金融中的散粒噪声过程

例如考虑满足通常条件的过滤G“pGtqtě0。设ν为r0，T s^rd上的G-可测随机测度，使得对于任何开集a inRk，P^TiPps，tstXiPAu“kˇGs˙”，e'νpps，ts^Aqpνpps，ts^aqkk！。如果X，…是i.i.d.且独立于G，则Z是G-双随机标记泊松过程，直观地说，给定G，Z是a（时间不均匀）具有Gmeasurable跳跃的泊松过程。这就是所谓的过滤的初始扩大，比较Bieleckiet al.（2000）或Jeanblanc和Rutkowski（2000）对该领域的介绍。inGaspar和Slinko（2008）也考虑了信用风险建模中的双随机标记泊松过程，但不是在散粒噪声环境中。示例2.4（一种自激散粒噪声过程）。受Errais等人（2010）的启发，我们考虑了二维a ffne过程X“pN，λqj，其中λt”κpθ'λtqdt'dNt（9），N是一个强度为λ的计数过程。在这种情况下，N的补偿器由νNpdt，dxq“λtδpdxqdt；δ在点a处吸收Dirac测度。遵循KellerRessel等人（2013），当θě0时，过程X是一个状态空间为n^Rě0的二维a ffne过程。因此，其条件分布以指数形式给出，i、 e.EreiuXT | Fts“exp'φpT't，uq'xψpT't，uq，Xty'，对于所有u P，系数φ和ψ用边界条件φp0，uq“0”和ψp0，uq“u”求解广义Riccati方程KellerRessel et al.（2013））。因此ψpT，uq“u.观察λ是一个散粒噪声过程（当λ”θ“0时）：（9）的解是λt”e'κtλ'p1'e'κtq'Nt"yi”1e'κpt'Tiq，其中我们用t，t，…N的跳跃时间表示。因此，对于λ”θ“0，λ是一个（a ffineand Markovian）散粒噪声过程。8托尔斯滕SCHMIDT2.1。马尔可夫性质。

命题2.1允许我们绘制到a ffineprocesses的连接。由于这些过程具有很强的可处理性，因此在文献中对其进行了深入的研究。如果G对时间有指数依赖性，更精确地说是Gpt，xq“xe'bt，然后是Gpt，xq”Gpt，xqe'BS，这是马尔可夫性的关键。然后是eiθtsRdGpT，xqupds，dxq“eiθtsRde'bpT'tqGpt'，xqupds，dxq“eiθe'bpT'tq tsRdGpT'，xqupds，dxq”ei eθe'bpT'tqSt，即ˇFti“exp^TtzRd'eiθGpt'，xq'1'νpds，dxq'¨eiθe'bpT'tqSt“：exppφpt，T，θq′ψpt，T，θqStq，这是一种指数结构，将一个函数过程分类。对于一个函数过程，φ和ψ是通过广义Riccati方程的解来确定的，在shotnoise的情况下，我们得到了一个更简单的积分表示。类似的精神，我们得到，如果满足马尔可夫性质，许多期望会大大简化，就像fOllowingreult举例说明。推论2.3。考虑具有Gpt，xq“xe'btandE'Xi'8，i'1的非均匀散粒噪声过程。然后，对于T'T，ErST'Fts“e'bpT'tqSt'e'TiPpt，T sUie'bpT'Tiq.我们现在将注意力集中在镜头噪声处理的马尔可夫性这一重要问题上。通常，散粒噪声过程不是马尔可夫过程。不过，从计算角度来看，马尔可夫性可能更可取。命题2.4提供了一个明确的分类，当衰减函数满足Gpt，xq“xHptq：则马尔可夫性等同于指数衰减。在更一般的情况下，通常会失去马尔可夫性。命题2.4。考虑一个标准散粒噪声过程，其中Gpt，xq”xHptq与ac\'adl\'ag函数H:Rě0~nR。假设存在 a0使p0，sAHpR\'q.那么s是马尔可夫的，当且仅当存在a，b P R，使得hptq“ae'bt.Proof。首先，考虑散粒噪声过程s是马尔可夫的情况（关于过滤F）。

