一种求解有限个非线性系统传递问题的几何方法

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英文标题：
《A geometric approach to the transfer problem for a finite number of
  traders》
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作者：
Tomohiro Uchiyama
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We present a complete characterization of the classical transfer problem for an exchange economy with an arbitrary finite number of traders. Our method is geometric, using an equilibrium manifold developed by Debreu, Mas-Colell, and Balasko. We show that for a regular equilibrium the transfer problem arises if and only if the index at the equilibrium is $-1$. This implies that the transfer problem does not happen if the equilibrium is Walras tatonnement stable. Our result generalizes Balasko\'s analogous result for an exchange economy with two traders.
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中文摘要：
我们给出了具有任意有限个交易者的交换经济的经典转移问题的一个完整刻画。我们的方法是几何方法，使用Debreu、Mas Colell和Balasko开发的平衡流形。我们证明，对于正则均衡，当且仅当均衡处的指数为$-1$时，才会出现转移问题。这意味着，如果平衡点是Walras-tatonnement稳定的，转移问题就不会发生。我们的结果推广了Balasko对于有两个交易者的交换经济的类似结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> A_geometric_approach_to_the_transfer_problem_for_a_finite_number_of_traders.pdf (143.7 KB)

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关键词：非线性系统 线性系统 非线性 Quantitative equilibrium

一种几何方法，适用于tradersTomohiro UchiyamaNational理论科学中心数学分部的一个数字。第1节。台湾国立台湾大学罗斯福路4号，台北，台湾电子邮件：t。uchiyama2170@gmail.comAbstractWe给出了具有任意有限个交易者的易变经济的经典转移问题的完整特征。我们的方法是几何方法，使用Debreu、Mas Colell和Balasko开发的非平衡流形。我们证明了对于正则平衡，当且仅当指数在平衡点时，转移问题才出现-这意味着，如果平衡点是Walrastationment稳定的，转移问题就不会发生。我们的结果推广了Balasko对于具有两个交易者的交易所经济的类似结果。关键词：国际贸易，转移问题，一般均衡，均衡流形，指数定理，经济稳定性Jel分类：D51，F201引言本文研究以下经典转移问题（Samuelson，19521954）：问题1.1。假设世界上有n个国家在贸易l商品，其中n和l是任意的自然数。那么，在一个国家，比如说a国，将其部分捐赠给其他国家后，a国的效用水平会上升吗？如果发生，请描述其特征。塞缪尔森c考虑了n=2和l=2的交换经济（有或没有各种贸易障碍）。他还暗示（没有证据）转移问题与经济稳定密切相关。Balasko证实了萨缪尔森的直觉是正确的。

他表明，在一个平稳的交换经济（没有任何贸易障碍）中，当且仅当处于均衡的指数为- 换句话说，只有当平衡局部不稳定时，这种病理才会发生。利用平衡流形理论，Balasko首先证明了n=2和l=2的情况（Balasko，1978），然后证明了n=2和任意有限数l的情况（Balasko，2014）。本文的主要目的是推广Balasko对任意有限数和l的结果。粗略地说，我们证明了定理1.2。对于具有任意数量的贸易（国家）和货物（无任何贸易障碍）的商品交换经济，当且仅当均衡时的指数为-特别是，转移问题只在正则平衡点局部Walras-tatonnement不稳定时出现。有关转移pr问题的精确公式，请参见定义3.2。我们的模型比Balasko的模型更适合当前的世界经济，许多国家（而不仅仅是两个国家）都在进行大量的商品贸易。我们不考虑任何贸易障碍。这简化了我们的模型，考虑到现代全球经济中各种贸易障碍已变得微不足道，这也是一个合理的假设。有些人可能不同意我们的观点：我们将贸易成本的问题留给未来的工作。我们的方法是（不同的）几何方法：我们使用了（Debreu，1970），（Mas-Colell，1985），（Balasko，2009，2011）中的平衡流形理论。我们将平衡分析限制在正则平衡集。这不是一个强大的假设：正则平衡集是平衡流形中具有完全测度的开放子集（Balasko，2011，Prop.8.10）。我们把数学要求保持在最低限度。

