切比雪夫约化基函数在期权定价中的应用

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英文标题：
《Chebyshev Reduced Basis Function applied to Option Valuation》
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作者：
Javier de Frutos, Victor Gaton
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We present a numerical method for the frequent pricing of financial derivatives that depends on a large number of variables. The method is based on the construction of a polynomial basis to interpolate the value function of the problem by means of a hierarchical orthogonalization process that allows to reduce the number of degrees of freedom needed to have an accurate representation of the value function. In the paper we consider, as an example, a GARCH model that depends on eight parameters and show that a very large number of contracts for different maturities and asset and parameters values can be valued in a small computational time with the proposed procedure. In particular the method is applied to the problem of model calibration. The method is easily generalizable to be used with other models or problems.
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中文摘要：
我们提出了一种依赖于大量变量的金融衍生品频繁定价的数值方法。该方法基于构造多项式基，通过分层正交化过程对问题的值函数进行插值，从而减少精确表示值函数所需的自由度。本文以一个依赖于八个参数的GARCH模型为例，说明利用该方法可以在很短的计算时间内对大量不同到期日、资产和参数值的合同进行估值。特别是将该方法应用于模型标定问题。该方法很容易推广应用于其他模型或问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Chebyshev_Reduced_Basis_Function_applied_to_Option_Valuation.pdf (640.87 KB)

2022-5-31 00:01:32 上传

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关键词：期权定价中 切比雪夫 期权定价 Presentation Hierarchical

切比雪夫约化基函数在期权定价中的应用。*Javier de Frutos+和Víctor Gatón2018年10月17日摘要我们提出了一种金融衍生品频繁定价的数值方法，该方法依赖于大量变量。该方法基于构造多项式基，通过分层正交化过程对问题的值函数进行插值，从而减少精确表示值函数所需的自由度。在本文中，我们以一个依赖于八个参数的GARCH模型为例，表明可以在很短的计算时间内使用建议的程序对大量不同成熟度的合同以及资产和参数值进行估值。特别是将该方法应用于模型标定问题。该方法很容易推广应用于其他模型或问题。关键词：导数定价、多维插值、切比雪夫多项式、约化基函数。1简介本论文涉及一种约化基函数方法的设计，以减轻当我们*西班牙矿业公司在MTM2013-42538-P和MTM2016-78995-P的资助下支持的研究。两位作者都对Michèle Breton和Peter Christo Offersen的有益评论表示感谢。+西班牙瓦拉多利德巴塞奥德贝伦7号瓦拉多利德大学马蒂卡学院（IMUVA）。电子邮件：frutos@mac.uva.es西班牙瓦拉多利德巴塞奥德贝伦7号瓦拉多利德大学马蒂卡学院（IMUVA）。

电子邮件：vgaton@mac.uva.esdeal尤其是当我们采用多变量模型（如GARCH）对金融衍生品进行定价，或其价格可能取决于遵循不同随机过程的多个资产时，采用多维插值。由于市场价格几乎是不断变化的，成千上万的衍生价格必须非常快地重新计算，因此可以快速评估多维模型的数值技术备受关注。在文献中可以找到几种解决多维期权定价问题的方法。例如，蒙特卡罗方法非常流行，因为它们很容易实现和处理多重维度，尽管它们的收敛速度往往很慢。有几种方法，如方差减少技术，可用于提高其速度（见[17]或[18]）。最近，偏微分方程方法也被用于金融问题（例如，见[6]、[16]、[24]或[27]），因为它们的收敛速度比蒙特卡罗方法更快。在[7]中，使用有限元法的自适应稀疏网格算法来求解期权定价的Black-Scholes方程。[22]中采用了密度函数的阿列根德级数展开式进行期权估值。在文献[2]中，采用了适当的正交分解和非负矩阵分解，使定价在给定的模型参数变化范围内更快。有关金融问题或模型、数值技术和软件工具的一般综述，请参见[12]。这项工作的主要目标是减少多维模型中可能出现的计算时间和存储成本。建议的方法有两个不同的步骤。在第一种方法（off-line计算）中，通过多项式缩减基方法计算期权定价函数的近似值。

