基于

请注意，由于遵循韦伯分布和/或对数正态分布的随机变量没有有限的上界，因此基于[2]中开发的安全库存的霍夫丁不等式的分析方法不适用。此外，在市场稳定且需求分布未知的情况下，当NM足够大时，如果给定维数L的需求序列（D1a，D2a，······，DLa）（a=1，·····，M），则对于任何C（>0），在切比雪夫不等式中，矩母函数EheuPLt=1Dti的估计可以替换为MPma=1eulpt=1Dta：P r“EheuPLt=1Dti-MMXa=1euPLt=1Dta≥ CsE公司euPLt=1Dt- EheuPLt=1Dti#≤MC。（27）因此可精确估计矩母函数（或其对数，累积量母函数）（图1）。3分析结果和数值实验在本节中，我们使用多维正态分布的几个样本来验证我们提出的方法的有效性，这些样本可用于建模统计特性众所周知的相关商品。3.1具有i.i.d.正态分布的单一商品首先，我们将单个商品在t，Dt时的需求与交付周期L内的平均u=E【Dt】的差值定义为Xt（=Dt- u）；我们假设新变量PLOS 7/161e-061e-050.00010.0010.010.1-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2abs（phi（u）-其估计值）uM=10M=100M=1000M=10000M=1000000图1。当需求Dais i.i.d.具有标准归一化分布（L=1）时，累积量生成函数的参数与φ（u）- 日志MPMa=1euDa. 横轴显示u，纵轴显示累积量生成函数φ（u）与其对数估计值之间的绝对差MPMa=1euDa, 也就是说，φ（u）- 日志MPMa=1euDa.

当M变大时，记录MPMa=1euDa接近累积量母函数φ（u）。此外，可以验证该结果具有自平均特性[17，1 8]。Xtis i.i.d.具有正态分布，平均值E[Xt]=0，方差E[Xt]=σ。由此，当安全库存量为Lε时，我们得到φ（u）=σu，并得到r[Lε≤ 十] =Z∞LεdXp（X）≤ e-Lε2σ,（28）其中X=PLt=1Xt=PLt=1Dt- Lu。由此可知，当允许缺货率为δ时，安全库存质量为Lε=p-2Lσlogδ。这里应该指出一点。在正态分布的情况下，由于累积生成函数φ（u）=σu是已知的，尽管方差σ出现在从上述讨论中获得的安全库存量中，但对于一般的需求分布，方差并不总是出现在累积生成函数的描述中，在一般情况下，不可能确定一个安全库存量来保证更充分的库存率。以类似于图中所示的方式。1、如果我们能估计出累计生成函数，我们就可以利用率函数更准确地确定安全库存量；这种实用的库存管理策略使用了我们提出的方法。此外，请注意，对于该模型，P r[Lε≤ 十] 可直接获得，如下所示：P r[Lε≤ 十] =小时Lε√Lσ, （29）PLOS 8/16，其中h（k）=Z∞kdt公司√2πe-t、 （30）根据该公式和等式（29），当允许缺货率为δ时，安全库存量Lε（=SSpre。）isSSpre=√LσH-1（δ），（31），其中k=H-1（δ）是H（k）=δ的反函数。可以看出，之前的库存管理策略是我们提出的方法d的一个特例。这里需要注意两点。首先，虽然我们分析推导了正态分布情况下的安全股票质量，但分析了Chernoff不等式inEq。

