使用基础资产对保险支取型合同进行定价

事实上，ν（y，z）=E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+D（a）<τ+U（a）i=E | y | zhe-rτ+D（a）i- E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+U（a）<τ+D（a）i=E | y | he-rτ+D（a）i- E | y | zhe-rτ+U（a）；τ+U（a）<τ+D（a）iEhe-rτ+D（a）i=Z（r）（a- y）- rW（r）（a）- y） W（r）（a）W0（r）（a）- λ（y，z）Z（r）（a）- rW（r）（a）W（r）（a）W0（r）（a）= Z（r）（Z）- Z（r）（a）W（r）（a）- y） W（r）（a）+rZ（r）（a）W0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（a）- y）- Z（r）（Z）.（64）通过对ν和λ的识别，我们还可以计算定理7中给出的值函数（44）中出现的函数h。精确地说，θ乘以（54）≤ y我们有h（y，z，p，θ）=▄k（y，z，p），其中▄k可以使用（38）和（48）来识别。对于θ>y，我们有h（y，z，p，θ）=E | yhe-rτ-D（θ）~k（θ，y- θ- Xτ-D（θ））；y- a<Xτ-D（θ）<-zi+~k（θ，y+z- θ） E | yhe-rτ-D（θ）；Xτ-D（θ）>（y- （a）∨ (-z） i（a>y+z-θ） =Za-yzk（θ，y- θ+φ）φW（r）（φ）W（r）（y）- θ+φ）dφ（a>y+z）+k（θ，y+z- θ） W（r）（（a- y）∧ z） W（r）（（a- y）∧ z+y- θ） （a>y+z-θ） 。14 Z.Palmowski-J.TumilewiczNow，通过部分积分，我们得到h（y，Z，p，θ）=k（θ，a- θ） W（r）（a）- y） W（r）（a）- θ） （a>y+z）-k（θ，y+z- θ） W（r）（z）W（r）（y+z）- θ） （a>y+z）+▄k（θ，y+z- θ） W（r）（（a- y）∧ z） W（r）（（a- y）∧ z+y- θ） （a>y+z-θ）-Za公司-yz公司-pr+α1.-rZ（r）W0（r）（a）（W（r）（a））-prrW0（r）（a）（W（r）（a））rW（r）（φ）dφ（a>y+z）=h类-pr+α1.-rZ（r）W0（r）（a）（W（r）（a））-prrW0（r）（a）（W（r）（a））iZ（r）（a）- y）- Z（r）（Z）+k（θ，a- θ） W（r）（a）-y） W（r）（a）-θ） 对于a>y+z，~k（θ，y+z- θ） W（r）（a）-y） W（r）（a）-θ） 对于y+z- θ<a<y+z，0表示a<y+z- θ。（65）5。数值分析在本节中，我们对研究中的所有保险合同进行数值分析，并检查它们对模型所选参数的依赖性。我们关注两个经典的谱负riskL'evy过程。第一个是线性布朗运动：（66）Xt=ut+σBt，其中Bt是标准布朗运动。我们分析的第二个过程是具有指数跳跃的经典Cram'erLundberg过程：（67）Xt=ut-NtXi=1ηi，其中ηi等于i.i.d。

参数ρ>0的指数分布随机变量和强度β>0的非独立泊松过程。我们用（3）和（4）中定义的比例函数表示所有主要工程量和所有合同价值。从[4]可以看出，漂移为（66）的布朗运动的标度函数具有以下形式：W（r）（u）=σΞe-uσusinh（Ξu），（68）Z（r）（u）=e-uσucosh（Ξu）+μσsinh（Ξu）,（69）式中，Ξ=pu+2rσ。同样，对于Cram'er-Lundberg过程（67），W（r）（u）=eΦ（r）uψ（Φ（r））+eζuψ（ζ），（70）Z（r）（u）=1+reΦ（r）u- 1Φ（r）ψ（Φ（r））+reζu- 1ζψ（ζ），（71），其中Φ（r）=2u（β+r- uρ）+p（β+r- uρ）+4ruρ,ζ=2u（β+r- uρ）-p（β+r- uρ）+4quρ,ψ（φ）=u-βρ（ρ+φ）和ψ（·）是（1）中给出的拉普拉斯指数。在本节中，我们分析了我们模型的选定参数对所考虑的保险合同的价格和最高规则的影响。为了简化上述比较，我们按照本文中这些合同的出现顺序对数值分析进行排序。定价保险L'evy支取型合同155.1。提取保险的公平保费。我们从合同（14）开始使用（15）。设Xt为线性布朗运动（66）。从命题1我们得到ξ（y）=e-uσ（a-y） Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）。这导致了（14）中给出的值函数f（y，p）的公式和公平溢价p的表达式*在（20）中给出：f（y，p）=pr+αe-uσ（a-y） Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）-pr，p*=rα（Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy））Ξ（cosh（Ξa）- cosh（Ξy））-uσ（sinh（Ξa）- sinh（Ξy））。在图1中，我们描述了公平保费p*取决于起始水位下降位置D=y。图1。值p*对于带漂移的布朗运动的支取保险合同。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，α=100，a=10。对（67）中给出的Cram'er-Lundberg过程进行了类似的计算。

