交易成本下的最优消费与投资

相反我们的主要贡献是证明不同的制度（确定所有交易成本的问题何时适定，仅大型交易成本的问题何时适定，以及问题何时适定；以及确定无交易区域是否位于第一、第二、第四或第二象限）取决于二次m=m的形状（q） ，其在0和1处的值和一阶导数，以及在转折点处的值。Choi et a l[1]还将问题简化为求解一阶ODE，受fr e边界上的光滑条件和积分条件的约束。但在他们的例子中，自由边界上的点位于椭圆上（而不是四边形），相图要复杂得多。继Davis和Norman【4】和Shreve a and Soner【11】之后，我们的方法是通过primalproblem，而不是[8，1，6]的影子价格方法。因此，我们的方法不同于[8、1、6]。在一个层面上，我们的结果是对Choi etal[1]结果的重新参数化，尽管推导过程完全不同。尽管如此，这种重新参数化在分析中带来了显著的简化。首先，如上所述，我们可以将不同的案例与一名志愿者的不同可能行为联系起来。其次，在问题是不适定且交易成本为零的情况下，我们可以给出问题不适定时交易成本值的代数表达式。（Cho i et al只能将其作为涉及二次方根的积分给出，s e Choi et al[1，引理6.11]。）第三，从我们的方法来看，决定我们想要的频率边界候选解族的积分方程具有单调性。

特别是，∑严格递减并有一个倒数的直接同调方法：Choi等人[1，备注6.15]为其等价函数给出了相应的单音参数。第四，我们可以直接解释在无交易楔子的基础上，交易成本30条件下，非最优消费和投资的First order ODE解的自由边界点。这使我们能够将通过奇异点的节点的解识别为对应于包含半直线（x=0，yθ>0）的非交易楔的解。这导致了【1】中没有的进一步见解。Choi等人给出了一个结果，该结果等价于所有在q=1处通过单点的n′=O（q，n）的解在奇点右侧是相同的，并得出结论，影子价格和价值函数与交易成本的价值无关（前提是交易成本的水平高于某个临界值）。然而，他们没有对这一结果进行财务解释。相反，我们可以给出解释。我们观察到，值函数基于一个函数n，当且仅当半直线（x=0，yθ>0）位于无事务楔内时，该函数n在q=1处通过奇点。如果这条线在非交易楔子内，那么在最佳行为下，因为现金财富只会在销售边界上增加，一旦我们的现金等于零，此后的任何时候都是负值。因此，由于非交易区域的购买边界位于第一象限，因此未来不会发生对天空资产的购买。

它允许在区域p>1中，价值函数（以及无交易区域的销售边界的位置）不能决定购买的交易成本水平。附录A.证明A。引理2的证明。我们的目标是证明包含在下列结果的并集中的引理2。首先，我们显示之前公布的结果，对于每个r∈ （0，1），如果R<1，则位于连接（0，1）到（1，m（1））的直线下方，如果R>1，则位于该直线上方。引理9。假设>0，m（1）>0。设c（q）=1+（1- R）δR- q、 然后对于0<r<q<ζ（r）∧ 1，（1- R） nr（q）≤ （1）- R） c（q）。证据如果R>1，则m（q）>n（q）>l（q） >c（q）开（0，1）。现在假设R<1。请注意-1<m（1）- 1和-m（1）<0，因此s ince c是一条直线，我们有不等式-c（q）<（1- q） （m（1）- 1） 打开（0，1）。那么我们有o（q，c（q））=-1.- RRc（q）（1- q） c（q）- m（q）l（q）- c（q）=-1.- RRc（q）1- qδR（1- R） q（1- q） δ（1- R） q（1- q） =-c（q）（1）- q） <米（1）-m（0）=c′（q）。因此，（2.8）的解n只能从上到下穿过c。因此nr（q）≤ c（q）。引理10。假设R<1，m′（0）<0，mM>0，m（1）>0和m′（1）>0。然后对于0≤ r<qM，qM<ζ（r）<1。证据首先注意，我们有0=n′（ζ（r））<m′（ζ（r）），因此ζ（r）>qM。如果l′（1）≥ 然后为0l 在（0，1）和m（1）>m（0）上增加。那么，对于r<1，由于nr递减，我们必须使ζ（r）<1。那么，假设l′（1） <0。假设一个矛盾，ζ（r）≥ 1、然后nr在（r，1）和nr（q）上减小∈ （m（1），l（q） ）。当O（q，n（q））<-1.-RRm（1）1-qm（1）-m（q）l（q）-l（1） 和作为q↑ 1，limq（1-q） O（q，n（q））<1-RRm（1）m′（1）l′（1） <0。因此n′r（1）=-∞ 矛盾n（q）<l（q） for q接近1。交易成本31mm＜0但m（1）＞0（且R＜1，m′（0）＜0，m′（1）＞0）且q-是m在（0，qM）中的根，那么相同的证明给出了0<r<q-, ζ（r）<1。引理11。假设qM/∈ {0，1}。

