一个市场需要多少做市商？

根据订单簿的当前状态和其他交易员的预期行为，可能会有更明智的选择。然而，我们将看到，做市商的存在本身对订单的形状有着巨大的影响。考虑到这一点后，他们目前的战略可能不会太不切实际。从纯数学的角度来看，Stigler-Luckock模型类似于由其他应用程序驱动的许多其他模型。我们特别提到BakSneppen模型【BS93】及其Meester和Sarkar的修改【MS12】，峡谷形成模型【Swa17】，以及Barab\'asi【Bar05】和Gabrielli及Caldarelli【CG09】的电子邮件通信排队模型。所有这些模型都是“基于等级”的，因为动力学是基于粒子的相对顺序，所有模型都包含一些“杀死最低（或最高）粒子”的规则。对于[CG09]的模型，[FS16]研究了临界点附近的平稳过程的形状，并且这些作者推测他们的结果也适用于Stigler-Luckock模型。如果在Stigler-Luckock模型的动力学中，有一种模型将限制订单的有限生命周期替换为指数生命周期，那么该模型对于任何参数值都是正循环的，并且竞争窗口（见第2.1节）变得不明确。然而，只要取消率与订单到达率相比很小，这样一个模型的准平稳行为就可以很好地近似于没有取消的模型，并且竞争窗口可以在有限的意义上理解。0 0.2 0.4 0.6 0.8图1：“均匀”Stigler-Luckock模型的模拟，i=[0，1]，λ-（x） =1- x、 λ+（x）=x。

显示的是10000名交易员到达后订单簿的状态（从空订单簿开始）。2没有做市商的模型行为2.1竞争窗口考虑λ±（I）的Stigler-Luckock模型) = 0且无做市商（即ρ=0）。假设（A1）–（A4）意味着存在唯一的价格xW∈ I和常数VW>0，使得λ-（xW）=λ+（xW）=：VW。（2.1）追溯到Walras的经典经济理论[Wal74]指出，在完全流动的市场均衡中，具有需求和供给函数λ±的商品以价格交易，而交易量由大众给出。我们称之为沃尔拉斯价格和沃尔拉斯贸易量。在没有做市商的情况下，Stigler-Luckock将投票率建模为高度非流动性，这或许并不奇怪。事实上，买家愿意支付高于沃尔拉斯价格的价格，而卖家愿意以低于沃尔拉斯价格的价格进行销售，他们可能需要等待相当长的时间才能获得交易，因为出价和要价不会在沃尔拉斯价格结算，而是在竞争窗口中不断变化（x-, x+，满足λ-（十）-) = λ+（x+）。因此，Luckock的贸易量VL：=λ-（十）-) = λ+（x+）大于瓦拉斯的VW贸易量，事实上大于任何固定价格水平下的交易量。图1显示了均匀模型的数值模拟结果，i=[0，1]，λ-（x） =1-x、 λ+（x）=x。描述的是订单簿的状态，从空初始状态开始，在10000名交易员到达之后。这和更精确的模拟表明，竞争窗口的边界由x给出-≈ 0.218和x+≈ 0.782。从长远来看，以低于x的价格购买限价订单-以高于x+的价格卖出限价订单将永远留在订单簿中，而所有其他订单最终将匹配。

因此，Luckcock的交易量≈ 0.782比瓦拉斯贸易量VW=0.5高得多。Luckock【Luc03】描述了一种计算x的方法-, x+，和VL。特别是，对于均匀模型，他的方法预测VL=1/z，方程e的唯一解为z-z- z+1=0。为了解释Luckock的VL公式，我们需要查看受限模型。2.2受限制的modelsLet（Xt）t≥0be由供需函数λ±：I定义的Stigler-Luckock模型→ 做市商兰德比率ρ≥ 0、Let（J-, J+=J I是I的开子区间，设λ′±：J→ R是函数λ±对J.Let（X′t）t的限制≥0是由供需函数λ′±和做市商比率ρ定义的Stigler-Luckock模型。我们称之为（X′t）t≥0 J上的受限模型。其动力学与原始模型（Xt）的动力学相同≥0，但到达J以外的限制订单不能写入订单簿。相反，到达[J+，I+]价格的bu y限价订单转换为买方市场订单，而到达（I+）价格的买方限价订单-, J-] 没有影响。类似的规则也适用于销售限价订单。注：只要买卖价格M±tstay在J内，J内两个模型的演化是相同的，即将测度Xtto J限制为X′t。特别考虑一个具有λ±（i）的Stigler-Luckock模型) = 0和OUT市场庄家（即ρ=0）。Letλ-1.-: [0，λ-（一）-)] →I和λ-1+：[0，λ+（I+）]→I表示函数λ的左连续逆-和λ+，即λ-1.-（V）：=sup{x∈I：λ-（十）≥ V}和λ-1+（V）：=inf{x∈I：λ+（x）≥ V}。（2.2）设Vmax：=λ-（一）-) ∧ λ+（I+）表示可能的最大贸易量。

