基于小波的SWIFT方法求解倒向随机微分方程

我们承认，对于相同的误差范围，BCOS和SWIFT typemethods可能需要不同数量的基函数。通过数值实验，我们得出结论，格式D的计算往往无法收敛到t当使用q uick SWIFT方法时，时间步长很小时。这是由于z的不连续性P（x）在x中。在我们的示例中，方案A、B和C对于快速SWIFT和混合SWIFT方法的行为类似。然而，在混合SWIFT方法中，方案D的性能往往最好。这意味着在我们的方案中抑制不连续性是有益的。这些图还表明，在适当选择SWIFT参数的情况下，近似误差本身将由离散化误差控制，并随着参数P的增大而减小。这意味着用SWIFT计算期望值的误差相对较小。7结论本文提出了一种新的数值求解FBSDE的概率方法。它源自向前和向后随机微分方程的时间离散化，采用条件期望值获得Ftp自适应近似值，并使用SWIFT公式的快速变量计算条件期望值。我们已经证明，为了应用SWIFT公式的快速变量，必须确保目标函数的连续性。虽然应用SWIFT公式的快速变量而不是原始版本会产生额外的错误，但当目标函数连续且相对于J急剧下降时，由于特征函数的指数收敛性，其顺序与原始版本相同，以获得平滑密度。与s-tochastic过程的离散化误差相比，应用快速方法的误差相对较小。

然而，SWIFT公式的QUICK变量可以大大减少我们算法的难度并提高计算速度。因此，我们认为混合SWIFT方法在效率和准确性之间提供了良好的平衡。本文详细讨论了不同的近似误差。如第5节所述，计算边界附近的SWIFT公式错误需要额外注意。我们还演示了如何使用反反射边界条件改进我们的算法。最后，我们的数值算法的适用性和有效性已经在各种FBSDE中进行了测试，这些都在混合SWIFT方法中给出了积极的结果。总的来说，应用SWIFT方法求解离散化BSDE保留了傅立叶反演技术的高精度，尽管所涉及的计算大大简化。我们还可以在调整每个时间点的近似值方面提供额外的自由度。参考文献【1】克里斯蒂安·本德和杰西卡·施泰纳。反向SDE的最小二乘蒙特卡罗法。InRen\'e A.Carmona、Pierre Del Moral、Hu Peng和Nadia Oudjane，《金融数值方法：波尔多》，2010年6月，第257-289页。施普林格柏林海德堡g，柏林，海德堡，2012年。[2] 雅科夫·Z·伯格曼。不同利率下的期权定价。修订版Financ螺柱，8（2）：475–500，1995年。[3] Fischer Black和Myron Scholes。期权和公司负债的定价。J PolitEcon，81（3）：637–6541973年。[4] 布鲁诺·布查尔德和尼扎尔·图齐。倒向随机微分方程的离散时间近似和蒙特卡罗模拟。随机过程及其应用，111（2）：175–206，2004。[5] 菲利普·布莱恩和克莱恩·拉巴特。基于维纳混沌展开的盲源分离仿真。安。应用程序。概率。，24（3）：1129–11712014年6月6日。[6] D.Crisan和K.Manolarakis。

