货币定价的次扩散分数布朗运动机制

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英文标题：
《Subdiffusive fractional Brownian motion regime for pricing currency
  options under transaction costs》
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作者：
Foad Shokrollahi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A new framework for pricing the European currency option is developed in the case where the spot exchange rate fellows a time-changed fractional Brownian motion. An analytic formula for pricing European foreign currency option is proposed by a mean self-financing delta-hedging argument in a discrete time setting. The minimal price of a currency option under transaction costs is obtained as time-step $\\Delta t=\\left(\\frac{t^{\\beta-1}}{\\Gamma(\\beta)}\\right)^{-1}\\left(\\frac{2}{\\pi}\\right)^{\\frac{1}{2H}}\\left(\\frac{\\alpha}{\\sigma}\\right)^{\\frac{1}{H}}$ , which can be used as the actual price of an option. In addition, we also show that time-step and long-range dependence have a significant impact on option pricing.
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中文摘要：
在即期汇率服从时变分数布朗运动的情况下，提出了一种新的欧洲货币期权定价框架。在离散时间条件下，利用平均自筹资金增量套期保值论证，提出了一个欧洲外汇期权定价的解析公式。交易成本下货币期权的最小价格为时间步长$\\ Delta t=\\ left（\\ frac{t^{\\beta-1}}{\\Gamma（\\ beta}}\\right）^{-1}\\left（\\ frac{2}{\\pi}\\right）^{\\frac{1}{2H}}\\left（\\ frac{\\alpha}{\\sigma}\\right）^{\\frac{1}{H}}}}$，可以使用作为期权的实际价格。此外，我们还发现时间步长和长期依赖性对期权定价有显著影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Subdiffusive_fractional_Brownian_motion_regime_for_pricing_currency_options_unde.pdf (262.88 KB)

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关键词：分数布朗运动 布朗运动 Quantitative Transaction derivatives

交易成本下货币期权定价的次扩散分数布朗运动机制Vaasa大学数学与统计系，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDAbstract。在即期汇率服从次效用分数布朗运动的情况下，提出了一种新的欧洲货币期权定价框架。通过离散时间环境下的平均自融资增量套期保值论证，提出了欧洲货币看涨期权定价的分析公式。交易成本下货币期权的最低价格作为时间步长获得t型=tα-1Γ（α）-1.π2小时kσH、 可以用作期权的实际价格。此外，我们还表明，时间步长和长期依赖性对期权定价有显著影响。简介期权定价的经典且仍然最流行的模型是Black-Scholes（BS）[1]。假设风险y资产的价格V（t）受几何布朗运动控制，即isV（t）=Veut+σB（t），V（0）=V>0（1.1），其中u，σar固定，B（t）是布朗运动。实证研究表明，BS模型无法捕捉价格的许多特征，例如：长期依赖性、重尾和倾斜边际分布、缺乏尺度不变性、常值周期等。1983年，Garmanand Kohlhagen（G- K） [2]介绍了定价货币期权的BS模型的修改版本。然而，一些学者认为，利用G- 基于布朗运动的K模型，c不能令人满意地为pricingcurrency期权b建立模型，e导致货币与金融市场中的股票不同。因此，他们提出了G的一些推广- K模型捕捉股市现象[2，3]。

为了捕捉这些非正态行为，许多研究人员考虑了其他具有厚尾的分布，如帕累托稳定分布和广义双曲分布等。在分析金融时间序列时，自相似性和长程相关性已成为重要的概念。有强有力的证据表明，股票收益率几乎没有自相关性。由于分数布朗运动（F BM）具有自相似性和长程依赖性两个重要性质，因此它能够捕捉股票价格或指数的典型尾部行为。电子邮件地址：foad。shokrollahi@uva.fi。日期：2021年11月11日。2010年数学学科分类。91G20；91G80；关键词和短语。管道扩散过程；货币期权；交易费用；逆从属过程。2 Shokrollahit分数布朗运动（F BM）模型是BS模型的扩展，它显示了经验数据中观察到的长期依赖性。F-BM模型为bvb（t）=bVexp{ut+σbBH（t）}，bV>0，（1.2），其中BH（t）是具有赫斯特参数H的F-BM∈ [，1）.已经证明，非BM模型a在完全无摩擦的市场中允许套利[4，5，6，7，8]。王[9]通过放弃套利论证，并在离散时间条件下考察存在比例交易成本的期权复制，解决了这一矛盾。Magdziarz【11】应用捕获e喷口的次级效应机制来正确描述显示恒值周期的金融数据，并引入次级效应计量布朗运动Vα（t）=V（tα（t）），（1.3）作为显示次级效应动力学的设定价格模型，其中Vα（t）是次级过程（次级过程的概念请参考参考文献）。