然后ζ（qM）=qM。证据我们有n′（q）=Onn′（q）+Oq、 那么，at（q，n（q）=m（q）），n′（q）=Oq（q，m（q））=1-RRm（q）（1-q） m′（q）l（q）-m（q）。如果R<1，qM6=1，则nqM（qM）=m（qM）=mM，n′qM（qM）=m′（qM）=0，n′qM（qM）=0<m′（qM）。因此，nqM（q）位于qM右侧m（q）以下，且ζ（qM）=qM。引理12。∧（qM）=0，limr↓0∧（r）=∞ 且∧是连续的且严格递减的。证据∧的严格单调性来自（2.18），并且解nr在r中是单调的。此外，∧（qM）=0是ζ（qM）=qM这一事实的直接结果。仍需说明∧（0+）=∞. 我们在R<1且>0的情况下证明了这一点，但在其他情况下，结果类似。设χ为H（x）=0的负根，其中H（x）=Rx- （1）- R）δR- R+1x个- （1- R） 很容易看出H(-（1- R） ）>0>小时（（1- R） （δ- 因此m′（0）=-（1- R） <χ<(l′（0））+=（1- R） （δ- ）∧ 事实上，如果nis在零处可微，那么根据l\'H^opital规则，n′（0）solvesn′（0）=（1- R） Rm′（0）- n′（0）l′（0）- n′（0），因此χ可以解释n′（0）的候选值。用m′（0）<ρ<χ<0固定ρ。然后H（ρ）>0。设b（q）=1+ρq。ThenO（q，b（q））- ρ=-（1）- R） R（1+ρq）（1- q） [（1+ρq）- m（q）][l（q）- （1+ρq）]- ρ=-（1）- R） R（1+ρq）（1- q） [ρ+（1- R）-δR（1- R） q][（δ- ）（1- R）- ρ-δ（1- R） q]- ρ=R（1- q） [（δ- ）（1- R）- ρ-δ（1- R） q][H（ρ）- B（ρ）q]其中，B=B（ρ）是常数tb=（1- R） ρ（ρ+（1- R） （）-δR（1- R）- Rρδ- （1）- R）- ρ- ρδR（1- R） 。由于H（ρ）>0，存在Q（1）>0，因此对于0<Q<Q（1），我们有（Q，b（Q））>ρ>m′（0）。对于r<Q（1），设ψ（r）=inf{Q:nr（Q）≥ b（q）}。如果NR在Q（1）之前穿过b，则它从下方穿过并保持在b上方，直到Q（1）。

