一个市场需要多少做市商？

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英文标题：
《How much market making does a market need?》
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作者：
V\\\'it Per\\v{z}ina and Jan M. Swart
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a simple model for the evolution of a limit order book in which limit orders of unit size arrive according to independent Poisson processes. The frequencies of buy limit orders below a given price level, respectively sell limit orders above a given level are described by fixed demand and supply functions. Buy (resp. sell) limit orders that arrive above (resp. below) the current ask (resp. bid) price are converted into market orders. There is no cancellation of limit orders. This model has independently been reinvented by several authors, including Stigler in 1964 and Luckock in 2003, who was able to calculate the equilibrium distribution of the bid and ask prices. We extend the model by introducing market makers that simultaneously place both a buy and sell limit order at the current bid and ask price. We show how the introduction of market makers reduces the spread, which in the original model is unrealistically large. In particular, we are able to calculate the exact rate at which market makers need to place orders in order to close the spread completely. If this rate is exceeded, we show that the price settles at a random level that in general does not correspond the Walrasian equilibrium price.
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中文摘要：
我们考虑了一个简单的极限订单书的演化模型，其中单位大小的极限订单根据独立的泊松过程到达。低于给定价格水平的买入限价订单和高于给定价格水平的卖出限价订单的频率由固定需求和供应函数描述。高于（或低于）当前询价（或出价）价格的买入（或卖出）限价订单将转换为市场订单。没有取消限额订单。这一模型已经被一些作者独立地重新发明，包括1964年的Stigler和2003年的Luckock，他们能够计算出买卖价格的均衡分布。我们通过引入做市商来扩展该模型，这些做市商同时以当前的买入和卖出价格下达买入和卖出限价指令。我们展示了做市商的引入如何减少价差，而在原始模型中，价差是不切实际的大。特别是，我们能够计算出做市商为了完全弥合价差而需要下订单的准确比率。如果超过这一比率，我们将表明价格在一个随机水平上结算，而这个随机水平通常不符合Walrasian均衡价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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关键词：做市商 Quantitative Mathematical Differential distribution

一个市场需要多少做市商？Vit Per×zina*Jan M.Swart+2018年10月12日摘要我们考虑一个简单的极限订单簿演化模型，其中单位大小的极限订单根据独立的泊松过程到达。低于给定价格水平的买入限价订单和高于给定水平的卖出限价订单的频率由固定需求和供应函数描述。高于（或低于）当前询价（或出价）价格的买入（或卖出）限价订单将转换为市场订单。没有取消限额订单。这一模型已经被几位作者独立地重新发明，包括1964年的Stigler和2003年的Luckock，他们能够计算出买卖价格的均衡分布。我们通过引入市场制造商来扩展模型，这些制造商同时以当前的买入和卖出价格下买入和卖出限价订单。我们展示了做市商的引入如何减少价差，而在原始模型中，价差是不切实际的大。特别是，我们能够计算做市商为完成sprea D而下订单的准确速度。如果这个比率是需要的，我们表明价格稳定在随机m水平上，通常不符合Walrasian均衡价格。2010年理学硕士。初级：82C27；次要：60K35、82C26、60K25关键字。连续双重拍卖、限制订单簿、Stigler-Luckock模型、基于秩的马尔科夫链。确认。由GAˇCR grant 15-08819S赞助的工作。内容1简介21.1模型的非正式描述。21.2模型的定义。31.3模型历史。

42没有做市商的模型行为62.1竞争性窗口。62.2受限车型。62.3固定模型。83做市商模型行为93.1数值模拟。93.2固定模型。93.3许多做市商的制度。103.4结论。13*捷克共和国普拉哈2号，克卡洛夫3号，马特马蒂奇科·费齐克'阿尔恩'法库尔塔，尤尼韦尔兹塔·卡洛娃；perzina@gmail.com+捷克科学院信息理论与自动化研究所，Pod vod'arenskou vˇeˇz'4，182 08 Praha 8，捷克共和国；swart@utia.cas.cz1简介1.1模型的非正式描述我们将感兴趣的是一个简单的数学模型，用于股票市场或商品市场上限额订单簿的演变。我们感兴趣的基本模型已经由[Sti64、Luc03、Pla11、Yud12b]独立（重新）发明了至少四次。该模型的目的与其说是为交易者确定最佳策略，不如说是在一个简化的设置中，确定真实订单簿的观察形状和时间演变背后的基本机制。即使就这一适度目标而言，【Luc03】中首次提出的原始模型也不是特别成功。事实上，这导致了一个非常不切实际的订单簿，其中的订单量非常大，而限制订单数量的增长却远远没有达到均衡价格。

