交易成本下的最优消费与投资

我们发现（2.7）δw（v）w′（v）- 五+-δw（v）+v-w（v）1- R1.-1/R=0。各种进一步的转换并没有降低问题的顺序，而是简化了问题的外观，增加了我们解释解决方案的能力。设置W（h）=W（h）（1-R） h，让Nbe与W相反，使N=W-1最终se t n（q）=n（q）-1/R（1- q） 1个-n=n（q）解（2.8）n′（q）=O（q，n（q）），其中（2.9）O（q，n）=（1- R） Rn（1- q）-δ（1- R） Rqn公司l （q）- n=（1- R） Rn（1- q） m（q）- nl（q）- n、 m和l 二次函数Sm（q）=1- （1- R） q+δR（1- R） q（2.10）l（q） =1+δ- （1）- R） q-δ（1- R） q=m（q）+q（1- q） δ（1- R） 。（2.11）结果表明，不同的解决方案体系可以用二次m来表征，尤其是m在0和1的导数，以及m在1和转折点的值。为此，让qM=δRbe为转折点的位置，让mM=m（qM）为转折点处的m值。当我们在非事务区域之外考虑解决方案时，切换到n的优势变得惊人。Fo r z≤ z*, g（z）=（Rβ）RA*（1+（1+λ）z）1-Rfor A*待定。然后使用相同的变换，我们发现h（u）=（βR）Rg（eu）=A*（1+（1+λ）eu）1-兰德（2.12）w（h）=dhdu=（1- R） h（1+λ）eu1+（1+λ）eu=（1- R） 小时（小时/年*)1/（1）-R）- 1（小时/年*)1/（1）-R） ，交易成本7下的最优消费和投资，使得W（h）=1- （A）*/h） 1/（1）-R） ，N（q）=A*（1）- q）-（1）-R） n（q）=A-1/R*这是一个常数。类似地，在z上≥ z*我们有n（q）=（A*)-1/R。g cor的二阶平滑函数响应于w（以及w、N和N）的一阶平滑函数。Hencewe正在寻找解n和自由边界q*和q*使n∈ C.因此，我们要求在q=q时n′=0*q=q*. 然而，（q，n）空间中n′=0的位置正是曲线（q，m（q））上的点。

因此，值函数的候选解可以用基本条件n（q）的解n到（2.8）表示*) = m（q*), n（q*) = m（q*) 对于边界点{q*, q*} 待定。通常，这个问题有一系列解决方案，由左端点r参数化。Write nr=（nr（q））q≥对于（2.8）的解，从点（r，m（r））开始，让ζ（r）=inf{q>r：（1- R） nr（q）<（1- R） m（q）}。很明显，不同的溶液nrfordi不能交叉，a和ζ（r）在r中减少。为了确定想法，假设0<r<1，0<δr和（1- R） <2δR。则平方m为U形，最小值为q=qM=δR∈ （0，1），m处处都是非负的。Ifm（q）<n<l（q） 然后n在q处减小；可以表明，ny溶液nR从（r，m（r））开始，0<r<qm严格位于（0，m（0））与（1，m（1））的连接线下方。通过少量mo返工，我们可以表明，对于0<r<qM，ζ（r）∈ （qM，1）。此外，由于溶液nr不能交叉，nr（q）在r中减少，ζ（r）在r中减少。见图2.2的第一个面板。在描述如何选择与给定往返交易成本ξ相对应的起点r之前，考虑值函数和无交易区域的重要数量如何可以从（正确选择的）n中立即推断出来是有用的*= n（q*)-兰特A*= n（q*)-R、 此外，从h的（2.12）开始*= h（欧盟*) 其中u*= ln z*,q*= W（h*) =w（h*)（1）- R） h类*=（1+λ）z*（1+（1+λ）z*)= 1.-（1+（1+λ）z*),和类似的q*= 1.-1+（1-γ） z*.

