布朗交易漂移和雪崩

很容易通过逐项变换进行检查，然后应用双曲余切的部分分式展开。方程（56）和（57）可以用类似的方式证明。为了便于以后使用，我们将这些公式与x和y进行了区分，并得到n[R∈ dx]=-π4uθπx2udx。（60）n【R】∈ dx，H∈ dy]=3π4yθπx2y+πx4yθπx2yI（0，u）（y）dxdy（61）-π16uθπx8udxδu（dy）。（62）6.2概率测度下的双曲线表我们有两种泊松点过程的通用装置，将概率测度的结果与其强度测度的结果联系起来，即指数公式【RY99，Prop.XII.1.12，p.476】和主公式【RY99，Prop.XII.1.10和Corl.XII.1.11，p.475】。定理35（指数形式的双曲线表）。设λ>0，t>0.1。我们有一段时间的交易周期，以进入下一个I类交易经验值-λX0<s≤tRI（es）= 经验值-t型-2u+√2λcoth（u√2λ）, （63）2。对于下一个II类交易的交易漂移长度经验值-λX0<s≤tRII（es）= 经验值-t型2u-√2λcsch（2u√2λ）, （64）3。对于交易漂移到下一个交易的长度R经验值-λX0<s≤tR（es）= 经验值-t型√2λtanh（u√2λ）. （65）证明。这遵循了f（s，u）=λRI（u），f（s，u）=λRII（u），f（s，u）=λR（u）的指数公式和上述定理32。备注36。左侧的和是对偏移的求和，直到局部时间达到t级，这对应于实时τt.Corolution 37（加法形式的双曲线表）。假设λ>0，t>0.1。我们有一段时间的交易周期，以进入下一个I类交易X0<s≤t型1.- e-λRI（es）= t型-2u+√2λcoth（u√2λ）. （66）2。在下一次交易中，假设它是IIE型X0<s≤t型1.- e-λRII（es）= t型2u-√2λcsch（2u√2λ）. （67）3。我们有时间进行下一次交易X0<s≤t型1.- e-λR（es）= t型√2λtanh（u√2λ）. （68）证明。

这源自主公式[RY99，XII.1.10]，其中f（s，u）=1-e-λRI（u），f（s，u）=1- e-λRII（u），f（s，u）=1- e-λR（u）和上述定理32。7 LOB中雪崩长度的拉普拉斯变换通过雪崩执行。换句话说，限价订单可能会在一定程度上累积，当价格过程超过这些值时，我们将看到订单数量的进一步减少。如果在超过ε>0的时间段内没有订单执行，我们将记录。回顾定义4和6，Θ表示所有交易时间的集合，Υ（t）（resp.Ξ）表示时间t之前的最后一次交易时间（resp.next trade after）定义38。莱塔∈ Θ，Υ（a）≤ （a）- ε） +，b∈ Θ，Ξ（b）≥ b+ε，（69）Ξ（t）≤ t+εt型∈ （a、b）。（70）ε-雪崩定义为过程{Wt:a≤ t型≤ b} 。我们称a和b为雪崩的开始和结束。相应的ε-雪崩长度为b- a、 有一系列停止时间（Tan）n≥1计算雪崩的开始，以及一系列诚实的时间（十）n≥1计算雪崩的结束时间（对于已完成的过滤）。我们感兴趣的是雪崩长度的分布，我们将依赖于相互交易时间分布的双曲线表。定理39。设T为开始ε-雪崩的停止时间，aε为相应的雪崩长度。然后我们有拉普拉斯变换器-λAεi=H（ε）H（ε）+Rε（1- e-λx）h（x）dx。（71）其中h（ε）=2uθπε2u, h（x）=-π4uθπx2u. （72）证明。让e表示ask方的交易偏移过程。我们已经看到，这是一个强度测度为n的泊松点过程。让R表示偏移长度泛函。SetXs=X0≤r≤sR（er），s≥ 0。（73）根据定理35和定理34，我们可以看到X是一个L'evy过程，L'evy测度νX（dx）=n（dx）=h（X）dx，X>0。（74）对于ε>0，我们可以用ys=X0写X=J+Y≤r≤sXsI公司Xs>ε，Js=Xs- Ys，s≥ 0

