）=-v（x）x个∈ R、 近似值和真值之间的差异由[v（X）给出t型+t） | Xt=x]-^E[v（Xt型+t） | Xt=x]=E[v（xt型+t） | Xt=x]- E【】v（Xt型+t） | Xt=x]+E[v（xt型+t） | Xt=x]- E[HVJv（Xt型+t） | Xt=x]+E“JJXr=1-J<HVJv，ДJ，r>ДJ，r（Xt型+t）十、t=x#-JJXr=1-JρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]=E[v（xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]- E【】v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]+E[v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]+JJXr=1-JHVJv公司rm- ρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]（4.2）=E[v（xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]- E【】v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]+E[v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]+JJXr=1-JHVJv公司rm- vrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]+JJXr=1-Jvrm- ρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]。（4.3）我们通过伸缩和利用标度函数的性质推导出上述公式。通过在方程（4.3）两侧取绝对值，我们得到近似误差的一个简单界限：E[v（Xt型+t） | Xt=x]-^E[v（Xt型+t） | Xt=x]≤ |E[v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]|+E[| | v（xt型+t） | 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x）+E[|v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | | Xt=x]+JJXr=1-JHVJv公司rm- vrm|E[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]|+JJXr=1-Jvrm- ρvrm|E[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]|。SWIFT型方法的误差可分为四部分（方程式（4.2））或五部分（不等式（4.3）），并将逐一讨论。请注意，前三项不等式（4.2）和（4.3）是相同的。第一个误差项与概率测度和函数V的尾部行为有关。它是有限的，否则最初的期望将是有限的。此外，当使用更广泛的计算域（computationaldomain）时，它的值应该减少（从启发式的角度来说，而不是严格的数学意义上）。

假设v是一致的，ly以一个数M为界，该项以M·P（X）为界t型+t型/∈ (-2.-mJ，2-mJ]| Xt=x）。类似地，第二项与尾部概率有关。由于v的连续性和∧v的周期性，∧v由某个数rm′一致有界，第二个误差项由M′·P（X）约束t型+t型/∈ (-2.-mJ，2-mJ]| Xt=x）。第三部分是关于VJ上的投影误差。假设v是连续的，且v的所有左右侧导数都存在，~v=limJ→∞HVJv，a.e。。这可以通过采用经典的Dirichlet核参数来说明。应用支配收敛定理，E【~v（Xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]=∞Xk=J+1<v，cos（2mCj·）>E[cos（2mCjXt型+t） | Xt=x]+∞Xk=J+1<v，sin（2mCj·）>E[sin（2mCjXt型+t） | Xt=x]。请注意，在本部分中，我们只需要▄v=limJ→∞HVJv，a.e.，这样我们就可以将对v的要求从连续放宽到分段连续。使用分部积分参数，如果正向过程具有平滑密度，则该误差相对于Jbut呈指数收敛，并随着计算范围的增大而增大。备注4.3。在f act中，SWIFT公式中的投影误差可以在交替条件下进行控制。假设X的概率密度函数qt型+t | Xt=x，在L（R）中，然后，| E[v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]- E【】v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]|=| E[| v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） 1{Xt型+t型∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]-E[HVJv（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]|≤||v- HVJv公司||ZRq（| x）d+ MP（Xt型+t型/∈ (-2.-mJ，2-mJ]| Xt=x），以HVJv为基础。

