切比雪夫约化基函数在期权定价中的应用

我们注意到，IF高于分析中使用的Matlab/计算机的操作限制，仅存储在一个数组中。虽然可以处理存储问题，将多项式拆分为几个部分并加载/丢弃所需的数据，但不幸的是，就速度而言，这意味着计算时间的大幅增加。关于IF，设{tMi}i=0表示区间[0，365]中的13个切比雪夫节点。对于tMiwe的每个值，为其余变量构建7变量插值多项式。这样，我们就有了13个可以处理的较小多项式。在我们的示例中，91秒主要是由于调用7个变量的较小多项式时多次使用了函数负载。我们提到，如果多项式更大，分裂过程可以扩展到其他变量，因此存储不是一个无法解决的问题。尽管如此，这会缩短计算时间，因为这意味着我们需要频繁地从内存加载数据。关于插值多项式的误差，图2显示了内存存储与均方误差的对数。105106107108109101010-610-510-4记忆要求（插值点数）图2：插值误差收敛。我们绘制了内存需求（水平轴）与每个多项式INF的均方误差（垂直轴）的对数。图2中回归线的斜率为-0.43。我们有良好的ErrorBehavior，精度达到0。

01203·10-4 N={12，12，…，12}。如果需要更高的精度，我们可以构建更大的插值多项式，这可以通过前面描述的分裂技术来处理。4.3缩基的数值分析。现在，如果第4.2小节中有规定，我们将采用第3节topolynomial中制定的缩减基差程序。如果切比雪夫节点Φ={αl}l，则层次过程中使用的点集将是构造插值多项式时使用的插值点集∈LN。我们还想知道新多项式是如何计算整个域的期权价格的▄Ohm. 为了验证这一点，我们使用了样本Θ(≈ 1、第4.2小节中定义的68.10个合同，其点与Φ的点不对应，并且平均分布在°Ohm.在表2中，我们研究了仅应用分层正交归一化算法的步骤1时的数值结果。一旦我们分解了≈MXk=0Ajk（x）qjk（x，…，xn），对于M=0，1。。。，12，我们可以在样本Φ和样本Θ中检查该方法的性能。表2中表示保留的函数基数（M+1）、每种情况下的总存储成本以及使用它们计算样本Φ和样本Θ的期权价格时的均方误差。函数基存储（字节）MSESampleΦMSESampleΘ1 5。01·103。41·10-42.545996·10-42 1。00·100。14·10-40.088629·10-43 1。51·103。79·10-60.024154·10-44 2。00·108。53·10-70.018056·10-45 2。50·106。72·10-80.012375·10-46 3。01·108。79·10-90.012198·10-47 3。51·102。30·10-90.012068·10-48 4。01·103。89·10-100.012034·10-49 4。51·105。29·10-110.012032·10-410 5。01·101。77·10-120.012033·10-411 5。52·102。33·10-140.012033·10-412 6。02·103。22·10-160.012033·10-413 6。52·101。18·10-280.012033·10-4如果6。52·100 0。

0120330555·10-4表2:Hierarchicalorthonormalization步骤1之后保留的函数基数。我们在评估样本Φ和样本Θ时，包括每种情况下的存储成本和承诺的MSE。全局错误由MSESampleΘ表示。请注意，第一个变量只有5或6个函数基，我们得到的多项式具有相当的精度，但需要一半的存储成本。现在，我们完全运行分层正交归一化算法（步骤1-7）。我们确定了参数的三个不同值, 哪里 当我们使用从程序中获得的多项式评估样本Φ时，是否允许最大均方误差。在表3中，我们包括了每个多项式的内存需求以及使用它们计算样本Θ的契约时所犯的错误。 MSE（SampleΘ）存储（bytes）内存节省SIF 0。01203·10-46.52·10Q4·10-70.01194·10-263·1099。038%Q5。5·10-70.01229·10-44、431·1099。319%Q6·10-70.01249·10-43.325·1099。489%表3：在应用分层正交归一化程序后，使用由IF构造的三个不同多项式评估样本Θ时产生的均方误差。我们将存储成本和与IF存储成本相关的内存节约包括在内。表3显示，使用缩减基方法，我们得到了许多较小的多项式（在记忆项中），它们给出了相同阶数的总体误差。我们注意到，正如预期的那样，如果 → 0，计算样本Θ时提交的错误收敛到0。