（75）那么J和Y是两个独立的L'evy过程，L'evy测度νJ（dx）=Ix≤εh（x）dx，νY（dx）=Ix>εh（x）dx，x>0。（76）设S=inf{S≥ 0：Ys>0}。这是具有L'evy测度ν的复合泊松过程的第一次跳跃时间，因此与参数β呈指数关系，由β=νY（R+）=n[R>] = H类(). （77）J saysκ（λ）=Z累积量的L'evy-Khintchine公式∞（e）-λx- 1） νJ（dx）。（78）直接积分得出κ（λ）=-Zε（1- e-λx）h（x）dx。（79）整个雪崩长度为A=JS。通过独立性，我们得到了拉普拉斯变换-λA]=Z∞eκ（λ）sβe-βsds=β- κ（λ）（80），并将其与上述结果相结合，得出结果。备注40。让我们忽略第二类交易，并假设订单仅在第一类情况下执行。Dassios和Wu【DW15】在巴黎期权的背景下推导了雪崩长度Lε的拉普拉斯变换。同样的公式可以从由布朗通过时间组成的从属函数的L'evy测度中推断出来（Dudokde Wit[DdW13]）。结果是他-λLεi=√λεπerf√λε+ e-λε，（81），可通过选择▄h（x）=x以完全类似的方式证明-3月2日/√2π，它是Ito测度n下偏移长度T的密度，而不是函数h。在这种情况下，分母中的积分可以通过一些初等计算根据误差函数进行计算。8技术备注、讨论和证明8.1第一次交易后订单簿的深度下一个引理表明，在第一次交易τ发生后，限额订单簿的订单深度至少为u。这里，我们在与第3节相同的假设下工作。引理41。τ是第一笔交易，对于任何t≥ τ有一个闭集Kt，它是aLebesgue空集，使得（α（t），α（t）+u）\\Kt {x∈ R:V（t，x）>0} （α（t），∞).证据

最后一个包含是微不足道的。对于t∈ [0，τ]对于任何x<w，我们有V（t，x）=0*（0，τ）+u，因此，第一次交易不会发生在[0，τ]中。此外，我们有{w（t）：t∈ [0，τ]}=[w*（0，τ），w*（0，τ）]=[w*（0，τ），w*（0，τ）+u]。因此，L·τ具有支持度[w*（0，τ），w*（0，τ）+u]。LetKτ：={x∈ 【w】*（0，τ），w*（0，τ）+u）：Lxτ=0}={x∈ 【w】*（0，τ），w*（0，τ）+u）：Lx-uτ=0}。然后，Kτ被占据密度的连续性所闭合，它是一个勒贝格零集。显然，我们有{x:V（τ，x）>0}={x:Lx-uτ>0}=[w*（0，τ），w*（0，τ）+u]\\Kτ。第一项声明如下。让T∈ [τ, ∞] 对于任何t∈ [τ，T）该主张成立。假设T<∞. 通过w的连续性，索赔在时间T成立。同样，通过连续性，δ>0，使得w*（T，T+δ）<w*（T，T+δ）。我们有V（t，x）=V（t，x）1σt，t（x）=t+Lx-ut- Lx公司-uσT，T（x），其中σT，T（x）：=inf{s∈ [T，T]：对于任意x，w（s）=x或s=T}∈ R、 t型∈ [T，T+δ]。Forx>w*（T，T）我们有σT，T（x）=T和henceV（T，x）=V（T，x）+Lx-ut- Lx公司-uT代表x≤ w*（T，T）我们有V（T，x）=0。因此，{x:V（t，x）>0}={x>w*（T，T）：V（T，x）>0}∪ {x∈ R：Lx-ut- Lx公司-uT>0}。这显然与T的最大值相矛盾。因此T=∞. 第二项要求如下。8.2适当交易τ为路径w的交易时间的条件意味着订单簿在任何足够小的间隔（w（τ），w（τ）+ε）内均无效。这并不一定意味着实际交易发生在τ。实际上，如果订单簿最初是空的，那么τ：=inf{t>0:w（t）- inf{w（s）：s∈ （0，t）}=u}是第一次交易的时间，如果另外Linf{w（s）：s∈（0，t）}τ=0（如果占用密度是连续的，则会发生），然后V（τ-, α（τ））=0，即限价指令簿的指令仅在α（τ）级别的正上方。

