投资组合选择、投资组合清算和投资组合转移

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英文标题：
《Portfolio choice, portfolio liquidation, and portfolio transition under
  drift uncertainty》
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作者：
Alexis Bismuth, Olivier Gu\\\'eant, Jiang Pu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper presents several models addressing optimal portfolio choice, optimal portfolio liquidation, and optimal portfolio transition issues, in which the expected returns of risky assets are unknown. Our approach is based on a coupling between Bayesian learning and dynamic programming techniques that leads to partial differential equations. It enables to recover the well-known results of Karatzas and Zhao in a framework \\`a la Merton, but also to deal with cases where martingale methods are no longer available. In particular, we address optimal portfolio choice, portfolio liquidation, and portfolio transition problems in a framework \\`a la Almgren-Chriss, and we build therefore a model in which the agent takes into account in his decision process both the liquidity of assets and the uncertainty with respect to their expected return.
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中文摘要：
本文提出了几种风险资产预期收益未知的最优投资组合选择、最优投资组合清算和最优投资组合转移模型。我们的方法基于贝叶斯学习和动态规划技术之间的耦合，从而得到偏微分方程。它可以在“默顿框架”中恢复Karatzas和Zhao的著名结果，但也可以处理鞅方法不再可用的情况。特别是，我们在“a la Almgren Chriss”框架中解决了最优投资组合选择、投资组合清算和投资组合过渡问题，因此我们建立了一个模型，在该模型中，代理人在决策过程中考虑了资产的流动性和其预期回报的不确定性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_choice,_portfolio_liquidation,_and_portfolio_transition_under_drift_un.pdf (1.05 MB)

2022-5-30 21:29:14 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 Quantitative Optimization Differential

漂移不确定性下的投资组合选择、投资组合清算和投资组合转移*Alexis Bimith+，Olivier Guéant+，Jiang Pu§Abstracts本文提出了几个解决最优投资组合选择、最优投资组合流动和最优投资组合转换问题的模型，其中风险资产的预期收益未知。我们的方法基于贝叶斯学习和动态规划技术之间的耦合，从而得到偏微分方程。它使我们能够在默顿的框架中回顾Karatzas和Zhao的著名结果，但也可以处理鞅方法不再可用的情况。特别是，我们在Almgren-Chris框架中解决了最优投资组合选择、投资组合清算和投资组合过渡问题，因此我们构建了一个模型，在该模型中，代理人在决策过程中考虑了资产的流动性和预期回报的不确定性。关键词：最优投资组合选择、最优执行、最优投资组合清算、最优投资组合转移、贝叶斯学习、在线学习、随机最优控制、汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。1简介现代投资组合选择理论始于1952年马科维茨的开创性论文[34]。在他的论文中，马科维茨考虑了一个代理人的问题，他希望在给定有限方差的情况下，建立一个具有最大可能预期回报水平的投资组合。然后，他提出了有效投资组合的概念，并描述了如何找到此类投资组合。马科维茨为从理论上研究风险规避主体的最优投资组合选择铺平了道路。

在马科维茨发表论文几年后，托宾确实发表了他著名的研究著作《代理的流动性偏好和分离定理》（见[45]），这是基于马科维茨的思想。几年后，60年代，Treynor、Sharpe、Lintner和Mossin独立推出了资本资产定价模型（CAPM），该模型也是建立在Markowitz思想的基础上的。因此，普遍存在的α和β概念在很大程度上归功于马科维茨的现代投资组合理论。虽然最初写在均值-方差优化框架内，但所谓的马科维茨问题也可以写在冯·诺依曼·摩根斯特恩期望效用框架内。*这项研究是在欧洲金融研究所赞助下，由汇丰银行法国分行资助的研究倡议“三月行动计划”的支持下进行的。作者要感谢拉玛·康特（帝国理工学院）、尼古拉斯·德劳克斯（汇丰银行法国分行）、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CFM和帝国理工学院）、让·米歇尔·拉斯利（路易·巴塞利尔学院）、休恩·范（巴黎迪德罗大学）和克里斯托弗·乌尔夫（汇丰银行伦敦分行）就此主题进行的对话。+巴黎大学索邦分校。索邦经济中心。巴黎拉皮塔大道106号，75013de thermo hydraulique and de mécanique des fluides-la Simulation（Den/STMF/LGLS），CEA，巴黎萨克雷大学，F-91191，法国伊维特市Gif。§欧洲金融研究所。巴黎证券交易所广场28号，75002。马科维茨因其工作于1990年获得诺贝尔奖。