同样，对于r<q<q（1）∧ ψ（r）通过O的第二个参数的单调性，我们得到了n′r（q）=O（q，nr（q））>O（q，b（q））>ρ。交易成本下的最优消费和投资32由于ρ>m′（0），存在q（2）>0，因此对于0<q<q（2）（q），我们有m′（0）<m′（q）<m′（0）+ρ。然后对于r<q<q（1）∧ Q（2）∧ ψ（r），n′r（q）- m′（q）>ρ-m′（0）+ρ=ρ- m′（0）=：ρ，对于r≤ q≤ Q（1）∧ Q（2）∧ ψ（r），nr（q）- m（q）≥ ^ρ（q- r） 。此外，对于ψ（r）<q<q（1）∧ Q（2）我们有m（Q）<1+（m′（0）+ρ）Q和nr（Q）- m（q）>1+ρq- 1.-m′（0）+ρq=ρq>ρ（q- r） 。回想一下q∈ （r，ζ（r）∧ 1） ，则，l（q）- nr（q）<l（q）- m（q）=δ（1- R） q（1- q） 。然后，对于0<r<q<q，其中▄q：=q（1）∧ Q（2）∧ qMwe有Γ（r）>Zqrdqq（1- q） ^ρ（q- r） q（1- q） δ（1- R） >2^ρδ（1- R） Z▄qrdq（q- r） q.ButRqrdq（q-r） q=ln（▄q/r）+r▄q- 1作为r发散↓ 0A、 2。交易成本的阈值，低于该阈值问题是不适定的。提案13。设Q和P为二次型Q（Q）=（Q+-q） （q）-q-) P（q）=（P+-q） （q）-p-).假设p-< 0<q-< q+<1<p+或p-< 0<1<p+<q-< q+或q-< q+<p-<0<p+。然后ZQ+q-dqq（1- q） q（q）P（q）=q+q-p+p-lnq+q--（1）- q+（1- q-)（p+- 1） （1）- p-)ln1- q-1.- q++（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)lnp公司+- q-p+- q+-（q）+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)lnq公司+- p-q-- p-.证据我们有（q+- q） （q）- q-)q（1- q） （p+- q） （q）- p-)=q+q-p+p-q-（1）- q+（1- q-)（p+- 1） （1）- p-)1.- q+（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)p+- q-（q）+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)q- p-.积分后得到结果。注意，在命题n的陈述中给出的q±和p±之间的关系下，[q]中没有p的根-, q+]和四个对数中的每一个都是正变元。交易成本下的最优消费和投资33推论14。假设||>δq2R1-R

那么∧=Zq+q-dqq（1- q） | m（q）|l（q） =- lnq+q-- ln1- q-1.- q++R1- R（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)lnp公司+- q-p+- q+-R1级- R（q+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)lnq公司+- p-q-- p-式中，q±是m的根，p±=是l:q±=±r- （δq2R1-R） δRp±=δ- ±q2δ+（δ- ）δ（1- R） 证明。我们有m（q）=-δR（1- R） （q）- q-)（q）+- q） 以及l（q） =δ（1- R） （q）- p-)（p+- q） andnote m（0）=1=l（0）和l（1） =m（1）。然后用命题13中的Q（Q）和P（Q），（A.1）Zq+Q-dqq（1- q） | m（q）|l（q） =R1- RZq+q-dqq（1- q） q（q）P（q）使用q+q得出结果-=δR（1-R） 和p+p-=-δ（1-R） 所以tq+q-p+p-= -1.-RRand（1- q+（1- q-) =2m（1）δR（1-R） 和（p+- 1） （1）- p-) =2.l（1） δ（1-R） 因此（1-q+（1-q-)（p+-1） （1）-p-)=1.-RR。附录B.nOur目标的奇点是理解通过奇点（1，m（1））的解的性质，并证明引理3和Lemma 4。我们假设δR<，并且如果R<1，则-R+δR.然后（1- R） m′（1）<0和m（1）>0。我们对n通过奇点（1，m（1））时的行为感兴趣。设η（x）=n（1+x）-m（1+x）δ（1-R） 。那么奇点现在在原点。我们有η′（x）=δRn（1+x）-x个-δ（1- R） （1+x）（m（1+x）-δ（1- R） x（1+x）- n（1+x））-2m′（1+x）δ（1- R） =-a（x，η）xη+b（x）（b.1），其中（x，η）=δRm（1）+（1- R） （δR- ）x+δR（1- R） x+δ（1- R） η1+x+ηxb（x）=-δ（1- R） m′（1+x）=δ- δR- δRx我们有m（1）>0和m′（1）<0，其中limx↓0a（x，0）=δRm（1）>0和b（0）>0。请注意，对于非常小的x，我们有a为正，在第二个参数中递减，B为正。我们的重点是证明关于x=0的一个邻域中解的存在性和唯一性的结果。交易成本34下的最优消费和投资出于直觉，遵循Choi等人[1，引理6.8]考虑初始值ODE（B.2）f′=-Afx+B，f（0）=0；其中A和B为正常数。