虽然我们在本文中不使用这种替代证明，但这意味着SWIFT公式可以在更一般的环境中使用，并且也适用于其他应用程序。在SWIFT公式的常见变体中，我们设置ρv（2-mr）=<v，ДJ，r>，因此方程（4.2）的第四项定义为零，应用SWIFT公式的误差仅包含第一项。然而，如果在实践中不是不可能的话，<v，ДJ，r>的计算是困难和耗时的，尤其是在递归情况下。因此，我们提出ρv（2-mr）=^v（2-mr），原始函数v的近似值。虽然它会引入额外的误差，但我们将证明这种误差是可以控制的，并且计算更加简单。对于方程（4.3）第四项中的和，我们需要考虑两种情况。当r 6=J时，HVJv的点W向收敛保证HVJv公司rm- vrm→ 因此，当J足够大时，这些项是有界的。当r=J时，v很可能在2处是连续的-MJ和上述论点不成立。然而，我们注意到该误差项也是HVJv（2）的加权和-mr）- 五（2-mr），重量由je[ДJ，r（X）给出t型+t） | Xt=x]。假设P（Xt型+t6∈ （λ-b、 λ+b））<和JДJ，J（x）<，当x∈ （λ-b、 λ+b），对于一些正数sb，和，以及一些数λ，thenJE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]<P（xt型+t6∈ （λ- b、 λ+b））+P（Xt型+t型∈ （λ- b、 λ+b））<+。当X的分布以点λ为中心，这对于扩散过程是正确的，其扩散系数很小，计算范围很大，因此λ远离边界，小波阶很高。如果满足这些条件，则术语的权重HVJv公司Jm公司- vJm公司很小，权重项可以有界。

通过结合上述两个参数，我们可以在计算范围非常大且小波阶非常高的情况下限制此错误项。在一步情况下，我们选择ρv=v。方程（4.2）以及上述分析涵盖了所有近似误差。在向后递归的情况下，我们可以使用方程（4.3）来研究每个时间步的误差传播。例如，在我们的BSDE算法中，我们让v=yp+1或zp+1和ρv=^yp+1或^zp+1。在这些情况下，方程（4.3）的第五项将我们的近似值与下一时间步的真实值进行比较。通过将此错误分析从时间步长应用到tp，错误以递归方式累积-第4.4节将进一步讨论错误或传播。近似E[v（X）的误差t型+t）ωp+1 | Xt=x]带^E[v（xt型+t） （ωt+t型- ωt）| Xt=x]：=JJXr=1-JρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） （ωt+- ωt）| Xt=x]，（4.4）可以用类似的方法进行研究。备注4.4。从推导中可以清楚地看出，函数v与左右导数连续的假设对于应用SWIFT公式的快速版本至关重要。在我们的FBSDE算法中，f函数y和z在中间时间点，p=1，P- 1、满足上述条件。这可以从方程（3.4）和（3.8）中观察到。然而，由于Dxg可能包含不连续性，我们最终可能仍会面临iss ue。我们提出了一种混合算法来处理这种情况。

在结束时间，使用通常的SWIFT公式，然后算法在所有后续时间步骤中切换到快速版本，请参见算法2。beginfor s=1- J至J do^yP（2-ms）=<g，ДJ，s>，^zP（2-ms）=<σDxg，ДJ，s>和^fP（2-ms）=<f（T，·，g（·），σDx（·）），ДJ，r>。endCompute（E-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）ωP]）r，k=1-JJwith（3.2）和（3.3）。对于p=p-1对1文件计算函数（^zp（2-ms））s=1-JJwith（3.4）。计算函数（^yp（2-ms））s=1-JJwith（3.8）和Picard迭代（如有必要）。计算函数（f（tp，2-ms，^yp（2-ms），^zp（2-ms）））s=1-JJ、 计算（E-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）ωp]）r，k=1-J如果（X）的分布tp- 十、tp-1） 与时间相关。endCompute^z（x） 和^y（x） 。endAlgorithm 2：混合快速SWIFT方法。4.3 Picard迭代错误当θ6=0时，必须使用以下等式执行Picard迭代：y=tθf（tp，x，y，^zp（x））+^h（tp，x），以找到固定点y。众所周知，如果函数tθf是y的收缩映射，即|tθf（tp，x，y，^zp（x））- tθf（tp，x，y，^zp（x））|≤ ξ| y- y |，带ξ∈ [0，1）对于所有x∈ (-2.-mJ，2-mJ]。当驱动程序功能为y中的IPSCHITZ且t足够小。我们采用以下符号：^y,IP（x）：=g（x）；^y,0p（x）：=JJXr=1-J^y,Ip+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；^y,i+1p（x）：=tθf（tp，x，^y,ip（x），^zp（x））+^h（tp，x），对于p=0，P-1且i=0，我-1、很明显，^y,当θ=0和I时，Ip（x）=^h（tp，x）≥ 1，这是显式方案。上述符号与第3.4节中的符号一致，但我们应替换^yp+1带^y,公式（3.5）中的Ip+1。