一个市场需要多少做市商？

下面的定理描述了带有ρ的更大Luckcock模型的行为≥ 大众汽车。定理4（价格固定）Let（Xt）t≥0be是一个Stigler-Luckock模型，供需函数λ±满足（A2）、（A4）和（A6），做市商比率ρ满足ρ≥ 大众，在Sord的初始状态下启动。Le t M±t=M±（Xt）表示时间t时的投标价格和ASK价格≥ 然后存在一个随机变量M∞这样的限制→∞M-t=极限→∞M+t=M∞a、 s.（3.5）此外，M定律的支持∞由{x）给出∈I：λ-（十）∨λ+（x）≤ ρ} 。特别是，如果ρ=VW，则M∞= xWa。s、 我们用一些引理准备定理4的证明，其中一些引理是独立的。引理5（冻结概率下限）Let（Xt）t≥0be一个区间I上的Stigler-Luckock模型，需求和供给函数λ±满足（A1）–（A4）和做市商比率ρ≥ 0、假设最初M-= y其中y∈ 满足λ+（y）<ρ。然后M-t型≥ yt型≥ 0≥ 1.-λ+（y）ρ。（3.6）考虑数字X的证明-t（{y}）的购买限制订单，这些订单正好位于价格。当M-t=y，该量随ρ上升1，随λ+（y）下降1，而在M-t> 是的，这个数量根本没有变化。因此，直到第一次-t（{y}）=0，这个过程是随机行走Z的随机时间变化，它以ρ的速率上升一步，以λ+（y）的速率下降一步。如果λ+（y）<ρ，那么根据著名赌徒的破产，这个从1开始的随机游动保持概率为1的正游动- λ+（y）/ρ。引理6（约束在竞争窗口上）Let（Xt）t≥0be一个区间I上的Stigler-Luckock模型，需求和供给函数λ±满足（A1）–（A4）和做市商比率ρ≥ 假设x，y∈ I满足λ-（x） >λ-（y） λ+（y）<ρ。然后lim信息→∞M-t<x和lim支持→∞M+t>y= 0

（3.7）根据对称性，如果λ+（x）<λ+（y）和λ-（x） <ρ。证明如果我们在初始状态下启动流程，那么M+≥ y、 然后有一个概率：=λ-（十）- λ-（y） λ-（一）-) + λ+（I+）+ρ>0（3.8），即第一个到达市场的交易员在区间（x，y）的某个地方下了限购令。通过引理5，则概率至少为q：=1- λ+（y）/ρ>0，即该事件发生后，百思买价格M-t从未下降到数值≤ x了。因此，让σ表示交易者第一次到达市场，我们就有了atPM-t> x个t型≥ σ| M+≥ y≥ pq>0。（3.9）我们声称这意味着（3.7）。为此，设置τ：=0并定义归纳σk：=inf{t≥ τk：M+t≥ y} （k）≥ 0），σ′k：=inf{t>σk：交易者数组}（k≥ 0），τk：=inf{t≥ σ′k-1： M级-t型≤ x} （k）≥ 1） ，（3.10），其中空集的上限为：=∞. 根据强马尔可夫性质，P[τk<∞] ≤（1）- pq）k因此P[τk<∞ k≥ 0]=0，这意味着（3.7）。引理7（冻结）Let（Xt）t≥0be是一个Stigler-Luckock模型，需求和供应函数λ±满足（A2）、（A4）和（a 6），做市商比率ρ满足ρ≥ 大众汽车。然后存在一个随机变量M∞这样的限制→∞M-t=极限→∞M+t=M∞a、 s.（3.11）证明如果（3.11）不成立，则必须存在x，y∈ I，x<y，如atPlim信息→∞M-t<x和lim支持→∞M+t>y> 0。（3.12）乘以（A6），使间隔（x，y）变小（如有必要），我们可以在不丧失一般性的情况下假设我们处于以下两种情况之一：I.λ+（y）<ρ，和IIλ-（x） <ρ。使用增益（A6），我们看到（3.12）与引理6相矛盾。引理8（有界于可能极限值s），在引理7，随机变量M的假设下∞自（3.11）满意度λ-（M）∞) ∨ λ+（M∞) ≤ ρa.s.（3.13）对称证明，必须证明λ+（M∞) ≤ ρa.s.假设相反。然后存在一些z∈ I，λ+（z）>ρ，使得PM∞∈ （z，I+]> 0

通过λ的连续性-, 对于每个ε>0，我们可以用（x，y）（如果y<I+）或（x，y）（如果y=I+）形式的有限多个区间覆盖紧区间[z，I+]，从而λ-（十）- λ-（y）≤ ε。有鉴于此，我们可以找到x<y，u>0，使得λ+（x）>ρ+λ-（十）- λ-（y）和P[x≤ M-t型≤ M+t≤yt型≥ u] >0。在时间间隔[u，∞), 只有当做市商到达或买方在[x，y]中下bu y限价单时，[x，y]中的买入限价单数量才会增加。另一方面，[x，y]中的买入限价单数量在交易者每次以某种价格在（I）中下卖出市价单或卖出限价单时都会减少-, x] ，它有时根据泊松过程发生，速率为λ+（x）。因为λ+（x）>ρ+λ-（十）- λ-（y）, 根据适用于控制不同类型交易者到达的泊松过程的拉金数定律，我们可以看到a.s.在x≤ M-t型≤ M+t≤ yt型≥ u、 一定会有一天，[x，y]中不存在买入限制指令，这是一个矛盾。定理4引理7和8的证明表明，M±t将a.s.转换为公共限制M∞取紧致区间C中的值：={x∈I：λ-（十）∨ λ+（x）≤ ρ} 。若ρ=VW，则通过（A6），C由单点C={xW}组成。在另一个h和d上，如果ρ>VW，则通过（A6），C=[C-, C+]是正长度的间隔。为了完成证明，在后一种情况下，对于每个C-< x<y<C+，事件M∞∈ （x，y）具有正概率。不难看出，对于每个X∈ 当t>0时，x<M-t<M+t<y。因此，必须证明如果x<M-< M+<y，然后P[M∞∈ （x，y）]>0。这与引理5相似，但我们使用的参数略有不同。注意，通过（A6），λ-（x） <ρ和dλ+（y）<ρ。