（28），并严格描述公式（29），对缺货率P r[Lε]的解析解并不总是容易的≤ 十] 。Nex t，一般来说，即使需求与其平均值Xt之差的概率密度函数P（Xt）是众所周知的，严格允许的缺货率P r[Lε≤ 十] =E[Θ（PLt=1Xt-Lε）]的解析描述如下：P r[Lε≤ 十] =Z∞-∞LYt=1dXtP（Xt）ΘLXt=1Xt- Lε=Z∞-∞LYt=2dXtP（Xt）×Z∞Lε-PLt=2XtdXP（X）。（32）然而，即使我们能够找到Xin公式（32）的积分的闭合形式，X，·······，XLs的积分也不容易计算，我们需要通过使用梯形积分来近似这种卷积积分。特别是，因为有必要计算L的指数- 1、无法对其进行严格评估。另一方面，如果我们可以使用基于切尔诺夫不等式的方法检验矩母函数，那么我们可以评估与允许缺货率相对应的率函数R（ε）和安全库存质量Lε。3.2缺货率的定义在本小节中，我们总结了管理多种商品安全库存的方法。为了简单起见，我们将考虑两种类型的商品。对于提前期L，设Xt和Yt分别为两种商品的归一化需求（即当前需求和平均需求之间的差值）。我们假设Xt，Yt是i.i.d.，具有高斯分布，使得E[Xt]=E[Yt]=0，E[Xt]=σX，E[Yt]=σY，E[XtYt]=ρσXσY。由此，提前期L上的需求之和，X=PLt=1XtandY=PLt=1Yt，分别超过LεX和LεY的概率计算如下：P r[LεX≤ 十] =HLεXpLσX！，（33）P r[LεY≤ Y]=HLεYpLσY！。

（34）PLOS 9/16此外，还需要评估缺货概率：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]和p r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]+P r[LεX>X，LεY≤ Y]+P r[LεX≤ 十、 LεY>Y]在三种以上商品的情况下。由于这些缺货状态的变化随着商品数量的增加而指数增加，并且从第2.2节的disc ussion来看，Chernoff不等式适用于任何缺货模式。此后，我们将讨论其中一种库存模式，即所有商品都缺货的情况。3.3两种具有正态分布的i.i.d.商品分别满足商品1和商品2的需求。与需求及其在交付周期内的平均需求的差异（E[DXt]=uX，E[DYt]=uY）表示为Xt=DXt- uX，Yt=DYt- uY，E【Xt】=E【Yt】=0，E【Xt】=σX，E【Yt】=σY，E【XtYt】=E【Xt】E【Yt】=0。由此可知，当相应的安全库存量为LεX和Lεy时，交付周期为L，则缺货率P r【LεX≤ 十、 LεY≤ Y]，这是两个公数同时丢失的概率，isP r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεXdXZ∞LεYdY p（X，Y）≤ e-LεX2σX+εY2σY, （35）式中，X=PLt=1xT，Y=PLt=1Yt。由此可知，当安全库存量LεX，LεYareLεX=p2LσXlog（1/δX），LεY=p2LσYlog（1/δY）时，允许缺货率为δ=δXδY。此外，P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]可直接计算为a s，如下所示：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=HLεXpLσX！HLεYpLσY！。（36）由此可知，如果我们有lεX=qLσXH-1（δX），（37）LεY=qLσYH-1（δY），（38）则得出允许缺货率δ=δXδY。3.4两种正态分布的相关商品——设Xt，Yt为两种相关商品在交付周期L内的需求，其中它们是正态分布的，平均值E[Xt]=E[Yt]=0，方差E[Xt]=σX，E[Yt]=σY，协方差E[XtYt]=ρσXσY。