有关投资组合理论的简要历史，请参见[35]。例如，萨缪尔森（Samuelson）和默顿（Merton）（参见[36，37，42]）就这样做了。此外，他们通过将最初的单周期框架扩展到多周期框架，将马科维茨问题推广了。萨缪尔森是在离散时间内完成的，而默顿是在连续时间内完成的。值得注意的是，他们都将跨期投资组合选择问题嵌入到更一般的最优投资/消费问题中。在[36]中，默顿使用偏微分方程（PDE）技术来描述代理人的最优消费过程及其最优投资组合选择。特别是，默顿在恒定绝对风险规避（CARA）情况下（即指数效用函数）和恒定相对风险规避（CRRA）情况下（即幂和对数效用函数）管理寻找封闭形式的解决方案。默顿问题随后被扩展到包括交易成本（比例和固定）或信贷约束等几个特征。80年代，Karatzas等人使用（对偶）鞅方法在完全普遍性地解决默顿问题方面取得了重大进展。在[26]中，Karatzas、Lehoczky和Shreve使用鞅方法来解决几乎任何光滑效用函数的Merton问题，并展示了如何部分地分离消费最大化问题和终端财富最大化问题。然后考虑了约束问题和不完全市场的扩展——参见Cvitani'c和Karatzas的论文【11】。在关于投资组合选择的文献中，或在关于默顿问题的更一般的文献中，输入参数（例如风险资产的预期收益）被视为已知常数，或具有已知初始值和动力学的随机过程。

然而，在实践中，人们无法确定价格回报将遵循给定的分布。模型参数的不确定性是著名的Black Litterman模型（见[7]）存在的理由，该模型建立在Markowitz模型和CAPM之上。尽管如此，与马科维茨模型一样，黑色Littermanmodel是一个静态模型。特别是，Black-Litterman模型的代理没有使用经验回归来动态学习资产收益的分布。文献中提出了在部分信息框架中涉及过滤和学习技术的最优分配模型（或处理默顿问题的模型）的推广。根据漂移的假设，所解决的问题有三种类型：未知常数漂移（例如[10]、[13]、[28]）、OrnsteinUhlenbeck动力学的未观测漂移（例如[8]、[17]、[32]、[41]）和隐马尔可夫链建模的未观测漂移（例如[9]、[25]、[40]、[43]）。在不同的模型中，过滤（或学习）可以从价格动态中估计未知参数，有时也可以从其他信息中估计未知参数，如分析师观点或专家意见（见[14]和[18]）或内部信息（见[13]和[38]）。大多数模型（见[6]、[10]、[13]、[28]、[29]、[30]、[38]、[39]）使用鞅（对偶）方法来解决部分信息下的最优分配问题。例如，在一个类似于我们的框架中，Karatzas和Zhao[28]考虑了一个模型，其中资产回报率是未知人的高斯分布，他们使用鞅方法在可观测项过滤下计算几乎任何效用函数的最优投资组合配置（他们的模型中没有消费）。有些模型，如我们的模型，使用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，因此使用PDEtechniques。

Rishel【41】提出了一个风险资产模型，其中漂移具有OrnsteinUhlenbeck动力学，并求解了与CRRA效用函数相关的HJB方程。有趣的是，当同时进行贝叶斯滤波和优化时，这是解决爆炸问题的罕见参考文献之一。Brendle[8]将[41]的结果推广到了amulti资产框架，并考虑了CARA效用函数的情况。Fouque等人【17】解决了价格噪声过程和连续时间噪声过程之间的相关问题，该问题现在称为默顿问题。漂移，并使用摄动分析获得近似值。Li等人[32]还研究了一个具有均值-方差目标函数的类似问题。Rieder和B"auelle【40】提出了一个风险资产模型，其中漂移由隐马尔可夫链建模，并在CRRA效用函数的情况下用偏微分方程求解。在最优投资组合选择文献之外，几位作者提出了在线学习和随机最优控制并存的财务模型。例如，Laruelle等人在[31]中提出了一个模型，在该模型中，一个代理使用限制订单优化其执行策略，同时学习泊松过程的参数，对限制订单的执行进行建模。费尔南德斯·塔皮亚（Fernandez Tapia）的研究也发现了算法交易领域的有趣想法（见[16]）。

Ekstr"om和Vaicenavicius[15]的论文也是一篇有趣的论文，他们解决了出售漂移未知资产的最佳时间问题。最近，Casgrain和Jaimungal[9]也使用了类似的思想来设计算法交易策略。在本文中，我们考虑了风险资产的（常数）预期收益未知但在线估计的连续时间内的投资组合选择、投资组合清算和投资组合转移问题。在第一节中，我们考虑了一个多维投资组合选择问题，类似于Karatzas和Zhao在[28]中所解决的问题，并对漂移采用了一个相当普遍的Bayesian先验（我们的先验族包括紧支撑和高斯分布）。对于这个问题，利用一般贝叶斯先验，我们推导出了HJB方程，并证明在CARA和CRRA情况下，这些方程可以转化为线性抛物型偏微分方程。本文的兴趣在于，我们的框架是多维的，是可能的先验知识的一般中介。此外，与其他论文不同，我们提供了一个验证结果，鉴于一些先验和效用函数对发生爆炸，这一点很重要。然后，我们在高斯先验的情况下指定我们的结果，以获得文献中已呈现的漂移和恢复公式（见[28]或[8]的极限情况）。