就计算成本而言，此步骤通常很昂贵，但只执行一次。在第二步（在线计算）中，我们使用前一步构造的多项式对大量合同进行定价或校准模型参数。在第二步中，由于多项式不需要重新计算，因此可以根据需要多次使用，因此计算时间会有很大的提高。计算多维函数数值近似值的一种方法是计算给定节点集中的函数值，并使用多项式插值。不幸的是，对于高维数，存储插值函数所需的内存需求和每次计算所需的计算时间呈指数增长。这种效应被称为“维度诅咒”。减少维数灾难的一种常见方法是搜索维数，其中增加插值节点数会更快地减少插值误差。我们在这里提出的方法在某种程度上从另一方面解决了这个问题。相反，我们将重点放在插值多项式的构造上，我们提出的是从插值中获得一个新的约化多项式，其精度与原始多项式相似，但需要的计算量要少得多。为了确定想法，我们提出了切比雪夫插值法，尽管本文中的技术很容易推广。

切比雪夫多项式的性质使我们能够使用时间竞争和精确的快速傅立叶变换方法来计算多项式的系数、求值和微分。首先，我们展示了如何构建插值，并设计了一种高效的评估算法，该算法允许同时计算每个参数不同值的多项式值，这将被称为张量评估。然后，对于固定插值，我们提出了一种缩减基方法，沿每个维度采用分层正交归一化过程。此过程重写一组正交函数基的函数中的插值函数，这些正交函数基根据其所拥有的插值函数的信息量按层次进行排序。之后，确定了与插值相关的误差公差水平，我们在此基础上保留了最小数量的函数，以便完全满足该公差。此外，由于functionbasis是用切比雪夫多项式的函数编写的，因此先前设计的求值算法可以适应新的近似。结果是一个近似多维函数的多项式，并且需要更少的内存容量和计算时间进行计算。本文的组织结构如下。在第二节中，发展了一种快速张量切比雪夫多项式插值。通过增加插值节点的数量来获得精度，这导致了存储成本问题。第3节介绍了约化近似。最后，在第4节中，我们使用金融衍生品定价多维模型开发的不同技术进行了数值实验。本文提出的所有算法均已在Matlab vR2010a中实现。

所有数值实验均在一台个人计算机上实现，该计算机采用Intel（R）Core（TM）i3 CPU、540@3.07GHz、内存为4,00GB和64位操作系统。2多项式插值我们提出了一种多维模型的切比雪夫多项式插值方法。在确定参数的区间内，使用切比雪夫多项式和节点进行插值。定义2.1。让我们定义n（x）=cos（n arccos（x）），（1），其中0≤ arccos（x）≤ π。众所周知，[29]，该函数是一个n次多项式，称为n次切比雪夫多项式。定义2.2。让N∈ N、 区间[a，b]中的N+1切比雪夫节点{αk}Nk=0对应于Tn（x）的极值，它们由：▄αk▄给出=cos公司πkN（b）- a） +（b+a）, k=0，1。。。，N、 （2）我们还定义了区间中的N+1切比雪夫节点{αk}Nk=0[-1，1]，其中αk=cosπkN, k=0，1。。。，N、 （3）在这里，我们仅给出所提议的方法所需的定义。插入剂系数的实际计算取决于第2.1小节。定义2.3。设▄x=（▄x，▄x，▄xn）和▄F（▄x）为▄xj中定义的连续函数∈ [▄xminj，▄xmaxj]，j=1，2。。。，n、 对于x=（x，x，…，xn），我们定义了函数F（x），x∈ [-1，1]nasF（x）=▄F（▄x），其中▄xj=▄xmaxj- xminjxj+▄xmaxj+▄xminj，xj∈ [-1，1]，j=1，2。。。，n、 （4）对于n={n，n，…，Nn}∈ Nn，我们定义ln={l=（l，l，…，ln），0≤ lj公司≤ Nj，j=1，2。。。，n} 。（5） 对于j=1，2。。。，n、 letnαkjoNjk=0be中的Nj+1切比雪夫节点[-1，1]和n▄αkjoNjk=0是[▄xminj，▄xmaxj]中的Nj+1切比雪夫节点。我们使用符号αl=αl，αl。。。，αlnn和▄αl=αl，▄αl。。。，αlnn.设INF（x）是切比雪夫节点上函数F（x）的n维插值αll∈LN，即。