为了避免琐事，让我们假设（A5）VW<Vmax。根据需求和供应函数的连续性∈ （VW，Vmax），设置j（V）：=（λ-1.-（V），λ-1+（V））定义子区间J（V） I使得λ-（J）-（V））=V=λ+（J+（V））。为了便于以后使用，我们定义了一个连续、严格递增的函数Φ：[VL，Vmax]→Φ（0）=0乘以Φ（V）：=zvwnλ+λ-1.-（W）+λ-λ-1+（W）oWdW。（2.3）根据定义，Stigler-Luckock模型是正循环的，如果从空订单开始，它会在有限的预期时间内返回到空状态。以下事实已在【Swa18】中得到证实。命题1（Luckock的贸易量）假设（A1）–（A5），λ±（I) = 0，ρ=0。然后，对于每个V∈ （VW，Vmax），J（V）上的受限Stigler-Luckock模型是正流的当且仅当Φ（V）<1/VW。证明这一点的依据是命题2、定理3和[Swa18]中的公式（1.22）。命题1建议Luckcock的交易量应该由VL=sup给出五、∈ [VW，Vmax）：Φ（V）<1/VW, （2.4）竞争窗口由（x）给出-, x+=J（VL）=λ-1.-（VL），λ-1+（VL）. 这些公式与数值模拟非常吻合，也与【Luc03】中描述的计算VL的方法（稍微复杂一些）一致。对于统一模型，可以检查上一小节末尾描述的Vl常数。在λ±（包括统一模型）的某些附加技术假设下，【KY18，Thms 2.1和2.2】证明，投标和询价的下限和上限是竞争窗口边界给出的a.s.，正如我们刚刚计算的那样。我们注意到，VL>VWalways b，但有可能VL=Vmax。在后一种情况下，竞争窗口是整个区间I。例如，I=[0，1]，λ的模型会出现这种情况-（x） =（1）- x） α，如果0<α，λ+（x）=xα≤ 1/2。

在下一小节中，我们将看到，如果VL<Vmax，并且假设竞争窗口上的限制模型具有不变定律，则买卖价格的均衡分布由某个微分方程的唯一解给出。2.3平稳模型根据定义，Stigler-Luckock模型的不变定律是Sords上的概率定律，因此在该初始定律中开始的过程是平稳的。我们让菲诺：=十、∈ 排序：X-和X+是有限的度量（2.5）表示订单簿仅包含整数个订单的所有状态的Sordconsisting子空间。如果Stigler-Luckock模型是正递归的，那么它有一个唯一不变的定律，而且集中在S finord上（参见[Swa18，Thm 3]）。特别是，这适用于任何V<VL的J（V）上的受限模型。如果VL<Vmax，则认为竞争窗口J（VL）上的受限模型也有一个非唯一不变定律，但该不变定律并不集中于S fi nord。相反，在均衡状态下，competitivewindow包含a.s.每种类型的限制订单数量。在[FS16]中，对X的渐近性进行了精确的猜测-J附近-（VL）和X+接近平衡的J+（VL）。在严格的水平上，即使是证明受限模型J（VL）的不变定律的存在性，到目前为止也是一个悬而未决的问题。然而，假设存在这样一个不变量定律，Luckock能够计算出投标和as价格的均衡分布。我们引用[Swa18，Thm 1]的以下结果。本质上，这可以追溯到[Luc03，公式（20）和（21）]，尽管他只考虑了λ±（I）的情况) = 定理2（Luckock微分方程）假设需求和供给函数满足（A1）–（A4）且ρ=0的Stigler-Luckock模型具有不变定律。