对于sat，我们有s|Fts“TidtUiHps”Tiq“E”TiPpt，ssUiHps“TiqˇFt.（10） 由于Z具有独立和固定的增量，我们得到了e“TiPpt，ssUiHps”TiqˇFt“E"yTiPp0，s'tsUiHps't'Tiq是一个确定性函数（因此不依赖于ω）。根据马尔可夫理论，ErSs | Fts“ErSs | Sts”：| F pt，s，Stq对于所有0dsdt，其中| F是一个可测函数。因此，我们得到了一个可测函数F：R^R^R的存在性，这样，对于所有0dtds，财务9a.s中的rTidtUiHpsdTiq“F pt，s，Stq（11）散粒噪声过程。如果PpU“0q”1，则该权利主张以“0”成立。否则，选择Senon零u，使得（11）用U、U、。替换为u.W.l.o.g.考虑u“1。特别是，F pt，s，Hpt'Tqq”Hps'Tq持有a.s.如备注2.3中所述，我们对NT“n”进行条件化，并获得F pt，s，n"yi“1Hpt'ηiqq”n"yi“1Hps'iq”n"yi“1F pt，s，Hpt'ηiqq（12），其中ηiare i.d.u r0，ss为p0，sAHpR\'q，F pt，s，x `¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨R¨13）对于所有x、x、…R¨¨和ně1，除了关于Lebesgue测度的空集。注意，在第三坐标系中，h是c¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨因此，F是可加的，使得F¨¨pt、s、xq¨F¨pt、s、1qx（参见Kuczma和Gil¨¨¨anyi（2009）中的定理5.2.1和定理9.4.3）)对于所有x P R`。接下来，我们利用F pt，s，1qHpt'uq“Hps'uqfor all 0dudtds来推断h的性质。首先，u“0给出F pt，s，1qHptq”hpsq和so Hp0q“0，否则Hpsq将为所有与SP0相矛盾的sě0消失，sAHpR\'q。接下来，u“t给出了Hps'tq“F pt，s，1qHp0q，使得Hps'tqHptq“F pt，s，1qHp0qHptq”HpsqHp0q。这反过来又产生了F：“Hptq{Hp0q satifiesfpx'yq”fpxqf pyq。然后F是可加的、可测量的，因此是连续的。

该方程是柯西方程的乘法外推，因此f pxq“e`bx，参见库兹马和吉尔安尼（2009）中的定理13.1.4，这样我们就得到了Hpxq“Hp0qe`bx。相反，请注意，如果Gptq“ae`bt，那么"yTidtUiGps\'Tiq”Gps\'tq"yTidtUiGpt\'Tiq，因此（10）得出s是马尔可夫的。备注2.3。对于马尔可夫性，U，U。独立且分布相同。仅仅为了论证，假设U，UP t0，1，2u和0“U”U，…如果ta和St“2 St\'1的分布不仅取决于St，还取决于t之前的跳跃次数，因此它不是马尔可夫分布。3.对金融市场的应用热噪声过程已应用于股市建模和强度建模，这在信用风险和保险数学中很有用。继Altmann et al.（2008）；Schmidt和Stute（2007）之后的工作Moreno等人（2011年）考虑了股票建模的应用。其主要思想是通过散粒噪声组件扩展BlackScholes-Merton框架。在这方面，我们用X表示股票的价格过程。根据引理2.2，一种散粒噪声过程，其中G（在时间上）是绝对连续的，即Gpt，xq“Gp0、xq`stgps、xqds是一个半鞅。在金融市场中，通过资产定价的基本定理，半鞅与无套利有着内在的联系，请参见Delbaen和10 THORSTEN SCHMIDTSchachermayer（2006）的深入讨论，以便从现在开始我们关注这种形式的shotnoise过程。在这方面，考虑标记点过程Z“pTi，Xiqiě1，带标记空间Rdanda噪声函数g:Rě0^Rd，确定我们模型的散粒噪声分量。作为附加驱动因素，我们考虑了与Z无关的一维布朗运动W和波动参数σa0。

如前所述，整数值随机度量u统计标记点过程Z的跳跃，参见等式（4）。总共我们假设XT“Xexp'ut'σWt'σt't"yTidsgps'Ti，Uiqds'TidtGp0，Uiq'，tě0。（14）为了保证没有套利，必须找到一个等价的鞅测度。然而，对于模型的统计估计，重要的是在风险中性度量下有一个良好的过程结构。事实证明，Schmidt和Stute（2007）研究的最小鞅测度并非如此。在下文中，我们旨在通过漂移条件对所有鞅测度进行分类，并给出一些适用于应用的鞅测度的可能选择提示。因此，第一个重要步骤是对所有等效度量进行分类。3.1。等效度量值更改。在本节中，我们研究适用于散粒噪声过程不同设置的一般测量变化。在这一部分中，我们重点讨论散粒噪声过程的测度变化，在第3.3节之前，我们不考虑独立布朗运动。在这方面，我们无法使用ageneral过滤，但必须假设特定的结构，这是在以下两个假设中完成的。我们考虑初始σ-场H。当考虑过滤的初始放大时，例如当考虑双重随机过程时，初始σ场的灵活性可能很有用。（A1）：F“F8”，F是最小的过滤，其中u是可选的，HAF.（A2）：度量ν相对于勒贝格度量是绝对连续的，即存在一个核，我们再次用νpt，dxq表示，使得νpdt，dxq“νpt，dxqdt。我们设置ξn：“inf！tě0：ztzRdp1'aY ps，uqqνps，duqdsěn），对于所有n。对于第二个度量P，如果PpAq“0”意味着PpAq“0”，则称为绝对连续的度量P。