特别地，我们可以从n的自由边界问题的解直接推断出无交易区域的极限；z*=1+λq*1.-q*和z*=1.-γq*1.-q*.我们的目标是解决自由边界问题：find n，q*, q*使得n是具有边界条件sn（q）的（2.8）的非负解*) = m（q*) 和n（q*) = m（q*).通常，这个问题有许多解决方案，每个解决方案对应不同级别的交易成本。参见图2.2的第二个面板。上述方程式为确定我们想要的解决方案提供了关键。对应于往返交易成本ξ=（1+λ）（1）的解-γ）- 1=λ+γ1-γ必须具有（2.13）ln（1+ξ）=ln（1+λ）- ln（1- γ） =lnz*z*+ ln公司（1）- q*)q*q*（1）- q*).但Dhdu=w（h），因此lnz*z*= u*- u*=右侧*h类*dhw（h），然后（2.14）lnz*z*=中弘*h类*dh（1- R） hW（h）=Zq*q*dqN′（q）（1）- R） N（q）q=δ（1- R） Zq公司*q*dq公司(l（q）- n（q））。交易成本下的最优消费和投资8（2.15）lnq*（1）- q*)- ln公司q*（1）- q*)=Zq公司*q*dqq（1- q） =δ（1- R） Zq公司*q*dq公司l（q）- m（q）,我们使用的位置l（q）- m（q）=δ（1- R） q（1- q） 。因此（2.16）lnz*z*+ ln公司（1）- q*)q*q*（1）- q*)=Zq公司*q*dqq（1- q）n（q）- m（q）l（q）- n（q）.定义（2.17）∧（r）=δ（1- R） Zζ（R）rdql（q）- nr（q）-l（q）- m（q）=Zζ（r）rdqq（1- q） nr（q）- m（q）l（q）- nr（q）和set∑（q）=exp（λ（q））- 1.那么，由于nr（r）=m（r）和nr（ζ（r））=m（ζ（r）），我们从∧（r）的第一次表示得到，（2.18）∧r=δ（1- R） Zζ（R）rdq(l（q）- nr（q））nr（q）r<0其中我们使用了nr（q）在r中递减的事实。此外，我们在下面第4节的引理4中显示∧（0）=∞ 和∧（qM）=0。因此∑-1在域上定义良好（0，∞).

We setq公司*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*), 然后是nq*求解（2.8）和（2.13）。q0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.930.940.950.960.970.980.99n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR和mandl.ξ0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.8（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图2.2：。参数值为=1/2、δ=1和R=2/3。面板2.2a显示了部分解决方案编号（q）。面板2.2b显示了无交易区域的边界，作为交易成本水平的函数。请注意，边界q*对应的资产销售对交易成本水平不敏感。我们的结果总结在下面的定理中，这是第5节给出的更完整结果的特例。在这个阶段，我们只有一个候选值函数，但候选值函数确实是值函数的验证是标准的。请注意，候选解决方案贯穿整个偿付能力区域。交易成本下的最优消费与投资9定理1。假设R<1且0<<min{δR，δq2R1-R} 。设（nr（·））表示（2.8）的初值为nr（r）=m（r）的解族。对于任何ξ∈（0，∞) 存在^r，∑（^r）=ξ=λ+γ1-γ、 然后，无事务楔子是yθx∈ [z]*, z*]其中z*=1+λ^r1-^rand z*=1.-γζ（^r）1-ζ（^r）。设置N（q）=nr（q）-R（1- q） R-1，W=N-1和w（h）=（1- R） hW（h）。设置h*= N（^r）和h*=N（ζ（^r））。