在本论文中，我们提出了模型的一个扩展，即通过关闭排列（至少对于参数的特殊选择），来固定原始模型的一个不切实际的方面，但保留其他不切实际的特征。然而，希望通过识别简单模型行为背后的基本机制，最终可以开发出更现实的模型，从而更好地理解形成真实订单的机制。由于我们的目标不是确定交易策略，因此我们允许交易者的行为方式与他们的最佳策略不同，在时间连续的情况下，数据交易是开放的，无论如何可能很难确定。此外，我们没有在dividualtraders中进行识别，即我们考虑到一些在不同时间到达的订单实际上可能是由同一个交易员下达的，但我们没有记录这些信息。我们的出发点是【Luc03】中首次全面概括地阐述的模型。在该模型中，单元大小的极限阶根据独立的泊松过程确定。低于给定价格水平的买入限价订单和高于给定价格水平的卖出限价订单的频率由固定需求和供应函数描述。Bu y（resp.sell）限额订单到达当前ask（resp.bid）价格以上（resp.below）的订单将转换为市场订单。没有取消限额订单。在[Swa18]之后，我们增加了第二类交易者，无论当前的价格水平如何，他们都会发布市场订单。从amodeling的角度来看，我们可以将这些订单视为达到如此高（或低）价格的买入（或卖出），它们总是转换为市场订单，除非订单簿中当前没有匹配的卖出（或买入）限制订单。

从数学的角度来看，这类阶数的增加是有用的，因为它允许正的复发行为，而这在原始模型中是不可能的。本文的创新之处在于引入了一种新类型的交易者，他是市场制造商或更一般的流动性供应商，而不仅仅是买卖双方，目的是从价差中获利。我们表示，根据固定的泊松率，单位大小的买卖限制订单将同时以当前的买入和卖出价格进行，从而避免了此类市场制造商的影响。在第3.2节中，我们将Luckock[Luc03]计算利差的方法应用于广义模型（定理3），并表明引入做市商会减少利差，直到当做市商下单的速度等于瓦拉斯贸易量时，利差完全闭合。在第3.3节中，我们表明，如果做市率增加超过这一点，那么买入价和卖出价收敛到一个随机极限，而不需要对应于Walrasian均衡价格（定理4）。在本简介的其余部分中，我们精确地建立了我们的模型，并确定了符号（第1.2小节），并讨论了它的历史（第1.3小节）。第2节专门讨论Stigler和Luckock提出的原始模型，而第3节讨论了引入做市商带来的新现象。1.2 modelLet的定义I=（I-, I+） R为非空开放区间，建模limitorders的可能价格，letI=[I-, I+] [-∞, ∞] 表示其闭合。回想一下，计数度量值I是一个度量值u，可以写为delta度量值的可数和。在任何给定时间，我们都用一对（X）来表示订单簿的状态-, I上计数度量的X+，其中我们解释X-（分别为。

X+由给定价格下的单位规模的买入（或卖出）限制订单组成。我们假设：（i）没有x，y∈ I这样x≤ y和X+（{X}）>0，X-（{y}）>0，（ii）X-[x，I+]< ∞ 和X+我-, x]< ∞ 对于所有x∈ 一、 这里，第一个条件是，当卖方的要价低于或等于买方的出价时，订单簿不能同时包含买卖限制订单。第二个条件保证m-:= 最大值{I-} ∪ {x∈ I:X-（{x}）>0},M+：=最小值{I+}∪ {x∈ I:X+（{X}）>0},（1.1）定义明确，可解释为当前的买卖价格。请注意，如果订单簿不包含给定类型的限制订单，则M±：=I°。通常，通过签名计数度量X来表示订单簿比较方便：=X+- 十、-. 我们让SordDenote注意到这种形式的所有签名度量的空间，X-以及满足上述条件（i）和（ii）的X+。模型的动力学由两个函数λ±：I描述→ R、 我们称之为需求函数λ-和供给函数λ+，以及非负常数ρ≥ 0，表示做市商的比率。我们假设：（A1）λ-为非递增，λ+为非递减，（A2）λ±为连续函数，（A3）λ+- λ-是严格增加的，（A4）λ±>0。我们让dλ±表示由dλ±定义的I上的度量[x，y]:= λ±（y）- λ±（x）（x，y∈ 一、 x个≤y） 。尤其是dλ-为负测度，dλ+为正测度。

我们考虑一个连续时间马尔可夫过程（Xt）≥0获取空间中的值或具有以下描述的动力学对象。使用泊松本地汇率在区间内购买订单-dλ-, 交易员来了，以x的价格下了一个买入限价单，或者以某个价格下了一个可用的最佳卖出限价单≤ x、 如果e上有，即x 7→ 十、- δx∧M+。泊松率λ区间外的采购订单-（I+），交易者来接受可用的最佳卖出限制指令（如果有），即X 7→ 十、- δM+，如果M+<I+，则不会发生其他情况。在区间内卖出订单，在本地利率dλ+，交易员在价格x下卖出限价订单，或在价格x下接受可用的最佳买入限价订单≥ x、 如果e上有，即x 7→ X+δX∨M- .在区间外销售订单，泊松率λ+（I-), 交易者来接受可用的最佳买入限制指令（如果有），即X 7→ X+δM- 如果M-> 我-否则什么都不会发生。具有泊松率ρ的做市商，一个做市商到达时，以当前的买卖价格放置买卖限价单，前提是这些价格在I，即X 7之内→ 十、- 1{M->我-}δM-+ 1{M+<I+}δM+。在这里，“泊松局部利率dλ+”一词意味着价格在某个可测量集A内的限价订单 我得出的泊松率dλ+（A）与不相交集A无关。我们假设所有控制不同机制（买卖市场/限制订单和做市商）的泊松过程都是独立的。在[Sti64，Luc03]之后，我们称之为马尔科夫过程（Xt）t≥0具有需求和供给函数λ±和做市商比率ρ的Stigler-Luckock模型。为了技术上的简单性，我们做出了假设（A2）–（A4）。如附录A所述。在[Swa18]中，这些假设基本上可以在不丧失一般性的情况下作出。