[12，13，14]），其中父过程V（τ）是（1.1）中定义的几何布朗运动，tα（t）是逆α稳定的s次序，tα（t）=inf{τ>0:Qα（τ）>t}，0<α<1，（1.4）Qα（t）是用拉普拉斯变换定义的α稳定的次序：Ee-ηQα（τ）= e-τηα，0<α<1，其中E表示数学期望。假设Tα（T）与布朗运动B（T）无关。此外，他证明了该模型是自由套利的，但并不完整。在这方面，他提出了一个新的欧式期权定价公式和相应的次级BS模型。有关描述此类特征行为的更多模型的其他信息，请参见[15、16、17、18、19]。在这项研究中，为了捕捉利率的长期依赖性，并在离散时间条件下考察在存在比例交易成本的情况下的期权定价问题，我们考虑了货币期权定价问题，其中即期汇率由一个次级F BM控制，如下所示：ST=bV（Tα（T））=Sexp{uTα（T）+σbBH（Tα（T））}，（1.5）S=bV（0）>0。改变变量，BH（t）=u+rf-rdσt+bBH（t），那么我们有st=bV（Rβ（t））=Sexp{（rd- rf）（Tα（T）+σBH（（Tα（T））}，（1.6）S=bV（0）>0。当标的股票价格满足等式（1.6）时，我们推导出了欧洲货币看涨期权的显式期权定价公式。该公式类似于Black-Scholes期权定价公式，但波动性不同。我们表示从属过程Wα，H（t）=BH（tα（t）），其中BH（τ）是F bm，tα（t）是反向α-从属，假设d是独立的。这个过程Wα，H（t）称为次级扩散过程。特别是，当H=，这是一个细分过程，如【20，21】所示。无花果

1显示了典型的F BM模型和次级F BM模型中即期汇率样本值之间的差异和关系。货币期权定价30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.990.99511.0051.011.0151.021.0251.031.035t bVt0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9850.990.99511.0051.011.0151.021.0251.035t ST图1。对于rd=0.03、rf=0.02、α=0.9、H=0.8、σ=0.1、S=1，比较场外BM模型（左）和次级BM模型（右）中的即期汇率样本路径。本文的其余部分如下所述：在第2部分中，我们提供了次级金融市场环境下欧洲货币期权的分析定价公式，并获得了我们的定价模型的一些希腊人。第三节分析了货币期权定价的规模效应和长期依赖性。此外，本节还将对我们的子产品BM模型和传统模型进行比较。最后，第4节得出结论。2、欧洲看涨期权定价模型在本节中，我们在以下假设下推导出了次级F BM模型的欧洲看涨期权定价公式：（i）我们考虑了两种可能的投资：（1）价格满足方程式的股票：St=Sexp{（rd- rf）Tα（T）+σWα，H（T）}，S>0，（2.1），其中α∈ （，1），H∈ [，1），2α- αH>1，rd和rf分别为国内利率和国外利率。（2） 货币市场账户：dFt=rdFtdt，（2.2），其中rdFtdt表示国内利率。（ii）该股票不支付股息或其他分配，所有证券都是完全可分割的。卖空没有处罚。以短期利率借入证券价格的任何一部分来购买或持有它都是可能的。

这些与BS模型中的估价策略相同。（iii）存在与标的股票交易价值成比例的交易成本。Le t k表示每单位美元交易的往返交易成本。假设标的股票的U股以St价买入（U>0）或卖出（U<0），则交易成本由K | U | Stin在买入或卖出中给出。此外，交易仅在离散区间进行。（iv）期权价值通过一个复制投资组合∏与U（t）个股票单位和价值为F（t）的无风险债券进行复制。期权的价值必须等于复制投资组合的价值，以减少（但不是避免）套利机会，并与经济均衡保持一致。4 SHOKROLLAHI（v）对冲投资组合的预期回报等于期权的预期回报。手册每年修订一次t和套期保值在等距时间点进行，再平衡间隔（相等）长t、 在哪里t是一个有限且固定的小时间步长。备注2.1。从[20，22]，我们得到E（Tmα（t））=Tmαm！Γ（mα+1）。然后，利用Tα（T）的α-自相似非递减样本路径，我们可以得到Tα（T）的α-自相似非递减样本路径，E(Tα（T））=Γ（1+α）[（T+t） α- tα]=tα-1Γ（α）t、 （2.3）安第斯山脉(BH（Tα（T））=tα-1Γ（α）2小时t2H。（2.4）设C=C（t，St）为时间t的欧洲货币期权价格，履约价格k在时间t到期。然后，货币看涨期权的定价公式由以下定理2.1给出。C=C（t，St）是满足（1.6）条件的股票上的欧洲货币看涨期权的价值，交易以长度的再平衡间隔离散进行t、 然后满足偏微分方程Ct+（rd- rf）StCSt+bσStCSt公司- rdC=0，（2.5），边界条件C（T，ST）=max{ST- K、 0}。