只要x≤ M-t型≤ M+t≤ y、 数字X-t型[x，y][x，y]中的买入限制订单数量增加1，比率至少为ρ，减少1，比率最多为λ+（y）。对于（x，y）中的销售限额订单数量，也有类似的说法。Let（N-t、 N+t）t≥0be在Z中是一个马尔可夫过程，它随速率跳跃（n-, n++7→ （n）-+ 1，n+，速率ρ，（n-, n++7→ （n）-- 1，n+，速率λ+（y），（n-, n++7→ （n）-, n++1）速率ρ，（n-, n++7→ （n）-, n个+- 1） 速率λ-（x） 。（3.14）然后（N-t） t型≥0和（N+t）t≥0是具有正漂移的独立随机游动，因此由强大的数定律决定，如果N-> 0和N+>0，然后p[N-t> 0和N+t>0t型≥ 0]>0。（3.15）现在，该主张源自一个简单的耦合论证，比较X±t[x，y]N±t.3.4结论Stigler-Luckock模型是交易员通过限价指令簿进行交互的最基本、最自然的模型之一，事实上，它是如此自然，以至于至少四次独立（重新）发明了它【Sti64、Luc03、Pla11、Yud12b】。尽管它是基于自然假设，但其行为是不现实的，因为买卖价格不是在瓦拉斯均衡价格下结算的，而是在一个称为竞争窗口的正长度区间内波动。这为做市商或流动性供应商提供了一个机会，他们通过低价买入、高价卖出来赚钱。在本文中，我们将此类做市商添加到模型中，他们使用非常简单的策略进行交易，即在当前出价和askprice下一个买卖限制订单。我们已经看到，做市商的加入使得该模型更加现实，因为竞争窗口的大小减小了。

特别是，对于连续模型，如果做市商下订单的速度等于瓦拉斯的交易量，那么竞争窗口的大小将减小到零，买卖价格将收敛到瓦拉斯均衡价格。如果做市商的比率更高，那么买卖价格也会收敛到一个共同的极限，但现在的极限价格是随机的，与瓦尔拉斯均衡价格有着本质的区别。此外，在这种制度下，做市商下达的一些限制订单从未与市场订单相匹配，而是永远停留在订单簿上（按照我们感兴趣的时间尺度）。事实上，做市商只有在他们的限价单匹配的情况下才能获利，而这与竞争窗口的大小成正比。因此，在实际市场中，一旦竞争窗口的规模变为零，做市商就没有动力进行交易。有鉴于此，在现实中，我们可以期待一种自我调节机制，以确保从长远来看，做市商下订单的速度大致等于沃尔拉斯的交易量。其结果是，在限制范围内，所有交易都涉及到做市商，即最初的Stigler Luckock mo del的买方和卖方不直接互动，而是与做市商进行所有交易。我们由此得出结论，在Stiger-Luckock模型中加入做市商产生了一个更现实的模型，特别是如果做市商的比率被选择为等于Walrasian交易量。未来，更好的模型应该包括一种自我调节机制，通过权衡预期利润与成本和风险，将市场庄家下订单的利率与当前订单账面状态联系起来。

现实模型还应考虑只能采用离散值的价格，因为在现实中，竞争窗口的大小，因此做市商的盈利潜力从下方受到股票大小的限制。参考文献【Bar05】A.-L.Barab\'asi。人类动力学中爆发和重尾的起源。《自然》435（2005），207–211。【BS93】P.Bak和K.Sneppen。在一个简单的进化模型中断断续续的平衡和临界。物理。修订版。利特。74（1993），4083-4086。[CG09]A.Gabrielli和G.Caldarelli。入侵渗流和人类动力学排队模型的时间标度行为。J、 统计机械。（2009），P02046（10页）。【CST10】R.Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。操作。第58（3）（2010）号决议，549-563。【CTPA11】A.Chakraborti、I.M.Toke、M.Patriarca和F.Abergel。经济物理学评论II：基于主体的模型。数量。《金融》11（7）（2011），1013–1041。【FS16】M.Formentin和J.M.Swart。满邮箱的限制形状。ALEA 13（2）（2016），1151–1164。F.Kelly和E.Yudovina。限价指令簿的马尔可夫模型：阈值、复发和交易策略。数学操作。第43（1）（2018）号决议，181–203。[Luc03]H.Luckock。连续双作用的稳态模型。数量。《金融学》3（5）（2003），385–404。[Mas00]S.马斯洛夫。限制订单驱动市场物理的简单模型a 278（2000），571–578。[MS12]R.Meester和A.Sarkar。修改后的BakSneppen模型中的严格自组织临界性。J、 统计P hys。149（2012），964–968。[Pla11]Jana Plaˇckov\'a.Shluky volatility a dynamika popt\'avky a nab\'dky。（捷克语）布拉格查尔斯大学MFF硕士论文，2011年。【Sla13】F.Slanina。经济物理学建模要点。牛津大学出版社，2013年。[Smi12]M.ˇSm'd.连续双重拍卖的概率性质。Kybernetika48（1）（2012），50–82。【SRR17】E.Scalas、F.Rapallo和T。

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