特别是，（A2）和（A3）失效的模型f可以作为（A2）和（A3）保持的模型的函数来获得。特别是，这适用于离散模型，其中限价订单只能以整数价格下达。为了在一个具体的例子中解释这一点，考虑一个价格区间形式为I=（0，2n）的模型，其中n≥ 1是一个整数，需求函数和供给函数满足λ-= -1个{x个 为偶数}dx且dλ+=-1个{x个 为奇数}dx，（1.2），即测量值dλ-具有关于Lebesgue测度的密度，即-1在间隔（1，2），（3，4），…和其他零处，同样，dλ+的密度在间隔（0，1），（2，3），…和其他零处为+1。让（Xt）t≥0表示具有此类需求和供应函数（满足（A1）–（A4））的模型，并设X′t：=Xto ψ-1在映射ψ（x）下删除度量值x的图像：=x/2 （十）∈ 一） 。（1.3）然后（X′t）t≥0是一个m od el，其中限制订单只能以{1，…，n}中的离散价格下达。特别是，以原始模型中处于形式（2（k）区间的价格买卖限制订单s- 1） ，2k）的放置方式使其始终与买入订单和卖出订单的权利相匹配。应用映射ψ后，所有这些ord er都映射到PRICEK，即它们仍然匹配。1.3模型的历史我们刚才描述的模型的第一个参考是Stigler【Sti64】，他用λ±（I）模拟了一个模型) = 0且ρ=0，其中-dλ-dλ+是一组10个价格的均匀分布。Luckock【Luc03】（显然不知道Stigler的工作）考虑了需求和供给函数满足λ±（I）的一般模型) = 0，ρ=0。假设存在一种特殊的平稳性，Luckock能够找到其模型的买卖价格均衡分布的明确表达式。

在【Pla11】中，该模型再次被独立改造，这次是-dλ-dλ+在一组100个价格上的均匀分布。基于th和Luckock的工作，λ±（I）的模型) > [Swa18]中考虑了0，他能够给出此类模型正复发的精确标准。同时，Yudovina【Yud12a，Yud12b】，她不知道之前的参考文献，在她的博士论文中考虑了一般类别的需求和供应函数的模型（虽然不如Luckock的模型一般），并引入了一种涉及有限堆限制订单的结构，在数学上等同于设置λ±（I) > 0、与Kelly【KY18】一起，在某些技术条件下，他们能够证明，随着时间的推移，出价和要价的一致性，下限和上限具有一定的确定性值，他们能够明确计算。Stigler-Luckock模型的一个特征是，买卖订单的速度与当前价格无关。相比之下，许多作者考虑过这样的模型，即限额订单的价格与上一笔交易的价格【Mas00】或相反的最佳报价【CST10，SRR17】相对应。[Smi12]中给出了一个非常普遍但非常复杂的模型。参见[CTPA11]和[Sla13]第4章，了解到目前为止的文献（部分）概述。一些作者还允许取消订单。在实际市场中，大部分交易似乎来自于对价格上涨或道琼斯指数进行投机的交易员。有鉴于此，相对于当前价格下订单的模型可能看起来比我们感兴趣的模型更真实。

然而，要想让交易者感兴趣，背景中必须始终存在一些真实的需求和供给，无论这可能会被其他影响所掩盖。我们模型的一个不切实际的方面是，即使是对资产真正感兴趣且不太挑剔的交易员，通常也不会下离当前价格很远的限价单，而是等到价格达到他们可以接受的水平。因此，在我们的模型中，明显写入订单簿的限价订单实际上可能不可见，尽管它们仍然以交易员静默等待价格上涨或下跌的形式存在。无法取消限额订单肯定是StiglerLuckcock模型的一个不现实的方面，这还极大地影响了其长期的行为。然而，忽略订单的取消在中间时间尺度上可能不会太糟糕。因此，当订单数量已经很大，但取消还不是市场的一个重要方面时，该模型的平稳行为可能被视为实际市场在时间尺度上准平稳行为的理想化。在电子交易之前的几天，交易所地面上的做市商会匹配买入和卖出订单。尽管如今，做市商并未正式与其他交易者分离，但它们仍然以流动性提供者的形式存在，这与其他交易者不同，因为它们有着不同的交易动机。与其对购买或出售资产感兴趣，或者对其价格的未来发展进行投机，市场决策者以大量的方式发布购买和出售订单，目的是弥补买卖价格之间的微小差异。我们为做市商选择的策略非常简单。