我们分别在x中寻找解f=f（x）≥ 0和X≤ 0、我们发现x有多种解决方案≤ 0，但是x的唯一解决方案≥ 0.固定y>0，并用D（x）=RyxAzdz=A定义D（x）=Dy（x）x个-y. 然后D（0+）=∞. Alsoddx（e-D（x）f（x））=Be-D（x），因此f（x）=eD（x）（f（y）-RyxBe公司-D（z）dz）。条件f（0）=0力f（y）=RyBe-D（z）dz和thenf（x）=ZxB exp-ZxzAydy公司dz。因此，解决方案f对于x是唯一的≥ 现在我们在x中寻找解决方案≤ 0。固定y<0，并设置D（x）=Dy（x）=RxyAzdz。Thenf（x）=e-D（x）（f（y）-RxyBeD（z）dz）=e-D（x）f（y）-RxyBe公司-（D（x）-D（z））dz。f（y）的每个值都会导致一个解f，对于该解f（0）=0，我们还可以分析（b.2）的解在x=0附近的行为。我们有f（x）=BRxe-A【y】-x] dy.Thenf（x）≤ BeAxZxe-Ayxydy=BAxeAxZxe-AyAydy=BAx。对流，通过partsf（x）=BAeAxZxAye进行积分-Ayydy=BAeAxhye公司-Ayix公司- 2Zxye-艾迪=BAx公司-2BAeAxZxyAAye公司-艾迪≥BAx公司-2BAxeAxZxAye公司-Aydy=BAx-2轴承专用，（B.3）limx→0x个-2f（x）=BA。我们注意到，如果A=A（x）和B=B（x）在x=0时是连续且正的，那么上述参数的一个较小的扩展给出了（B.2）满足极限的解→0x个-2f（x）=B（0）A（0）。现在我们转向pr问题（B.4）η′=-a（x，η）ηx+b（x）η（0）=0。我们已经看到，家族的每个成员{ηr}r∈（0,1），ηrgiven乘以ηr（x）=nr（1+x）- m（1+x）δ（1- R）- （1）- r）≤ x个≤ 0 x的解算（B.4）≤ 所以我们的重点是案例x≥ 我们对（B.2）的考虑使我们期望有一个独特的解决方案。提案15。x中存在（B.4）的唯一解≥ 0.交易成本下的最优消费和投资35Proof。远离x=0标准理论（参见Walter[12，第二章，第7节]）给出了通过任意点（x，ξ）的解的存在性和唯一性。因此，我们的重点是原点附近的解决方案。对于足够小的x，a（x，ξ）是正的，且在ξ中递减。

我们研究了区间J=[0，x]，使得a（x，ξ）是正的，且在J=（0，x）上ξ是递减的，并且b是正的且有界的∈ Jwe有边界Cx≤ a（x，ξ）≤ a（x，0）=：a（x）和b（0）/2≤ b（x）≤ 2b（0）。此处C=1-rr其中，我们暂时假设R<1。定义L（x，g，h）=b（x）-a（x，g）xh。我们使用定义在J=[0，x]上的函数。设置f（x）=0，让fbe为f′=L（x，f，f）的解，f（0）=0。Thenf（x）=Zxb（y）exp-ZxyA（z）zdzdy.现在构造一系列可微分函数（fn）n≥0在j上，其中fn+1解f=L（x，fn，f），服从f（0）=0。然后fn+1（x）=Zxb（y）exp-Zxya（z，fn（z））zdzdy.我们认为，这一族解在n中不断增加。显然，f>0=fon J。假设是归纳的，而不是fn>fn-1on J.那么，由于a在其第二个ar-gument a（z，fn（z））<a（z，fn）中减少-1（z））和x∈ JZxb（y）exp公司-Zxya（z，fn（z））zdzdy>Zxb（y）exp-Zxya（z，fn-1（z））zdzdy.根据需要，fn+1（x）>fn（x）。现在我们寻找一个上限。自a（x，f）≥ Cx>0，（B.5）fn（x）≤Zxb（y）e-RxyCzdz=Zxb（y）yCxCdy≤ 2b（0）xC+1和z<x-2b（0）zh1- e-RxzCudui≤ fn（x）- fn（z）≤ 2b（0）（x）- z） 。因此，由f（x）=limnfn（x）给出的函数f在J上存在，并且与f（0）=0连续。它仍然表明f解（B.4）。我们有f（x）=limnfn（x）=limnZxb（y）exp-Zxya（z，fn（z））zdzdy=Zxb（y）exp-Zxya（z，f（z））zdzdyby单调收敛。由于该表达式的右侧是连续可微分的，因此我们得到f是连续可微分的，并且f′=L（x，f，f），如需要。我们使用R<1的唯一例子是，a（x，η）有一个正下界。

