非线性系统局部解的稳定性与解析展开

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英文标题：
《Stability and analytic expansions of local solutions of systems of
  quadratic BSDEs with applications to a price impact model》
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作者：
Dmitry Kramkov, Sergio Pulido
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We obtain stability estimates and derive analytic expansions for local solutions of multi-dimensional quadratic BSDEs. We apply these results to a financial model where the prices of risky assets are quoted by a representative dealer in such a way that it is optimal to meet an exogenous demand. We show that the prices are stable under the demand process and derive their analytic expansions for small risk aversion coefficients of the dealer.
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中文摘要：
我们得到了多维二次BSDE局部解的稳定性估计和解析展开式。我们将这些结果应用到一个金融模型中，其中风险资产的价格由代表性交易商以最佳方式报价，以满足外生需求。我们证明了在需求过程下，价格是稳定的，并导出了它们对交易商的小风险规避系数的解析展开式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Stability_and_analytic_expansions_of_local_solutions_of_systems_of_quadratic_BSD.pdf (258.13 KB)

2022-5-7 02:02:15 上传

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关键词：非线性系统 线性系统 非线性 稳定性 Quantitative

二次BSDE系统局部解的稳定性和解析展开及其在价格影响模型中的应用*Dmitry Kramkov+卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，15213-3890(kramkov@cmu.edu)塞尔吉奥·普利多-埃弗里大学埃弗里和瓦尔-德埃松研究所埃弗里研究所（LaMME），法国埃弗里塞德斯大道23号IBGBI，法国埃弗里塞德克斯（sergi o.pulidonino@en siie.fr）埃弗里-瓦利-德埃松，安西，UMR CNRS 8071，2018年8月31日*我们感谢Kostas Kardaras和两位匿名评论者对论文早期版本的深刻评论。+作者还在牛津大学兼职。这项研究部分得到了卡内基梅隆-葡萄牙项目和牛津大学牛津定量金融研究所的支持作者的研究成果来源于路易·巴塞利尔实验室支持下的“转型中的椅子市场”，该实验室是“理工学院、德国大学、埃弗里-瓦尔-德斯-昂内和法国证券交易所、L abex ANR11-LABX-0019联合发起的。该研究还获得了欧盟第七个Fra mework计划（FP/2007-2013）/ERC第307465-POLYTE号拨款协议下的欧洲研究理事会的资助。摘要我们得到了多维二次倒向随机微分方程局部解的稳定性估计并导出了解析展开式。我们将这些结果应用到一个金融模型中，其中代表性交易商以最适合满足外生需求的方式对风险资产的价格进行报价。

我们证明了价格在需求过程下是稳定的，并推导了交易商的小风险规避系数的解析展开式。关键词：多维二次BSDE，二次BSDE的稳定性，二次BSDE的渐近行为，流动性，价格影响。AMS学科分类（2010）：60H10、91B24、91G80。JEL分类：D53、G12、C62。1.引言研究了具有二次增长的一维倒向随机微分方程。他们在Bounded终端条件下解的存在性、唯一性和稳定性已在论文Kobylanski[17]中得到证实。Tevzadze[20]和Briand and Elie[1]提出了替代证明。在Briand和Hu[2,3]等人的著作中，已经得到了无界情况的推广。使用方形ic BSDE系统的情况更麻烦。除非有一个特殊的结构（例如，在Darling[6]、Tang[19]、El Kar oui和Hamad`ene[8]、Cheridito和Nam[4]以及Hu和Tang[14]中），否则即使在有界终端条件下，它们也可能无法得到解。在Frei和dos Reis[10]中可以找到一个反例。从积极的方面来看，首先，在Tevzadze[20]中，对于L∞-范数，然后是有界平均振荡（BMO）范数的In-Frei[9]和Kramkov及Pulido[18]。在本文中，我们建立了稳定性性质，并导出了这种局部解的解析展开式。我们的主要结果在定理2中陈述。1和3.2。在定理2.1中，我们得到了关于dr-iver和终端条件的Spand BMO空间的稳定性估计。

在定理3.2中，我们得到了关于终端条件的BMO解析展开式。这些幂级数的系数可以按任意顺序递归计算。这项工作的动机是我们在[18]中研究了市场微观结构理论中的价格影响模型，该模型建立在格罗·斯曼和米勒[13]、加莱诺、佩德森和波特什曼[11]以及格尔曼[12]的早期著作基础上。在该模型中，代表性交易商为高风险股票提供流动性，并以最佳方式报价，以满足股票的外生需求。正如我们在[18]中所证明的那样，由此产生的股价可以用需求过程参数化的二次BSD系统的解来描述。文献[12]表明，在简单需求下，股价性别歧视是唯一的，可以通过反向归纳和鞅表示显式构造。对于一般（非简单）需求，情况更复杂。在这种情况下，只有当某些模型参数的乘积足够小时，才能获得价格的存在性和唯一性，如下面（4.6）所示。

