布朗交易漂移和雪崩

矛盾。现在我们可以根据时间（τn）n确定最佳ask过程α的行为≥0、提案13。我们有α（t）=（w*（τn，t）+u；τn≤ t<τn+1，n均匀*（τn，t）；τn≤ t<τn+1，n奇数。对于任何t>0。此外，α是有限变化的连续函数，在{t:n∈ N：τN≤ t<τn+1，n偶数}且在恭维上不递减。证据定义γ（t）：=（w*（τn，t）+u；τn≤ t<τn+1，n均匀*（τn，t）；τn≤ t<τn+1，n奇数。对于任何t>0。我们首先证明γ是连续的。很明显，γ是c\'adl\'ag，在{τn:n之外是连续的≥ 0}定义。让n≥ 1，τn6=∞.情况1：n为偶数。根据定义，我们得到τn=ψτn-1因此w（τn）+u=w*（τn-1，τn）。γ（τn-) = 极限%τnγ（t）=极限%τnw*（τn-1，t）=w*（τn-1，τn）=w（τn）+u=w*（τn，τn）+u=γ（τn）。案例2：n为奇数。这与偶数情况类似。因此γ是一个连续函数。接下来我们证明α=γ。现在，让我们∈ （τ，τ）。那么，γ（t）=w*（t，t）+u和{w（s）：s∈ [0，t]}=[w*（0，t），w*（0，t）]。因此Lut>0 forLebesgue几乎任何u∈ 【w】*（0，t），w*（0，t）]，并且对于任何u∈ R \\[w*（0，t），w*（0，t）]。因此，α（t）=inf{x>w（t）：V（t，x）>0}=w*（0，t）+u=γ（t）。现在letI：={n∈ 编号：t型∈ （τn，τn+1）：α（t）=γ（t）}。让n∈ 我∪{0}和t∈ [τn+1，τn+2]。情况1：n+1为偶数。那么，γ（t）=w*（τn+1，t）和w（t）≤ w*（τn+1，τn+2）+γ和τn+2的u定义。因此，w*（τn+1，τn+2）=w*（τ，τ）+u和henceV（t，x）=V（τn+1，x）+Lx-ut- Lx公司-uτn+1{w*（τn+1，t）<x}≥ V（τn+1，x）1{w*（τn+1，t）<x}。引理41产生α（t）=w*（τn+1，t）=γ（t）。案例2：n+1为奇数。这工作原理类似，我们得到n+1∈ 一、 通过感应N=I∪{0}生成声明。推论14。τ是第一（ask）交易，τ2n-1针对任何n，取消第n次II类交易（在ask订单簿中）∈ N、 鉴于这一推论，为了数学上的方便，我们将第一笔交易定义为第二类。证据

第一句话直接从定义开始，第二句话紧接着从命题13开始。备注15。在本节中，我们没有使用布朗运动的任何特殊性质。事实上，我们仅仅是从一个连续的占领密度的存在来论证的，这个密度对于许多过程都是存在的。设X是任意连续半鞅，其二次变化由[X，X]（t）=Rtc（X（s））ds给出，其中c:R→ （0，∞) 是一个连续函数。[RY99，VI.1.7]得出的结论是，它有时间上连续的局部时间L和空间变量c\'adl\'ag。[RY99，推论VI.1.6]得出了对于任何Borel集合A∈ B（R）我们有zt{X（s）∈A} ds=Zt{X（s）∈A} c（X（s））d[X，X]（s）=ZALxtc（X）dx，因此，X具有占领密度ρtx=Lxtc（X），X∈ R、 t型≥ 特别是，如果它的本地时间具有连续版本，那么它的占用密度也是如此。有关职业密度的更多详细信息，请参见[GH80]。备注16。在本节中，我们处理了特定的Dirac订单安排。然而，仔细检查这些论点后发现，这并不是获得上述结果的严格必要条件。如果订单是关于一些度量Ginstead的，如等式（9）所示，以及0/∈ supp（G），then definingu：=inf supp（G | B（R+）允许获得与本节中所示相同的结果，只要u>0.4分析带有Dirac orderplacement4.1的布朗订单，通过双反布朗运动描述交易时间。我们返回到第2.1节中的随机设置。我们现在的目标是通过双重反射布朗运动来描述阅读时间。上述部分的结果几乎肯定符合占领时间公式【RY99，定理VI.1.6】和【RY99，定理VI.1.7】。备注17。