然而，这种现象在某种程度上是连续工作的事实，就目前的研究而言，将这些时间也包括在“交易时间”的标签下是非常明智的。事实上，适当的交易发生在时间τ>0 i ffv（τ-, w（τ））>0（然后，一如既往，V（τ，w（τ））=0）。注意，只要订单量可以用连续函数来描述，那么最佳出价和出价的数量将为零。最后，我们要确定适当的交易。首先，我们需要知道limitorder账簿从第一个交易时间τ开始，至少有u的订单深度。引理42。设η为η的随机时间≥ τ，其中τ在定义11中定义。那么我们有（α（η），α（η）+u） {x∈ R:V（η，x）>0}P-a.s.证明。我们有τ=inf{t>0:W*（0，t）+u=W*（0，t）}，V（t，x）=Lx-ut- Lx公司-uσt（x），{x∈ R：Lx-ut>0}=（W*（0，t）+u，W*（0，t）+u），P-a.s。。因此，我们得到{x∈ R:V（τ，x）>0}={W*（0，τ），W*（0，τ）+u}=（α（τ），α（τ）+u）P-a.s。因此，对于随机时间η≥ τ我们有{x∈ R:V（η，x）>0} （α（η），α（η）+u）P-a.s.下一个命题将正确的交易确定为与Ia型和Ib型交易完全相同的交易。命题43。LetΘ！：={t>0:V（t-, w（t））>0}。ThenP（Θ！=ΘIa∪ ΘIb）=1。换言之，当且仅当发生Ia型或IB型交易时，才发生适当的交易。证据让t∈ Θ！。设δ>0，使V（t- , w（t））>0表示任何 ∈ （0，δ）。现在让我们 ∈ （0，δ）。引理42得出α（t- ) < w（t）。因此，存在t∈ （t- , t） 使得α（t) = w（t). 因此，我们有∈ Θ。因此，我们有Υ（t）=t∈ ΘIa∪ ΘIb.现在，让t∈ ΘIa∪ ΘIb.命题13得出∈ [0，t]使得α（s）=w*（t，s）对于任何s∈ [t，t]。自t起/∈ Θii我们有t<t。因此，有∈ 引理42得出，对于anyx，V（t，x）>0∈ （α（t），α（t）+u） [α（t），α（t）+u]。

因此，对于anys，V（s，x）>0∈ [t，t），x∈ [α（t），α（t）+u）。这意味着V（t-, w（t））=V（t-, α（t））>0。因此，t∈ Θ！。参考文献【AJ13】Fr“ed”eric Abergel和Aymen Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（5）：1350025（40页），2013年。米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯特根。国家标准局应用数学系列第55卷《数学函数与公式、图形和数学表格手册》。供1964年华盛顿特区美国政府印刷办公室文件总监出售。【BHQ14】克里斯蒂安·拜耳、乌尔里希·霍斯特和金鸟球。具有状态相关价格动态的限价订单的函数极限定理。ArXiv e-prints，2014年5月。罗伯特·M·布卢门塔尔。马尔可夫过程的漂移。Birkh–auser Bostonic公司。，马萨诸塞州波士顿，1992年。菲利普·比安、吉姆·皮特曼和马克·约尔。与雅可比θ和黎曼-泽塔函数以及布朗漂移相关的概率定律。《美国数学学会公报》，38（4）：435–4652001。拉玛·康特和阿德里安·德拉拉德。马尔可夫limitorder市场中的价格动态。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：1-252013年。【CJP15】’阿尔瓦罗·卡塔（Alvaro Cartea）、塞巴斯蒂安·贾蒙加尔（Sebastian Jaimungal）和何塞·佩纳尔瓦（Jose Penalva）。算法和高频交易。剑桥大学出版社，2015年。[CST10]Rama Cont、Sasha Stoikov和Rishi Talreja。订单动态的随机模型。运筹学，58（3）：549–56320010。洛朗·杜多克·德维特。基于限额指令簿的流动性风险。硕士论文，TU-Wien和EPFL，2013年。[Dev09]Luc Devroye。关于一些与雅可比θ函数有关的分布的精确模拟算法。《统计与概率快报》，79（21）：2251–22592009。Sylvain Delattre、Christian Y.Robert和Mathieu Rosenbaum。

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