交易成本下的最优消费与投资

然后，通过在无交易区域上积分W（h），可以得到置信值函数。4、参数状态和可能的行为我们在上文中已经表明，构建值函数的候选解的问题可以简化为构建一阶普通微分方程的解，该方程从简单曲线开始到结束。有许多情况需要考虑，每种情况对应不同的参数状态。然而，我们希望强调的关键点是，可以通过考虑函数m的行为来区分不同的情况s，这是一个简单的二次函数。我们列举了十个案例。不同的情况取决于数量R的符号- 1，（1- R） m′（0），m（1），（1- R） m′（1）和mM。并非所有的2=32组合都是可能的，也并非所有组合都会导致不同的行为。（例如，如果R>1，则必须为mM≥ 1>0；如果R>1且m′（0）>0，则解的行为不依赖于m（1）或m′（1）的符号。）一般来说，我们不会详细分析边界情况，例如R=1（可以使用类似的技术进行研究，但需要单独分析）或m′（0）=0等（可以理解为适当的限制情况）。这并不是因为这些案例在任何方面都有困难，而是因为根据我们下面给出的论点，很容易决定应该发生什么，并且它们没有带来新的见解。交易成本下的最优消费和投资14与第2节的分析相比，新案例带来了新现象。首先，我们可能会发现问题不好。其次，问题可能因交易成本低而不好，但有一个解决方案可以解决交易成本较高的问题。

第三，无事务楔形可能位于（x，yθ）-空间的第二或第四象限，或者可能与第一和第二象限相交。在这种情况下，发现了一个事前显著的现象——风险资产发生的非交易区域边界不会随着购买交易成本水平的变化而变化。（事后，有一个简单的解释）。表1列出了这些现象和相关案例。NT wedgeR第一象限和第二象限第四象限的位置无条件适定R<1 AbiIII 1 AbiII 1 BiiR>1 AbiII 2条件适定R<1 AbiII 1 AbiI 1条件不适定R<1表1。根据m.Call R<1 Case 1和R>1 Case 2的行为，排列的现象学的不同案例可以区分如下案例。呼叫（1-R） m′（0）<0情况A和（1-R） m′（0）>0案例B。仅在案例1A中，c所有m（1）<0案例a和m（1）>0案例B。（注意，在案例1B中，我们必须使m（1）>m（0）=1>0，因此确定m（1）的符号；在案例2中，m（1）的符号并不重要。）在案例1ab和2A中，呼叫（1- R） m′（1）<0案例I和调用（1）- R） m′（1）>0例Ⅱ。最后，在案例1ABI中，1AbII和1B调用mM<0案例i，mM>0案例ii。表2列出了所有不同的情况。如果单元格中没有条目，则意味着相同的分析涵盖了该值的两种可能情况。（例如，在1Aa的情况下，解的形式不依赖于m′（1）的符号。）如果单元格中的条目为+ve或-veit，则表示单元格的符号由行中先前单元格的符号确定。（例如，如果R>1，则mM>0是必要的。）从穷举中可以看出，所有可能的参数组合都包含在其中一行中，但边界情况除外∈ {-δq2R1-R、 0，δR，δq2R1-R、 1个-R+δR}。

需要注意的是δq2R1-R≤1.-R+δR，但δR和这两个量之间的任何排序都是可能的。情况A和B之间的区别在于，在前一种情况下，Y是一个正在贬值的sset，在后一种情况下，Y具有正漂移。然后，在案例A中，无交易楔块包含在上半平面中，在案例B中，它是第四象限的子象限。案例a和案例b之间的区别在于，案例a中的问题是不适定的，而值函数是有限的。请注意，只有当R<1时，问题才可能是不适定的。情况I和II之间的区别在于，在前一种情况下，解n可以通过奇点（1，m（1））。然后，在案例I中，无交易楔子与第二象限相交（可能是第二象限的严格子集），而在案例II中，无交易楔子包含在第一象限中。在情况I中，对于足够大的ξ，q的值*不依赖于往返交易成本ξ。交易成本为15R m′（0）m（1）m′（1）mm时的最优消费和投资-R} 1/2 1/3案例1Aa<1<0<0-ve1-R+δR<35/2 6/3案例1 BIII<1<0>0>0<0δq2R1-R<<min{δR，1-R+δR}27/2/3病例2Ⅱ>1>0<0+ve 0<δR 1Ⅱ<1<0>0>0δR<0<δq2R1-R3/2/3情况1AbIi<1<0>0<0最大值{δR，δq2R1-R} <<1-R+δR}13/4/2/3案例2AI>1>0>0+veδR<5/2案例1Bii<1>0>0-δq2R1-R<0-1/3例1Bi<1>0<0-δq2R1-R-3 1/3案例2B>1<0+ve<0-1 2表2。不同情况和相关参数值。