货币calloption的值isC（t，St）=Ste-射频（T- t） Φ（d）- Ke公司-rd（T- t） Φ（d），（2.6）和卖出货币期权isP（t，St）=Ke的值-rd（T- t） Φ(-d）- Ste公司-射频（T- t） Φ(-d） ，（2.7），其中d=ln（StK）+（rd- rf）（T- t） +bσ（t- t） bσ√T- t、 d=d- bσ（t）√T- t、 （2.8）bσ=σ“tα-1Γ（α）2小时t2H型-1+rπkσtα-1Γ（α）HtH公司-1#，（2.9）式中Φ（.）是累积正态分布函数。在下文中，将讨论次级效用的BM模型的属性，例如希腊，该模型总结了期权价格如何随基础变量的变化而变化，对资产定价和风险管理至关重要。该模型可用于重新平衡投资组合，以获得所需的特定风险敞口。更重要的是，通过了解希腊人，可以使用适当数量的其他相关金融工具来对冲特定风险敞口，使其免受市场不利变化的影响。与在市场上可以观察到的期权价格相比，希腊期权价格是无法观察到的，必须根据模型假设进行计算。希腊人通常使用价格公式的部分差异进行计算。货币期权定价5定理2.2。希腊人可以这样写 =CSt=e-射频（T- t） Φ（d），（2.10） =CK=-e-rd（T- t） Φ（d），（2.11）ρrd=Crd=K（T- t） e类-rd（T- t） Φ（d），（2.12）ρrf=Crf=-St（T- t） e类-射频（T- t） Φ（d），（2.13）Θ=Ct=Strfe-射频（T- t） Φ（d）- Krde公司-rd（T- t） Φ（d）+钢-射频（T- t） σ（α- 1） tα-2Γ（α）Htα-1Γ（α）2小时-1.t2H型-1bσ√T- t（t- t） Φ′（d）+钢-射频（T- t） rπkσ（β- 1） tα-2Γ（α）Htα-1Γ（α）H-1.tH公司-12bσ√T- t（t- t） Φ′（d）- Ste公司-射频（T- t） bσ√T- tΦ′（d），（2.14）Γ=CSt=e-射频（T- t） Φ′（d）Stbσ√T- t、 （2.15）θbσ=Cbσ=钢-射频（T- t）√T- tΦ′（d）。（2.16）备注2.2。无交易成本的修正波动率（k=0）由bσ=σ给出”tα-1Γ（α）2小时t2H型-1#，（2.17）特别是如果α↑ 1，bσ=σt2H型-1，（2.18），这与[23]中的结果一致。此外，从等式。

（2.18）如果H↑, 然后bσ=σ，根据G的结果- K模型【2】。出租α↑ 1，从式（2.9）中，我们得到备注2.3。交易成本下的修正波动率由bσ=σ给出”t2H型-1+rπkσtH公司-1#，（2.19）这与[9]中的发现一致。6 SHOKROLLAHI3。实证研究本节的目的是获得具有交易成本的期权的最低价格，并显示时间尺度的影响t、 次级F BM模型上的交易成本k和次级参数α。此外，在最后一部分，我们使用我们的模型计算了货币期权价格，并与G- K和F BM型号。由于kσ<pπ通常成立（例如：σ=0.1，k=0.01），从等式（2.9）我们有bσσ=tα-1Γ（α）2小时t2H型-1+rπkσtα-1Γ（α）HtH公司-1.≥ 2.tα-1Γ（α）HtH公司-1.πkσ,（3.1）其中H>。那么最小波动率bσminis√2σtα-1Γ（α）π-4小时kσ1.-2有t型=tα-1Γ（α）-1.π2小时kσH、 因此，交易成本下期权的最低价格表示为Cmin（t，St），bσminin等式（2.8）。此外，交易者可选择的期权重估时间间隔为t型=tα-1Γ（α）-1.π2小时kσH、 最小价格Cmin（t，St）可以用作期权的实际价格。特别是，自t<1，α∈ （，1）和Cbσ=钢-射频（T- t）√T-t型√2πe-d> 0，bσH=σ“tα-1Γ（α）2小时t2H型-1+rπkσtα-1Γ（α）HtH公司-1个#ln公司tα-1Γ（α）+ ln公司t型×2“tα-1Γ（α）2小时t2H型-1+rπkσtα-1Γ（α）HtH公司-1个#-=“”tα-1Γ（α）2小时t2H型-1+rπkσtα-1Γ（α）HtH公司-1#×σhlntα-1Γ（α）+ ln公司ti2bσ<0，（3.2）和CH类=CbσbσH、 那么我们有CH<0（作为H）∈ [，1），（3.3），显示赫斯特指数的增加伴随着选项值的减少（见图。