一个自然的问题是，在这种约束下，产出股票价格在需求下是否稳定，尤其是它们是否能很好地近似于由简单需求产生的价格。理论4给出了肯定的答案。并依赖于定理2.1中的一般稳定性估计。当经典的风险规避系数接近于零时，我们的数学模型就会消失。在理论上。5我们推导了a的所有有效值的价格分析展开式，从而得到价格影响修正的自然规模。[12]中针对simpledemands获得了这些修正的前导项。对于矩阵a=（Aij），我们用a表示它的转置*并将其规范定义为| A |，√追踪AA*=sXi，j |哎呀|。我们将研究一个经过过滤的概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）满足右连续性和完备性的标准条件；初始σ-代数F是平凡的，F=FT，成熟度T是有限的。

期望值表示为E[·]，条件期望值表示为FtasEt[·]。对于n维可积随机变量ξsetkξkLp，（E[|ξp]）1/p，p≥ 1，kξkL∞, inf{c≥ 0 : |ξ(ω)| ≤ c、 P[dω]- a、 美国。我们将使用下面的随机过程空间：BMO（Rn）是M=0的连续n维鞅的Banach空间，其标准为kmkbmo，supτk{Eτ[hMiT- hMiτ]}1/2kL∞,其中，关于所有停止时间τ取上确界，HMI是M的二次变量。SBMO（Rn）是连续n维半鞅sx=X+M+A的Banach空间，其中M是一个连续鞅，A是一个有限的变化过程，其范数为xksbmo，|X |+kMkBMO+supτkEτ[ZTτdA |]kL∞.这里的上确界是指所有停止时间τ和r | dA |是p的a.Sp（Rn）的总变化≥ 1是连续n维半鞅X=X+M+A的Banach空间，其中M是一个连续鞅ale，A是一个有限的演化过程，其范数为kxksp，|X |+khMi1/2TkLp+kZT | dA | kLp。H（Rn×d）是可预测过程ζ的向量空间，其值在n×d矩阵中，使得rt|ζs|ds<∞. 这就是d维布朗运动b的n×d维被积函数ζ的空间。我们将在H（Rn×d）ifRT |αs中识别α和β- βs | ds=0，或者，如果随机积分α·B和β·B重合。p的Hp（Rn×d）≥ 1由ζ组成∈ H（Rn×d）等于ζ·B∈ d维布朗运动B的Sp（Rn）在形式下是一个Banach空间：kζkHp，kζ·BkSp=（E“ZT|ζs|dsp/2#）1/p.HBMO（Rn×d）由ζ组成∈ H（Rn×d）使得ζ·B∈ d维布朗运动离子B的BMO（Rn）。

这是一个Banach空间，其形式为：kζkHBMO，kζ·BkBMO=supτkEτZTτ|ζs | ds1/2千克∞.H∞（Rn）是有界n维可预测过程γ的Banach空间，其范数为：kγkH∞, inf{c≥ 0:|γt（ω）|≤ c、 dt×P[dω]- a、 美国。对于E[ξ]=0的n维可积随机变量ξ，k（Et[ξ]）t∈[0，T]kBMO。2稳定性测试之后，我们将假设（A1）存在一个d维布朗运动B，使得每个局部鞅M都是关于B的随机积分：M=M+ζ·B。当然，如果过滤是由B生成的，这个假设成立。考虑n维BSDE：（2.1）Yt=Ξ+ZTtf（s，ζs）ds-ZTtζdB，t∈ [0，T]。这里Y是一个n维半鞅，ζ是一个可预测的过程，其值在n×d矩阵的空间中，并且终端条件Ξ和t hedriver f=f（t，z）满足以下假设：（A2）Ξ是一个可积随机变量，其值在rnt中，使得t hemartingallet，Et[Ξ]- E[Ξ]，t∈ [0，T]属于BMO。（A3）t 7→ f（t，z）是一个可预测的过程，其值为Rn，（2.2）f（t，0）=0，并且存在一个常数Θ>0，使得（2.3）|f（t，u）- f（t，v）|≤ Θ（|u- v |）（u |+|v |），所有∈ [0，T]和u，v∈ Rn×d。注意，f=f（t，z）在z中有二次增长。我们将在本节末尾的标记2.3中讨论（A3）。回想一下，有一个常数κ=κ（n），对于每一个鞅∈ BMO（Rn），（2.4）κkMkBMO≤ kMkBMO，supτkEτ[|MT- Mτ|]kL∞≤ kMkBMO，见[16]，推论2.1。

