金融中的散粒噪声过程

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英文标题：
《Shot-Noise Processes in Finance》
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作者：
Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Shot-Noise processes constitute a useful tool in various areas, in particular in finance. They allow to model abrupt changes in a more flexible way than processes with jumps and hence are an ideal tool for modelling stock prices, credit portfolio risk, systemic risk, or electricity markets. Here we consider a general formulation of shot-noise processes, in particular time-inhomogeneous shot-noise processes. This flexible class allows to obtain the Fourier transforms in explicit form and is highly tractable. We prove that Markovianity is equivalent to exponential decay of the noise function. Moreover, we study the relation to semimartingales and equivalent measure changes which are essential for the financial application. In particular we derive a drift condition which guarantees absence of arbitrage. Examples include the minimal martingale measure and the Esscher measure.
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中文摘要：
散粒噪声过程在各个领域，特别是在金融领域，都是一种有用的工具。它们允许以比跳跃过程更灵活的方式对突变进行建模，因此是建模股票价格、信贷组合风险、系统风险或电力市场的理想工具。这里我们考虑散粒噪声过程的一般表达式，特别是时间非均匀散粒噪声过程。这个灵活的类允许以显式形式获得傅立叶变换，并且非常容易处理。我们证明了马尔可夫性等价于噪声函数的指数衰减。此外，我们还研究了半鞅与等价测度变化之间的关系，这对于金融应用至关重要。特别地，我们推导了一个漂移条件，该条件保证没有套利。示例包括最小鞅测度和Esscher测度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Applications Differential Quantitative Application

FinanceTorsten SCHMIDTAbstract中的散粒噪声过程。散粒噪声过程在各个领域都是一种有用的工具，特别是在金融领域。它们允许以比跳跃过程更灵活的方式对突变进行建模，因此是建模股票价格、信贷组合风险、系统风险或电力市场的理想工具。这里我们考虑散粒噪声过程的一般表达式，特别是时间非均匀散粒噪声过程。这个灵活的类允许以显式形式获得傅立叶变换，并且非常容易处理。证明了马尔可夫性等价于噪声函数的指数衰减。此外，我们还研究了半鞅和等价测度变化之间的关系，这对于金融应用至关重要。特别地，我们推导了一个漂移条件，它保证了套利的存在。示例包括最小鞅测度和Esschermeasure。散粒噪声过程；鞅测度；半鞅；马尔可夫性；最小鞅测度，Esscher测度1。简介散粒噪声过程是一种著名的建模突然变化（散粒）的工具，随后是一种典型的跟随模式（噪声）。在这方面，它们比单纯利用跳跃的其他方法更灵活，这导致了在物理学、生物学和金融领域的许多应用，并引起了人们越来越多的兴趣。非常引人注目的是，散粒噪声效应早在20世纪初就被引入，参见肖特基（1918）；坎贝尔（1909a，b），有时也称为肖特基噪声。最初的基本疗法是在水稻（1944年、1945年）和水稻（1977年）之后发展起来的。散粒噪声过程的应用也出现在保险数学、市场营销甚至天文学中——参见调查文章Bondesson（2004）。

第一次出现在金融环境中的似乎是Samorodnitsky（1995）；Chobanov（1999年）在保险数学中，这类过程的研究较早，有关这方面的文献，请参见Kl¨uppelberg et al.（2003）。在一般形式中，用0aTaTa表示。快照的到达时间，以及bypHp。，T q:T P Rě0q表示噪声的随机过程族，然后，通过叠加st“iě1ttdTiuHpt，Tiq，tě0给出了散粒噪声过程S；（1）施密特（Schmidt）和斯图特（Stute）（2007）给出了这一普遍性水平的示例。当然，需要调整总和的绝对收敛性，通常是通过对到达时间进行假设，并对噪声过程进行适当限制。考虑到平稳性，该过程通常会扩展到整个实线。在这种普遍性水平上，散粒噪声过程显著扩展了复合泊松过程，不需要是马尔可夫或半鞅。而（1）中的定义日期：2017年1月1日。这些作品出自不同的作家斯蒂芬·奥斯瓦尔德·赖斯和约翰·赖斯。2托尔斯滕·施密特（THORSTEN SCHMIDTis）非常笼统，需要更多的限制来保证更高水平的可处理性。在本文中，我们将重点研究半鞅的散粒噪声过程。据我们所知，所有文章，包括Rice（1977）和其他许多文章，都假设噪音是i.i.d.，与枪声的到达时间无关。最常见的假设甚至会导致分段确定性马尔可夫过程：如果噪声过程由Hpt给出，Tiq“Uie'apt'Tiqwith i.i.d.pUiqiě1，独立于pTiqiě1和P R。我们将在后面说明，这本质上是实现马尔可夫性的唯一示例。更一般的情况允许不同的衰减，例如幂律衰减，参见。

