交易成本下的最优消费与投资

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英文标题：
《Optimal consumption and investment under transaction costs》
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作者：
David Hobson, Alex S.L. Tse, Yeqi Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this article we consider the Merton problem in a market with a single risky asset and transaction costs. We give a complete solution of the problem up to the solution of a free-boundary problem for a first-order differential equation, and find that the form of the solution (whether the problem is well-posed, whether the problem is well-posed only for large transaction costs, whether the no-transaction wedge lies in the first, second or fourth quadrants) depends only on a quadratic whose co-efficients are functions of the parameters of the problem, and then only through the value and slope of this quadratic at zero, one and the turning point.   We find that for some parameter values and for large transaction costs the location of the boundary at which sales of the risky asset occur is independent of the transaction cost on purchases. We give both a mathematical and financial reason for this phenomena.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了具有单一风险资产和交易成本的市场中的默顿问题。我们给出了问题的完整解，直到一阶微分方程的自由边界问题的解，并发现解的形式（问题是否适定，问题是否仅针对大交易成本适定，无交易楔子是否位于第一、第二或第四象限）仅取决于系数为问题参数函数的二次型，然后仅通过该二次型的值和斜率为零，一是转折点。我们发现，对于某些参数值和大交易成本，风险资产出售的边界位置与购买的交易成本无关。我们给出了这种现象的数学和财务原因。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_consumption_and_investment_under_transaction_costs.pdf (767.37 KB)

2022-5-30 22:01:42 上传

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关键词：消费与投资 交易成本 Mathematical Quantitative Differential

交易成本下的最优消费和投资David HOBSON、ALEX TSE和YEQI ZHUAbstract。在本文中，我们考虑了具有单一风险资产和交易成本的市场中的默顿问题。我们给出了问题的完整解，直至一阶微分方程的自由边界问题的解，并发现解决方案的形式（问题是否适定，问题是否仅针对大额交易成本适定，无交易楔子是否位于第一、第二或第四象限）仅取决于系数为问题参数函数的二次方，然后仅通过该二次方的值和斜率为零，一是转折点。我们发现，对于一些参数值和大型交易成本，风险资产出售的边界位置与购买的交易成本无关。我们给出了这种现象的数学和财务原因。1、导言在本文中，我们考虑了在无风险债券和单一风险集合的金融市场中，在有限的期限内最大化消费预期效用的问题。默顿（Merton）[9，10]在一个完美、无摩擦的市场中考虑了这个问题，并表明最佳策略是在风险资产中保持财富的恒定比例。在可能的市场摩擦中，可以说最重要的是交易成本。本文补充了越来越多的关于具有比例交易成本的最优消费/投资问题的文献。在梅顿环境下，市场是完整的。康斯坦丁尼德斯（Constantinides）和马吉尔（Magill）[3]通过引入交易成本，将问题推广到了不完全ca se。

他们认为，在单一风险资产服从指数布朗运动和效用的情况下，问题的规模化应该意味着存在一个无交易楔子，最优策略应该是以最小的方式进行交易，以便将风险资产中的财富份额保持在一个区间内。如果初始投资组合中，风险资产中的财富的初始细分超出该区间，则代理行会进行一项等价交易，将风险资产中的财富部分带到最接近的I边界。此后，代理行仅在该细分在I的基础上进行交易。in（现金，风险资产中的财富）space，间隔I变为事务楔块。日期：2018年10月2日。大卫·霍布森（Alex Tse）：英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。DHobson@warwick.ac.uk；Alex Tse：剑桥金融研究基金会，剑桥大学法官商学院，剑桥，CB2 1AG，英国。STse@jbs.cam.ac.uk；朱叶琪：瑞士信贷，英国伦敦。（本文所表达的观点是作者的观点，而非瑞士信贷。）叶奇。Zhu@credit-瑞士。com。交易成本下的最优消费和投资2 Davis和Norman精确推导了该模型及其伴随的直觉[4]。他们使用随机控制和鞅的语言对电力效用问题进行了严格的描述。对于参数组合的特定子集，他们给出了解决方案的完整描述，同时指定了最优消费和最优投资策略。最优投资策略涉及一个过程，该过程在一个区间的两个边界上都接收到一个本地时间推送，而这些推送正好有助于将该过程保持在该区间内。

DavidSand Norman[4]将问题归结为求解一对一阶常微分方程（ODE），该方程在未知自由边界处满足值匹配条件。Shre-ve和Soner[11]利用粘性解的方法将其分析扩展到一大类r参数组合。[4]和[11]都考虑了值函数和原始问题。最近，有一大批论文考虑了对偶问题和阴影问题。Kallsen和Muhle Karbe【8】是第一个在这种情况下使用影子价格法的人，但只考虑对数算术效用。Herczegh和Prokaj【6】将其结果扩展到了电力公用事业。通过sha-dow-price方法对问题的最完整处理方法是Choi等人的研究[1]。Choi等人对问题进行了全面分析，涵盖了所有参数组合（涉及风险资产升值）。他们将问题归结为一个一阶ODE的自由边界问题的解。这个自由边界问题有多个解，需要的是自由边界问题的解满足积分条件的解。在本文中，我们重新讨论了[4，11，1，6]所考虑的问题。本文与Choi等人[1]的根本区别在于，我们采用原始方法。我们表明，构造值函数的问题可以转化为在n积分条件下找到无扭转边界问题的解，如Choi等人[1]所述。

