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英文标题：
《Property Safety Stock Policy for Correlated Commodities Based on
  Probability Inequality》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Deriving the optimal safety stock quantity with which to meet customer satisfaction is one of the most important topics in stock management. However, it is difficult to control the stock management of correlated marketable merchandise when using an inventory control method that was developed under the assumption that the demands are not correlated. For this, we propose a deterministic approach that uses a probability inequality to derive a reasonable safety stock for the case in which we know the correlation between various commodities. Moreover, over a given lead time, the relation between the appropriate safety stock and the allowable stockout rate is analytically derived, and the potential of our proposed procedure is validated by numerical experiments.
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中文摘要：
求出满足顾客满意的最优安全库存量是库存管理中最重要的课题之一。然而，当使用在需求不相关的假设下开发的库存控制方法时，很难控制相关适销商品的库存管理。为此，我们提出了一种确定性方法，在我们知道各种商品之间的相关性的情况下，使用概率不等式推导出合理的安全库存。此外，在给定的提前期内，通过解析推导出了适当的安全库存与允许缺货率之间的关系，并通过数值实验验证了我们提出的方法的潜力。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Property_Safety_Stock_Policy_for_Correlated_Commodities_Based_on_Probability_Ine.pdf (396.24 KB)

2022-5-31 00:29:18 上传

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关键词：Applications epidemiology Optimization Quantitative satisfaction

基于概率不平等的相关商品财产安全库存政策Takashi Shinzato1，P1 Mori Arinori高等教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，Kunitachi，Tokyo，Japan。P作者对此工作作出了贡献。*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JPAbstracts导出满足客户满意度的最佳安全库存量是库存管理中最重要的主题之一。然而，当使用在需求不相关的假设下开发的库存控制方法时，很难控制相关适销商品的库存管理。为此，我们提出了一种确定性方法，在我们知道各种商品之间的相关性的情况下，使用概率不等式推导出合理的安全库存。此外，在给定的提前期内，分析推导了适当的安全库存与允许缺货率之间的关系，并通过数值实验验证了我们提出的方法的潜力。1简介安全库存管理是库存控制最重要的问题之一。通常使用一种众所周知的方法来确定适当的库存，但它是基于对库存项目的需求是独立的假设；因此，当需求相互关联时是不合适的。此外，当需求分布的统计特性（均值和方差）未知时，它也不适用。近年来，各种研究[1-4]积极探索解决这一难题的新方法；它基于概率不等式，特别是马尔科夫不等式或切比雪夫不等式，推导出安全库存量与允许缺货率之间的关系。

例如，Foto poulos等人讨论了安全库存量与允许缺货率之间的关系；他们使用切比雪夫不等式，因为实际s tockout率小于需求量平均值[1]。Takemoto等人【2】和Takemoto andArizono【3】将Hoefffding不等式用于有限的需求信息，其中只有最小值和最大值是已知的，并计算了能够保证给定允许缺货率的安全库存质量。特别是，Takemoto和Arizono[3]评估了两种电力供应的缺货率，这两种电力由两个不相关的随机变量表示。Shinzato和Kaku【4】推导出了安全库存量和允许缺货率之间关系的表达式。他们考虑了一种情况，即已知其中一种商品需求序列中的时间序列1/16序列相关性（趋势）；这一信息是通过使用切尔诺夫不等式得到的。尽管各种研究使用概率不等式来估计适当的安全库存质量，但大多数安全库存分析都是针对个别商品或不相关的需求。然而，在实践中，库存管理通常必须处理多个需求相关的商品；这方面的研究还不够充分。为了解决这一问题，我们利用切尔诺夫不等式推导了安全库存量与允许缺货率之间的关系，并进行了实验，验证了所提方法的有效性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了Chernoffinequality，作为分析估计提前期缺货率的一种方法。然后利用该方法推导出安全库存量与允许缺货率之间的关系。