在这种情况下，我们写P！P、 过滤概率空间上的一个重要工具是密度过程L。这是唯一的鞅L，因此对于每个tě0，L与Radon-Nikodym导数dP | Ft{dP | Ft重合。这里我们用P | Ft表示P对P的限制Ohm, Ftq（与P类似）。如果P！P和P！Pholds，那么我们称P和PEEquivalent，并用P“P.命题3.1”来表示这种关系。假设（A1）和（A2）保持和P！P、 然后存在aP b BpRdq可测量的非负函数Y，使得PreliteTo P的密度过程L与lnt“e't^ξnsRdpY ps，uq'1qνps，duqds'zTidtY pTi，Uiq（15）散粒噪声过程在金融11on J0，ξnK对于所有ně1。此外，Z是a（可能是爆炸性的）标记点过程支持其补偿器w.r.t.Pis，由Y pt、uqνpt、duqdt给出。证据我们应用了Jacod和Shiryaev（2003）中的定理III.5.43，并参考了他们的注释来证明这一点。注意，因为Z的补偿器是绝对连续的，^Yt“zRdY pt，uqνpttu，duq”0（比较方程式III.5.2），因此方程式III.5.6中给出的σ满足σ”8。此外，方程式III.5.7中给出的过程H满足“ztzRdp1'aY ps，uqqνps，duqds。通常，H可能会爆炸，因此，在III.5.9中，我们考虑ξn“infttě0:Htěannand defineξnbyNξnt：“zt^ξnpY'1q pupds，duq'νps，duqdsq。命题III.5.10得出存在唯一的N，该N与Nξnat leaston所有随机区间J0，ξnK，Ně1一致。定理III.5.43得出，在我们的假设下，密度L与公式III.5.21中的Lnas检验一致。这给出了我们的主张。主要工具是以下结果，其中考虑了等效测量的更强情况。定理3.2。假设（A1）和（A2）保持和P“P”。

然后ztzRdY ps，uqνps，duqdsa8（16）P-几乎可以肯定的是，对于所有的ta0，密度L由t“e'tsRdpY ps，uq'1qνps，duqds'zTndtY pTn，Unq，tě0给出。（17）证明。作为P和Pare等价物，我们只考虑非爆炸性标记点过程，适用于tsRdνps，duqdsa8对于所有的ta0，几乎可以肯定关于P和P。同样，tsRdY ps，uqνps，duqdsa8：让At：“tωPOhm :stsRdY ps，uqνps，duqds“8u是一个正概率集。然后，Z在At上消失，因此P不等价于Pwhichgives a矛盾。因为Yν在At处非负`对于所有人 几乎可以肯定的是，对于所有的ta0和（16）都是如此。最后，请注意，ztzRdp1'aY ps，uqqνps，duqdsdtzRdp1'Y qνps，duqdsa8。因此ξnin命题3.1倾向于与概率1一致。然后（15）以及Jacod和Shiryaev（2003）中的命题III.5.10给出了（17）。我们得到了以下重要结果：在绝对连续（因此也是等效的）度量变化下，散粒噪声特性保持不变。推论3.3。假设（A1）和（A2）保持和P！P、 如果S是P下的散粒噪声过程，那么S是P.12下的散粒噪声过程THORSTEN SCHMIDTProof。定义2.1和命题3.1得出的结果如下：在P下，表示（3）当然仍然成立，并且命题3.1表明Z“pTi，Uiqiě1是P下的一个标记点过程。我们将看到，在测量值变化的情况下，不会保留其他有用的特性，如独立增量，因此，两种测量值下的散粒噪声过程的特定结构可能会有很大的不同。3.2。保留独立增量。回想一下，我们与Z相关联的过程zt“rTidtUi，tě0累积了Z的跳跃。