Lowen和Teich（1990），或不假设jumpheights pUiq的乘法结构。假设HPT，Tiq“Gpt'Ti，Uiq，tě0，iě1，（2）具有一些一般随机变量pUiq和合适的（确定性）函数G。获得的过程类令人惊讶地易于处理，其原因是S的傅立叶变换和拉普拉斯变换以显式形式可用，这取决于所考虑的一般性水平。由于积分的线性，该类是稳定的欠积分，这是一个过程共享的特性，对于利率市场和信贷风险的应用非常重要，参见Gaspar和Schmidt（2010）。文献的一个分支考虑了当热到达强度增加时散粒噪声过程的极限，有趣的是，这类过程的极限具有分数特征，参见Lane（1984）；Lowen和Teich（1990）；Kl¨uppelberg和K¨uhn（2004），以及保险数学的早期研究。Kopperschmidt和Stute（2009、2013）提出了散粒噪声过程在消费者行为建模中的应用，其中还开发了必要的统计工具。这种方法的关键在于，i.i.d.散粒噪声处理是一种有效的方法，可以很好地使用统计方法。在金融和保险界，它们通常被用来有效地模拟冲击效应，例如Dassios和Jang（2003），Albrecher和Asmussen（2006），Schmidt和Stute（2007），Altmann等人（2008），Jang等人（2011），Scherer等人（2012），以及其中的参考文献。除此之外，Moreno等人。

（2011）开发了一种利用广义矩量法（GMM）的特殊类散粒噪声过程的估计程序。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了散粒噪声过程的一个适当的一般公式，并推导了它们的条件特征函数。此外，我们还研究了与半鞅和马尔可夫过程的联系。命题2.4证明了指数衰减等价于散粒噪声过程的马尔可夫性。在第3节中，我们提出了具有散粒噪声成分的股票模型。在研究了等价和绝对连续测度变化后，我们得到了一个漂移条件，这意味着不存在套利，并给出了一个例子，其中增量的独立性和平稳性在目标和等价鞅测度下成立。2、散粒噪声过程我们的重点将放在满足（2）要求的散粒噪声过程以及对这类柔性的详细研究上。考虑过滤概率空间pOhm, F，F，Pq，其中过滤F“pFtqtě0满足通常条件，即F是右连续的，AAB P F与PPBQ“0表示P F。通过O和P，我们表示可选的、分别可预测的σ场，由c\'adl\'ag、c\'ag、过程生成。金融中的散粒噪声过程3我们将考虑标记点过程作为驱动因素，推广以前的文献。在这方面，考虑一系列增加的停止时间0aTaTa…和一系列d维随机变量U，U。双序列Z“pTi，Ui，iě1q被称为标记点过程。这些过程在文献中得到了很好的研究，我们参考Br'emaud（1981）了解更多细节和参考。我们只考虑一维热噪声过程，将其推广到更多（但实际上很多）维是很简单的；对于更一般的情况，请参见。

Bassan和Bona（1988），针对散粒噪声随机场。定义2.1。如果Z“pTi，Ui，iě1q是一个标记点过程，且G：R′Rd~nR是一个可测函数，则我们称随机过程S”pStqtě0，其表示为“i”1tTidtuGpt′Ti，Uiq，tě0，（3）散粒噪声过程。如果过程rTidtUi，tě0有独立的增量，我们称其为均匀散粒噪声过程，如果增量分布相同，则称其为标准散粒噪声过程。经典散粒噪声过程是在Gpt、uq不依赖于u的情况下获得的，参见Bondesson（2004）中有关该类文献的链接。时间非均匀L'evy过程具有独立的增量，因此可以作为一类有用的驱动过程；参见Jacod和Shiryaev（2003），以深入研究具有独立增量的过程，例如Sato（1999）；Cont和Tankov（2004）提供了丰富的Levy过程文献指南。对推动进程超越独立增量进程的兴趣可以追溯到罗摩克里希南（1953年）；史密斯（1973）；Schmidt（1987）–只有在额外的假设下才能得到明确的公式。请注意，（3）中有限和的绝对收敛性在我们的假设中是隐含的，通常不需要为真。然而，当停车时间pTiqiě1没有累积点时，这将始终保持不变。对这一技术事实的精确定义将利用与随机测量和相关补偿器的关系，我们现在介绍。对于标记点过程Z，我们将整数值随机度量值uonR^Rdby letutpAq“upr0，ts^Aq：”těiě1tuipautidtu，tě0（4）for any A P BpRdq关联到整数值随机度量值uonR^rdo。有时，我们考虑到与Z关联的过程Z“pZtqtě1UitTidtu。通常，我们定义Ohm “”Ohm ^Rě0^Rd、~P“P b BpRdq和~O”O b BpRdq。