在第3节中，我们使用两种相关商品的已知需求分布的统计特性，并进行数值模拟，以验证我们提出的方法的有效性。在第4节中，我们总结了我们的结论，并讨论了该主题的未来工作领域。2安全库存管理和模型设置在本节中，我们将讨论现有的安全库存管理政策，该政策基于商品分布独立的假设，并制定相关问题。然后，对于非独立的需求分布，在给定安全库存量和允许缺货率的情况下，提出了一种新的安全库存管理方法；我们使用Chernoff不等式来解决现有方法的问题[5]。2.1基于独立性假设的安全库存管理本小节讨论了现有的安全库存管理系统，该系统基于单个商品的需求重新独立且独立分布的假设；它假设数据的统计特征是众所周知的，并且市场是稳定的。这里，商品的需求是dt（t=1，2，·L），其中L是提前期；距离平均值E【Dt】=u的距离为Xt（=Dt- u），（t=1.2....................L），我们考虑了需求独立且相同分布（i.i.d.）的情况，平均值为0，方差为σ。然后，基于上述方法的安全库存量与允许缺货率δ，SSpre。，表示为SSpre=√Lσ×k，（1）其中k是安全库存系数，允许缺货率δ满足δ=Z∞kdz公司√2πe-z、 （2）此外，尽管该商品的订货点由Lu+SSpre表示。，我们将考虑需求不确定情况下的安全库存量。式（1）由中心极限定理数学保证。

请注意，对于较大的提前期L，由于需求不相关，因此提前期内的平均需求缺口之和SS=PLt=1Xt渐近遵循均值为0的正态分布w和方差Lσ。然而，由于该方法强烈要求需求是独立的，因此很难管理需求时间序列相关的社区的安全库存【1，4】或不同商品需求相关的社区的安全库存【6】。之前的研究【7–14】已经定性和定量地研究了不可能假设独立需求的情况下的非线性效应。此外，Ray【10】、Lau和Wang【14】以及Zhang等人。[15] 详细考虑了需求中固有的相关性的影响。特别是，Shinzato和Kaku[4]表明，当时间效应相对较强时，基于E q.（1）的库存管理政策导致缺货率约为可接受率的36倍。在下一小节中，我们考虑一个数学框架，该框架可用于评估安全库存量，而无需假设需求的独立性；然后，我们利用该框架提出了一种新的安全库存管理方法。2.2切尔诺夫不等式在本小节中，我们讨论了在不假设需求独立的情况下，使用切尔诺夫不等式推导安全库存量。考虑一个取离散值且具有密度函数p（D）的随机变量D，其中D不限于特殊分布，如泊松分布或正态分布），则我们有以下不等式[5]：p r[η≤ D]≤ e-uηE[euD]，（3）其中η是一个常数，u>0是一个控制参数，E[f（D）]是期望值off（D）（这里和下面，E[·····]表示表达式）。

这个不等式被称为切尔诺夫不等式，无论随机变量的分布如何，它都成立。在不丧失一般性的情况下，我们假设随机变量D的平均值为0。为了证明Chernoff不等式，我们定义了以下s-tep函数：Θ（Z）=1 0≤ Z0否则。（4） 使用该阶跃函数，η的概率≤ D可以重写为asP r[η≤ D] =Z∞ηdDp（D）=Z∞-∞dDp（D）Θ（D- η） =E[Θ（D- η） 】。（5） 然后，Θ（Z）≤ 欧盟(u>0，Z∈ R） ，（6）保持。因此，切尔诺夫不等式P r[η≤ D] =E[θ（D- η） ]≤ E[欧盟（D-η） ]=e-uηE【euD】，（7）获得PLOS 3/16。由于公式（3）中的切尔诺夫不等式适用于ar位负相关u>0，因此存在公式（3）右侧的最小值：P r[η≤ D]≤ 分钟>0e-uηE[欧盟日]= e-R（η），（8），其中速率函数R（η）定义为R（η）=maxu>0{uη- φ（u）}，（9）φ（u）=log E[euD]，（10），其中φ（u）是累积量母函数，它是定义为矩母函数E[euD]的对数算法（见a）。此外，我们可以使用累积量基因评级函数φ（u）来评估任何η的评级函数R（η）∈ R、 请注意，累积量生成函数是t到u的凸函数，从式（10）中的定义可以看出，式（9）是legendre变换[4，16]，因此R（η）也是η的凸函数。我们现在利用上界e推导出安全库存量和允许缺货率之间的关系-uηE[euD]，这是概率P r[η]的紧上界≤ D] 当前观察到的随机事件，即minu>0e-uηE【euD】=E-R（η）。注意，我们在切尔诺夫不等式的上述证明中使用了连续随机变量D的密度函数，尽管它也适用于离散随机变量。

