布朗交易漂移和雪崩

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英文标题：
《Brownian trading excursions and avalanches》
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作者：
Friedrich Hubalek and Paul Kr\\\"uhner and Thorsten Rheinl\\\"ander
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study a parsimonious but non-trivial model of the latent limit order book where orders get placed with a fixed displacement from a center price process, i.e.\\ some process in-between best bid and best ask, and get executed whenever this center price reaches their level. This mechanism corresponds to the fundamental solution of the stochastic heat equation with multiplicative noise for the relative order volume distribution. We classify various types of trades, and introduce the trading excursion process which is a Poisson point process. This allows to derive the Laplace transforms of the times to various trading events under the corresponding intensity measure. As a main application, we study the distribution of order avalanches, i.e.\\ a series of order executions not interrupted by more than an $\\varepsilon$-time interval, which moreover generalizes recent results about Parisian options.
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中文摘要：
我们研究了一个简约但非平凡的潜在限制订单簿模型，其中订单是以中心价格过程的固定位移下达的，即介于最佳出价和最佳询问之间的某个过程，并且在该中心价格达到其水平时执行。这种机制对应于相对有序体积分布的带乘性噪声的随机热方程的基本解。我们对各种类型的交易进行了分类，并介绍了交易漂移过程，即泊松点过程。这允许导出相应强度度量下不同交易事件的时间拉普拉斯变换。作为一个主要应用，我们研究了订单雪崩的分布，即一系列订单执行没有被超过$\\ varepsilon$-时间间隔中断，这进一步推广了关于巴黎期权的最新结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Brownian_trading_excursions_and_avalanches.pdf (470.13 KB)

2022-5-30 23:44:29 上传

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关键词：distribution Mathematical Displacement Quantitative parsimonious

布朗交易漂移和雪崩弗里德里希·胡巴莱克*Paul Kr¨uhner+Thorsten Rheinl¨ander2018年8月31日，我们研究了潜在限额订单的一个节俭但不平凡的模型，在该模型中，订单从中心价格过程（即介于最佳出价和最佳出价之间的某个过程）以固定的位移下达，并在该中心价格达到其水平时执行。这一机制对应于相对有序体积分布具有乘性的随机热方程的基本解。我们对各种类型的交易进行了分类，并介绍了交易漂移过程，即泊松点过程。这允许导出相应强度度量下不同交易事件的时间拉普拉斯变换。作为一个主要应用，我们研究了订单雪崩的分布，即一系列订单执行的中断时间不超过一个ε-时间间隔，这进一步推广了关于巴黎期权的最新结果。1简介本研究的主要目的是为金融资产开发一个精简的limitorder book（LOB）模型，在该模型中记录价格水平和订单数量远离最佳出价/要价。有关市场微观结构交易的概述，请参阅[CJP15]。许多关于LOB的文章，从Kruk[Kru03]开始，正在研究一些离散建模动力学的极限行为。Cont和deLarrard【CdL13】将最佳出价和询价的动态建模为两个相互作用的变量*金融和精算数学，维也纳理工大学，维德纳·霍普斯特拉8/105-11040维也纳，奥地利。电话：+43-1-58801-10511传真：+43-1-58801-9-105199(fhubalek@fam.tuwien.ac.at)+金融和精算数学，维也纳理工大学，维也纳华普斯特拉8/105-11040，奥地利维也纳。

电话+43-1-58801-10552传真+43-1-58801-9-10552(paulkrue@fam.tuwien.ac.at)金融和精算数学，维也纳理工大学，维德纳·豪普斯特拉（Wiedner Hauptstrasse）8/105-1，1040维也纳，奥地利。电话+43-1-58801-10550传真+43-1-58801-9-10550(rheinlan@fam.tuwien.ac.at)队列。他们的结构模型将高频价格动态与订单流相结合，正正态下的马尔可夫跳跃扩散过程达到了相应的极限。Horst等人【BHQ14】推导出了一个函数极限定理，其中常备买卖量密度的极限由两个线性随机偏微分方程描述，这两个方程与一个二维反射布朗运动相耦合，该运动是最佳买卖价格过程的极限，而Abergel和Jedidi【AJ13】则考虑了LOB在不同距离的体积与最佳要价，并确定了中间价的差异限制。Delattre等人【DRR13】研究有效价格，这是市场从业者可以同意的价格及其统计数字。Osterrieder[Ost06]在标记点流程模型中捕获订单的下达，因此订单簿由多个度量值流程建模。我们的研究与上述工作截然不同。关于焦点，我们考虑一个潜在订单簿模型，见【TLD+11】，该模型包含低频交易者的订单，而高频订单通常在非常短的时间跨度后被取消，不会被记录。由于我们特别感兴趣的是limitorders是如何内在执行的，因此我们不考虑任何其他机制，除了中心价格（我们将其建模为布朗运动）达到limitorders所在的水平之外。