首先，我们观察到（τn）n≥0从定义11开始是一个不断增加的停止时间序列。到目前为止，我们基本上收集了路径性质，除了连续样本路径性质和连续占据密度的存在外，路径性质不依赖于布朗运动的特定结构。然而，这也适用于许多其他过程，参见【Pro04，定理IV.76，推论IV.2】。在本节的剩余部分，我们考虑了交易时间的特征，这些特征似乎更符合布朗运动。定义18。让u>0。一个[0，u]值的随机过程X称为双反射布朗运动iff（X（t））-Ztf（X（s））ds，t≥ 0是任意两次连续可微函数f的鞅：[0，u]→ R，f（0）=0=f（u）。回想一下，[EK86，定理8.1.1，4.5.4]得出了这样一个过程的存在，[EK86，定理4.4.1]得出了其过程定律由其初始分布px（0）唯一确定的结论。定理19。过程α-W是区间[0，u]上具有（α）的双反射布朗运动- W）（0）=u。此外，我们有Θ={t：（α- W）（t）=0}。很明显，W-β是区间[0，u]和Θ={t：（W）上的另一个双重反射布朗运动- β） （t）=0}。证据设f：[0，u]→ R是两次连续可微函数，f（0）=0=f（u），定义R：=W- α。LetI：=（n∈ N：Ehf（R（τN+1））-Rτn+1τnf（R（s））dsFηi=F（R（η））-Rητnf（R（s））dsfor any stop timeη∈ [τn，τn+1]）设n∈ N为偶数且定义X（t）：=W（t+τN）-W（τn）和X*（t） ：=inf{t≥ 0:X（t）}。那么X是一个布朗运动，它与Fτ和命题13无关，R（η+τn）=R（τn）- X（η）+X*（η） 对于任意随机时间η，其界限为τn：=τn+1-τn。

此外，X定律*-X符合-|B |对于someBrownian运动B，它源自L'evy的一个众所周知的结果，例如参见[RY99，Thm.VI.2.3，p.240]和hencef（R（τn）+（X*- X）τn（t））+Zt∧τnf（R（τn）+（X*- 十） （s）ds，t≥ 0是鞅。因此，n∈ 一、 对于奇数n∈ N类似的参数表明N∈ I和I=N。塔的性质得出（R（t）-Rtf（R（s））ds）t≥0是一个鞅，因此R是一个[0，u]值过程，其中[R]（t）=[W]（t）=t，并反映边界，因此是一个双反布朗运动，参见[EK86，第366页]。接下来，我们证明不存在孤立的交易，即不存在Id或IId类型的交易。推论20。我们没有孤立的交易，即P（ΘId∪ ΘIId=) = 特别是，我们有p（ΘII=ΘIIc）=1。证据根据定理19，我们必须证明[0，u]上的双反射布朗运动具有P-a.s.无孤立零。使用[KS91]第2.8节中的构造。C、 我们看到，这等价于表明标准布朗运动在{2zu：z]集中没有孤立时间∈ Z} 。这是[KS91]定理9.6第2.4.2章停止时间和交易时间的结果。到目前为止，我们已按路径定义了交易时间：t∈ R+是w的交易时间∈ W ifw（t）=α（t，W）。我们说一个随机时间τ是一个交易时间，如果Wτ=α（τ）a.s。接下来，我们将给出一些交易时间的例子，这些交易时间也是停止时间，我们将证明作为交易时间的停止时间不是Ib型引理21。设τ为停止时间，使得P（τ∈ Θ）=1。那么Ξ（τ）=τP-a.s。特别是，P（τ∈ ΘIb）=0。证据允许 > 0和定义B（t）：=W（t+τ）- W（τ），t≥ 那么，B是标准布朗运动。Letσ是B在[0]上达到最大值的时间，]. 那么，σ可测量且B（σ) > 每年0个。