最后三列是数值示例中使用的参数值。最后，案例一和案例二的区别在于，在后一种情况下，问题有一个所有交易成本的解决方案；如果我的mM<0，那么如果往返交易成本足够小，问题就不适定了。各种案例的描述应与图4.1-4.9平行研究，图4.1-4.9提供了不同案例的图示。在下一节中给出的证明；在本节中，我们根据二次m.4.1的行为来描述和描述解决方案。案例1AbIIii：R<1，0<<min{δR，δq2R1-R} 。我们首先考虑案例1AbIIii。这是我们在第2节中考虑的情况，也是最简单的情况。我们得到m有一个极小值qM=δR∈ （0，1）和mM>0。鉴于ζ和∧的定义，以下结果是完全直观的。附录中给出了证明。引理2。对于所有起点r∈ （0，qM）我们有ζ（r）∈ （qM，1）。此外，ζ（qM）=qM。∧（qM）=0，limr↓0∧（r）=∞ 并且∧是连续的，严格递增的。由引理可知∑：（0，qM）7→ [0，∞) 对于任何ξ∈ [0，∞) 自由边界问题有一个解决方案：n解（2.8）受制于n（q*) = m（q*), n（q*) =m（q*), ∑（q*) = ξ。此外，该解还具有0<q的附加性质*≤ qM公司≤ q*< 1、设ζ（0）=limr↓0ζ（r）<1，由n（q）=limr给出[0，ζ（0）]的定义↓0nr（q）。ζ（0）和nar均由（2.8）的解的单调性很好地定义。因此，无论交易成本有多大，无交易楔子都是第一个四元的一个子集，因此*, q*]  （0，ζ（0）） （0，1）。4.2。案例1Aa：R<1,1-R+δR<。在这种情况下，m（1）<0。L et q±是m的根（带q-< q+，设p±为l （带p-< p+。

没有te，p-< 0<q-< p+<1<q+。交易成本下的最优消费和投资16从O的分子中存在的因子n可以清楚地看出，n之前不能达到零l在p+时达到零。见图4.1。另一方面，n≤ l 打开（0，p+）。因此，对于任何r∈ （0，q-) 我们有nr（p+）=0。因此，自由边界问题没有解。对于往返交易成本的任何价值，最优消费/投资问题都是不合理的（从某种意义上说，存在一个生成有限预期贴现效用的策略）。（一种策略是在时间零点交易到仅现金头寸，然后保持Θt=0，并以恒定速率消耗单位时间的Ct=βRxter。）注意，在这种情况下，我们以相同的方式处理<δR和>δR：这两种情况下的问题都是不适定的。因此，我们不区分案例一和案例二。另一方面，如果>1-R+δRthen必然>δq2R1-R、 因此，情况ii不可能发生，我们必须在情况i.q0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1-0.50.5n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR以及mandl.图4.1：。案例1Aa。参数值为=35/2、δ=6和R=2/3。在这种情况下，所有候选解决方案均为NRR≤ q-在p+时达到零。这个问题是不适定的。4.3。情况1AbIIi：R<1，δq2R1-R<<最小值{1-R+δR，δR}。在这种情况下，m（1）>0，但m的转折点在qM∈ （0，1）和m在转折点处取负值。因此，对于这些参数值，零交易成本的问题是不适定的。我们认为，对于小交易成本而言，这个问题仍然不适定。然而，对于大额交易成本，价值函数是有限的。此外，我们可以确定往返交易成本的阈值ξ，该阈值位于两种制度之间的边界。设q±为m的根，如上所述。