然后，当安全库存量为LεX和LεY时，缺货率P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]isP r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεXdXZ∞LεYdY p（X，Y）≤ 经验值-LεXσX- 2ρεXεYσXσY+εYσY2（1- ρ）, （39）PLOS 10/16，其中X=PLt=1xT，Y=PLt=1Yt。由此，LεX=q-2LσXlogδX，（40）LεY=σYσXρ（LεX）+q-2LσY（1- ρ） 对数δY，（41），因此我们可以计算δ=δXδY。注意，在这个模型中，P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]直接计算为二重积分：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεX√LσXdu√2πe-u×Hp1- ρLεYpLσY- ρu！！，（42）其中，如果ρ=0，则等式（42）与等式（3 6）匹配。在这种情况下，我们对缺货率有另一种分析描述：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεX√LσX（1-ρ） dsZ公司∞LεY√LσY（1-ρ） dt2πe-s+teρstp1- ρ。（43）正如在公式（32）的讨论中所述，随着交付周期L的增加，计算量随着要考虑的项目数（N）呈指数增长，因此对于足够大的N，使用直接方法（如公式（4.2）或（43））是不切实际的。3.5数值实验在本小节中，我们通过进行数值实验来评估所提出方法的有效性。为简单起见，我们考虑需求方差相等的情况，σX=σY=σ。从这个对称性，我们可以计算δX，δybyasuming LεX=LεY=Lε。来自Eqs。（37）、（38）、（40）、（41）和（43），对于给定的低缺货率δ，严格的安全库存量SSrig。（钻机=严格），建议的安全库存量SSpro。（pro.=建议），以及之前的安全库存量SSpre。（pre.=previous）可评估：SSrig.=P-1（δ），（44）SSpro=pLσ（1+ρ）log（1/δ），（45）SSpre=√LσH-1个(√δ） ，（46）其中我们使用P（SS）=P r[SS的反函数≤ 十、 不锈钢≤ Y]在等式中定义。（42）和（43）。此外，根据第3小节。3，我们有δX=δY=√δ、 从第3.4小节，我们得到δX=δ1+ρ，δY=δ1-ρ。无花果

2比较拟定安全库存量与严格安全库存量SSpro的比例/SSrig公司。以及pre-vious安全库存量与钻机安全库存量SSpre的比例/SSrig。。同样，缺货比例为P（SSpro.）/P（SSrig.）andP（SSpre.）/P（SSrig.）如图3所示。在图中。2和3，σ=1，ρ=0.9，L=10。从图2可以看出，允许缺货率小于10%，建议的安全库存策略前一个安全库存策略图2严格的安全库存缺货率L=10，rho=0.9。比较我们提出的SSpro方法得出的安全库存量。相对于钻机安全库存SSrig。以及用前一种方法SSpre估算的安全库存量。相对于严格的安全库存SSrig。。横轴表示允许缺货率δ，纵轴表示安全库存率。根据该方法得出的安全库存量是严格安全库存量的1.2至1.9倍。从图3可以看出，所提出方法的缺货率始终小于允许的缺货率；这是由切尔诺夫不等式保证的。然而，在现有方法中，缺货率总是超过允许值。此外，图中使用的ρ，L的其他情况。2和3为lso担保。

因此，很明显，尽管s安全库存意味着将机会损失最小化，但当不同类型的商品之间存在相关性时，之前的方法无法保证适当的水平。4结论和未来工作在本研究中，我们提出了一种新的方法来管理具有相关需求的多个商品的库存；我们使用切尔诺夫不等式推导了安全库存量与允许短缺率之间的关系。利用Legendr e对累积量生成函数的变换定义的比率函数，我们能够确定安全库存水平，以确保库存率始终是可接受的。理论性质是众所周知的，因为它们遵循多维正态分布。我们推导了三种不同模型的安全库存：我们提出的方法、现有方法和精确（分析）方法。我们确定了每种方法的允许缺货率，并通过数值实验验证了我们方法的有效性。在本研究中，我们考虑了两种相关商品，但为了提高所提方法的有用性，我们讨论了多种商品的安全库存量，包括正相关和负相关商品。我们讨论了一个生命周期的安全库存量，但在现实中，重要的是考虑到12/160.010.10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1库存率的比例w.r.t。严格的安全库存率l=10，rho=0.9建议的安全库存策略先前的安全库存策略图3。