因此τ+σ是一个交易时间，因此P（Ξ（τ）=τ）=1。推论14和备注17表明，II类交易可以通过停止时间来计算。引理21表明，Ib型交易并没有停止的时间。这就留下了一个问题：停车时间可以是Ia型还是Ic型，事实确实如此。高水平的首次进入时间实际上是Ia型交易。示例22。设x>u和γx：=inf{t≥ 0：w（t）=x}。那么我们有p（γxis a Type Ia trade）=1。证据根据命题13，我们得到了α（t）≤ w*（0，t）和清晰w（t）≤ α（t）表示anyt∈ [τ, ∞). 由于τ=inf{t>0：w（t）=w*（0，t）- u}我们有w*（0，τ）≤ u。因此，我们有τ≤ γx。因此我们得到*（0，γx）=x=w（γx）≤ α（γx）≤ w*（0，αx）。因此γx∈ Θ。允许 ∈ （0，γx）。那么∈ （γx- , γx）使得w（s) = w*（0，s) > u。因此，α（s) = w（s）) 我们有s∈ Θ。这意味着Υ（γx）=γx。引理21产生Ξ（γx）=γxP-a.s。因此，γx∈ ΘIaP-a.s.示例23。存在一个停止时间η，使得p（η是一种Ic交易）=1。证据对于停止时间η，确定新的停止时间γ（η）：=inf{t≥ η：（α）- W）（t）=0}，γ（η）：=inf{t≥ η：（α）- W）（t）=u/2}，γ（η）：=inf{t≥ η：（α）- W）（t）∈ {0，u}}。显然，γj（η）对于任何有限的停止时间η都是P-a.s.有限的，j=0，1，2。此外，P（（α- W）（γ（γ（η））=0）=1/2的对称性和任何停止时间η的马尔可夫性。我们有a（η）：={γ（γ（γ（η）））：（α- W）（γ（γ（γ（η）））=0} ΘIcfor any fite stop timeη。定义η：=τ，其中τ在定义11中给出。观察w（τ）6=α（τ）。递归定义ηn+1：=（ηnifα（ηn）=w（ηn），γ（γ（γ（ηn））），否则。然后，（ηn）n∈nConverge P-a.s.在许多步骤中。表示η∞:= 画→∞ηn.显然，α（η∞) = w（η∞) P-a.s.此外，表示η-:= η{sup{n∈N： ηn6=η∞}}. 那么，我们有γ（γ（γ（η-))) = η∞.

因此，P（η∞∈ ΘIIc）=1.5交易偏移5.1交易偏移过程定理19表明，交易时间对应于马尔可夫过程x的零，Y由x=α定义- W、 Y=W-β。（21）这使得我们可以利用偏移理论来研究交易时间。让我们概括一下漂移理论的术语和符号，读者可以阅读[RY99，Ch.XII]和[Blu92]的背景和更多细节。对于w∈ 定义（W）=inf{t>0：W（t）=0}。（22）让U+表示所有非负函数w，使得0<R（w）<∞, 设δ表示相同为零的函数，并设置U+δ=U+∪{δ} ，并让U+δ表示W上的Borelσ-场在U+δ中的轨迹。首先，我们注意到X是一个连续的半鞅，即[0，u]上的双反射布朗运动。因此，它允许当地时间为零，满足Tanaka公式，Lt（X）=Xt |- |X |-Ztsgn（Xs）dXs，t≥ 0。（23）考虑逆当地时间过程，τs（X）=inf{t≥ 0：Lt（X）≥ s} ，s>0。（24）定义24。ask方的交易偏移过程是过程（es，s>0），即X的零偏移过程。出价方的交易偏移过程是过程（es，s>0），即Y的零偏移过程。这意味着e和e的定义Ohm ×R+，取U+δ值如下，见[RY99，定义XII.2.1，p.480]：1。如果τs（X）>0，则es（w）为mapr 7→ es（r，w）=I[r≤τs（w）]Xτs-（w） +r（w），（25）2。如果τs（X）=0，则es（w）=δ。因此，e和e取函数空间U+δ中的值。图2、3、4给出了I类交易的交易漂移过程的图示。图5、6、7为II类贸易。定理25。买卖交易漂移过程是泊松点过程。证据前面的命题说，W的ask交易偏移对应于α从零开始的偏移- W