对于0<r<q-我们可以定义一系列非负解nrto（2.8）。注释limr↑q-ζ（r）=q+，和limr↑q-nr（q）=0开[q-, q+]。然后（4.1）∧（q-) =Zq+q-dqq（1- q） | m（q）|l（q） 。交易成本17下的最优消费和投资可对该积分进行评估（见附录中的命题13），我们发现∧（q-) = ∧：=- lnq+q-- ln1- q-1.- q++R1- R（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)lnp公司+- q-p+- q+-R1级- R（q+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)lnq公司+- p-q-- p-式中Q±=±r- （δq2R1-R） δR；p±=δ- ±q2δ+（δ- ）δ（1- R） 。然后，对于ξ>e∧- 1具有交易成本的最优消费/投资问题是适定的，但对于ξ≤ e∧- 1问题是不适定的，有一种策略可以从消费中产生预期效用。见图4.2。q0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4-0.20.40.60.81.21.4n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR和mandl.ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.30.40.50.60.70.80.9（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.2：。案例1AbIIi。参数值为=27/2、δ=6和R=2/3。注意，如果ξ太小，则问题是不适定的。在临界ξ处，ξ=e∧- 1我们没有*= 0开（q*, q*).4.4。情况2AII：R>1，0<<δR。在这种情况下，m>l on（0，1）和n正在增加providedq∈ （0，1）和l（q） <n（q）<m（q）。见图4.3。条件0<<δR确保m在qM处有一个转折点∈ （0，1）。使用与引理2中相同的推理，如案例1AbIIii forr∈ （0，qM）我们必须有ζ（r）∈ （qM，1）。与案例1AbIIii一样，我们可以定义ζ（0），而nandwe发现ζ（0）<1。然而，与R<1的情况不同，m（1）的值并不重要；sinceall solutions nr（带r∈ （0，qM））正在增加且介于l 由于m′（1）<0，它们必须在1之前与m相交，并且必须保持正。问题不可能是病态ifR>1。

（当然，这对于效用函数来说很清楚；如果U（c）=c1-R1级-Rhen U在上有界，消费的预期效用也在上有界。交易成本为18Θt时的最佳消费和投资策略≡ 0，这涉及到此后每单位时间消耗财富的恒定部分（因此Ct=βRXt）会在价值函数上产生一个有限的下限。）回想第2节中关于R<1时零交易costMerton问题的值函数的最后备注。现在我们有了n（q*) < n（q*) < M和A*= n（q*)-R> A*= n（q*)-R> m级-RM。请注意，在此情况下，存在术语1-Rin值函数意味着n（或G）的增加会降低值函数。因此，价值函数在零交易成本的价值函数上是有界的。q0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.051.11.151.21.251.3n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR和mandl.ξ0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.30.350.40.450.50.550.6（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.3：。案例2AII。参数值为=1、δ=1和R=2。由于R>1，我们现在发现m>l 超过（0，1）且我们想要满足的解决方案l < n<m.4.5。案例1AbIii：R<1，δR<<δq2R1-R、 在这种情况下，m处处为正，但m′（1）<0，因此m在（0，1）上递减，而对于R<1，ζ（R）>1。见图4.4。由于qM>1，默顿线位于第二象限。对于小额交易成本，非交易楔子位于第二象限，代理人在风险集合中拥有杠杆头寸，即借款为风险资产头寸融资。这种情况下，我们可以在r>1的情况下找到解决方案nr，∑（r）=q。对于大交易成本，我们有0<q*< 1<qM<q*无事务楔体与上半平面中的两个象限相交。

小交易成本和大交易成本之间的阈值ξ不是一个代数函数，而是ξ=e∧（1）- 式中（4.2）∧（1）=Zζ（1）dqq（q- 1） n（q）- m（q）n（q）- l（q） 。在ξ的情况下≥ξ我们发现q*不依赖于ξ。引理3。（i） n（·）定义明确。此外，ζ（1）>qM>1，n′（1）=m′（1）<0。（ii）对于0<r<1，nr（1）=m（1），n′r（1）=m′（1）<0。（iii）对于0<r<1<q<ζ（1），nr（q）=n（q）。特别是，对于0<r<1，ζ（r）=ζ（1）。交易成本下的最优消费和投资证明。见附录。这些结果背后的直觉如下。由于qM>1且m在（0，1）上递减，因此∈ （0，1）在q=1之前，nr不能穿过m。因为我们有nr（q）≤ l（q） 在（0，1）上，我们必须使n通过奇点（1，m（1））。在这一点上，n′（1）=m′（1）。n的解可以在q=1之后构造，但由于n是一阶方程，因此解在任何方面都不依赖于n在1左侧的行为。因此，如果r<1，ζ（r）不依赖于r.引理4。∧（r）在r=1时连续。进一步∧随∧（qM）=0和limr严格递减↓0∧（r）=∞.证据见附录。给定函数∧，我们可以定义∑（r）=e∧（r）- 1，然后∑-1定义明确。We setq公司*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*) 并通过积分NQ推导出无事务楔子中的值函数*超过间隔[q*, q*].以下推论是ξ≥ξ、 q*= q*（ξ） =ζ（1）不依赖于ξ。q0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.40.50.60.70.80.9n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR和mandl.ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.51.52.5（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.4：。案例1AbIii。参数值为=3/2、δ=1和R=2/3。Sincem′（1）<0，对于每个r∈ （0，1）我们有nr（q）通过点（1，m（1））。对于较大的ξ，q*是常量。推论5。