特别地，我们有ξ（y）=1+reΦ（r）（a-y）- 1Φ（r）ψ（Φ（r））+reζ（a-y）- 1ζψ（ζ）- reΦ（r）（a）-y） ψ（Φ（r））+eζ（a-y） ψ（ζ）·ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa=：c+cΦ（r）eΦ（r）（r）（a-y） +c-ζe-ζ（a-y） ，其中c=1-rΦ（r）ψ（Φ（r））-rζψ（ζ），cΦ（r）=rΦ（r）ψ（Φ（r））-rψ（Φ（r））ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa，cζ=rζψ（ζ）-rψ（ζ）ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa（14）中给出的合同价值f（y，p）和公平保费p*（20）aref（y，p）中给出=pr+αc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-y） +cζeζ（a-y）-pr，p*=rα（c+cΦ（r）eΦ（r）（a-y） +cζeζ（a-y） ）1- c- cΦ（r）eΦ（r）（a）-y）- cζeζ（a-y） 。图2描述了公平保费p的相关性*在这种情况下，开始下降时D=y。请注意，对于线性布朗运动（66）和克莱姆-伦德伯格模型（67），公平溢价的形状非常相似。此外，增加起始水位降D=y可能会快速增加p值*. 事实上，对于有漂移的布朗运动，p的值*tends16 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图2。值p*克拉姆-伦德伯格模型的提取保险合同。参数：r=0.01，u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，α=100，a=10。到∞ 作为y↑ a、 这是因为对于线性布朗运动，我们有W（r）（0）=0和公平溢价p表达式中的分母*作为y转到0↑ a、 然而，对于克莱姆-伦德伯格过程（67），情况并非如此。实际上，对于这个有界变差过程，我们有W（r）（0）>0和limy→一-ξ（y）6=1，因此p公式中的分母*不收敛到0为y↑ a、 5.2。可撤销支取保险。我们现在对合同F（y，p）=F（y，p）+g（y，p，θ）进行定价*)（21）中定义，定理3中确定。我们还计算了最优停止规则τ*θ在（30）中给出*定义见（34）。

由于上一小节中给出的数值结果，它能够找到函数g（y，p，θ*) 和θ*.对于线性布朗运动模型（66），我们可以为g编写一个显式公式。特别是，对于θ<y，g（y，p，θ）=f（θ，p）W（r）（a- y） W（r）（a）- θ）=公关部- ce-uσ（a-y） 新罕布什尔州- y） ）e-uσ（a-θ） 新罕布什尔州- θ） （）-pr+αe-uσ（a-y） 新罕布什尔州- y） （）Ξcosh（Ξθ）-uσsinh（Ξθ）新罕布什尔州- θ） （）Ξcosh（Ξk）-uσsinh（Ξk）,θ的和≥ y我们有g（y，p，θ）=f（y，p）=-pr+αe-uσ（a-y） Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）+pr- c、 （72）图3。对于y（左）和p（右）的不同级别，漂移依赖于θ的布朗运动的值g（y，p，θ）。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，α=100，c=50，a=10，p=0.55，y=7。图3描述了g（y，p，θ）对θ的依赖关系。曲线图末端的直线段遵循以下事实，即通过（32），函数g始终等于θ的▄f（y，p≥ y、 我们正在寻找17θ的提取型合同的定价保险*最大化g，如果θ*是在直线段的开头，投资者不应接受本保险合同。这是一个极端的情况。事实上，最自然的是θ*介于零和直线段的起点之间。还请注意，通过（31）最佳θ的定义*（34）中给出了θ级*只要y>θ，则不取决于水位下降的起始位置D=y*. 特别是，对于我们的参数集，对于常数溢价，我们有θ*≈ 图3还显示了g（y，p，θ）对保险费率p的依赖性。