如果R>1，那么我们可以构造一个解，而不是在条带J×R中，而是直到它首先离开约K的角[0，x]×[0，K]，其中K的选择使得a（x，K）>xKon J。不等式a（x，f）>xKon J×[0，K]给出了一个类似于jb.5的上界，可以再次用于证明极限f的存在。设置x=min{x，K+12b（0）}和J=[0，x]我们有fn（x）≤ 然后根据需要将注意力限制在Jwe f′=L（x，f，f）。交易成本36下的最优消费和投资现在我们考虑了唯一的s。设f和g为解，对于某些x，J=[0，x]是非负的≤ x、 我们在J=（0，x）上有a（x，f（x））>0和a（x，g（x））>0。如果f（z）=g（z）在Jthen的某个z上，因为a（x，f）fx是f中的Lipschitz，远离x=0，我们在Jand上有f=g，因此在J上有f（z）>g（z）。我们想证明这导致了矛盾。由于ξa（z，ξ）在ξ中增加（对于足够小的ξ），如果f>g，我们有0<a（z，g）g<a（z，f）f。设h=f- g；然后h解算\'-a（x，f）fx+a（x，g）gx<0和0<h（x）<h（0）=0，这是所需的矛盾。我们可以用与（B.3）相同的精神对（B.4）的溶液η进行共形分析。Takef=0，则η（x）≥ f（x）≥Rxb（y）e-RxyA（z）zdz。（B.3）thatlimx之后的命令允许↓0x个-2f（x）=b（0）A（0），其中A（0）=limx↓0a（x，0）。因此limx↓0x个-2η（x）≥b（0）A（0）。相反，使用h（x）=2b（0）C+1x，我们可以得出η（x）≤ h（x），其中h表示h′=L（x，h，h）。可以看出h（x）≤ κx表示某个常数κ。重复该参数，如果hsolves h′=L（x，h，h）受制于h（0）=0，则η≤ 手部边缘↓0x个-2h（x）=b（0）A（0）。因此limx↓0x个-2η（x）=b（0）A（0）。作为abyproduct，我们得出结论，η′在0处定义良好，η′（0）=0。引理3的证明。（i） 引理的这一部分来自命题15，以及上面的论点η′（0）=0。。（ii）假设R<1。

c ase R>1类似，但有时涉及反向不等式。自m（q）起≤ nr（q）≤ l（q） 对于r<q<1和m（1）=l（1） 因此，对于r<1，我们有nr（1）=m（1）和ζ（r）>1。我们有m′（1）<0。假设n′r（1-) = m′（1）。那么要么存在SQ∈ （0，1），θ∈ (l′（1） ，m′（1）），使得n（q）>m（1）-（1）-q） θ或存在qk↑ 1，θ∈ (l′（1） ，m′（1）），使得n（qk）=m（1）- （1）- qk）θ。在前一种情况下（1- q） O（q，n（1- q） ）<-（1）- R） Rm（1）θδ（1- R） 因此n′（1-) = -∞ 矛盾n<l 打开（0，1）。在后一种情况下，aseO（qk，n（qk））=-（1）- R） Rm（1）- （1）- qk）θqkθδ（1- R） （1）- qk）<θ，以获得足够大的k。因此，如果足够接近1，n只能穿过m（1）+（1）线- q） θ从上到下，与序列qk的存在相矛盾↑ 1.（iii）这源于奇点右侧解的唯一性。引理4的证明。根据引理2中转移到这个上下文的结果，我们需要说明的是∧在r=1时是连续的。如果I和I确定为小的正X和r<1，则会出现这种情况- x其中i（x）=Z（1+x）∧ζ（1）dqq（q- 1） n（q）- m（q）n（q）- l（q） I（x）=Z1-xdqq（1- q） nr（q）- m（q）l（q）- 交易成本为37N（q）时的nr（q）最优消费与投资- m（q）~ （q）- 1） ，而n（q）- l（q）~ （q）- 1） ，其中我们写f（x）~ xαiflimx↓0x个-对于C，αf（x）=C∈ R \\{0}。因此有了定义。1的左边也有类似的扩展，我们得出结论。参考文献[1]J.H.Choi，M.Sirbu，G.Zitkovic（2013）《影子价格与具有交易成本的最优投资和消费问题的适定性》。《SIAM J.控制与优化》51（6）pp.44194449。[2] G.M.Constantinides（1986），《具有交易成本的资本市场均衡》，《政治经济学杂志》，94（4），第842-862页。[3] G.M.Constantinides，M.J.P。