[18]中的定理A.1表明，在（A1）、（A2）和（A3）下，如果（2.5）kLkBMO<8κΘ，则（2.1）存在唯一解（Y，ζ），使得kζkHBMO≤4κΘ.类似的局部存在性和唯一性结果首先在[20，命题1]中显示为小有界终端条件，然后在[9，命题2.1]中显示为当前BMO设置，但常数不同。理论2。下面的1提供了关于终端条件和驱动器的局部解（Y，ζ）的稳定性估计。与（2.1）一起，我们考虑一个类似的n维BSDEY′t=Ξ′+ZTtf′（s，ζ′s）ds-ZTtζ′dB，t∈ [0，T]，（2.6）其终端条件Ξ′和驱动器f′=f′（T，z）满足与Ξ和f相同的条件（A2）和（A3）- E[Ξ′，t∈ [0，T]，并假设存在一个非负过程δ=（δT），如that（2.7）|f（T，z）- f′（t，z）|≤ δt | z |。定理2.1。假设BSDE（2.1）和（2.6）满足（A1）、（A2）、（A3）和（2.7），并假设（Y，ζ）和（Y′，ζ′）是它们各自的解。对于p>1，存在正常数c=c（n，p）和c=c（n，p）（仅取决于n和p），因此如果（2.8）kζkHBMO+kζ′kHBMO≤cΘ，然后kζ′- ζkHp≤ C吉隆坡- LTkLp+k√ΔζkH2p,（2.9）kY′- Y kSp≤ CkΞ′- ΞkLp+k√ΔζkH2p.（2.10）此外，存在常数ec=ec（n）和ec=ec（n）（仅取决于n），因此ifkζkHBMO+kζ′kHBMO≤ecΘ，thenkζ′- ζkHBMO≤欧共体吉隆坡\'- LkBMO+k√ΔζkHBMO,（2.11）kY′- Y kSBMO≤欧共体|E[Ξ′）- Ξ]|+kL′- LkBMO+k√ΔζkHBMO.（2.12）证据。缩短符号集ζ , ζ′- ζ、 等等。

定义鞅和有界变差过程asM，ζ·B，At，Zt（f′（s，ζ′s）- f（s，ζs））ds，t∈ [0，T]。我们推断t hatMT=LT+AT- E[AT]，这很容易暗示KMTKLP≤ KLTkLp+2k ATkLp。从Doob和Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式出发，我们推导出常数C=C（n，p）的存在性，例如KζkHp≤ CkMTkLp。要估计kATkLpwe，请使用与A:Zt，Et变量相关的电势ZZTt|dA|= EtZTt|f′（s，ζ′s）- f（s，ζs）|ds≤ EtZTt|f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs）|ds+ EtZTt|f′（s，ζs）- f（s，ζs）|ds.表示Z*, 监督∈[0，T]| Zt |根据Garsia Neveu不等式，我们有kATkLp≤ kZT | dA | kLp≤ pkZ*荷航。取1<p′<p，表示q′，p′/（p′）-1). 从（A3）和CauchySchwarz和H¨older不等式中我们得到了ZTt|f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs）|ds≤ ΘEtZTt（|ζs|+|ζ′s|）|ζs|ds≤ ΘEt“ZTt（|ζs|+|ζ′s|）ds1/2ZTt|ζs|ds1/2#≤ ΘEt“ZTt（|ζs|+|ζ′s|）dsq′/2#！1/q\'Et“ZTt|ζs|dsp′/2#！1/p′。从Doob不等式、BDG不等式和BMOP范数的等价性，见[16，推论2.1，p。

28]，我们推导出常数C=C（n，q′）的存在性ZTt（|ζs|+|ζ′s|）dsq′/2#！1/q′≤ C（kζkHBMO+kζ′kHBMO）。使用“明显的估计”ZTt|ζs|dsp′/2#≤ Et“ZT|ζs|dsp′/2#，Nt，并表示r，p/p′>1，我们从Doob不等式推导出常数C=C（r）的存在性，使得kn*kLr≤ CkNTkLr=Ckζkp′Hp。综合以上估计，我们得出*kLp≤ CΘ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHp，其中常数C=CC1/p′仅取决于n和p。从（2.7）我们推导出vt，EtZTt|f′（s，ζs）- f（s，ζs）|ds≤ EtZTtδs |ζs | ds≤ EtZTδs|ζs|ds.Doob不等式的另一个应用产生了一个常数C=C（p）>1such thatkV*kLp≤ CkZTδs |ζs | dskLp。定义常数c=c（n，p）和c=c（n，p）asc=4pCC，c=4pCC，假设（2.8），我们得到ζkHp≤ Cp（k）LTkLp+2k Z*（荷航）≤ Cp（k）LTkLp+2k U*kLp+2k V*（荷航）≤ 内容提供商KLTkLp+2CΘ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHp+2CkZTδs |ζs | dskLp≤KζkHp+CKLTkLp+k√ΔζkH2p,这意味着（2.9）。当我们写下时，估算值（2.10）根据（2.9）和上面的估算值，用适当的C=C（n，p）计算kRT | dA | klpY=E[Ξ+AT]，Y=Y+M- A、 证明开始时定义了M和A。估计值（2.11）和（2.12）更直接。