请注意，保费越高，g值越高，因此（21）中给出的保险合同F值也越高。对于Cram'er–Lundberg模型（67），函数g的形式为g（y，p，θ）=f（θ，p）W（r）（a- y） W（r）（a）- θ） =ψ（ζ）eΦ（r）（a）-y） +ψ（Φ（r））eζ（a-y） ψ（ζ）eΦ（r）（a）-θ） +ψ（Φ（r））eζ（a-θ） ·h-pr+αc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-θ） +cζeζ（a-θ）+公关部- ciforθ<y，and g（y，p，θ）=f（y，p）=-pr+αc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-y） +cζeζ（a-y）+公关部- C或θ≤ y、 图4：。Cram'er–Lundberg模型的g（y，p，θ）值取决于y（左）和p（右）不同级别的θ。参数：r=0.01，u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α=100，c=50，p=0.51，y=8。图4描述了g（y，p，θ）的行为与停止水平θ的关系，从而确定了也是最佳的。5.3。当a>b时，支取意外开支的公平保费。我们现在将对保险合同（36）进行数字研究，该合同提供保护，防止任何特定的支取规模为a的支取，并具有一定的支取规模为b的意外开支。根据定理5，它有助于计算函数λ和ν，以确定合同。如第4节所述，为此，我们将使用推论4计算这些函数，并对拉普拉斯变换（12）进行数值反转。值得一提的是，在线性布朗运动（66）的情况下，存在一种识别λ和ν的替代方法（反转拉普拉斯变换）。从推论4中，ν和λ的公式减少到（6）-（7）。也就是说≤ y+z，ν（y，z）=z（r）（a- y）- Z（r）（a+b- y- z） W（r）（a）- y） W（r）（a+b- y- z） λ（y，z）=W（r）（a- y） W（r）（a+b- y- z） 。为了在a>y+z时识别λ和ν，可以观察到bxt：=-XT是一个带漂移的线性布朗运动-u。然后，alsobUt=dt，BDT=Ut。用Bx代替X，我们可以使用文献[6]中给出的Laplace18 Z.Palmowski-J.Tumilewiczofbd变换，并计算出ν和λ的精确公式。

准确地说，设cw（r）和bz（r）是（3）和（4）中定义的bx的标度函数。然后，对于a>y+z，ν（y，z）=cW（r）（b）cW0（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#e-（a）-b∨（y+z）cW0（r）（b）cW（r）（b）z（r）（b）-rcW（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#bZ（r）（b）- z）-bZ（r）（y）e-（a）-b） cW0（r）（b）cW（r）（b）Z（r）（b）（b>y+Z）和λ（y，Z）=rcW（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#bZ（r）（b）∧ （a）- z） （）-bZ（r）（y）e-（a）-b） cW0（r）（b）cW（r）（b）（b>y）+cW（r）（b）cW0（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#e-zcW0（r）（b）cW（r）（b）- e-（a）-b∨y） cW0（r）（b）cW（r）（b）！（a>z+b）+W（r）（z）W（r）（b）。使用上述表达式，我们可以找到公平保费p*定义于（43）：p*=rαν（y，z）1- λ（y，z）- ν（y，z），并分析下降和上升过程的起始位置对p的影响*. 图5显示了这种关系。图5：。值p*对于带漂移的布朗运动的预备役合同，预备役z（左）和预备役y（右）的起始位置不同。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，α=100，a=10，b=8。从图5中，我们可以推断出与基本提款合同相同的观察结果。对于线性布朗运动（66），p的值*倾向于∞ 作为y↑ a、 这是因为limy→一-ν（y，z）=1和limy→一-λ（y，z）=0，因此，p的公式（43）中的分母*收敛到0.5.4。当a=b时，提取意外开支的公平保费。在此，我们分析第4.3小节中提出的特殊情况a=b。