[1]的优势在于，与Choi等人的解相比，更容易理解我们微分方程解的特征：对于我们的解，可能的行为对应于简单等式的可能形状，而在Choi等人中，有必要考虑行为依赖于一对椭圆和/或双曲线的aphase图。虽然这两个自由边界问题必须是彼此的变换，但我们的解导致了一个更简单的问题。特别是，我们可以将自由边界点直接解释为无交易楔的买卖边界，并且可以证明这些边界的比较静态。在结论中，我们将进一步阐述这一标志，并进一步证明我们的方法的益处。尽管如此，我们的特征颂歌的许多特征都可以在[1]的特征颂歌中找到；特别是r，在这两种情况下，ODE都有一个奇点，对于某些参数组合，虽然不是全部，但我们想要的解都会通过这个奇点。本文的其余部分结构如下。在下一节中，我们将阐述该问题，并讨论如何用一阶ODE的解来表示该解。Hamilton-Jacobi-Bellman方程是二阶的，因此关键步骤是降阶，在降阶过程中，我们将方程的解作为自变量。（Evans等人曾在投资/销售问题中使用过这种订单缩减技术【5】。

Choi等人[1，第3.3节]也进行了类似的翻译，这可能是他们取得比[6]更大进步的原因之一。）在第2节中，我们这样做的情况是，代理人在交易成本3wealth下的负现金最优消费和投资从来都不是最优的（相当于针对持有的风险资产借款从来都不是最优的），因此我们可以使用现金财富作为自主单变量过程的分母，即风险资产中的财富与现金财富的比率。在第3节中，我们展示了如何将参数扩展到一般情况。在定义我们的自主单变量过程时，我们不能再使用现金财富作为分母。相反，我们使用纸面财富（纸面财富是通过假设零交易成本的清算是可能的来定义的）作为分母，并将风险资产中的财富与纸面财富的比率视为关键变量。乍一看，这似乎使降阶变得不可能，但受第2节结果的启发，我们将如何将问题降为该节中的固有自由边界问题。在第4节中，我们展示了自由边界问题的解如何依赖于一个简单的二次型，其系数取决于问题的参数。有几种情况仅取决于该四次曲线在0和1处的值和斜率，以及二次曲线在转折点处的值。我们不能给出确定问题何时适定的确切条件。

这一主要结果在第5节中进行了陈述和证明，并反映了Choi等人[1]的主要结果，但我们的公式是一种改进，因为我们涵盖了一个额外的情况，并给出了Choi等人只能表示为积分的量的代数表达式。在第6节中，我们考虑了无交易楔子的边界如何依赖于参数。这种类型的分析似乎是新的，而且在以前的方法下很难进行。更重要的是，我们证明了如果漂移很小，则无交易楔子包括默顿线，并且无交易楔子随着交易成本的增加而变大。然而，如果漂移进一步增加，那么我们可能会失去无交易楔子的单调性，以及默顿线（对应于零交易成本）位于无交易区域的属性。值得注意的是，尽管销售和购买边界的位置通常取决于销售和购买的交易成本，但在某些情况下，销售边界独立于购买的交易成本。第7节结束。在回指中给出了一些结果，包括关于常微分方程解的结果。2、问题说明和激励性特殊案例Y=（Yt）t≥0表示风险资产的价格，假设Y是漂移u和波动率σ的指数布朗运动；那么Yt=YeσBt+（u-σ/2）t其中B=（Bt）t≥0是布朗运动。设C=（Ct）t≥0表示个人的消费率，并让Θt表示投资者持有的风险资产的单位数。

我们假设C是非负的，并且可以逐步测量，而Θ是有限变化的；尤其是Θt=Θ+Φt- ψt其中Φ和ψ是Φ0的递增、自适应、cádlág过程-= ψ0-= 0分别代表r isky资产的购买和销售。假设我们出售的现金是正确连续的，并且按照（2.1）dXt=-Ctdt- Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） dψt.此处λ∈ [0，∞) 表示购买时支付的交易成本和γ∈ [0，1）表示销售时支付的交易成本。我们假设λ+γ>0，否则我们就没有交易成本。交易成本下的最优消费和投资4我们说财富组合（Xt，Θt）在t ifXt+（1）时是有偿付能力的- γ） Θ+tYt- （1+λ）Θ-tYt>0，或者如果风险头寸的即时清算产生非负的现金财富，则等于。消费/投资策略（C，Θ）从产生的财富组合过程（Xt，Θt）t开始就是有偿付能力的≥各t的溶剂≥ t、 将A=A（x，y，θ，t）写入一组策略，这些策略从时间t开始为溶剂，当（Xt-= x、 Yt=y，Θt-= θ） 。代理人的目标是在有限的期限内最大化消费的贴现预期效用，其中贴现因子为β，并且假定代理人的效用函数具有恒定的相对风险规避系数和风险规避系数∈ （0，∞) \\ 1、最大化发生在从时间零点起就具有偿付能力的一组消费/投资策略上。特别是，目标是找到（2.2）sup（C，Θ）∈A（x，y，θ，0）E“Z∞e-βtC1-Rt1- Rdt#。由于机构具有马尔可夫结构，我们期望价值函数、最优消费和最优投资组合策略是代理人当前财富组合和风险资产价格的函数。