值函数由（2.4）给出，其中在无交易区域g（z）=（Rβ）Rh（eu）和u- ln z*=Rhh公司*dfw（f）；在销售区域z>z*, g（z）=h*（1+（1- γ） z）1-R（1+（1- γ） z*)R-1.在购买区域z<z*, g（z）=h*（1+（1+λ）z）1-R（1+（1+λ）z*)R-1、在结束本节时，我们将对问题的参数化和解决方案的形式发表几点评论，这在本节的激励特殊情况和一般情况下都适用。请注意，过程是有限变化的假设实际上可以是一个结论，因为如果代理人遵循的策略不是有界变化的，那么交易成本意味着她无法保持财富过程的可接受性。回想一下ξ=1+λ1-γ- 1=λ+γ1-γ，其中ξ是往返交易成本。正如我们所知，是ξ决定了问题解决方案的性质，而不是单个交易成本λ和γ。事实上，如果我们定义^Yvia^Yt=Yt（1- γ） 然后（2.1）变为（2.19）dXt=-Ctdt-^Yt（1+ξ）dΦt+^Ytdψt。因此，采购和销售的比例交易成本问题降低为仅采购的交易成本ξ问题。相反，如果我们设置▄Yt=Yt（1+λ），那么我们就有一个问题，财富过程是dXt=-Ctdt-~YtdΦt+1+ξ▄Ytdψt仅对应于销售交易成本ξ（1+ξ）的问题。我们没有在问题的描述中包含利率术语。然而，通过简单的切换，可以将恒定利率的情况降低到我们所描述的设置，以同时计算资产价格和消费的单位。数量qm和mm被定义为m转折点的位置和该点的m值。然而，他们对零交易成本的梅顿问题的解决方案有直接的解释。

在交易成本为零的默顿问题中，最优策略是投资，使风险资产中的财富与总财富的比率（即ΘtYtXt+ΘtYt）保持等于常数qM。此外，ze-ro transactioncosts V=V（x，y，θ，0）下的值函数等于（x+yθ）1-R1级-R（βR）Rm-RM。在R<1的当前设置中，很明显n（q*) = m（q*) > n（q*) = m（q*) > m（qM）=m和A*= n（q*)-R<A*= n（q*)-R<m（qM）-R=m-RM。因此，具有非零交易成本的价值函数被具有零交易成本的价值函数所限定。回想一下，在本节中，我们是在0<qM<1，然后0<q的假设下工作的*< qM<q*< 1、如果我们设置zM=qM1-qM（z的定义类似*和z*) 然后对于ξ>0，z*=1+λq*1.- q*<q*1.- q*<qM1- qM=zM<q*1.- q*<1.- γq*1.- q*= z*交易成本10和默顿线下的最优消费和投资严格处于非交易楔子内。请注意，通常情况下并非如此，并且存在默顿线位于no transactionwedge之外的参数组合。3、本节中的一般情况，我们希望在第2节的分析基础上发展和扩展，以包括所有参数组合，而不仅仅是第一象限中无交易区域为楔形的参数组合。上一节分析中的一个问题是，对于某些参数值，线（0，yθ）可能位于（x，yθ）空间中的无事务楔形内。x=0时，z=yθxis不明确。因此，在本节中，我们考虑了另一个参数化，其中关键变量是风险资产中的财富与账面财富的比率，其中，在假设持有的流动资产可以在ze ro Transaction cos t出售或购买的情况下，账面财富被计算为投资组合的价值。