过程α- W是一个双重反射的布朗运动，这是一个马尔可夫过程。我们可以应用[Blu92，Thm.3.18，p.95]。同样的道理也适用于W-β。τs-τs图2:I型Ask交易图3：α的对应路径- 图4：相应偏移esτs-τs图5：II型Ask交易图6：α的对应路径- 图7：相应的偏移es5.2交易偏移度量的描述对于任何泊松点过程，都存在一个强度度量。定义26。让我们用n和n表示投标和询价偏移过程的强度度量。度量n和n是U+δ上的σ-有限度量，并且满足度（Γ）=tE[nΓt]，n（Γ）=tE[nΓt]，t>0，（26），其中nΓt=X0<s<tIΓ（es），nΓt=X0<s<tIΓ（es），Γ∈ U+δ。（27）备注27。在下文中，我们重点讨论n，因为n=n。让我们回顾一下Williams[Wil91，Sec.5.0，p.49]给出的一个方便的符号，用于可测函数F的积分：U+δ：→ R关于测度n和a集Γ∈ U+δ，n（F）=ZF（U）n（du），n（F；Γ）=ZΓF（U）n（du）。（28）为了更好的可读性，当F或Γ的表达式更复杂时，我们还应该写n[F]和n[F；Γ]，而不是n（F）和n（F；Γ）。此外，让我们介绍forx>0和u∈ C（R+；R）命中时间tx（u）=inf{t>0：u（t）=x}。（29）我们现在可以对交易偏离度量进行描述，这是受Williams对Ito度量描述的启发。选取三个独立的过程，即twoBES（0）过程ρ和ρ，以及标准布朗运动b（BES（0）过程是一个过程，其定律与| b |定律一致，其中b是从零开始的三维标准布朗运动）。

对于所有x∈ （0，u）我们定义了一种工艺ZxbyZx=ρt0≤ t型≤ Tx（ρ），x- §ρt-Tx（ρ）Tx（ρ）<t≤ Tx（ρ）+Tx（|ρ），0 t>Tx（ρ）+Tx（|ρ），（30），我们定义了u=ρt0≤ t型≤ Tu（ρ），u- |英国电信-Tu（ρ）| Tu（ρ）<T≤ Tu（ρ）+Tu（| b |），0 T>Tu（ρ）+Tu（| b |）。（31）让我们为偏移u引入长度R和高度H∈ U+δbyR（U）=inf{t>0：U（t）=0}，H（U）=sup{U（t）：0≤ t型≤ R（u）}，（32）andRI（u）=R（u）IH（u）<u，RII（u）=R（u）IH（u）≥u。（33）因此，RI（u）是以Ic类交易结束的交易偏移长度，否则为零，而RII（u）是以II类交易结束的交易偏移长度，否则为零。定理28。对于任何Γ∈ U+δn（Γ）=ZuP[Zx∈ Γ]x-2dx+2uP[Zu∈ Γ]。（34）证明。这是关于Williams对Ito度量的描述的两个结果的组合，即以固定高度为条件的偏移，见【RY99，Thm XII.4.5，p.499】，以及跨越u级第一次命中时间的偏移分解，如【Rog81，Prop.3，p.237】和【YY13，6.8（a），p.75】所示。推论29。设F:C（R+；R）→ R是一个非负可测函数。Thenn（F）=ZuE[F（Zx）]x-2dx+2uE[F（Zu）]。（35）如果F是实数或复数且n（| F |）<∞, 或等效地，ifZuE[| F（Zx）|]x-2dx+E[| F（Zu）|]<∞. （36）推论30。我们没有≥ x]=2x0<x≤ u，0 x>u，（37）和N[H∈ dx]=2xI（0，u）（x）dx+2uδu（dx）。（38）6交易时间的双曲线函数表6.1交易偏移量下的双曲线表a交易偏移从Ib交易开始。在这一节中，我们研究了交易偏离后的下一笔交易的时间。考虑从Ib ask交易到下一次交易的时间间隔。这是W的交易偏移区间，根据定理19，α的零偏移区间- W因此，下一笔交易的时间就是交易间隔的长度。

