投资组合选择、投资组合清算和投资组合转移

（2） 这个假设可以稍微放宽一点，但我们认为这个简单的假设可以简化我们结果的陈述。自始至终，我们将分别用ρ=（ρij）1表示≤i、 j≤dand∑=（ρijσiσj）1≤i、 j≤D与价格动态相关的相关和协方差矩阵。我们也用（Yt）t表示∈R+流程定义人我∈ {1，…，d}，t型∈ R+，Yit=对数坐姿。（3） 备注1。u和（Wt）t∈代理人未观察到R+，但对于每个指数i∈ {1，…，d}，在时间t观察到uit+σI∈ R+，因为uit+σiWit=Yit- Yi+σit。（4） 价格的演变向代理揭示了有关漂移向量u的真实价值的信息。在下文中，我们用FS表示=FSt公司t型∈R+由（St）t产生的过滤∈R+或相当于（Yt）t∈R+。备注2。（重量）t∈R+不是FS布朗运动，因为它不是FS适应的。我们介绍了过程（βt）t∈R+定义人t型∈ R+，βt=Eu| FSt. （5） 备注3。（βt）t∈由于先前mu的假设（2），R+得到了很好的定义。从投资者的角度来看，（βt）t∈R+是主要关注点。它封装了迄今为止收集到的有关资产回报的信息。定理1中的第一个结果是βt的公式。定理1。让我们定义：（t，y）∈ R+×Rd7→ZRdexp公司（z）- r~1）∑-1.y- Y型+-r~1+σ σt型-t（z- r~1）mu（dz），（6），其中 表示向量的元素相乘。F是一个定义明确的有限值C∞（R+×Rd）功能。我们有t型∈ R+，βt=∑G（t，Yt）+R~1，（7），其中G=yFF，（8），其中我们用~1表示向量（1，…，1）∈ Rd.在证明定理1之前，让我们介绍由dqdp=exp定义的概率测度Q-α（u）ρ-1重量-α（u）ρ-1α（u）T, （9） 式中，α：z=（z，…，zd）∈ Rd7→z-rσ，zd公司-rσdT是R中的任意常数*+.Girsanov定理表明WQtt型∈[0，T]定义人我∈ {1。

，d}，t型∈ [0，T]，WQti=Wit+ui- rσit，（10）是一个d维布朗运动，其相关结构由Q下的ρ给出，并适应过滤FSt公司t型∈[0，T]。此外我∈ {1，…，d}，dSitSit=rdt+σidWQtI和D=r-σi！dt+σidWQti、 （11）定理1的证明将使用以下命题。提案1。在概率测度Q下，对于所有t，u与wqt无关∈ [0，T]。证据因为，尽管如此∈ [0，T]，u与wt无关，在概率测度P下，我们有，对于（T，a，b）∈ [0，T]×Rd×Rd，EQhexpiau+ibWQti=E经验值iau+ib（Wt+α（u）t）- α（u）ρ-1重量-α（u）ρ-1α（u）T= E经验值iau+ibα（u）t-α（u）ρ-1α（u）TE经验值ibWt公司- α（u）ρ-1重量u= E经验值iau+ibα（u）t-α（u）ρ-1α（u）TE经验值ibWt公司- α（u）ρ-1（重量- Wt）- α（u）ρ-1重量u= E经验值iau+ibα（u）t-α（u）ρ-1α（u）T经验值α（u）ρ-1α（u）（T- t）经验值ib公司- ρ-1α（u）ρib公司- ρ-1α（u）t型= E[膨胀（iau）]膨胀-tbρb.现在，让我们注意到eq[exp（iau）]=Eexp（iau）dQdP= Eexp（iau）EdQdPu| {z}=1= E[exp（iau）]和exp-tbρb是概率测度Q下wqt的傅立叶变换。因此，EQhexpiau+ibWQti=EQ[exp（iau）]EQhexpibWQti、 结果就是这样。我们现在准备证明定理1。定理1的证明。