此外，η的概率≥ D、 即P r[η≥ D] ，isP r[η≥ D]≤ e-uηE【euD】，（11）当u<0时；离散情况可以用类似的方式表示。如上所述，但对于随机变量D、D、常数η、η，我们考虑了其内在质量η概率的切尔诺夫不等式≤ Dandη≤ D、 即P r[η≤ D、 η≤ D] ，我们得到r[η≤ D、 η≤ D] =E[Θ（D- η） Θ（D- η） ]≤ e-uη-uηE[euD+uD]，（12），其中u，u>0。此外，我们还可以写出N个随机变量~D=（D，···，DN）T的不等式概率的切尔诺夫不等式∈ RNand N常数~η=（η，···，ηN）T∈ RN：P r[~η≤~D]≤ e-~uT ~ηE[E ~ uT ~ D]，（13），其中有N个控制参数u=（u，···，uN）T∈ RN，（ui>0），ηi≤ Diholds表示每个分量，T表示向量或matr ix的转置。注意，我们不需要假设随机变量是独立的，因此在需求重新相关的情况下，这一点成立。与式（12）的推导类似，我们得到了不等式η概率的切尔诺夫不等式≤ Dandη≥ D、 即P r[η≤ D、 η≥ D] ：P r[η≤ D、 η≥ D]≤ e-uη-uηE【euD+uD】(u> 0，u<0）；（14） PLOS 4/16关于不等式η的概率≥ Dandη≤ D、 P r[η≥ D、 η≤ D]≤ e-uη-uηE【euD+uD】(u<0，u> 0），（15）和不等式η的概率≥ Dandη≥ D、 P r[η≥ D、 η≥ D]≤ e-uη-uηE【euD+uD】(u<0，u<0）。（16） 在此，应注意两点。首先，虽然我们考虑满足两个条件η的概率≤ Dandη≤ Din公式（12），实际上，只需施加其中一个：P r[（η≤ D）∪ （η）≤ D） ]=E[Θ（D）- η） +Θ（D- η）- Θ（D- η） Θ（D- η） ]=E[Θ（D）- η） +Θ（D- η） Θ（η- D） 】。（17） 当不可能直接计算这种概率时，我们可以用与inEq中所示类似的方法使用切尔诺夫不等式来获得它的更紧上界。（12）。

也就是说，切尔诺夫不等式的计算公式如下：P r[（η≤ D）∪ （η）≤ D） ]≤ e-uηE【euD】+E-uη-uηE【euD+uD】(u> 0，u> 0，u<0）。（18） 为了避免重复，在下面的讨论中，我们将只考虑（η≤ D）∩ （η）≤ D） =[η≤ D、 η≤ D] 第二，两个随机变量之和，D+D，超过常数η，P r[η]的概率≤ D+D]=E[Θ（D+D-η） ，满足以下Chernoffinequality:P r[η≤ D+D]≤ e-uηE[euD+uD]，（19），其中u>0。有两种方法可以解释等式（19）。首先，如上所述，D和D表示同一时期内特定商品的需求，如果允许替代，则D+D表示可替代商品的总需求和P r[η≤ D+D]是可替代商品的需求之和超过某个常数η的可能性[3，15]。替代品安全库存管理意见见B。第二种解释是，dI是周期i内单个项目的需求。然后，D+dR表示两个周期内的总需求，而P r[η≤ D+D]是总需求超过η的可能性[4]。我们将对公式（19）进行后一种解释，并在给定的交付周期内确定安全库存量与允许缺货率之间的关系；这将在第2节中详细讨论。3和2.4.2.3切尔诺夫不等式与库存率之间的关系在本小节中，我们将讨论在交付周期L内产生的需求之和，即PLt=1Dt，与允许缺货率δ之间的关系。类似于我们在公式（19）中所做的，我们替换了E q中切尔诺夫不等式中的随机变量D和5/16常数η。