满足inf（αl）=F（αl）=F（αl），l的多项式∈ LN。多项式INF（x）由INF（x）=Xl给出∈LN^plTl（x），x∈ [-1，1]n，（6）其中^pl=^p（l，l，…，ln）∈ R、 Tl（x）=Tl（x）Tl（x）。。。Tln（xn）。让▄Ohm =Qnj=1[~xminj，~xmaxj]，假设我们需要对每个变量中的几个不同值进行数值近似。LetΘ∈Ohm是一组值，以便qj∈ N、 1个≤ j≤ n、 Θ=nx=（x，x，…，xn）/xj∈ {xj，…，~xqjj}，~xkj∈ [▄xminj，▄xmaxj]，1≤ k≤ qjo（7），其中我们注意到Θ中的点数是|Θ|=Qnj=1qj。数值近似值用多项式INF（x）计算，其中x和x之间的关系由公式（4）给出。第2.2小节中介绍的算法允许我们在一组像Θ这样的点上快速计算插值多项式，从现在起，这将被称为张量计算。这是通过合适的定义多维数组操作和使用第2.2.2.1小节插值多项式计算中描述的高效算法来实现的。单变量caseLet▄F（▄x）是▄x中定义的连续函数∈ 假设我们要计算切比雪夫插值inf（x）=NXl=0^plTl（x），x∈ [-1，1]。它必须保持f（αk）=NXl=0^plTl（αk）=NXl=0^plcos（l（arccos（αk）））=NXl=0^plcoslπkN,其中{αk}Nk=0，{αk}Nk=0是[~xmin，~xmax]中的切比雪夫节点，以及[-1，1]。有几种有效的算法允许我们获得系数{pl}Nl=0。对于单变量情况，我们采用了文献[8]中给出的算法。算法C1v：1。Constructz公司=F（α），F（α）。。。，F（αN）-1） ，F（αN），F（αN-1） 。。。，F（α），F（α）T、 2。

计算=实（FFT（z））2N。3.^p=y（1），^pl=y（l+1）+y（2N- （l）- 1） ）如果0<l<N，则^pN=y（N）。多元caseLet▄F（▄x）和N∈ Nnbe如定义2.3所示，并假设我们想要构造InterplantInf（x）=Xl∈LN^plTl（x），x∈ [-1，1]n.定义2.4。设A是维数为n×n×。。。×纳米。Wedenote矢量（j，…，jns-1，：，jns+1。。。，jm）={A（j，…，jns-1，j，jns+1。。。，jm）}nsj=1，其中1≤ 冀≤ ni，我∈ {1，2，…，m}-{s} 。设B是维数为a×n×n×。。。×纳米。我们定义了置换算子P，如果：D=P（B），我们有dim（D）=n×n×。。。×nm×a和d（j，…，jm，：）=B（：，j，…，jm）。假设我们已经计算了切比雪夫节点处的函数值，即。，千焦∈ {0，…，Nj}，j=1，2。。。，n、 Fαk，▄αk。。。，αknn= Fαk，αk。。。，αknn,存储在数组Γ（N+1）×（N+1）×。。。×（Nn+1）使得Γ（k+1，k+1，…，kn+1）=Fαk，αk。。。，αknn.通过以下算法获得插值函数的系数^plot。算法Cnv：1。B=Γ。2、对于i=1至n2.1。{m，m，…，mn}=dim（Bi）。2.2。对于j=1到m，对于j=1到m。。。，对于jn=1到mnCi（：，j，j，…，jn）=算法C1v（Bi（：，j，j，…，jn））。2.3。Bi+1=P（Ci）。3、^pl=Bn+1（l+1，l+1，…，ln+1）。我们注意到，Matlab中的FFT例程允许多维估值，因此，可以在不使用循环的情况下高效地计算前面算法的步骤2.2。2.2插值多项式的张量计算和微分。定义2.5。设A和B是两个数组，（A）A×n×n×。。。×nkand（B）a×B，且B>1。我们定义了张量数组运算C=AB、 当数组C给定时：C（j，…，jk，：）=P文学士（：，j，…，jk）, （8） 其中BA（：，j，…，jk）是矩阵乘以向量的通常乘积，P是定义2.4中引入的置换算子。很容易检查dim（C）=n×n×。。。