01203·10-4、IF的插值误差。关于计算时间，考虑以下几组点：1个合同（每个变量一个值）、210个合同（7个不同的股票价格、6个波动率、5个到期日）和SampleΘ（1679616个合同）。我们注意到，对于几个参数值不同的股票，评估样本Θ相当于实际市场中的价格期权。在表4中，我们显示了使用B-F方法、插值多项式IF和使用缩减基方法从IF构造的微分多项式评估这些合同集的计算时间。1合同210合同样本Θ(≈ 1.68·10）B-F方法41 s 41 s 3·10sIF 91 s 91 s 91 sQ0。301秒0。303秒0。768平方米。216 s 0。218秒0。583平方米。162秒0。164秒0。499稳定4：使用B-F方法评估不同合同集的计算时间，插值多项式IF和使用缩减基方法从IF构造的不同多项式。在表4中，我们可以看到B-F方法需要相同的时间来计算1或210份合同（因为它允许对S、σ和T进行张量评估）。为了计算样本Θ，需要针对{β，β，β，r，（λ+θ）}的每个不同值评估B-F方法，即7776次不同评估，每次41秒。IF在三个示例中需要相同的计算时间，因为第4.2小节中提到，多项式太大，必须在不同的部分进行运算。

计算时间是由于函数负载的多个雇员造成的。利用从约化基中获得的多项式，我们检索了使用多项式IF、IF时获得的张量计算速度，但精度更高（与表1相比）。关于样本分析中的计算时间（最小二乘搜索），我们指出，虽然使用通常的方法（MonteCarlo、Lattice、Spectrum）估计一个协商日t的参数需要几分钟，但使用多项式QI可以在几秒钟内完成。4.4模型校准。为了完成数值分析，我们检查了当我们想要将该技术应用于校准模型参数或预测未来欧洲期权合约价格时，该技术的表现。实验分为两部分。在第一个案例中，考虑到一组正在交易的欧洲看涨期权合约，我们希望校准模型（In）。我们的目标是找到GARCH模型的参数值{σt，β，β，β，（λ+θ）}，该模型给出了理论期权价格和交易价格之间的最小均方误差（MSE）。因此，我们的目标是在t时刻找到使函数最小的参数值，即mse（t）=NtNtXi=1Cit公司- Ci（Sit、tMi、Ki）. （18） 其中，Nt表示每个合同i在tand谈判的合同金额，Citis为市场价格，Ci（Sit、tMi、Ki）为模型价格。例如，可以将其视为与t谈判的美国债券相对应的恒定无风险利率。一旦我们校准了模型，我们就可以使用获得的参数来预测未来期权价格（Out）。在市场上，股价几乎一直在波动。

此外，可以谈判不同期限和/或罢工的新合同，这些合同以前没有交易过。假设其余的模型参数没有改变，我们将研究多项式近似法预测新股价格、行权或到期日的合同价格的效果，并将结果与市场给出的这些合同的价格进行比较。市场上交易的实物期权价格不是由离散搜索模型驱动的。影响期权价格的因素很多，而NGARCH模型只是这些因素的近似值。为了生成发挥“市场”价格作用的人工期权价格集（估计和预测），我们采用了赫斯顿开发的连续随机波动性模型（见[20]），由（dS（t）=rS（t）dt+pv（t）S（t）dz（t），dv（t）=κ*[θ*- v（t）]dt+σ*风险中性度量中的pv（t）dz（t），（19），其中参数ρ表示过程zand和z之间的即时相关性（见【20】）。这样，我们就产生了噪音或误差，因为无论是在估计还是预测中，离散NGARCHmodel都不能完全模仿连续SV模型。我们使用SV模型计算了市场契约的集合。我们注意到，我们的目标不是研究NGARCHSV模型的近似程度。我们的目标是将NGARCH模型（B-F方法）的估计和预测结果与插值多项式IF的结果以及在约基近似Q、Qa和Q中获得的多项式进行比较。我们确定无风险率r=0.05。无风险利率可以看作是一个可观察的数据，例如，它可以作为美国国债的固定利率来获得。

我们还确定了集合的值Ohm*={κ*, θ*, σ*, v（0），ρ}，对应SV模型的参数值。我们使用SV模型计算“市场”期权价格，罢工K=1，股票价格S=0.8，0.82，0.84。。。，1.18到期日T=10、40、70、。。。，340天。市场通常为不同的罢工交易合同，但我们重新确认，NGARCH模型在S/K关系中是线性的，因此它等效于确定罢工并计算不同股票价格的期权价格。表5表示使用B-F和每个多项式对参数值的估计。样本中的合同数量为264份。如表5所示，插值或约化基技术产生的数值误差会导致不同的参数估计，σt的值更容易观察到。然而，请注意，如果QQQσt6.69·10，则β，B-F的值-56.71·10-57.18·10-57.23·10-57.07·10-5β2.53·10-71.72·10-71.04·10-71.11·10-71.56·10-7β0.918 0.924 0.930 0.931 0.930β0.041 0.037 0.035 0.034 0.035（λ+θ）1.014 1.035 1.020 1.015 1.017表5：用B- F，IF，Q，Qand，Q.β和（λ+θ）非常接近，可能导致非常接近的随机过程动力学（成熟度增长到几乎一年）。β值非常小，对期权价格的影响可能非常小，这是一个更难准确估计的参数。现在让我们检查一下估算中的错误。表6显示了估算中的最大/平均合同价格和最大/平均绝对误差。价格错误B-F错误如果错误QError QError QMax 0.2488 6.5·10-412·10-49.5·10-49.6·10-49.4·10-4平均值0.0689 1.4·10-42.2·10-41.8·10-42.0·10-42.2·10-4表6：B-F、IF、Q、Qand Q估计的最大/平均绝对误差。我们注意到表6中有几个不同的误差。