读者只需要知道基本的微分几何（或微分拓扑），比如米尔诺的小书（米尔诺，1965）或吉尔曼·波拉克的经典著作（吉尔曼和波拉克，1974）就足够了。（实际上只知道可微流形的定义和横截性定理的陈述。）本文介绍了平衡流形、经济稳定性和指数定理的所有必要背景。我们对一般均衡理论和均衡模型的参考文献a re（Balasko，2009，2011）和（Mas Colell，1985）。这是论文的结构。在第2节中，我们列出了符号并解释了我们的经济模型。然后在第3节中，我们回顾了平衡流形的理论，并精确地描述了转移问题。在第4节中，我们快速回顾了经济稳定性与指数定理之间的关系。在第5节中，我们深入分析了我们的模型，并证明了关键结果命题5.1。然后在第6节中，我们应用以前的所有结果来证明主要结果定理6.1。最后，在第7节中，我们陈述了几个尚未解决的问题。2交换经济分别用N、R和R>0表示自然数集、实数集和正实数集。固定l∈ N、 我们设置商品空间X：=Rl>0（Rl的严格正或正）。我们将第l项商品设置为数字：如果p=（p，···，pl）∈ Xis是价格向量，则pl=1。我们假设所有价格都是正数。价格向量集为S：=Rl-1> 0×{1}。我们有n个∈ N贸易商（国家）。每个交易员i∈ {1，···，n}被赋予一个货物向量ωi∈ 十、 我们假设我们的经济是一个没有生产的交换经济：经济的总资源r=Pni=1ωiof是固定的。

我们写作Ohm ={ω=（ω，···，ωn）∈ Xn | Pni=1ωi=r}表示经济禀赋空间。我们假设每个交易者的偏好都由平滑的效用函数ui:X表示→ R、 对于zi∈ 十、 我们写Izi：={yi∈ X | ui（yi）=ui（zi）}（通过点zi的雷达的差异面）。我们认为，每种方法都将以下标准方法用于差异平衡分析（Mas Colell，1985），（Balasko，2009）。对于任何xi∈ 十、 （i）平滑单调性：Dui（xi）∈ Rl>0；（ii）光滑严格准凹度：Hessian Dui（xi）在与Ixi相切的平面上为负定义；（iii）Ixiis在X中闭合。此外，我们通过设置ui（0）=infxi来扩展uito xi=0∈徐毅（xi）。给定价格向量p∈ S和预算wi=p·ωi∈ R> 0，每个交易者在预算约束p·xi下最大化效用ui（xi）≤ wi。然后，该效用最大化问题存在唯一解，我们得到了一个光滑的需求函数fi:S×R>0→ X满足瓦拉斯定律：p·fi（p，wi）=wi。注：不要将wi与ωi混淆。我们遵循Debreu（和Balasko）的符号（Debreu，1970），（Bala-sko，2014）。3 p的平衡歧管∈ S和ω∈ Ohm, 设z（p，ω）：=Pni=1fi（p，p·ωi）- r、 那么z（p，ω）是与（p，ω）相关的（社会）超额需求。很明显，函数z:S×X→ RLI平滑。定义3.1。我们称之为（p，ω）∈ 如果z（p，ω）=0，则S×X是一个平衡。S×的子集EOhm由z（p，ω）=0定义的称为平衡m倍。注意，平衡流形E是微分几何中通常意义上的真正光滑流形（Milnor，1965），（Guillemin和Pollack，1974）。参见（Bala sko，2009年，第2.4.1款）以获取证据。对于（p，ω）∈ S×X，我们用z表示-l（p，ω）∈ Rl型-1第一个l定义的向量- 1 z（p，ω）的成分。由于每个交易者在均衡时都满足Walras定律，因此z（p，ω）=0当且仅当z-l（p，ω）=0。

（因此，考虑z就足够了-l（p，ω）。）让p∈ S、 我们写p-l由p的第一个l坐标定义的向量。（无论如何，l坐标是由数字假设来执行的。）回想一下平衡（p，ω）∈ 如果雅可比矩阵J（p，ω）：=Dz，E是正则的-l（p，ω）/Dp-lis可逆（Mas Co le ll，1985）（Balasko，2009）。假设（p，ω）∈ E是正则平衡。然后将隐函数定理应用于方程z-l（p，ω）=0，我们可以用ω来表示p。然后到（Balas ko，2011，Prop.7.2），存在ω的邻域U，ω的邻域HOO d V，以及平滑映射s:U→ 这样，映射σ：U→ 由σ（x）=（s（x），x）定义的V是U和V之间的一个差同态。在（Balasko，201 4）之后，我们将σ（或s）称为与（p，ω）相关联的局部均衡选择图（局部均衡价格选择图）。现在，我们准备以一种精确的方式陈述转移问题：定义3.2。我们说在正则平衡点（p，ω）上有一个转移问题∈ 如果存在禀赋向量ω′∈ U和a交易员i∈ {1，···，n}这样1。ωi≤ ω′i和ωi6=ω′i，2。ui（fi（s（ω′），s（ω′·ω′i））>ui（fi（s（ω），s（ω）·ωi）），其中s:U→ S是与上述（p，ω）相关的局部均衡价格选择ma p。注意，（p，ω）处转移问题的定义∈ E要求（p，ω）是正则的（否则我们就没有函数s）。然而，这并不是一个很强的限制：E中的正则平衡集与E的全部测度是开放的；见（Balasko，2011年，第8.10号提案）。4经济稳定性和指数理论在这一小段中，我们回顾了均衡（p，ω）下指数的定义及其与经济稳定性的关系，以使本文自足。我们在此引用了（Arrow和Hahn，1971），（Hirsch et al.，20 04）和（Guillemin和Pollack，1974）。