（3） D=PLt=1，η=Lu+Lε。然后，我们得到r“Lu+Lε≤LXt=1Dt#≤ e-LR（ε），（20），其中每degr ee R（ε）的速率函数和每度φ（u）的累积量生成函数由R（ε）=maxu>0{u（u+ε）定义- φ（u）}，（21）φ（u）=Llog E“expuLXt=1Dt！#，（22），其中u=E[Dt]是需求Dt的平均值。请注意，在q（20）的右侧，我们有E-LR（ε），非e-R（ε）。为了证明这一点，请考虑以下内容：如果一枚硬币的长度是一枚硬币的L倍，那么人头数X遵循二元分布，因为X=n的概率∈ Z、 也就是说，P r[X=n]和/或随机变量和的概率上界的主体部分的概率与Lth次方成正比，即e-LR（ε），非e-R（ε）。因此，P r【Lu+Lε≤式（20）中的PLt=1Dt]描述了在交付周期L内产生的需求总和PLt=1Dt大于常数η=Lu+Lε（作为缺货率）的概率。在库存管理的背景下，该概率中的论证Lε可被视为提前期L内的安全库存量。类似地，关于N个共同数，如式（32）所示，P r“Lu+Lε≤LXt=1～Dt#≤ e-LN R（~ε），（23）其中ηi=Lui+Lεi，Dit是时间t时商品i的需求，Di=PLt=1Dit，E[Dit]=ut，以及每度R的速率函数（~ε）和每度累积量生成函数φ（~ u）ar eR（~ε）=max ~ u>0（NNXi=1ui（ui+εi）- φ（~ u）），（24）φ（~ u）=Nlog E“expNXi=1uiLXt=1Dit！#。（25）此外，当商品i的需求的时间序列与时间序列不相关时，式（42）中的累积量生成函数φ（~ u）的一阶可总结为φ（~ u）=Nlog EhexpPNi=1 IDITi、 2.4安全库存量和允许缺货率之间的关系式。

（20） 等于允许缺货率δ，其中δ=e-LR（ε），左侧的概率可考虑实际缺货率。安全库存质量Lε为thusLε=LR-1.-Llogδ, （26）PLOS 2016年6月，其中R-1（···）是速率函数R（ε）的反函数。请注意，该公式不要求假设需求为i.i.d.，并由上述概率理论描述。我们获得了多个相关商品的安全库存量和允许缺货率之间的关系，类似于公式（26）。我们无法从公式（26）中得出准确的安全库存，该公式与原理中的允许缺货率δ相符。然而，我们可以推导出与N种商品的安全库存相对应的允许缺货率δ，L~ε=（Lε，···，LεN）∈ RN，根据公式δ=e-LN R（~ε）。作为Chernoffinequality得出的安全库存限值的应用，我们注意到以下几点：（1）当ε<0时，即当安全库存量lε为负时，R（ε）=0；因此，它没有提供有用的上限；（2） 当需求的概率分布未知，且我们无法评估矩母函数时，我们无法直接将切诺夫不等式用于安全库存管理。然而，如果我们可以解析地确定力矩生成函数，我们就可以这样做。例如，关于威布尔分布p（X，α，β）=αβXβα-1膨胀-Xβ已知参数α和β的αi，则sinceE[euX]=P∞k=0ukβkΓ（k+1）Γkα+1, 对于低g-正态分布np（X）=√2πσXexph-（日志X-u）2σi对于已知参数u和σ，则ne[euX]=P∞k=0ukeku+σkΓ（k+1）。