请注意，偿付能力要求意味着paperwealth是非负的。定义P=（Pt）t≥0by Pt=YtΘtXt+YtΘt。偿付能力要求可表示为-λ≤ Pt公司≤γ。写入（3.1）V（x，y，θ，t）=e-βt（x+yθ）1-R1级- RRβRG公司yθx+yθ,并考虑（3.2）Mt：=中兴通讯-βsC1-Rs1- Rds+V（Xt、Yt、Θt、t）。应用It^o的公式，我们发现（下标x，y，θ表示空间导数，˙V表示时间导数）dMt=C1-Rt1- Re公司-βtdt+˙vdt+VxdXt+VydYt+VθdΘt+Vyyd[Y]t=（C1）-Rt1- Re公司-βt- VxCt）dt+[Vθ- Vx（1+λ）Yt]dΦt+[Vx（1- γ） 年初至今- Vθ]dψt+e-βt（Xt+Ytθt）1-R1级- RRβRLG（Pt）dt+σytvydbt，其中H=H（p）LH=-βH+u[（1- R） pH+p（1- p） H′）+σ-R（1- R） pH值- 2Rp（1- p） H′+p（1- p） H′\'.因为M是最优策略下的鞅，否则是超鞅，所以maximisingove r Ctwe find Ct=e-βRtV-1/Rx=βR（Xt+Ytθt）hG（Pt）-PtG′（Pt）1-国际扶轮社-因为消耗量是非负的，我们必须有G（p）>pG′（p）1-R、 此外，如果dΦt>0，则Vθ=（1+λ）yVx。因此，如果dΦt>0，则（1- R） G（Pt）+（1- Pt）G′（Pt）=（1+λ）[（1- R） G（Pt）- PtG′（Pt）]或同等-λ（1- R） G（Pt）+（1+λPt）G′（Pt）=0。交易成本11下的最优消费和投资同样，如果dψt>0，则γ（1- R） G（Pt）+（1- γPt）G′（Pt）=0。接下来是-λ≤ p≤ p*我们有G（p）=1+λp1+λp*1.-RG（p*) 对于p*≤ p≤γwe haveG（p）=1.-γp1-γp*1.-RG（p*).

（或者，我们可以通过论证最优策略包括立即交易，将财富投资组合移动到非交易楔的边界，从而导出非交易楔之外的G的形式，如前一节所述。）我们发现，在连续区域中，替代最佳消费，p*< p<p*,0=βG（p）-pG′（p）1- R1.-1/R+LG（p）=βG（p）-pG′（p）1- R1.-1/R- βG（p）+u[（1- R） pG（p）+p（1- p） G′（p）]（3.3）+σ-R（1- R） pG（p）- 2Rp（1- p） G′（p）+p（1）- p） G′（p）.现在我们可以看到这个因素的优点了Rβ在V的定义中：我们可以将（3.3）除以β，将问题简化为一个用无量纲量=uβ和δ=σβ表示的问题。（这就完成了参数缩减；原始参数u、σ、β、R、λ、γ已替换为、δ、R和ξ。）P的参数化允许我们考虑无交易楔块位于第一个条件之外的问题。然而，这是有代价的：（3.3）看起来比（2.5）或（2.6）要复杂得多。然而，受第2节分析的启发，我们可以进行转换，恢复相同的一阶微分方程。设置h（p）=sgn（p（1- p） ）| 1- p | R-1G（p）和定义w（h）=p（1- p） dhdp。