重新调用正则平衡指数（p，ω）∈ E为1（或-1） 如果(-1） l-1det（J（p，ω））为正（或分别为负）。众所周知，if（p，ω）∈ E是Walras-tatonnement局部稳定平衡，则J（p，ω）的所有特征值都必须具有严格的负实部。这样的指数（p，ω）∈ E必须为1。注意，相反的方法失败了：存在非平衡（p，ω）∈ 使得（p，ω）的指数为1，但（p，ω）不是Walras-tatonnementlocal稳定的。有关这方面的更多信息，请参阅上面的参考资料。5平衡分析的几何方法在本节中，我们密切关注（Balasko，2014，第3节）中的论点。通过H（r）定义与固定社会捐赠r相关的价格收入空间H（r）：{（p，w）∈ S×Rn>0 | Pni=1wi=p·r}，其中w是收入向量（w，···，wn）。从定义来看，很明显H（r）是（l+n- 2） -S×Rn>0的维超平面。我们通过（p，···，pl）设置H（r）的坐标-1，w，···，wn-1） =（p-l、 w-n）∈ Rl+n-2> 0。注意，我们省略了w的最后一个坐标，因为wn是由wn=p·r确定的-Pn编号-1i=1wi。设B（r）：={（p，w）∈ H（r）| Pni=1fi（p，wi）=r}。我们称B（r）为截面流形。这是一个平滑的（n- 1） -H（r）的量纲子流形by（Balasko，2009，第5.4.1条）。在下文中，我们给出了B（r）的具体参数化，这对于我们的地理计量平衡分析很方便。设P（r）是Pareto最优分配的集合。首先，我们将P（r）参数化。

设U（r）为向量集（U，···，un-1） =u-n∈ 注册护士-第一个n中的1个- 1交易员的可行效用水平，即isU（r）：={u-n∈ 注册护士-1 |存在（x，···，xn-（1）∈ Xn公司-1使u=u（x），···，un-1=un-1（xn-1） andn公司-1Xi=1Xi≤ r} 。给定u-n∈ U（r）我们得到一个帕累托最优分配x=（x，···，xn）∈ XNB通过解决以下约束优化问题：maxx∈Xnun（xn）受u约束-n=u-n（x-n） 对于某些x-n∈ U（r）和nxi=1xi=r。我们写x（U-n） =（x（u-n） ，···，xn（u-n） ）以解决此优化问题。在我们对光滑偏好的假设下，存在唯一的pric e向量p（u-n）∈ 支持x（u）的S-n） 。注释t p（u-n） 平行于梯度向量Dui（xi（u-n） ）。我们可以表示所有帕累托最优分配a s x（u-n） 通过改变u-nin U（右）。这里有一个重要的观测：点M（u-n） ：=（p（u-n） ，p（u-n） ·x（u-n） ，···，p（u-n） ·xn（u-n） （）∈ 对于任何u，H（r）属于B（r）-n∈ U（r）。相反，任何点（p，w）∈ B（r）与唯一点u关联-n∈ U（r）通过U-n=（u（f（p，w），···，un-1（fn-1（p，wn-1） ））。因此，u-n∈ U（r）参数表示截面流形B（r）以及帕累托最优分配集P（r）。对于地图M:U（r）→ B（r），我们写MM的偏导数对i的偏导数∈ {1，···，n- 1} 。我们为B（r）via设置正方向(Mu、 ····，M联合国-1） 。福鲁-n∈ U（r），向量Mui（u-n） 抑制在M（u）附近增加RADER i效用水平的方向-n） 。对于ω∈ Ohm, 我们通过A（ω）定义了与禀赋ω相关的budget空间A（ω）：={（p，w）∈ H（r）| wi=p·ωifor i∈ {1，···，n- 1} }。那么A（ω）是一个线性空间，是超平面H（r）中由wi=p·ωii定义的超平面的交点。很容易看出（p，ω）∈ S×Ohm 是平衡态当且仅当（p，p·ω，···，p·ωn）∈A（ω）∩ B（r）。

