切比雪夫约化基函数在期权定价中的应用

我们用有限差近似导数，如下▄F（▄x）≈b- aINF（x+h）-INF（x）h，其中0<h<1。如前所述，第2.1和2.2小节中开发的所有算法都足够通用。我们需要知道的唯一一件事是插值函数有多少个变量，而且一切都很简单。3约基逼近本节的目标是构建一个新的多项式，该多项式与前一节中构建的插值函数具有相当的精度，但内存需求较少。假设我们得到一个高次多项式PN。目标是从中构造一个较小的多项式，在记忆方面，而不是在度方面，其全局值与原始值一样。我们将要开发的方法可以导出到其他类型的多项式，但由于我们的求值算法是为切比雪夫多项式设计的，因此构造的重点是利用它们的特性。它也足够一般，可以应用于任何n变量多项式。3.1层次正交归一化假设我们有一个多项式pn（x，…，xn），N=[N，N，…，Nn]∈ Nn，（10），其中N表示每个变量的阶数。我们的目标是，给定一组点Φ={φi}mΦi=1和 > 0，构造多项式QNΦ从PN开始，使得mΦmΦXi=1PN（φi）- QNΦ（φi）< , （11） 其中多项式QNΦ具有与（11）兼容的最小大小（在内存方面）。虽然可以选择另一组点，但由于我们正在继续上一节的工作，即PN=INF，某个函数的插值多项式▄F（▄x），自然点集Φ将是插值多项式构造中使用的点集，即切比雪夫节点Φ={αl}l∈LN。我们的方法是使用按层次选择的正交函数的基础。

我们将要构造的过程中出现的所有多项式都必须用切比雪夫多项式的函数来编写。因此，使用与之相关的加权范数并利用简化微积分的所有相关属性是很自然的。定义3.1。给定两个函数f（x，…，xn）和g（x，…，xn），其中（x，…，xn）∈ [-1，1]n，我们将加权标量积<f，g>Lω定义为：<f，g>Lω=Z-1.Z-1f（x，…，xn）g（x，…，xn）p1- x、 。。。p1级- xndx。。。dxn。我们用| |·| | Lω表示由这个标量积导出的范数。以下结果是众所周知的。引理3.1。切比雪夫多项式Ti（x）与标量积<f，g>Lω正交。此外，若H（x）是一个小于或等于2n+1的多项式，则z-1H（x）√1.- xdx=nXj=0πnH（xj）=π2nH（x）+n-1Xj=1πnH（xj）+π2nH（xn），其中{xj}nj=0是[-1,1]中的切比雪夫节点。（Gauss Lobato Chebyshevcuadrature）定义3.2。设f（xj，xj+1，…，xn）和g（xj，xj+1，…，xn）是两个函数，使得（xj，xj+1…，xn）∈ [-1，1]n-j+1。我们定义函数<f，g>Lj+1，nω（xj）=Z-1.Z-1f（xj，…，xn）g（xj，…，xn）q1- xj+1。。。p1级- xndxj+1。。。dxn。为了表示法的简单性，我们表示<f，g>Lj+1，nω（xj）=<f，g>Lj+1，nω。分层Gram-Schmidt过程的算法具有n- 1如果多项式PN（x，…，xn）有n个变量，则执行步骤。层次正交归一化过程：让我们考虑PN（x，…，xn）。为简单起见，假设xj∈ [-1，1]。让我们也考虑一组点Φ={φi}mΦi=1，φi∈ [-步骤1：设{αi}Ni=0表示[-1，1]和definepi（x，…，xn）=PN（αi，x，…，xn）。