Let（Xt）t≥0表示在该不变定律中开始的过程，并让M±t=M±（Xt）表示时间t的买卖价格≥ 定义函数f±：I→ R byf-（x） ：=PM-t型≤ x个和f+（x）：=PM+t≥ x个（十）∈ 一） ，（2.6），其平稳性不依赖于t≥ 那么f±是连续的，并解方程（i）f-dλ++λ-df+=0，（ii）f+dλ-+ λ+df-= 0，（iii）f-（I+）=1=f+（I-),（2.7）其中f-dλ+表示用密度f加权的量度dλ+-, 其他术语也有类似的解释。考虑满足（A1）–（A5），λ±（I）的Stigler-Luckock模型) = 0，ρ=0。设J为子区间，使得J 一、 然后，在【Swa18，Prop.2】中已经表明，Luckock’sequation（2.7）对于受限模型（X′t）t≥0on J有唯一的解决方案（f-, f+。根据定理2，如果J上的约束模型具有不变定律，则-（J）-) = PX′-t=0f+（J+）=PX′+t=0（2.8）是约束模型（X′t）t≥0分别不包含bu y或sell limitorders。特别是，如果J上的受限模型具有不变定律，则这些量必须为≥ 如果限制模型是正回归模型，则它们必须大于0。在[Swa18，Thm 3]中，相反地，如果f-（J）-) ∧ f+（J+）大于0，则受限模型J是正递归的。

对于形式为J（V）的间隔=λ-1.-（V），λ-1+（V）如（2.2）所示，【Swa18，Prop 2和公式（1.22）】中显示o如果Φ（V）<1/VW，则f-（λ-1.-（V））>0和f+（λ-1+（V））>0。o如果Φ（V）=1/VW，则f-（λ-1.-（V））=0=f+（λ-1+（V））。（这里Φ是（2.3）中定义的函数。）特别是，如果VL<Vmax，则Luckock方程有唯一的解（f-, 竞争窗口J（VL）上的f+，并且该解决方案满足f-（J）-（VL））=0=f+（J+（VL）），表示出价和要价从未离开竞争窗口。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.5图2：模拟图1的统一Stigler-Luckock模型，以获得做市商的不同比率ρ值。显示的是10000名交易员到达后订单簿的状态。ρ=0.6的直方图具有不同的垂直刻度。3模型与做市商的行为3.1数值模拟在图2中，我们显示了“统一”Stigler-Luckockmodel的数值模拟结果，i=[0，1]，λ-（x） =1- x、 λ+（x）=x，表示做市商的不同费率ρ。我们观察到，随着ρ的增加，竞争窗口的大小减小，直到ρ=ρc=0.5时，竞争窗口完全关闭，买卖价格以Walrasian价格xw结算。如果做市商的比率ρ增加得更多，超过这一点，我们观察到一个有趣的现象。在这种制度下，买卖价格收敛到一个随机极限，每次我们运行模拟时，这个极限都不同，通常也不同于瓦拉斯价格xW。

其原因是，做市商在当前买入和卖出价格上下达的限制买入和卖出指令有巨大盈余，这可能会“冻结”随机位置的价格。在接下来的小节中，我们将证明，竞争窗口完全关闭的临界利率ρcof市场制造商适用于由ρc=VW（Walrasian交易量）给出的连续模型。我们将认为，对于ρ<VW，买卖价格的均衡分布仍然由微分方程的唯一解给出，类似于λ±（I) = 0.对于ρ≥ VW，我们将证明出价和askprice收敛到一个共同的极限，并确定该极限可以取值的可能价格的子区间。3.2平稳模型在本小节中，我们展示了如何在0<ρ<VW的情况下，通过类似于ρ=0的方法计算竞价窗口和买卖价格的均衡分布。我们首先研究了Luckock的微分方程在市场制造商存在的情况下是如何变化的。定理3（Luckock微分方程）定理2推广到ρ≥ 0前提是我们将Lu-ckock方程（2.7）修改为（i）f-dλ++（λ-- ρ） df+=0，（ii）f+dλ-+ （λ+- ρ） df公司-= 0，（iii）f-（I+）=1=f+（I-).（3.1）证明我们首先证明f±是连续的。根据对称性，必须对f执行此操作-. Rightcontinuity是从p概率测度p的连续性开始的。为了证明连续性，需要证明p[M-t=x]=0表示所有x∈ （一）-, I+]。对于x=I+，这是明确的。想象一下P【M】-= x] 某些x大于0∈ （一）-, I+。Sin ce X∈ Sord，在[x，I+]中最初有很多购买限制条件。