深入讨论了高斯先验情况，（i）因为相关的偏微分方程可以简化为简单的常微分方程（至少对于Cara和CRRA效用函数），可以使用经典技巧以闭合形式解决，以及（ii）因为高斯先验提供了爆炸的示例：当相对风险规避参数太小时，问题在RRA情况下可能不会很好地解决。PDE方法本身很有趣，我们相信它能够避免简化Karatzas和Zhao的一般表达式所需的繁琐计算。然而，我们的信息当然不限于此。PDE方法确实可以用于不能使用（对偶）鞅方法的情况。在本文的最后一部分，我们使用我们的方法来解决交易框架下的最优分配问题。Almgren-Chriss框架最初是为解决最佳执行问题而构建的（见[1，2]），但在现金股本领域之外，它也非常有用。例如，Almgren和Li【3】，Guéant和Pu【22】将其用于流动性交易时普通期权的定价和对冲。我们提出的模型是第一个使用Almgren-Chriss框架解决资产管理问题的模型之一，也是该领域的第一篇论文，其中Almgren-Chriss框架与贝叶斯学习技术结合使用。我们还将展示如何对我们的框架稍加修改，以解决最佳投资组合清算和过渡问题。本文旨在证明在线学习（在我们的例子中是基于fly贝叶斯估计）与随机最优控制相结合可以非常有效地解决许多财务问题。值得注意的是，这种方法也可以在常客的情况下进行。盖恩特等人。

还使用Almgren-Chriss框架解决了加速股份回购合同的定价、对冲和执行问题——见【20，23】。Almgren和Lorenz在优化执行中使用了贝叶斯技术（见[4]），但他们认为在学习方面存在近视代理。必须理解在线学习是一个向前的过程，而动态规划通常依赖于向后归纳。通过同时使用这两个经典工具，我们不仅受益于在线和贝叶斯学习的力量，不断学习未知参数的价值，而且我们还开发了一个框架，在这个框架中，代理学习和决策，知道他们将在未来以与过去学习相同的方式继续学习。例如，在贝叶斯多臂土匪的文献中，同样的观点也在发挥作用，其中未知参数是不同奖励的先验分布参数。在第2节中，我们提供了与贝叶斯框架相关的主要结果。我们首先计算进入价格动态的漂移的贝叶斯估计（更准确地说，是给定价格轨迹和先验条件的条件平均值）。然后我们推导出Bayesianestimator的动力学。这些结果是经典的，可以在[5]或[33]中找到，但为了保证完整性，我们回顾了它们。在第3节中，我们考虑了具有一个无风险资产和d个风险资产的a文本中代理人的投资组合分配问题，并展示了在CARA效用函数和CRRA效用函数的情况下，如何将相关的HJB方程转换为线性抛物型偏微分方程。与文献中的大多数论文不同，我们还提供了定义定理。这一点尤为重要，因为贝叶斯框架会导致一些最优控制问题的出现。

在第4节中，我们解决了与第3节相同的投资组合分配问题，但在高斯先验的特殊情况下。我们证明了一组更自然的状态变量可以用来解决同样的问题。我们还提供了高斯情况下的爆破示例。在第4节中，由于采用了封闭形式的解决方案，我们还分析了学习对agent分配过程动力学的影响。在第5节中，我们通过Almgren-Chris的建模框架介绍了流动性成本，并使用贝叶斯学习和随机最优控制技术的组合来解决各种投资组合选择、投资组合清算和投资组合过渡问题。2贝叶斯学习2.1符号和第一属性我们考虑一个代理人面临一个具有一个无风险资产和d个风险集合的投资组合分配问题。允许Ohm,FWt公司t型∈R+，P是一个经过过滤的概率空间FWt公司t型∈R+满足通常条件。Let（Wt）t∈R+是一个d维布朗运动FWt公司t型∈R+，相关结构由d给出Wi，Wj对于{1，…，d}中的所有i，j，t=ρijdt。无风险利率由r表示。We指数由i表示∈ {1，…，d}d风险资产。Fori公司∈ {1，…，d}，ITH资产的价格具有经典对数正态动态SIT=uiSitdt+σiSitdWit，（1）其中波动向量σ=（σ，…，σd）满足我∈ {1，…，d}，σi>0，其中漂移向量u=（u，…，ud）未知。我们假设u的先验分布（用mu表示）是次高斯分布。特别是，其具有以下特性：η>0，E[Eηkuk]=Zz∈Rdeηkzkmu（dz）<+∞.