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通过直接计算，HVJg（x）=mJJXk=1Z-mJ公司-2.-mJg（）cos（2mCk）dcos（2mCkx）+Z-mJ公司-2.-mJg（）sin（2mCk）dsin（2mCkx）=mJJXk=1Z-mJ公司-2.-mJ▄g（）cos（2mCk（- x） ）d=mJJXk=1Z-mJ公司-2.-mJg( + x） cos（2mCk) d!=mJZ公司-mJ公司-2.-mJg( + x） ΥJ()d, （A.1）式中ΥJ（x）：=JXk=1cos（2mCkx）=sin（2m）-1πx）sin（2m-1πx/J）。（A.2）可以看出MJZ-mJΥJ（）d=mJZ-2.-mJΥJ（）d=πJXk=1(-1） k+12k- 1=：πGJ。（A.3）事实上，GJ是著名的Gregory Leibniz系列，我们有limJ→∞GJ=π。根据我们的假设，在x点，limh→0+～g（x+h）=limh→0-~g（x+h）=~g（x）。同样，g（s+x）-g（x）s{s∈（0,2-mJ）}和G（s+x）-g（x）s{s∈(-2.-mJ，0）}是（2）上的可积函数-mJ，2-mJ]。请注意，在我们的构造中，2-mJ是一个正常数（a），m是J的函数。因此，HVJg（x）-πGJ▄g（x）=mJZa（▄g( + x）- g（x））ΥJ()d +mJZ公司-a（yeng( + x）- g（x））ΥJ()d=πZag( + x）- 克（x）π/2asin（π/2a）sin（2m-1π)d+πZ-ag( + x）- 克（x）π/2asin（π/2a）sin（2m-1π)d. （A.4）因为Xsin（x）在[-π、 π]和m趋向于完整性每当J趋向于完整性时，最后两项变为0，当J趋向于完整性时。这是由于黎曼-勒贝格引理。那么wehavelimJ→∞HVJg（x）=limJ→∞πGJ▄g（x）=▄g（x），（A.5）并完成证明。A、 2等式证明（4.6）和（4.7）证明。

使用方程（2.3b），（4.1），（4.4），（4.3）和持续假设（A3），我们有| zp（x）- zp（x）|≤1.- θθExp[zp+1（Xtp+1）]-^E[zp+1（Xtp+1）| Xtp=x]|+θt |经验[yp+1（Xtp+1）ωp+1]-^E【y】p+1（Xtp+1）ωp+1 | Xtp=x]|+1- θθExp[f（tp+1，Xtp+1，yp+1（Xtp+1），zp+1（Xtp+1））ωp+1]-^E[f（tp+1，Xtp+1，yp+1（Xtp+1），zp+1（Xtp+1））ωp+1 | Xtp=x]|≤1.- θθ|ζm，Jzp+1（tp，x）|+θt |ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+1- θθ|ζm，J，ωfp+1（tp，x）|+1- θJJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）]|+θtJJXr=1-Jyp+1rm- ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|+1- θJJXr=1-Jftp+1，rm，yp+1rm, zp+1rm- ρfp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|≤1.- θθ|ζm，Jzp+1（tp，x）|+θt |ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+1- θθ|ζm，J，ωfp+1（tp，x）|+（1- θ） （1+M）θJJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+θt+（1- θ） MθJJXr=1-Jyp+1rm- ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|注意，我们在上一个不等式中添加了一些额外的项来简化表达式。

取得最大覆盖率（1-θ） （1+M）θ，θt+（1-θ） Mθo完成等式（4.6）的证明。利用方程（4.5）、（4.6）、（3.5）、（3.7）、（4.1）、（4.3）和持续假设（A3），我们得到| y,Ip- yp（x）|≤1+ξ1- ξεP ic ardp+ξ1- ξ|^zp（x）- zp（x）|+1- ξ|^h（tp，x）- h（tp，x）|≤1+ξ1- ξεP ic ardp+M·ξ1- ξ（|ζm，Jz）p+1（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）+ζm，J，ωfp+1（tp，x）+m·ξ1- ξJJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+M·ξ1- ξJJXr=1-Jyp+1rm-ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|+1- ξ| Exp[yp+1（Xtp+1）]-^E【y】p+1（Xtp+1）| Xtp=x]|+t（1- θ） 1个- ξ| Exp[f（tp+1，Xtp+1，yp+1（Xtp+1），zp+1（Xtp+1）]-^E[f（tp+1，Xtp+1，yp+1（Xtp+1），zp+1（Xtp+1））| Xtp=x]||≤1+ξ1- ξεP ic ardp+M·ξ1- ξ（|ζm，Jz）p+1（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+|ζm，J，ωfp+1（tp，x）|）+1- ξ|ζm，Jyp+1（tp，x）|+t（1- θ） 1个- ξ|ζm，Jfp+1（tp，x）|+m·ξ1- ξJJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+M·ξ1- ξJJXr=1-Jyp+1rm-ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|+1- ξJJXr=1-Jyp+1rm- ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）]|+t（1- θ） 1个- ξJJXr=1-Jftp+1，rm，yp+1rm, zp+1rm- ρfp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）]|≤1+ξ1- ξεP ic ardp+M·ξ1- ξ（|ζm，Jz）p+1（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+|ζm，J，ωfp+1（tp，x）|）+1- ξ|ζm，Jyp+1（tp，x）|+t（1- θ） 1个- ξ|ζm，Jfp+1（tp，x）|+m·ξ+mt（1- θ） ）1- ξJJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+M·ξ+1+Mt（1- θ） 1个- ξJJXr=1-Jyp+1rm- ρyp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）。如果M：=M·ξ+1+M，则证明到此结束t（1-θ） 1个-ξ和M：=1+ξ1-ξεP icar dpM。同样，表达式中包含了额外的术语，以简化公式。A、 3推导误差公式的一个简单示例在本节中，我们将使用第4.4节中的结果来推导第6.2节中示例2的误差公式。