在这里，根据一些通用的聚合体积密度函数，相对于实际中心价格发布订单。通过伊藤公式对相对有序体积分布进行形式化扩展，结果是该体积分布解决了一个带有乘性噪声的随机热方程，这将在后续论文中进行研究【HKR17b】。在这里，我们对基本解决方案感兴趣，它对应于根据Dirac度量在某个远离最佳出价或要价的水平上下订单。这就产生了一个可接近但非常重要的极限指令执行模型。我们没有声称我们的模型是现实的，但它应该被理解为一个节俭的模型，以后可以在各个方向上扩展，就像订单到达过程和中心价格的更复杂模型一样。在此背景下，我们详细讨论并分类了各种类型的交易时间，这些交易时间可以通过双反射布朗运动来表征。书中的询问方有两种基本的执行机制（可以进一步细分）：当价格最大值上升时，第一类交易就会发生，而第二类交易则是在价格下跌超过中心价格的位移之后触发的。然后我们研究下一个交易时间的波动。TradingOffsition过程是一个泊松点过程，其强度度量已知。这使我们能够计算拉普拉斯变换的强度措施下的时间，以各种类型的交易方面的催眠功能。这些结果的一个主要应用是订单执行雪崩的研究，即一系列订单执行的中断时间不超过ε-时间间隔。

我们必须允许一个小的时间窗口，因为布朗运动没有增长点，所以指令不能执行。在这里，我们从paperStapleton和Christensen（SC06）关于雪崩的文章中获得了一些灵感，这符合自组织临界性理论的精神。在我们的模型中，我们推导出了订单执行的一般雪崩长度的拉普拉斯变换，它改进了之前巴黎期权上下文中的几个已知结果，特别是Dassios和Wu【DW15】以及Gauthier【Gau02】。Dudok de Wit【DdW13】在限价订单书籍框架中通过不同的方法证明了简单雪崩（不包含II类交易）的类似结果。本文的结构如下：在下一节中，我们将介绍我们的最新限额订单书模型，特别是订单安排和执行机制。第3节包含各种类型交易时间的分类，然后分析Dirac类型下的订单。在第5节中，介绍了交易漂移的中心思想，这导致在第6节中，关于时间到各种交易事件的拉普拉斯变换的双曲函数表。作为我们的主要应用，我们在第7节推导了阶数雪崩长度的拉普拉斯变换。2极限阶书籍的布朗运动模型[RY99，Sec.XII.2，p.480]我们将研究维纳空间（W，F，p）上布朗运动的规范版本W。

这意味着W是连续函数的空间W:R+→ R，w（0）=0，配有局部均匀拓扑，Pis是维纳测度，F是相对于P完成的w的Borelσ场，wt（w）=w（t），对于t≥ 0和w∈ W、 我们用{Lat:a表示∈ R、 t型∈ R+}对W的localtimes家族的双连续修改，见[RY99，Thm.VI.1.7，第225页]。我们假设订单在每个极小时间间隔dt内以密度1到达，将中心价格过程W建模为布朗运动，并用F=（Ft）t表示≥0其强化过滤。该“中心价格”被认为介于最佳出价和最高出价之间，请参见下文了解最佳出价/最低出价的准确订单执行机制。2.1绝对连续订单量让V（t，x）表示时间t的订单量≥ 0和级别x∈ R、 新极限阶的位置由一些可积函数g：R \\{0}控制→ R+。动态的直观描述如下：o在一个很小的时间间隔dt内，假设在每个级别Wt+x创建新的限额订单，体积密度为g（x）dx，o一旦中心价格达到相应级别，即当Wt=x时，将执行级别x的限额订单，o不会撤回订单。对于严格的定义，让我们用σ（t，x）：=sup{s表示∈ [0，t]：Ws=x或s=0}（1）时间t之前W从级别x的最后退出时间。现在考虑时间t≥ 0和alevel x∈ R、 在时间σ（t，x）时，执行x级的所有订单。体积V（t，x）是根据时间间隔（σ（t，x），t）内的新订单进行调整的，因此我们定义了（t，x）：=Ztσ（t，x）g（x-Ws）ds。（2） 注意，订单执行包含在（2）中，因为一旦W达到级别x，积分就会失效，从而捕获上述执行机制。