2） 。另一方面，如果H↑, 然后bσmin=√2σtα-1Γ（α）π-4小时kσ1.-2小时→ σstα-1Γ（α）（3.4）和ifα↑ 1，然后bσmin→√2σ为H↑.此外，如果H↑t型=tα-1Γ（α）-1.π2小时kσH→tα-1Γ（α）-1.πkσ,（3.5）和ifα↑ 1，那么t型→πkσ作为H↑.货币期权定价7Lux和Marchesi【24】表明，在某些情况下，赫斯特指数H=0.51±0.004，因此方程（3.4）和（3.5）在期权定价中有实际应用。例如：如果H↑, α↑ 1，k=2%，σ=20%，然后bσmin→√, 和t型→0.02π；和ifH↑, α↑ 1，k=0.2%，σ=20%，然后bσmin→√, 和t型→π×10-4、在下文中，我们研究了标度和长期依赖性对期权定价的影响。众所周知，Mantegna和Stanley【25】首次将尺度不变性的方法从复杂科学引入经济系统。从那时起，中国开始了对标度律的大量研究。如果H=和k=0，从等式（2.9）我们知道bσ=σtα-1Γ（α）显示分形缩放如果在离散时间内采用平均自融资增量对冲策略，则t对期权定价没有任何影响，而在这种情况下，从属参数β对期权定价有显著影响。特别是，来自等式。（3.4）和（3.5），我们知道bσmin→ σrtα-1Γ（α）作为H≈和t型→tα-1Γ（α）-1.πkσ, 作为H≈. 因此，如果H，Cmin（t，St）近似无标度，参数k的分辨率为≈, 但它的标度依赖于次抛物线参数α。然而t型→tα-1Γ（α）-1.πkσ, 如果H，则与参数k和α成比例相关≈. 另一方面，如果H>和k=0，从等式（2.17）我们知道bσ=σtα-1Γ（α）2小时t2H型-1., 显示分形缩放t和sabordinator参数α对期权定价有显著影响。此外，对于k 6=0，从公式。

（2.8）我们知道，期权定价通常取决于规模。现在，我们使用不同参数的次级F BM模型来表示货币看涨期权的价值。为了简单起见，我们将只考虑钱外的情况。事实上，使用同样的方法，人们还可以讨论剩余的类别：在货币中和在货币中。首先，对我们的次级产品F BM模型的价格进行了一些调查不同expo ne nt参数的t和pric e s。调用货币期权的价格与其参数H，t、 α和k如图2所示。所选参数为St=1.4，K=1.5，σ=0.1，rd=0.03，rf=0.02，T=1，T=0.1，t=0.01，k=0.01，H=0.8，α=0.9。图2表明，期权价格是k和t、 而它是H和α的递减函数。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.900.050.10.150.20.25K选项值0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1345678910x 10-3α选项值0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.0050.010.0150.020.0250.03 顶置值0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 100.0050.010.0150.020.025顶置值图2。所有货币期权价值s8 SHOKROLLAHI00.20.40.60.811.21.41.61.820.80.911.11.21.3-0.200.20.40.60.811.2到期时间（年）履约价格差次扩散FBM与G-KFBM与G-K图3。G之间的相对差异-K、F BM和次级F BM模型中的货币案例为详细分析我们的模型，G- K、F BM和次级F BM模型在资金外和资金内进行了比较。选择以下参数：St=1.2，σ=0.5，rd=0.05，rf=0。01，t=0.1，t=0.01，k=0.001，H=0.8，以及时间成熟度t∈ [0.1，2]，删除线K∈ [0.8，1.19]对于现金案例和K∈ [1.21，1.4]用于现金外箱。无花果。