将我们提出的方法得出的缺货率与允许缺货率P（SSpro）的比例进行比较/P（SSrig.）前一种方法得出的缺货率占允许缺货率P（SSpre）的比例/P（SSrig.）。横轴表示允许缺货率δ，纵轴表示缺货率与允许缺货率的比例。考虑安全库存，同时包括预订单和延期订单，并跨越多个生命周期。我们打算在未来的研究中解决这一问题。作者感谢I.Arizono、Y.Takemoto、K.Kobayashi和I.Kaku的富有成效的评论。这项工作得到了第15K20999号赠款的部分支持；秋田县立大学Young科学家校长项目；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；曾金经济与金融研究基金会第1414号研究项目；统计数学研究所2068号研究项目；坎波基金会第二研究项目；以及三菱UFJ信托奖学金基金会的研究项目。A比率函数的性质在本附录中，我们给出了比率函数R（η）的性质，用于推导安全库存量与允许缺货率之间的关系。首先，我们可以重写公式（9），速率函数的定义如下：R（u，η）=uη-log E【euD】，（47）PLOS 13/16，其中R（0，η）=0，R（u，η）是u和soR（η）的连续函数≥ 0

（48）因此，我们得到了P r[η]的正上界≤ D] 使用Chernoffinequality：P r[η≤ D]≤ e-R（η）≤ e-0=1。接下来，由于指数函数是凸的，因此E[euD]≥ euE[D]成立，因此weobtainR（u，η）≤ uη- uE【D】。（49）当η≤ E【D】，自u（η- E[D]）≤ 0时，u的最佳值接近0，我们得到R（η）=0。另一方面，当η≥ E[D]，u的最佳值不等于0，因此我们得到R（η）>0。因此，我们可以将η的定义改写为η=E[D]+ε，可以看出，速率函数的符号由ε的sig n决定，即如果ε≤ 0，则R（η）=0，否则，R（ε）>0。此后，我们将速率函数R（η）视为距离平均值E[D]的函数。我们还注意到，从速率函数的定义来看，R（u，η）相对于u是凸的，因为R（u，η）u≤ 因此，以下更新规则将优化u:us+1=us+κulimu→我们R（u，η）u、 （50）其中，usis是步骤s中u的状态，fo r s∈ Z、 阶跃常数为κu=10-3、如果| us- us+1 |接近0，或者u的变化小于无穷小θ，例如θ=10-6、控制参数u和常数η都可以发展为多维情况；例如，对于~ u，~η∈ RN，R（~ u，~η）相对于~ u是凸的，因此R（~η）=max ~ uR（~ u，~η）相对于~η是凸的。从上述结论出发，利用比率函数的凸性、比率函数和累积量母函数的对偶性以及凸优化研究中开发的算法，我们可以在随机现象下为库存管理评估更合适的安全库存量。B等式（9）的可用性等式（9）显示了关于N种商品的切尔诺夫不等式。

提前期Xit（i=1，···，N，t=1，··，L）上的标准化需求（或当前需求和平均需求之间的差异）没有时间上的相关性，并遵循E[Xit]=0，E[XitXjt]=∑ij的正态分布。从式（9）中，我们可以导出以下不等式：P rhL~ε≤~xi≤ e-L~uT~ε+L~uT∑~u，（51），其中~u≥ 0，~ X=PLt=1 ~ Xt，方差-协方差矩阵∑={∑ij}∈ RN×N。我们可以通过使用以下关于参数u的方程来获得更紧的上边界：~ us+1=max（~ us+κ（~ε- ∑~us），0），（52），其中κ为正且无穷小，~u=（1，1，···，1）T∈ RN，在步骤s，~ us=（u1，s，···，uN，s）T∈ 注册护士。停止条件为 =PLi=1 | ui，s+1- ui，s |<10-严格缺货率Lε计算如下：P rhLε≤~Xi=Z∞L~εd~ Xe-2L～XT∑-1~X（2π）Npdet（L∑）。（53）PLOS 14/16我们首先对方差-协方差矩阵∑进行对角化，然后准备新变量，这些新变量位于∑的特征向量方向。然而，由于新变量的积分域更为复杂，因此不容易对等式（53）的右侧进行分析评估。因此，当商品数量N较大时，我们使用梯形过积分来近似它；然而，计算复杂度随N呈指数增长，因此这种方法不实用。C可替代商品的安全库存管理我们在此讨论X和Y为可替代商品的情况下的安全库存管理。