O-可测函数W开启Ohm 称为可选。对于可选函数W和随机度量u，我们定义了新的ut“zr0、ts^RdW ps、xqupds、dxq、tě0、ifsr0、ts^Rd | W ps、xq |upds、dxq是有限的，否则定义为Wut”`8。从定义2.1中，我们得出散粒噪声过程S具有代表性“ztzRdGpt\'s，xqupds，dxq，tě0，在引理2.2中，我们表明，如果G是绝对连续的，那么s是半鞅。为了简单起见，我们在这里考虑Rdas标记空间，而Rdas可以被一般的Lusin空间代替，在这方面，请参见Bj¨ork et al.（1997）。4托尔斯滕·施密特u的补偿器是唯一的、F-可预测的随机度量ν，例如erwus“ErWνsfo对于任何非负▄P-可测函数W on▄Ohm, 见定理二。1.8 Jacod和Shiryaev（2003年）。标记点过程Z的一些性质可以从补偿器中确定：如果ν是确定性的（即不依赖于ω），则Zhas独立增量。此外，如果补偿器额外不依赖于时间，即νpdt，dxq“νpdxqdt，thenZalso具有平稳增量。在跳跃具有不完全可分分布的附加假设下，我们得到了重要的特殊情况，即Zis是一个L'evyprocess。示例2.1（指数衰减）。一个重要的特例是众所周知的指数衰减情况。我们稍后将表明，这基本上是唯一的情况下，当Sis马尔可夫。考虑d“1，假设所有tě0的νpr0，ts，Rqa8，并表示Zt“rTidtUi，tě0。当Gpt，xq”xe'bt时，我们得到BtGpt，xq“'bGpt，xq和Gp0，xq”x，通过它的公式，St“zt'bSudu'Zt。因此，如果Zhas独立增量，那么S是一个马尔可夫过程，尤其是anOrnstein-Uhlenbeck过程。我们给出了以下使用的散粒噪声过程的一些进一步有用的规范。示例2.2。

噪声函数G的特定选择导致具有独立增量、马尔可夫过程和非马尔可夫过程的过程。（i） 跳到一个新的水平（具有d“1和Gpt，xq”x）。然后Z“S和S具有相同的属性，例如独立和固定的增量，例如S是一个L'evy过程。（ii）我们说S在p时具有幂律衰减，xq“x1”c具有一些ca0。这种情况允许长记忆效应和重聚类，比较Moreno et al.（2011）。在这种情况下，噪声衰减比指数情况慢，放炮的影响在数据中持续时间更长。（iii）如果衰减参数是随机的，我们说S具有随机衰减。这是Ornstein-Uhlenbeck过程类的有趣扩展。例如letd“2和Gpt，pu，vqq”u expp'vtq。很明显，跳跃高度和衰减大小可能是相关的，另请参见Schmidt和Stute（2007）。散粒噪声过程提供了一个节约型和灵活的框架，如我们在下面的示例中所示。一般来说，散粒噪声过程不一定是半鞅：事实上，如果tTh~nGpt，xq对于所有x（或至少对于某些x）。以下结果为标准散粒噪声过程所熟知，给出了S的条件特征函数。这是以下信用风险应用的关键结果。我们使用适合我们的设置的鞅技术给出了一个证明。财务中的散粒噪声过程5职位2.1。假设S是散粒噪声过程，νpdt，dxq不依赖于ω，νpr0，T S，Rdqa8。然后，对于任何0dtdt和θP R，E“eiθST | Fti”eiθtsRdGpT\'s，xqupds，dxq¨exp^tzRd'eiθGpT\'s，xq'1'νpds，dxq˙。（5）证明。对于固定的t和θ，我们下一步定义：“exp iθtzRdGpT\'u，xqupdu，dxq˙，0dtdt。通过It^o公式，我们得到了XT“1ztXs''eiθGpT'，xq'1'upds，dxq，0dtdt。我们设置了Дptq：“ErXts for t P r0，t s。