我们将从交易漂移空间（U+δ，U+δ，n）开始，然后将结果转移到概率空间(Ohm, F、 P）。下一次交易的时间为交易短途u∈ U+δ是交易偏移的长度R，下一笔交易的类型取决于高度H。如果H（U）<u，则下一笔交易的类型为I，如果H（U）≥ u属于II类。下面我们将看到n[H>u]=0。对于实λ>0，我们给出以下定理。使用基于拉普拉斯变换分析性的结果的参数，可以表明它们扩展到更大的复杂域。引理31（关于n下R和H的联合定律）。假设λ>0且0<y≤ u，那么我们没有- e-λR；H<y]=-2年+√2λcoth（y√2λ）。（39）证明。为了证明这一点，我们使用了第5.2节给出的交易偏离度量的描述。从（30）中，我们首先注意到，对于0<x<u，R（Zx）=Tx（ρ）+Tx（|ρ）和H（Zx）=x。随机变量Tx（ρ）和Tx（ρ）是x级BES过程的独立首次命中次数。相应的拉普拉斯变换是众所周知的，即-λTx（ρ）]=E[E-λTx（|ρ）]=x√2λsinh（x√2λ）。（40）见[Ken78，（3.8），第762页]，其中ν=1/2，另见[BPY01，表2，第3行，第1列，第450页和第4.5节，第453页]。从推论29我们得到- e-λT；H<y]=ZuE[1- e-λR（Zx）；H（Zx）<y]x-2dx（41）=ZyE[1- e-λR（Zx）]x-2dx=Zy1.- Ehe公司-λ（Tx（ρ）+Tx（￠ρ））ix个-2dx（42）=Zy1.-x个√2λsinh（x√2λ）！x个-2dx=-2年+√2λcoth（y√2λ）。（43）定理32（交易偏离测度下的双曲线表）。设λ>0.1。我们有针对下一个I类交易的交易波动周期[1- e-λRI]=-2u+√2λcoth（u√2λ), (44)2. 对于到下一个II类交易的交易漂移长度RIIo[1- e-λRII]=2u-√2λcsch（2u√2λ），（45）3。对于交易漂移到下一个交易的长度R[1- e-λR]=√2λtanh（u√2λ）。（46）证明。

第（1）部分是根据[YY13，p.66]得出的，并与定理31的结果一致，即特殊情况y=u。对于第（2）部分，我们首先从（31）中注意到，R（Zu）=Tu（ρ）+Tu（| b |），其中ρa BESprocess和| b |是一个独立的反映布朗运动，随机变量Tu（ρ）和Tu（| b |）分别是其水平u的首次命中时间，H（Zu）=u。相应的拉普拉斯变换是众所周知的，即-λTu（ρ）]=u√2λcsch（u√2λ），E[E-λTu（| b |）]=cosh（u√2λ）。（47）见[Ken78，（3.8），第762页]，其中ν=1/2和ν=-1/2，另见【BPY01，表2，第3行，第3列，第450页和第4.5节，第453页】。因此我们得到推论29n[e-λRII；H=u]=2uE[E-λ（Tu（ρ）+Tu（| b |））]（48）=√2λ2正弦（u√2λ）cosh（u√2λ）=√2λcsch（2u√2λ）。（49）第（3）部分是通过将第（1）部分和第（2）部分以及双曲函数的初等复制公式相加而得到的，【AS64，4.5.31，p.84】。备注33。我们可以将（44）和（45）重写如下：n[1- e-λRIH<u]=√2λcoth（u√2λ），（50）和N[e-λRIH=u]=√2λcsch（2u√2λ）。（51）注意n[e-λRIH<u]=∞ 对于所有λ>0的情况。我们可以用θ函数更明确地描述n下R和H的分布。θ函数有许多符号和参数化，请参见[WW96，第21.9节，第487页]了解概述。我们选择了一个受[Dev09]启发的变体，它允许对转换公式进行简单的陈述。设θ（x）=2Xn≥1e级-（n）-1/2）πx，（52）θ（x）=1+2Xn≥1e级-nπx，（53）θ（x）=1+2Xn≥1个(-1） 东北-nπx.（54）定理34（θ表）。我们有1个。n[R>x，H<y]=2yθπx2y- 1., x>0，0<y≤ u（55）使用这个符号系统，我们得到θ（x）≡ 0，因此此处不提及。2、n[R>x，H=u]=2u1.- θπx8u, x>0，（56）3。n[R>x]=2uθπx2u, x>0。（57）证明。根据Fubini定理和（39），我们计算了拉普拉斯变换z∞e-λxn【R>x，H<y】dx=λn【1】- e-λR；H<y]（58）=-2λy+√2λcoth（y√2λ）。（59）这与（55）的拉普拉斯变换一致，即已知的。