除了第6.2节中提供的参数外，我们还假设θ=0、θ=1和P=2。注意，这里使用P=2只是为了简化我们的表达式。很明显，驱动函数f和终端函数g满足所有现有假设，f关于y和z的Lipschitz系数为0.4。我们有 t=0.05，ξ=εP ic ardp=0，对于P=0，在我们的设置中为1。使用附录B中的推导，等式（4.6）和（4.7）可以简化为：p（x）- zp（x）|≤|ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+JJXr=1-Jyp+1rm- ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]| 1.02 | y,Ip（x）- yp（x）|≤|ζm，Jyp+1（tp，x）+ζm，Jfp+1（tp，x）+JJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+JJXr=1-Jyp+1rm- ρyp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|），对于p=0，1。

因此，将快速SWIFT方案应用于离散化系统的错误为：|^y,I（x）- y（十）|≤1.02 |ζm，Jy（0，x）|+1.02 |ζm，Jf（0，x）|+1.02JJXr=1-Jzrm- ^zrm（| Ex[ДJ，r（Xt） ]|+Ex[ДJ，r（Xt）ω] |）+1.02JJXr=1-Jyrm- ^y,我rm（| Ex[ДJ，r（Xt） ]|+Ex[ДJ，r（Xt）ω] |）≤1.02 |ζm，Jy（0，x）|+1.02 |ζm，Jf（0，x）|+JJXr=1-J20.4ζm，J，ωyt、 rm+ 1.02ζm，Jyt、 rm+ 1.02ζm，Jft、 rm（| Ex[ДJ，r（Xt） ]|+Ex[ДJ，r（Xt）ω] |）。请注意，tas没有重复错误，我们知道确切的终端条件。P-6-4-2P-6-5-4-3-2-1方案AScheme b方案CScheme D（a）Q uick SWIFT with J=2P-6-4-2P-6-5-4-3-2-1方案AScheme b方案CScheme D（b）混合SWIFT with J=2图2：结果示例1，左：y（0，x）中的错误，右：z（0，x）P-5-4-3-2-1P-3-2-1Scheme AScheme Bcheme CScheme D中的错误（a）Q uick SWIFT with J=2P-10-8-6-4-2P-8-6-4-2 Scheme AScheme Bcheme CScheme D（b）SWIFT with J=2图3：结果示例2，左：y（0，x）中的错误，右图：z（0，x）P-7-6-5-4-3-2-1P-4-3-2-1中的误差u=r=0.1u=0.15u=0.2u=0.3u=0.4图4:4u不同值的结果示例2（方案C）4 4.2 4.4 4.6 4.8 5.2 5.4X0-60-40-20swiftswiftswift和抗反射边界参考4.2 4.4 4.6 4.4 8 5 5.2 5.4X0图5：结果示例2是否应用反反射边界技术（图中，P=1000，J=2）P-5-4-3-2-1P-5-4-3-2-1方案AScheme Bcheme CScheme D（a）Q uick SWIFT，J=2P-7-6-5-4-3-2-1P-6-5-4-3-2-1方案AScheme Bcheme CScheme D（b）混合SWIFT和J=2图6：结果示例3，左：y（0，x）中的错误，右：z（0，x）中的错误6-5-4-3-2-1方案a方案b方案C方案D图7：结果示例4，（J=2），左：y（0，x）中的错误，右：z（0，x）中的错误