×nk×b.关于张量数组运算在Matlab中的实现，C=置换多杆（B，A），[2：n 1],其中，permute是在Matlab中实现的标准程序。由Paolo de Leva和inMathworks（见[10]）实现的算法multiprod使所需的张量运算以非常有效的方式同时在所有变量中进行。假设现在我们有一个多项式alinf（x）=Xl∈LN^plTl（x）=NXl=0NXl=0。。。NnXln=0^plTl（x）Tl（x）。。。Tln（xn）。我们想在一组有限的点Θ中计算多项式，这些点在（7）中定义。出于计算原因，我们规定qj>1，j=1，2。。。，n、 默认情况下，multiprod算法不识别q×。。。×齐-1×1×qi+1×。。。×qn尺寸并折叠为q×。。。×齐-1×qi+1×。。。×Qn尺寸。自从 由多棒和一个置换组成，如果qi=1，则在评估算法中置换一个强维。评估算法有两个步骤。1、评估切比雪夫多项式：我们使用切比雪夫多项式的递推性质：T（x）=1，T（x）=x，Tl（x）=2xTl-1（x）- Tl公司-2（x），l=2，3，4。。。，选项pricingproblem涉及的插值点数为N时，效果相当好。根据Θ的定义（见（7）），每个可变面积有限数的可能值。我们使用符号ηj={xkj}qjk=1来表示变量（4）变化后的相应值。利用递归性质，我们计算T（η）=T（η）（N+1）×q=Tl（xk）0≤l≤N、 1个≤k≤q、 T（η）=T（η）（N+1）×q=Tl（xk）0≤l≤N、 1个≤k≤qT（ηn）=T（ηn）（Nn+1）×qn=Tl（xk）0≤l≤Nn，1≤k≤我们将每个结果存储在二维数组中。计算多项式的其余部分。可以使用张量数组运算一次性计算整组点Θ的多项式INF（x）。多项式系数存储在（N+1）×（N+1）×。。。

×（Nn+1）-维数组A.A（l+1，l+1，…，ln+1）=^p（l，l，…，ln），我们计算inf（Θ）=（…[（AT（η）） T（η）]…） T（ηn），（9），其中结果为q×q×。。。×qn维数组，其中包含集合Θ中所有点的插值求值。我们注意到，之前的定义不能被视为具有常规属性的产品。为了与尺寸一致，必须严格遵循括号的顺序。多项式微分：有时，我们可能还需要计算多维函数导数的近似值。例如，如果我们想找到模型参数的值，该值最接近给定的一组数据，在最小二乘最小化的意义上。请注意，如果▄x∈ [a，b]我们有插值函数▄F（▄x）▄F（▄x）≈ INF（x）=NXl=0^plTl（x），其中▄x=b- ax+b+a，x∈ [-1，1]，如果函数F足够正则（见[8]），则我们可以近似计算|F（|x）≈ （INF（x））=b- 一-1Xl=0^qlTl（x），其中（见[8，（2.4.22）]）l=0，1。。。，N- 1： ^ql=cl+NXj=l+1j+l oddj^pj，其中cl=（2，l=0,1，l≥ 这意味着每次都需要计算或存储多项式导数的系数。这两种选择都不符合本工作的目标。如果每次需要时都计算系数，则会增加总时间成本。另一方面，多项式插值技术存在内存存储问题。存储导数的系数意味着该方法的内存需求几乎翻了一番。出于这些原因，如果可能的话，我们倾向于使用一种快速计算方法来近似导数，它不需要更多的内存存储。