很容易检查我们是否可以重写pnas:PN（x，…，xn）=NXi=0ai（x）Pi（x，…，xn）=R（x，…，xn），其中ai（x）是N次多项式，对于m=0，1。。。，Nit保持：（ai（αi）=1，ai（αm）=0，i 6=m。对于i∈ {0，…，N}，我们设置▄qi=Piand qi=▄qiqiLω并计算：j=argminiR- < R、 qi>L2，nωqiLω。我们定义qj=qjand R=R- < R、 qj>L2，nωqj。对于i∈ {0，…，N}- j、 我们设置▄qi=Pi- < Pi，qj>L2，nωqjandqi=~qiqiLω和computej=argminiR- < R、 qi>L2，nωqiLω。我们定义qj=qjand R=R- < R、 qj>L2，nωqj。我们进行迭代，最终得到一组正交多项式{qjk}Nk=0，使得PN（x，…，xn）=NXk=0Ajk（x）qjk（x，…，xn），其中Ajk（x）=<PN，qjk>L2，nω，k=0，1。。。，N、 我们近似nowPN（x，…，xn）≈MXk=0Ajk（x）qjk（x，…，xn）=Q（x，…，xn），其中Mis为第一个指数，使得mΦmΦXi=1PN（φi）- Q（φi）< . （12） 让我们观察一下，第一个多项式Qjk是那些在（12）的意义上有更多关于PN的“信息”的多项式。事实上，通常使用非常少的项（取决于变量），就可以很好地近似原始多项式。此外，所需的存储量大大减少。步骤2：每个qjk（x，…，xn）是一个n- 1个变量多项式，我们可以按照步骤1中的方法进行。对于每个jk，设{αi}Ni=0为中的N+1切比雪夫节点[-1，1]和qjk（x，…，xn）=NXi=0ajki（x）Pjki（x，…，xn）=Rjk（x，…，xn），其中Pjki（x，…，xn）=qjk（αi，x，…，xn）。对于i∈ {0，…，N}，我们设置▄qjk，1i=Pjkiand qjk，1i=▄qjk，1iqjk，1iLω并计算：L=argminiRjk公司- < Rjk，qjk，1i>L3，nωqjk，1iLω。我们定义了qjk，l=qjk，1land Rjk=Rjk- < Rjk，qjk，l>L3，nωqjk，l.现在，对于i∈ {0，…，N}-l、 我们设置▄qjk，2i=Pjki- < Pjki，qjk，l>L3，nωqjk，land qjk，2i=~qjk，2iqjk，2iLω。

我们再次计算=argminiRjk公司- < Rjk，qjk，2i>L3，nωqjk，2iLω。我们定义了qjk，l=qjk，2land Rjk=Rjk- < Rjk，qjk，l>L3，nωqjk，l。我们迭代进行，最后我们将得到q=MXk=0Ajk（x）NXm=0Ajk，lm（x）qjk，lm（x，…，xn）！，式中，Ajk，lm（x）=<qjk（x，…，xn），qjk，lm（x，…，xn）>L3，nω，m=0，1。。。，N、 我们将PN（x，…，xn）近似为PN≈MXk=0Ajk（x）MXm=0Ajk，lm（x）qjk，lm（x，…，xn）！=Q（x，…，xn），其中Mis为第一个指数，使得mΦmΦXi=0PN（φi）- Q（φi）< . （13） 我们迭代进行，直到完成步骤n-1，然后停止。我们将得到一个新的多项式，它可以写成PN≈ QNΦ=M、 M，。。。，明尼苏达州-1Xi，我，。。。，在里面-1Ai（x）Ai，i（x）。。。一-1i，i，。。。，在里面-1（xn-1） qn公司-1i，i，。。。，在里面-1（xn）。注意NΦ= {M，…，Mn-1，Nn}是每个变量中使用的函数基数。还应注意，一般情况下，QNΦ的度数仍然是N×N×。。。×Nn。我们注意到NΦ的最后一个值是nn，因为最后一个变量保持不变。如果多项式Pn的变量在约化基本过程之前重新排序，并且Nni是Ni中最小的，则可以获得改进的结果（在记忆方面）。从视觉上看，我们可以检查大内存的节省。图1显示了当N=5、N=3、N=4…时算法前三个步骤的示例。。。。树表示每个步骤中丢弃的每个变量和函数基中的正交分解：3个函数基（步骤1-虚线）、2个函数基（步骤2-虚线）和1个函数基（步骤3-点线）。被丢弃的树的比例大致代表相对于我们的方法获得的原始多项式pn所节省的内存。最后一步是使张量求值算法达到qnΦ.步骤1步骤2步骤3步骤1在步骤2步骤3图1：截断正交分解中丢弃的函数基础。