出于可跟踪性的原因，其中一种考虑了由标记点过程驱动的散粒噪声过程，其中ZHA独立增加。如果增量是固定的且不可整除，则关联过程zi是一个L'evy过程。我们将在本节中介绍这两种情况。定理3.4。假设P"P。让P的前导词的密度过程为形式（17）。（1） 如果Zha在P和P下独立增加，那么Y是确定的。（2） 如果在P和P下，Zha是独立的平稳增量，那么Y是确定性的，不依赖于时间。证据zi是一个具有独立增量（PII）的过程，当且仅当其补偿器是确定性的，参见Jacod和Shiryaev（2003）。因此，如果zi是P下的PII，那么νPω，t，dxq“νpt，dxq是确定性的。根据命题3.1，zha是Pifand下的确定性补偿器，只有当Y Pω，t，uqνpt，duq是确定性的，因此Y Pω，t，uq“Y pt，uq是确定性的。平稳性等价于ν与时间无关，因此（ii）类似。示例3.1（Esscher度量）。考虑一个一般的n维随机过程x。然后，Esscher测度（Esscher（1932））由densityLt“ehxtepehxtq”给出，其中h P Rdis的选择方式是Z是鞅。Esche和Schweizer（2005）表明Esscher测度在特定背景下保留了L'evy属性。如果应用到由散粒噪声过程驱动的股票价格模型中，这一性质通常不会成立，这是非常直接的。Dassios和Jang（2003）将Esscher测度应用于马尔可夫散粒噪声过程。例3.2（最小鞅测度）。Schmidt和Stute（2007）分析了F¨ollmer和Schweizer（1990）提出的某类散粒噪声过程的最小鞅测度。

它可以描述如下：考虑特殊的半鞅X在其半鞅分解X“A ` M中，其中A是一个有界变差的递增过程，M是一个局部鞅。假设存在一个`满足` t` sdxMys的过程。那么关于P的最小鞅测度的密度由l给出“E'''''''''dMs'金融中的散粒噪声过程13此处E表示Doleans-Dade随机指数，即L是dLt的解“Lt'''''''''''dMt。通常不需要存在最小鞅测度。从（14）开始，按照Schmidt和Stute（2007）中命题4.1的证明，我们得到了''''“Xt'u'Ti'tgpt'Ti，Uiq'RdpeGp0，xq'1qνpt，dsq'RdpeGp0，xq'1qνpt，dsq。确保最小鞅测度确实是概率测度的条件可以在Schmidt和Stute（2007）中找到。从定理3.4可以清楚地看出，最小鞅测度不会保持Z的独立增量，这使得该测度在金融应用中不易处理。在下一节中，我们将提出一种替代方法。3.3。漂移条件。我们考虑等效测量值P，并假设（A1）和（A2）成立。然后，定理3.2给出了两个测度之间的关系，并且z在P下也是一个标记点过程。π下的u补偿器由νpdt给出，txq“νpt，dxqdt”νpt，dxqY pt，xqdt。此外，我们认为，如方程（14）中所示，布朗运动W（在P下）独立于Z。通过等价的度量变化，存在（不同的）风险ξ的市场价格，因此W“Ws¨ξsds是一个P-布朗运动，参见Jacod和Shiryaev（2003），定理III.3.24。我们假设贴现通过短期利率为r的银行账户进行，而r是一个逐步可测量的过程，因此所有tě0的年平均贴现率为8。定理3.5。

等价测度是（局部）鞅测度，ifrt“u'∑ξt'Rdgpt'，xqνpt，dxq'Rd'eGp0，xq'1'νpt，dxq（18）dP b dt几乎可以肯定地用于所有tě0.证明。我们首先推导出X的半鞅表示。通过It^o公式和（8），dXt“Xt'udt'σdWt't'Rdgpt'，xqupds，dxq'''RdXt'eGp0，xq'1'updt，dxq。如上所述，度量的等效变化允许将漂移ξ引入布朗运动，使得W'W'¨ξsds是一个P-布朗运动。用P-补偿器ν补偿u，并以通常的方式进行贴现即可得出结果。很明显，通常会有许多漂移条件的解决方案。从可跟踪性的角度来看，有理由将标记点过程Z在P和P下具有独立（可能是平稳）的增量。从定理3.4可以看出，如果函数Y是确定性的（且不依赖于时间），则情况就是如此。然后，从方程（18）中，我们得到漂移ξ的以下条件，ξt“σ'1'u'rt't'Rdgpt'，xqupds，dxq'Rd'eGp0，xq'1'Y pt，xqνpt，dxq'。（19）如果没有跳跃，我们得出ξ与（分散）风险的经典市场价格σ'1pu'rq.14 THORSTEN Schmidt示例3.3（两种度量下的独立和固定增量）一致。固定固定时间范围T，并假设ZHA为独立且稳定的增量，即νpt，dxq“λF pdxq，其中F是u的分布，λa0是跳跃的到达率。假设Fis等于F，即Fpdxq”ηpxqF pdxq和λa0。然后通过Y pt，xq获得测量的等效变化“λληpxq。在这种情况下，Pisλ下的跳跃到达率和跳跃大小再次为i.i.d.，分布为F。假设seGp0，xqFpdxqa8，并设ξ为ξt”σ'1'u'rt'm't'Rdgpt's，xqupds，dxq'（20）和m：“sRd'eGp0，xq'1'λFpdxq。