firstone，错误标记为B-F，是模型充分性的误差。出现此错误是因为我们用离散的NGARCH模型近似连续SV模型。事实上，文献表明，如果我们使用真实的市场数据，这个误差会大一到两个数量级。表6中的第二个错误是IF列与B列之间的差异- F，这是插值误差。只要增加插值点的数量，这种差异就可以尽可能小（见第2节）。第三个错误是Q、Q、Q列与IF列之间的差异。这种差异来自于减少基数的方法，可以缩小到我们想要的程度，只是减少价值 （见（11））。现在，让我们尝试预测未来的期权价格（Out）。假设股票价格和到期日发生了变化。设S=0.79，0.81，0.83。。。，1.17和T=25，55，85。。。，325天。我们假设其余的marketparameter值没有改变。根据表5中估计的参数，我们用每种方法计算新的期权价格。另一方面，我们利用SV模型和参数值计算出准确的期权价格Ohm*并与预测进行比较。表7总结了与准确期权价格相关的误差。价格错误B-F错误如果错误QError QError QMax 0.2367 5.3·10-411·10-49.9·10-410·10-49.5·10-4平均值0.0669 1.5·10-42.3·10-41.8·10-42.0·10-42.1·10-4表7：IF、Q、Qand Q预测的最大/平均绝对误差。如果我们与表6进行比较，我们可以检查预测中的误差是否与所有数值方法的误差大小相同。我们还注意到，我们已经实现的实验可以看作是一致性分析。

虽然每个多项式得到的参数略有不同（见表5），但预测中得到的价格与精确的价格相当接近。因此，简化的基本方法可以成功地应用于估计模型参数/预测期权价格。此外，虽然我们需要几分钟时间用B-F或IF进行估计/预测，但我们可以在几秒钟内用多项式Q、Qor Q进行相同的计算。我们再次指出，我们的目标不是研究NGARCH模型到SV模型的近似值，但要将NGARCH模型（B-F方法）的估计和预测结果与插值多项式IF的结果以及在约化基近似Q、Qa和Q中获得的多项式进行比较。实验重复了几次，不同的值为Ohm*在SV模型中，作者提出的参数或[20]和[26]中采用/估计的参数。显然，在估计过程中，我们获得了不同的参数值，误差略有不同，但不同参数之间的行为（Ivs B-F、Qvs I，…）保持不变。5结论性意见在本文中，我们提出了一种切比雪夫约化基函数方法，以解决在处理多维插值时出现的“维数灾难”。这项工作的主要目标是减少多维模型中出现的计算时间和存储成本。我们还将该技术应用于金融经济学中实时期权定价/模型校准问题的实际问题，并取得了令人满意的结果。进一步的工作可能包括对所提出的工作与期权定价中使用的其他数值方法进行正式比较。这不是一项简单的任务。

首先（例如，参见[9]）不容易确定哪种模型（GARCH、SV、跳跃……）可能会给期权定价带来最好的结果。每个模型都采用了不同数量的维度，这可能会导致不同的数值问题，并且可能已经提出了几种数值方法来近似期权价格。我们认为可能会引起高度兴趣的另一项工作是研究这项工作中提出的想法是否可以与文献中的其他数值技术相结合。参考文献[1]Achdou Y.，Pironneau O.，期权定价的有限元法，皮埃尔·居里大学，2007年。[2] Balajewicz M.，Toivanen J.，随机波动和跳跃差异模型下美国期权定价的降阶模型，Promedia Computer Science，80734-74320016。[3] Black F.，Scholes M.，期权定价和公司负债，政治经济学杂志，81637-6541973年。[4] Bollerslev T.，广义自回归条件异方差，计量经济学杂志，31307-3271986年。[5] Bollerslev T.，Engle R.，Nelson D.，Arch模型，计量经济学手册（IV），Elsevier，2959-30381994年。[6] Breton M.，de Frutos J.，使用PDE方法的Garch过程下的期权定价，Informs，运筹学，581148-11572010。[7] Bungartz H.J.，Heinecke A.，P fluger D.，Schraufstetter S.，采用直接自适应稀疏网格方法的期权定价，计算与应用数学杂志，2363741-37502012。[8] Canuto C.、Hussaini M.Y.、Quarteroni A.和Zang Th。A、 ，光谱法。