设V=V（x，y，θ，t）为问题的正向起始值函数，以便（2.3）V（x，y，θ，t）=sup（C，Θ）∈A（x，y，θ，t）EZ∞te公司-βsC1-Rs1- RdsXt公司-= x、 Yt=y，Θt-= θ.目标是求解值函数V=V（x，y，θ，t）。请注意，重要的是风险资产持有量的价值yθ，而不是单独的价格水平和质量，在大多数情况下，y和θ是yθ的乘积。从问题的尺度来看，我们可以写出（2.4）V（x，y，θ，t）=e-βtx1-R1级- Rg公司yθx,其中，关键变量是r isky资产中持有的财富与现金财富的比率z=yθ/x。Constantinides和Magill的直觉论证【3】以及Davis和Norman的具体结果【4】使我们预计，无交易区域将是一个楔子。在本节中，我们假设该楔块包含在（x，yθ）空间的第一象限中。定义=（Zt）t≥0by Zt=ΘtYt/Xt。我们希望代理交易将Z保持在区间[Z]内*, z*]其中常数对{z*, z*} 有待确定。然后对于初始值yθ>z*x最佳销售策略包括立即销售，使风险财富与现金财富的比率低于z*. 因此，如果初始投资组合（X0-= x、 Θ0-= θ） yθ>xz*然后我们出售ψ单位的风险资产，其中ψ=yθ-z*xy（1+（1-γ） z*)所以yΘ0+X0+≡yΘX=y（θ- ψ） x+（1- γ） yψ=z*.交易成本下的最优消费与投资5xyθx+（1+λ）yθ=0购买边界销售边界无交易Wedgex+（1- γ） yθ=0②图2.1：。偿付能力和无交易区域。偿付能力区域的边界由直线x+（1+λ）yθ=0（对于x>0且yθ<0）和x+（1- γ） yθ=0（对于x<0且yθ>0）。无交易楔子受买卖界限的限制。

在这些边界上和边界外，进行事务处理以将进程（Xt，YtΘt）保持在楔形内。箭头表示事务对无事务楔形边界的影响。t=0时的初始事务不应更改值函数，因此对于yθ>xz*,x1-Rg公司yθx= （x+（1- γ） yψ）1-Rg（z*) =（x+（1- γ） yθ）1-R（1+（1- γ） z*)1.-Rg（z*),或等效g（z）=（Rβ）RA*（1+（1- γ） z）1-Rfor z>z*其中常数A*由A给出*= （βR）Rg（z*)（1+（1-γ） z*)1.-R、 如果初始财富是yθ<z*那么最优策略包括立即购买风险资产。我们购买Y的φ单位，其中φ=z*x个-yθy（1+（1+λ）z*)所以yΘ0+X0+≡yΘX=y（θ+φ）X- （1+λ）yφ=z*.然后g（z）=（Rβ）RA*（1+（1+λ）z）1-Rfor z≤ z*, wher e A*= （βR）Rg（z*)（1+（1+λ）z*)1.-R、 设M=（Mt）t≥0be由MT=中兴通讯给出-βsC1-Rs1- Rds+V（Xt、Yt、Θt、t）。然后我们证明了在最优策略下，c t M一般是一个上鞅和一个鞅。将其应用于公式，并在Ctand上进行优化，得到Hamilton-Jacobi-Bellman方程，这是一个（二阶，半线性）微分方程，适用于非交易条件下的g，交易成本下的最优消费和投资6区域：z*< z<z*（2.5）0=R1- Rg（z）-zg′（z）1- R1.-1/R- βg（z）1- R+uzg′（z）1- R+σzg′（z）1- R、 最后，我们预计在自由边界处会有值匹配和二阶平滑拟合。在分析问题时，我们的第一个目标是解决（2.5）。通过设置z=Eu和h（u）=h（ln z）=（βR）Rg（z），可以简化方程。（如果z<0，那么我们可以基于z=-e-u、 ）然后h解（二阶非线性）自治方程（无依赖）：（2.6）0=h类-h′1- R1.-1/R- h类+-δh′+δh′。式中，=u/β，δ=σ/β。通过设置Dhdu=w（h）sothatdhdu=h′=w′（h）w（h），可以减少该等式的阶数。