（fa c任务p（1- p） 由恒等式p=z1+z=eu1+euwhencedpdu=p（1）运动- p） .）然后远离0和1，dhdp=sgn（p（1- p） ）| 1- p | R-1.G′（p）+（1）- R） G（p）1- p和（3.4）w（h）=sgn（p（1- p） ）| 1- p | R-1[p（1- p） G′（p）+（1）- R） pG（p）]。此外，w（h）ddhw（h）=p（1- p） dhdpddhw（h）=p（1- p） ddpw（h）和差异（3.4）我们发现p/∈ {0，1}w（h）w′（h）=1- p | R-1sgn（p（1- p） （）p（1- p） G′（p）+p（1）- p） （1）- 2Rp）G′（p）+（1- R） p（1- Rp）G（p）.然后-R（1- R） pG（p）- 2Rp（1- p） G′（p）+p（1）- p） G′（p）= w（h）[w′（h）-1] | 1-第1页-Rsgn（p（1-p） ）。交易成本下的最优消费和投资12也使用（3.4）we haveG′（p）=w（h）| p | 1- p | R- （1）- R） G（p）1- 然后是G（p）-pG′（p）1- R=| 1- p|-Rsgn（p）h（p）1.-w（h）（1- R） h类.因为消耗量必须是非负的，所以这个表达式必须是正的，这样我们就可以把它写成sG（p）-pG′（p）1-R=| 1- p|-R | h | 1-w（h）（1-R） h |然后G（p）-pG′（p）1- R1.-1/R=| 1- 第1页-R | h | 1-1/R1.-w（h）（1- R） h类1.-1/R.取消系数| 1- 第1页-Rand除以sgn（p（1- p） ）=sgn（h），方程式（3.3）变为0=h | h|-1/R1.-w（h）（1- R） h类1.-1/R- h+w（h）+δw（h）[w′（h）- 1] ，且w（h）=（1- R） hW（h），δ（1- R） hW′（h）W（h）=-|h类|-1/R | 1- W（h）| 1-1/R+l（W（h））。然后设置N=W-1我们发现（q）dN（q）dq=δ（1- R） ql（q）- |N（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R.最终设置n（q）=n（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R.然后n>0，n′（q）n（q）=1- RR（1- q）-RN′（q）N（q）。特别地，n求解n′=O（q，n），其中O由q的所有值的（2.9）给出∈ 【q】*, q*] （奇点q=0和q=1除外）。现在考虑边界条件。对于-λ≤ p≤ p*我们有G（p）=A*（1+λp）1-R、 Thenh（p）=sgn（p（1- p） ）| 1- p | R-1A级*（1+λp）1-Randh′（p）=（1- R） h（p）1.- p+λ1+λp= （1）- R） h（p）1+λ（1- p） （1+λp）。结果表明：W（h）=（1+λ）p（1+λp）；然后| 1- W（h）|=| 1-p | 1+λp=（A*|h |）1/（1-R） 。

对于N=W，写入q=W（h）和h=N（q）-1我们港（q）=N（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R=A-1/R*.注意，q=W（h）=（1+λ）p（1+λp）可以重写为（3.5）q1- q=（1+λ）p1- p其有效期为-λ<p≤ p*或同等-∞ < q<q*=（1+λ）p*（1+λp*). 类似的分析给出sn（q）=（A*)-1/询价单∈ 【q】*, ∞) 其中q*=（1）-γ） p*（1）-γp*). 因此，自由边界下交易成本13下n′非最优消费和投资的连续性条件等于n′=0，这反过来意味着边界的候选位置可以用O（q，n（q））=0或等效的n（q）=m（q）来确定。请注意，q>1相当于p>1，并且这些条件中的每一个都对应于杠杆情况（代理人借款为风险资产中的头寸融资）。同样，q<0等于p<0。这些条件对应于风险资产的空头头寸。从（3.5）到（q*, p*) 和类似条件Q1-q=（1- γ） p1级-pat（q*, p*) 我们有1+ζ=1+λ1- γ=p*1.- p*1.- p*p*q*1.- q*1.- q*q*因此（3.6）ln（1+ζ）=Zp*p*dpp（1- p）-Zq公司*q*dqq（1- q） =Zh*h类*dhw（小时）-Zq公司*q*dqq（1- q） 。按照（2.13）-（2.16）中的相同步骤，我们得出结论，我们想要的解mus t满足（3.7）ln（1+ζ）=Zq*q*dqq（1- q） n（q）- m（q）l（q）- n（q）。注意，如果q*< 1<q*那么（3.6）中的每个积分都在一个包含奇异性的域上，因此积分没有很好的定义。但是，（3.7）中的积分定义良好，因为我们将显示n（1）=m（1）和n′（1）=m′（1），因此（3.7）中的被积函数可以在q=1时固定和连续。构建值函数的程序与之前一样。构造一个由初值nr（r）=m（r）参数化的n′=O（q，n）的解nr（·）族。从该族中选择满足（3.7）的解决方案，并从结果nr中确定N、W和W。