对于ξ>ξ，无事务楔形与第一象限和第二象限相交。如果销售交易成本保持不变，则提供ξ>ξ阈值p*销售发生的时间不取决于购买的交易成本。注意，对于ξ<ξ，阈值p*销售发生的时间取决于购买的交易成本。这是一般的结果：在案例II中，如果问题是适定的，则无交易楔的两个边界的位置取决于两个交易成本的值。交易成本下的最优消费和投资20At First sight推论5可能会令人惊讶。在数学层面上，结果是相关解nr通过奇点（1，m（1））的结果，并且这样做会“瞄准”其起点（r，m（r））。因此q*ξ不依赖于ξ≥ξ。辛塞普*=q*（1）-γ） +γq*我们发现p*不取决于λ*. 对这一结果的财务解释也相当简单。如果“无事务”楔块与上半平面中的两个象限相交，则它包括半条线（x=0，yθ>0）。如果x=0，则代理人首先通过借贷为消费融资，然后在借贷水平过高时，通过出售风险资产为消费融资。但是，一旦现金财富是非正的，代理人将以这样一种方式进行交易，即现金财富在未来任何时刻都不会是正的。因此，一旦x=0，age nt将不再购买风险资产单位，购买的交易成本将变得无关紧要。因此，所有thr eshold doe的位置不取决于ξ。相同的参数表明，第二象限中的值函数不依赖于ξ（对于ξ≥ξ） ，尽管它仍然依赖于FirstQuadrant中的ξ。注意，如果ξ=ξ，则自由边界问题（FBP）没有解。

相反，我们想要的解决方案在q处有一个端点*= 1，其中n′（q*) 6=0，是初值问题（IVP）的解决方案，结果n，q*使得n是[1，q]中（2.8）的非负解*] 有边界条件n（1）=m（1）和n（q*) = m（q*).4.6。情况1AbIi：R<1，最大值{δR，δq2R1-R} <<1-R+δR。该案例结合了案例1AbIIi和案例1AbIIi的新特征。见图4.5。转折点的m值为负值，因此对于非常小的交易成本ξ≤ ξ问题是不适定的。对于中等交易成本，解决方案是无交易楔子位于第二象限。对于较大的交易成本，x轴=0位于无交易楔块内，然后是比率*确定第二象限中无交易楔块的销售边界不取决于ξ。适定性的临界阈值ξ由ξ=e∧给出-这里的1 w∧在第14卷中给出。无事务楔块包括半直线x=0的临界阈值ξ不是由代数表达式给出的，而是由ξ=e∧（1）给出的- 其中∧（1）如（4.2）所示。请注意，对于r>1，在定义两者的域上，nr（q）<n（q），因此∧（q-) <∧（1）。因此ξ<ξ。4.7。情况2AI：R>1，δR<。在这种情况下，m′（1）>0，并且在情况1AbIii中，对于任何0<r<1，我们有ζ（r）>1。见图4.6。由于R＞1，问题不可能是不适定的。对于较小的交易成本（其中较小的是ξ<ξ：=e∧（1））- 1） 我们发现，无交易楔子严格位于第二象限内，代理人总是持有负现金财富。对于ξ≥ξ=e∧（1）- 1无事务区域包含半直线（x=0，yθ>0）和q的值*不依赖于ξ。4.8。案例1Bii：R<1，-δq2R1-R<<0。现在m是一个二次型，在0处增加，在任何地方都是正的。见图4.7。qM<0，因此默顿线位于第四象限。