尤其是V（t，Wt）=0表示所有t≥ 我们区分了投标订单簿和询价订单簿流程，我们定义了sv（t，x）：=V（t，x）Ix≤Wt，V（t，x）：=V（t，x）Ix≥很明显，我们有V（t，x）=V（t，x）+V（t，x）。定义1。最佳ask过程α由α（t）：=inf{x给出∈ R:V（t，x）>0}，t>0（4），最佳投标过程β由β（t）：=sup{x给出∈ R:V（t，x）>0}，t>0（5）备注2。Hubalek、Kr¨uhner和Rheinl¨ander[HKR17b]指出，相对论随机场v（t，x）：=v（t，x+Wt）是SPDEdv（t，x）的弱解（在适当意义上）=xv（t，x）+g（x）dt+xv（t，x）dWt，（6）v（0，x）=0，v（t，0）=0，（t，x）∈ R+×R，（7）和V可以用y水平上的布朗局部时间lya表示，asV（t，x）=ZRLx公司-年初至今- Lx公司-yσ（t，x）g（y）dy，（8），由（2）通过占领时间公式得出，参见【RY99，推论VI.1.6】。2.2一般订单安排鉴于（8），我们建议对于有限Borel测度G，G（{0}）=0，订单bookprocessV（t，x）=ZRLx公司-年初至今- Lx公司-yσ（t，x）G（dy）。（9） 我们有V（t，x）≥ 0和V（t，x）≥ 0.一些作者，例如【CST10，第1.1节，第550页】通过在投标卷上附加一个负号来区分订单的买卖双方。分解为买卖（3）和最佳买卖（4）和（5）的定义同样适用于具有一般订单安排的模型。对于分析而言，特别重要的是订单安排不是绝对连续的，但仅发生在距离中心u>0的固定距离处。

这对应于选择g（dx）=δ-u（dx）+Δu（dx），（10），其中δ±u表示±u处的狄拉克分布，并导致v（t，x）=Lx+ut- Lx+μσ（t，x），V（t，x）=Lx-ut- Lx公司-uσ（t，x），（11），其中LXT表示x级的布朗当地时间。这些定义可以由[HKR17a]中离散订单模型的类似概念来驱动，可以通过对大小为1的单订单进行基本计数来研究。虽然该基本模型是一个总体简化模型，但它给出了一些关于交易时间分类的见解，并得出了关于订单雪崩的新数学结果，之前在巴黎期权的背景下进行过研究，参见【DW15】。此外，（11）可以被视为PDE（6）的基本解或格林函数，一般订单安排强度为g.3交易时间-定义和分类在本节中，我们从维纳空间上的交易时间的路径分析开始。为此，我们考虑固定的w∈ 允许一个连续的局部时间函数L，即L:[0，∞) ×R→ R+使得rt{w（s）∈A} 对于任何Borel集合A，ds=RALxtdx∈ B（R），t≥ 0、备注3。为了强调本节中结果的路径性质，我们应该编写Lxt（w）而不是Lxtand类似的V（t，x，w），V（t，x，w）等，但为了更好的可读性，我们在符号中省略了w。我们完全类似于方程式（11），但现在对于单程w，V（t，x）：=Lx+ut- Lx+uσ（t，x），V（t，x）：=Lx-ut- Lx公司-uσ（t，x），（12）α（t）：=inf{x>w（t）：V（t，x）>0}和β（t）：=sup{x<w（t）：V（t，x）>0}对于t>0，x∈ R、 交易时间正是路径w分别到达最佳askα的时间。最佳出价β。定义4。我们定义了ask交易时间集和bid交易时间集：={t≥ 0：w（t）=α（t）}，Θ：={t≥ 0:w（t）=β（t）}。（13） 备注5。