此图显示了在Hierarchicalorthonormalization过程的每个步骤（步骤1虚线、步骤2虚线和步骤3虚线）中丢弃的函数基（相当于内存节省）。3.2约化基本多项式QNΦ的张量计算为张量求值asQNΦ重写=M、 M，。。。，明尼苏达州-1Xi，我，。。。，在里面-1Ai（x）Ai，i（x）。。。一-1i，i，。。。，在里面-1（xn-1） qn公司-1i，i，。。。，在里面-1（xn）=MXi=0Ai（x）MXi=0Ai1,2（x）。。。明尼苏达州-2英寸-2=0An-2i1，n-2（xn-2） 明尼苏达州-1新-1=0An-1i1，n-1（xn-1） qn公司-1i1，n-1（xn）。其中，我们表示i1，j=（i，i，…，ij）。每个多项式都写在切比雪夫多项式的函数中：Ai（x）=NXj=0aj，iT（x），Ai1,2（x）=NXj=0aj，i1,2T（x）。。。一-1i1，n-1（xn-1） =Nn-1Xj=0an-1j，i1，n-1T（xn-1） ，qn-1i1，n-1（xn）=NnXj=0anj，i1，n-1T（xn），（14）和QNΦ存储在内存中，将先前多项式的系数存储在n个不同的多维数组中。假设我们要计算有限点集Θ中的多项式（见（7））。我们采用表示法ηj={xkj}qjk=1，其值在（4）给出的变量变化后从集合Θ中获得。多项式Ai（η）的求值。。。，一-1i1，n-1（ηn-1） ，qn-1i1，n-1（ηn）当（14）给出时，可以使用第2.2小节中的第一个算法有效地完成。因此，假设我们已经对它们进行了评估，并将结果存储在数组中：Ai（η）=（A）（M+1）×q，Ai1,2（η）=（A）（M+1）×M+1）×q，。。。一-1i1，n-1（ηn-1） =（An-1） （M+1）×（M+1）×。。。×（Mn-1+1）×qn-1，qn-1i1，n-1（ηn）=（An）（M+1）×（M+1）×。。。×（Mn-1+1）×qn。定义3.3。设A，B是两个数组，使得A=（A）m×m×。。。×mk×a和B=（B）m×m×。。。×mk×b×。。。×bs。我们定义了特殊的张量数组运算C=A°B组件：C（j，…，jk-1，：，jk+1。。。，jk+s）=A（j，…，jk-1，：，：）B（j，…，jk-1，：，jk+1。。。，jk+s），（15），其中·表示矩阵乘以向量的通常乘积。从定义3.3可以看出，在（15）中，我们使用的是通常的矩阵时间向量乘法。

dim（C）=m×m×。。。×mk-1×a×b×。。。×bs。再次使用multiprod命令来执行特殊的tensorialarray操作。约化基多项式的张量求值可写为：QNΦ= Ai（η）~...一-2i1，n-2（ηn-2） 一-1i1，n-1（ηn-1） qn公司-1i1，n-1（ηn）...,其中，为了与数组的尺寸一致，必须严格遵循括号固定的顺序。结果将是q×q×。。。×qn维数组，包含多项式的求值，以及给定值对每个变量的所有可能组合。3.3关于折减基差法的评论。虽然在数值实验中，我们将看到结果在减少内存需求和计算时间方面相当好，但我们必须指出，所提出的程序可以改进。我们注意到QNΦ在各种意义上都不是最优的。首先，选择函数基的层次标准不一定是最优的。例如，可能存在多个函数基的组合，与我们的准则选择的函数基相比，这些函数基的总体误差更小。我们使用的SelectionCriteriam很快，因为当我们必须在每个步骤中对函数基进行分层排序时，我们只需要重新评估尚未排序的函数基。另一个可以改进的因素是截断准则。我们可以对整个多项式进行正交分解，。。。，Nn型-1Xi，我，。。。，在里面-1Ai（x）Ai，i（x）。。。一-1i，i，。。。，在里面-1（xn-1） qn公司-1i，i，。。。，在里面-注意，我们可以独立地截断树的一个分支或另一个分支。

例如：PN≈M、 N，N。。。，Nn型-1Xi，我，。。。，在里面-1Ai（x）Ai，i（x）。。。一-1i，i，。。。，在里面-1（xn-1） qn公司-1i，i，。。。，在里面-1（xn），orPN≈N、 M，N，。。。，Nn型-1Xi，我，。。。，在里面-1Ai（x）Ai，i（x）。。。一-1i，i，。。。，在里面-1（xn-1） qn公司-1i，i，。。。，在里面-1（xn）。我们的过程不会在整个多项式上最大限度地节省内存。当我们截断一个或其他变量的函数基时，可以设计一种方法来最大限度地节省内存，而不是使误差恶化。4数值结果我们现在将第2节和第3节中开发的技术应用于期权定价中使用的多维模型。本节概述如下。首先，我们将简要介绍金融期权和定价模型。然后，我们将构建一个特定定价函数的插值多项式，并应用缩减基方法。当我们使用这两种数值近似值时，将进行性能分析。4.1期权定价和GARCH模型欧洲看涨期权是一种金融工具，赋予买方在固定未来日期（到期日）和固定价格（履约或行权价格）购买股票或资产的权利，但无义务。如果买方行使其权利，卖方有义务按照行使价格出售股票。股票通常被建模为一个随机过程，经验分析表明，该过程的波动性在一段时间内并不保持不变。Engle在[15]中介绍的ARCH模型（自回归条件异方差）是一种随机过程，其中最近的过去给出了未来方差的信息。多年来，人们提出了几个ARCH模型，试图捕捉一些经验观察到的股票属性。