重点是，我们将平衡分析分为两部分：A（ω）和B（r）。第一部分A（ω）是一个线性空间。因此，平衡方程z（p，ω）=0的所有非线性都被B（r）捕获。注意，B（r）不依赖于o nω：所有ω项都在A（ω）中。使用坐标系（p-l、 w-n） 对于H（r）和方程wi=p·ωi，我们看到a（ω）与（l）平行- 1） -基为{a（ω），···，al的维向量空间-1（ω）}（该坐标系的中间值）由a（ω）给出：=（1，0，···，0，ω，ω，···，ωn-1） ，a（ω）：=（0，1，0，···，0，ω，ω，··，ωn-1） ，···al-1（ω）：=（0，···，0，1，ωl-1，ωl-1，···，ωl-1n-1） ，其中ωji是交易者i对goods j的禀赋。我们通过（A（ω），···，al设置A（ω）的正方向-1（ω））。显然，向量集sai（ω）是线性独立的，因此A（ω）的维数是l- 1、选取正则平衡（p，ω）∈ E、 然后（p，p·ω，···，p·ωn）是价格-收入空间H（r）中的对应点。设ui（p，ω）：=i的ui（fi（p，p·ωi））∈ {1，···，n- 1} 。由于（p，ω）是正则的，H（r）的光滑子流形A（ω）和B（r）在（p，p·ω，·p·ωn）处横向相交。根据著名的转移性定理（Mas Colell，1985年，第一章），这相当于（p，ω）：=deta（ω），···，al-1（ω），Mu（u-n（p，ω）），····，M联合国-1（u-n（p，ω））6=0。以下是本节的主要结果。提案5.1。Let（p，ω）∈ E要有规律。那么（p，ω）的指数是1（或-1）如果（p，ω）为正（或分别为负）。证据虽然我们可以通过一个（没有启发性的）繁琐的直接计算来证明这个命题，但我们通过上面的U（r）利用B（r）的参数化来避免它。以下论点表明（p，ω）对于任何正则（p，ω）具有J（p，ω）的相反符号∈ E、 这对我们的目的很有用。对于u-n∈ U（r）。

设M（u-n） =（p（u-n） ，w（u-n） ，···，wn（u-n） （）∈ B（r）。现在让ωi（u-n） ：=fi（p（u-n） ，wi（u-n） ）对于i∈ {1，···，n}，写ω（u-n） 对于（ω（u-n） ，···，ωn（u-n） ）。然后（p（u-n） ，ω（u-n） ）是一种非贸易平衡。到（Balasko，2011年，第8.2号提案）为止，每一个非贸易平衡都是有规律的，所以（p（u-n） ，ω（u-n） ）是常规的。注意A（ω（u-n） ）随u连续变化-N在U（r）中移动。因此，函数δ：U（r）→ 由δ（u）定义-n） ：=（p（u-n） ，ω（u-n） ）是连续的。我们看到，对于任何u，δ都不会取0-n∈ U（r）自e以来，没有任何贸易均衡是正则的。因此，对于任何特定的u值，检查δ的符号就足够了-nsince U（r）已连接。（我们使用的论点与证明中的论点相同（Balasko，2014，Lem.1）。）设ω=（0，0，···，0，r）∈ Xn。然后u-n（ω）：=（u（0），u（0），···，un-1（0））。因此 （p（u-n（ω）），ω）：=dete、 e，···，el-1.Mu（u-n（ω）），····，M联合国-1（u-n（ω））其中ei是第i个坐标为1的列向量，所有其他坐标为z e ro。允许′（p（u-n（ω）），ω）是 （p（u-n（ω）），ω）由最后一个（n- 1） rowsand联合列 （p（u-n（ω）），ω）。然后δ（u-n（ω））>0当且仅当det(′（p（u-n（ω）），ω））>0。请注意，向量Mui（u-n（ω））表示i∈ {1，···，n- 1} traderi提高效用水平的方向是否将其他Trader的效用水平固定在uj（0）上∈ {1，···，n- 1} \\{i}。由于所有运输商的收入∈ {1，···，n- 1} 在（p（u）处为0-n（ω）），ω），我们必须Mui（u-n（ω））=（0，0，···，0，x，0，···，0），其中x是第i个co分量，x∈ R> 0。因此，我们显然有det(′（p（u-n（ω）），ω））>0，我们完成了。备注5.2。