然后νpT q“E”eiθSTi“1”EzTXt'Rd'eiθGpT't、xq'1'νpdt、dxq'MT“1zTνpt'qF pdtq，0dTdT，其中M是鞅，F ptq”TsRd'eiθGpT'，xq'1'νpdt，dxq，0dTdT是具有相关度量F pdtq的递增函数。该方程的唯一解由Дpt q“exppF pt qq”exp^TRd'ei GpT'，xq'1νpdt，dxq'给出最后，我们观察到，对于0dTdT，E“eiθST | Fti“eiθstsRdGpT\'s，xqupds，dxq–E”exp^iθzTtzRdGpT\'s，xqupds，dxq˙| Ft.由于u具有独立的假设增量，因此条件期望实际上是一个普通期望，可以如上所述进行计算，我们得到了期望的结果。（5）的第一部分对应于已发生放炮的噪声（时间t）。第二部分表示S未来跳跃的预期。通过应用迭代条件预期，命题2.1还允许计算S的有限维分布。示例2.3（标准散粒噪声过程）。如果zi是复合泊松过程，那么νpds，dxq“λFUpdxqds，其中λ是跳跃的到达率，即具有分布fu的i.i.d。上述结果的经典证明使用泊松过程的跳跃时间与均匀分布随机变量的顺序统计具有相同的分布，见6 THORSTEN SCHMIDTp.502 in Rolski et al.（1999）。在这种情况下，证明简化为“eiθST”E“E”ně1tTndT，Tn\'1aT ueiθrnj“1Gpt\'Ti，Uiqie'λTpλT qnn！n'zj“1TzTzRdeiθGpt\'s，uqFUpduqds”exp^'λTzRdeiθGpt\'s，uqFUpduqds'exp；.以类似方式获得有条件版本。备注2.1（一般情况下）。当ν不确定时，可以说什么？事实上，为了证明，我们需要计算“exp^iθzTtzRdGpT'u，xqupdu，dxq˙| Ft.（6） 为此，我们需要获得给定Ftu的指数补偿器，即。

Ft可测随机测度γt，因此（6）“exp^iθzTtzRdGpT'u，xqγtpdu，dxq'。Kallsen和Shiryaev（2002）引入了半鞅的指数补偿器，并在利率理论中发挥了重要作用，与Cuchiero等人（2016）相比。我们稍后将说明，对于一个有效的散粒噪声过程，我们将能够高效地计算指数补偿器，参见示例2.4，其中我们研究了自激散粒噪声过程。以下结果取自Schmidt（2014），给出了S是半鞅的充分条件。引理2.2。修正Ta0并假设Gpt，xq“Gp0，xq`stgps，xqds for all 0dtdand all x P Rd.如果ztzRdpgps，xqqνpds，dxqa8，（7）P-a.s.，那么pStq0dtd是一个半鞅。为了方便读者，我们重复这个结果的证明。在条件（7）下，我们可以在Protter（2004）定理IV.65中给出的一般版本中应用随机Fubini定理。观察到“ztzRdztsgpu\'s，xqduupds，dxq′tzRdGp0，xqupds，dxq”tzszRdgpu\'s，xqupds，dxq du′tzRdGp0，xqνpds，dxq\'Mt，（8）带有局部鞅M。这是s的半鞅表示，因此s是半鞅。金融中的散粒噪声过程7有可能将此结果推广到Gpt，xq“Gp0，xq`stgps，XQdapSq具有一个有限变化的过程。然而，在这里，我们并没有利用这样的一般性水平——参见Jacod和Shiryaev（2003），命题II.2.9。有关选择a的详细信息。此外，当从（1）中更一般的公式开始时，可以使用类似的方法对半鞅进行表征，参见Schmidt和Stute（2007）举个例子。备注2.2。在某些应用中，具有独立且固定增量的驱动器Z可能是一个限制。考虑到更一般的驾驶过程很简单。