这项工作的目的不是对ARCH文献进行深入的回顾，我们参考了[4]、[5]、[9]、[21]以及其中的参考文献。然而，我们指出，ARCH模型在期权定价中被广泛使用。[6] 【14】、【19】、【28】和【30】只是通过ARCH模型获得期权价格的几个例子。在目前的工作中，我们将应用我们开发的技术，对NGARCH（1,1）模型中的期权进行定价。对于期权定价，NGARCH（1,1）模型[11]、[23]的无风险测度Q中的股票动态为：，ln公司StSt公司-1.≡ Rt=r-σt+qσtzQt，σt=β+βσt-1+βσt-1（zQt-1.- （θ+λ）），（16）式中，St表示股票价格，σ是股票的方差，r是无风险利率，β、β、β、λ、θ是GARCH模型参数，zQtisa是均值为0、方差为1的正态分布随机变量。无风险度量中的动态允许我们计算欧式期权价格：C（S）=e-r（tM-t） 等式[最大值{StM- K、 0}| St=S]。（17） 考虑到模型参数，这是一个8变量函数。对于该模型，没有已知的闭合形式解，可以使用几种数值方法，包括基于蒙特卡罗的方法（[13]、[30]）、晶格方法（[25]、[28]）、有限元方法（[1]）或谱方法（[6]），其中一些方法。GARCH模型的主要缺点是计算量大。这将取决于所采用的数值方法，但所有提到的方法（蒙特卡罗、晶格、光谱…）计算期权价格需要几秒钟，估计参数值需要几分钟。由于期权价格几乎是连续变化的，这可能会导致一个不实际的过程。在这项工作中，用于计算切比雪夫节点中期权价格的数值方法将是【6】中开发的谱方法，并将被称为B-F方法。

这种数值方法精度高，网格点少，FFT技术的应用使其成为一种低耗时的方法。固定了B-F方法足够的精度，我们假设在剩余的工作中，使用此方法获得的期权价格是参考期权价格。插值多项式的构造和误差分析将参考使用它获得的值进行。4.2插值的数值分析首先，我们确定构建期权价格插值的区间。NGARCH（1,1）模型在关系sk中是线性的，因此走向固定在K=1。其余变量定义如下：tM∈ [0，365]，β∈ [0，2·10-6] ，h∈ [0.25·10-4、2。25·10-4] ，β∈ [0.60，0.95]，秒∈ [0.75，1.20]，β∈ [0.02，0.25]，r∈ [0.02，0.085]，（λ+θ）∈ [0.20，2]。选择这些区间是因为它们涵盖了文献中观察到的模型的通常参数值（例如，参见[9]、[14]或[30]）。虽然每个变量可以考虑不同数量的节点，但为简单起见，请考虑N=（N，N，…，N）。我们将执行标准误差分析，将节点数N=3、6、12加倍。我们注意到变量xjis Nj+1的插值点数和多项式的存储成本为8Qnj=1Nj+1。固定N后，我们计算切比雪夫节点{αl}l∈Ln使用公式（2）。我们计算函数值{Fαl}l∈LN使用B-F方法，并使用第2.1小节中开发的算法构造INF。独立地，我们必须建立一个控制样本，该样本允许我们测量插值多项式在域中的价格选项Ohm. 我们选择了一组统一定义的Ohm.定义4.1。

对于每个变量▄xj∈ [▄xminj，▄xmaxj]和对于给定的m∈ 新定义m▄xj=▄xmaxj- xminjm和点集Θmxj=xminj+xjim级-1i=1，j=1，2。。。，这组等距点将用于构建控制样本。不包括对应于i={0，m}的点，因为它们总是响应切比雪夫节点。样本Θm表示集合Θmxj中所有可能值组合的期权价格集合，即样本Θm={FΘm▄x，Θm▄x。。。，Θmx}, |样本Θm |=（m- 1） ，用B-F法计算。我们计算样本并计算其元素。让CB-Fjbe样本的j合同价格和CINFjbe用多项式INF评估的j合同价格。我们定义样本Θm（INF）=（m- 1） （m）-1） Xj=1CB公司-Fj公司- CINFj公司.对于数值例子，我们构建了SampleΘ。该样本的元素数量为1679616≈ 1、68·10。表1显示了当N=3、6、12时，INF的内存存储（字节）要求，计算SampleΘwithINF和MSESampleΘ（INF）的计算时间（秒）。存储计算时间（秒）MSESampleΘ（INF）IF 5。24·100。11 0。6918·10-4如果4。61·100。46 0。1229·10-4如果6。52·1091 0。0120·10-4表1：INF的存储成本、使用INF评估样本Θ的计算时间以及在评估样本Θ的合同价格时插值多项式INF产生的均方误差。在表1中，我们还可以检查IF和IFI的计算时间是否相当好，但如果是IF，则需要91秒。虽然这个时间对计算来说似乎不算太长≈ 1.68.10合同，实际应用不可接受。在市场中，在我们完成计算之前，股价可能已经发生了几次变化，使得结果一文不值。计算时间增长如此之多的原因是由于“维度诅咒”。