根据假设（A4），这些限购指令在时间1之前的某个时间全部取消的概率为正，而根据假设（A2），新限购指令在该时间之后到达x的概率为零。这证明了p[M-= x] <P[米-= x] ，与平稳性相矛盾。为了证明（3.1），我们观察到，通过平稳性，f或每个可测量的A 从我身上被束缚的我-, 以与删除相同的速率在A中添加销售限额订单。这就得到了方程zap[M-t<x]dλ+（dx）+ρZAP[M+t∈ dx]=ZAλ-（x） P[米+吨∈ dx]。（3.2）此处，左侧的第一项是将限价订单添加到价格x的频率∈ 当当前出价低于x时，左边的第二项是做市商以当前要价添加卖出限价订单的频率，右边是因低价买入限价订单或买方市场订单的到达而删除当前要价卖出限价订单的频率。也使用f的连续性-, （3.2）证明（3.1）（i）。（ii）的证明是相似的，而（iii）的边界条件是根据M-t<I+和M+t>I-a、 s.假设（A1）–（A5），fixρ和定义λ±：=λ±- ρ。然后d∧±=dλ±，因此（3.1）只是Luckock的原始方程（2.7），其中λ±替换为∧±。特别是，如果ρ<VW，则▄Vmax：=sup五、≥ VW：￠λ-（λ-1+（V））∧λ+（λ-1.-（V））>0（3.3）满足VW<Vmax，且对于每个V∈ （VW，Vmax），函数λ±在超区间J（V）=（λ）上为正-1.-（V），λ-1+（V））。这表明，对于有做市商的模型，Luckock的交易量应该由（2.4）给出，但Vmax替换为▄Vmax，函数λ±在定义Φin（2.3）时替换为▄λ±。使用此公式定义VL，如果VL<Vmax，则[Swa18，道具。

2] 告诉我们（3.1）有一个唯一的解决方案（f-, 竞争窗口J（VL）=（λ）上的f+-1.-（VL），λ-1+（VL）），这应该给出投标和询价的均衡分布。此外，由于￠Vmax（d epends onρ）减小到VWasρ↑ 大众，我们看到VL↓ Vw，竞争窗口d的大小减小为零，为ρ↑ 大众汽车。3.3在前一小节中，我们认为，对于每个ρ<Vw，竞争窗口都有一个正的长度，但其长度d随着ρ的减小而变为零↑ 大众汽车。在本小节中，我们看一看制度ρ≥ 大众汽车。有必要加强对需求的假设（A1）和假设（A3），并提供函数λ±，以：（A6）λ-在I上严格递减，λ+在I上严格递增。我们在第1.2小节中提出，假设（A1）–（A3）基本上可以在不丧失一般性的情况下进行。此外，（A4）和（A5）仅排除琐碎的情况。然而，假设（A6）是限制性的。如第1.2小节末尾所述，我们可以通过构建满足（A1）–（A3）的其他模型的函数，将价格在OUR分析中假设为离散值的模型包括在内。然而，从（1.2）中可以清楚地看出，这些模型将不满足（A6），因此我们下面的结果定理4不适用于离散模型。对于λ±（I）的模型) = 0，我们通过设置Vw=su px来概括我们之前对瓦拉斯贸易量Vw的定义∈我λ-（十）∧ λ+（x）. （3.4）在假设（A2）和d（A6）下，函数λ-∧ λ+在唯一点xW上假设其最大值，我们称之为Walrasian价格。对于λ±（I）的模型) = 0，这些定义与我们之前的定义一致。