在下文中，我们将重点关注ask端，并简单地编写ΘforΘ。投标方的相应定义和结果完全类似。为了对交易时间进行分类，让我们介绍上一次和下一次交易时间。定义6。t之前的最后交易时间为Υ（t）：=sup{s∈ [0，t）：s∈ Ξ或s=0}，（14）t之后的下一个交易时间是Ξ（t）：=inf{s∈ （t，∞) : s∈ Θ或s=∞}. （15） 我们开始将不同的交易分为最佳ask增加的交易（类型I）和最佳ask减少的交易（类型II）。按照惯例，我们认为第一笔交易属于第二类。定义7。I类交易的集合由ΘI定义：={t∈ Θ：α（Υ（t））≤ α（t），Υ（t）6=0}（16）II型交易集为ΘII：={t∈ Θ：α（Υ（t））>α（t）或Υ（t）=0}。I型resp的示意图。图2分别给出了II类贸易。英菲格。5、对于更细的分类，我们区分交易累积的情况（a）在t之前和之后，（b）在t之前但不在t之后，（c）在t之后但不在t之前，以及（d）孤立交易。因此，隐修会有八种类型。定义8。ΘIa：={t∈ ΘI：Υ（t）=t=Ξ（t）}，ΘIb：={t∈ ΘI：Υ（t）=t<Ξ（t）}，ΘIc：={t∈ ΘI：Υ（t）<t=Ξ（t）}，ΘId：={t∈ ΘI：Υ（t）<t<Ξ（t）}，ΘIIa：={t∈ ΘII：Υ（t）=t=Ξ（t）}，ΘIIb：={t∈ ΘII：Υ（t）=t<Ξ（t）}，ΘIIc：={t∈ ΘII：Υ（t）<t=Ξ（t）}和ΘIId：={t∈ ΘII：Υ（t）<t<Ξ（t）}。（17） 然而，我们将在命题9中看到，IIa型和IIb型交易不存在，然后在随机设置中，在命题20中，隔离贸易（即Id型和IId型）的概率为零。唯一具有正可能性的交易是Ia型、Ib型、Ic型和IIc型。第7页图1给出了各种类型交易的示意图。提案9。II类交易不会从左侧累积，即我们有ΘIIa=和ΘIIb= 对于所有w∈ W、 证明。

让t∈ Θii并假设Υ（t）=t。然后α（Υ（t））=α（t），因此t/∈ ΘII。因此，t∈ ΘIIc∪ ΘIId。备注10。请注意，如果w=0，且订单簿最初为空，则按照定义，首次交易将为II类交易。此外，所有II类交易的后续水平均低于或等于最后一个交易水平，而I类交易的发生水平高于最后一个交易水平。在第一次交易后，我们有以下连续的交易：首先，在每个ε-区间内有很多Ia类交易，直到α向下偏移，即α向上偏移- W从零开始。W0W0+uW0- uASKBIDIIIIIIIIIBAICIBIIIIIIIIBIIWIWTαt图1：不同类型交易时间的示意图我们介绍了最佳ask流程α的替代表示法。这将在下一节中用于以概率方式描述下一笔交易的时间。表示byw*（s，t）：=sup{w（r）：r∈ [s，t]}，w*（s，t）：=inf{w（r）：r∈ （18）区间[s，t]内路径w的运行最大值和最小值。定义11。设Γs：=inf{t≥ s：w（t）=w*（s，t）+u}，ψs：=inf{t≥ s：w（t）=w*（s、t）- u}（19）和任何n的定义≥ 0乘以τ：=0和τn+1：=∞ τn=∞Γτnn偶数，tn<∞ψτ否。（20） 我们从时间点τn，n的一个小观测开始∈ N、 引理12。序列（τn）n∈Nis严格增加，直至达到∞ 它没有固定的聚集点。证据让n∈ N使得τn6=∞. 通过w的连续性，η>0使得| w（t）-对于任何t，w（τn）|<u/2∈ [τn，τn+η]。那么，w*（τn，τn+η）-w*（τn，τn+η）<u，因此ψτn，Γτn>τn+η。因此，τn+1>τn+η。现在通过矛盾假设τn%t对于某些t∈ （0，∞). 通过w的连续性，η>0使得| w（t）-对于任何s，w（s）|<u/2∈ [t-η、 t）]。此外，还有n∈ 确保|τn- t |≤ η，因此我们有t>τn+1>τn+η≥ t。