这一次，我们使用恒等式（59）、（60）、（62）和（64）来计算合同值。因此，通过p的表达式（43）*,p*=rαν（y，z）1- λ（y，z）- ν（y，z）=rαZ（r）（a）- y）- Z（r）（2a- y- z） W（r）（a）-y） W（r）（2a-y-z）1.- Z（r）（a）- y） +W（r）（a）-y） W（r）（2a-y-z）Z（r）（2a- y- z）- 1.（73）对于≤ y+z和P*=rαZ（r）（Z）- Z（r）（a）W（r）（a）-y） W（r）（a）+rZ（r）（a）W0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（a）- y）- Z（r）（Z）1.- Z（r）（Z）-Z（r）（a）- 1.rW0（r）（a）（W（r）（a））（Z（r）（a- y）- Z（r）（Z））-W（r）（a）-y） W（r）（a）（74）为a>y+z的保险L'evy提取型合同19定价。使用Cram'er–Lundberg模型（67）的比例函数公式（70）-（71），可以发现p*在水位下降D=y和水位上升U=z的初始起始/历史位置。图6描述了这种依赖关系。请注意，与图6类似。值p*对于Cram'er–Lundberg模型的支取应急合同，支取z（左）和支取y（右）的不同起始位置。参数：r=0.01，u=0.05，β=0.01，ρ=2.5，a=10，α=100。无提款限制的提款合同，公平保费p*不倾向于∞ 作为y↑ 克拉姆-伦德伯格过程（67）。这是因为对于Cram'er–Lundbergprocess，我们有W（r）（0）>0，因此是limy→一-（ν（y，z）+λ（y，z））6=1，（43）中的分母不收敛于0.5.5。a>b的可取消支取意外开支。我们通过增加可取消性并考虑保险合同（44）继续进行数值分析。根据定理7，它可以确定（y，z，p，θ*) 对于（54）和（57）中给出的h和最佳水平θ*定义见（58）。为了计算a<b的（57），我们使用数值积分。结果如图7所示。注意，（58）最佳水位下降停止水平θ*最大化函数h。

从图7可以看出，似乎对于该合同，最优θ也没有依赖性*在水位上升和下降的初始位置SZ和y上。然而，很明显，有或无提取意外开支的合同的最佳终止水平是不同的。即使我们采用相同的参数，新参数的存在，即拔模的起始位置，也会显著改变θ*数量5.6。a=b的可取消提取意外开支。我们还分析了特殊情况a=b的结果。为了获得函数h的值，我们可以使用（65）。图8描述了Cram'er-Lundbergmodel的结果。我们可以观察到最佳停止水平θ同样缺乏依赖性*在水位下降和水位上升的起始位置。6、结论在本文中，我们分析了一些针对资产价格对数收益的提取和提取事件的保险合同。我们通过几何谱负L'evy过程对资产价格进行建模。确定了公平保费p*以及具有取消特征的合同的最优停止规则。我们使用L'evy过程的最优停止和波动理论对这些类型的合同进行定价。考虑几何L'evy过程St=eXt以外的其他过程是很自然的，例如几何跳跃扩散过程。当跳跃为混合指数型或更普遍的相位型时，进行更详细的数值分析也很有意义。我们的想法是考虑资产价格可能跳跃的密度的所有可能形状。此外，根据保险合同结束时观察到的过程X，可以考虑奖励α和费用c。事实上，对于更多的一般保险合同仍有巨大的需求，这些合同将作为针对重大违约事件的保单。这将是未来研究的主题。20 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图7。

对于不同的y（左上）、z（右上）和p（下），漂移依赖于θ的布朗运动草拟应急契约的值h（y、z、p、θ）。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，b=8，α=100，c=50，p=1.35，y=7，z=2。图8：。起草的Cram'er–Lundber独立应急合同的值h（y，z，p，θ）在θ上表示不同的y（左上）、z（右上）和p（下）。参数：r=0.01，u=0.04，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α=100，c=50，p=0.55，y=6，z=4。定价保险L'evy提取型合同21参考文献[1]Carr，P.，Zhang，H.和Hadjiliadis，O.（2011）最大提取保险。《国际理论与应用金融杂志》，14（8）：1-36。[2] Grossman，S.J.和Zhou，Z.（1993）《控制提款的最佳投资策略》。数学金融，3（3）：241–276。[3] Kyprianou，A.E.（2006）关于L'evy过程波动及其应用的入门讲座。斯普林格。[4] Kyprianou，A.E.、Kuznetsov，A.和Rivero，V.（2013）《光谱负L'evyprocess的尺度函数理论》。Levy Matters II，斯普林格数学课堂讲稿。[5] Magdon Ismail，M.和Atiya，A.（2004）最大水位下降。风险，17（10）：99–102。[6] Mijatovi\'c，A.和Pistorius，M.R.（2012）关于完全不对称L’evy过程的缩减。随机过程及其应用，122（11）：3812–3836。[7] Nguyen Ngoc，L.和Yor，M.（2005）一些与反映的列维过程相关的鞅。埃米奈尔·德波拉比利特（S’EminaireDeProbabilit’es），三十八：42–69。[8] Oksendal，B.和Sulem，A.（2004）应用了跳跃差异的随机控制。斯普林格。[9] Peskir，G.和Shiryaev，A.（2006）最优停止和自由边界问题。Birkh–auser。[10] 皮斯托利斯，M.R。

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