具有预算约束的均值回复投资组合设计

最后，我们可以撤消变量“w=LTw”的更改，将最小化wwth（k）wsubject设置为wTMw=νw∈ W、 （45）其中，在目标函数中，h（k）=ξM+2ζw（k）TMw（k）M+2ηPpi=2w（k）TMiw（k）密歇根州-2ψ\'MMw（k）w（k）TM。（46）更具体地说，对于portmanteau统计porz（p，w）（即ξ=0，ζ=1和η=1）和惩罚交叉统计Pcroz（p，w）（即ξ=1，ζ=0和η>0），我们有以下表达式：H（k）porz=2Ppi=1w（k）TMiw（k）密歇根州-2ψ\'MMw（k）w（k）TM，H（k）pcroz=M+2ηPpi=2w（k）TMiw（k）密歇根州-2ψ\'MMw（k）w（k）TM。（47）最后，在优化问题（44）和（45）中，目标函数在变量中变为二次函数，而在变量中变为四次函数，就像在原始问题（36）中一样。根据W的具体形式，问题（45）是前面章节中讨论的GEVP或GTRS问题。因此，为了直接处理可能很困难的原始问题（36），我们只需要迭代求解一系列GEVP或GTR。我们将这些基于MMP的算法分别称为迭代重加权GEVP（IRGEVP）和迭代重加权GTR（IRGTR），这些算法在算法3中进行了总结。算法3 IRGEVP和IRGTRS-使用porz（p，w）和pcroz（p，w）解决MRP设计问题的算法。要求：p，Mi，i=1，p、 和ν>0.1：设置k=0，并选择初始值w（k）∈ W2： 根据（39）和ψ计算？M\'M;3： 重复4：根据（46）计算H（k）；5： 通过求解（22）中的GEVP或（25）中的gtrs更新w（k+1）；6： k=k+1；7： 直到收敛C。EIRGEVP-IRGEVP的扩展算法在上述基于MM的算法中，如果我们能在每次迭代中得到子问题的闭合形式解，那将是非常理想的。事实上，对于IRGEVPs，再次应用MM技巧，在每次迭代中都可以得到一个闭合形式的解。

为了说明这一点，我们再次将IRGEVP的子问题（44）重写如下：minimizewwTH（k）wsubject To wTMw=νTw=0。（48）考虑到用于消除线性约束的技巧（22），我们可以得到以下等价公式：minimizextn（k）xsubject to xTNx=ν，（49），其中F和Nare的定义与之前相同；N（k）=FTH（k）F。考虑到Cholesky分解N=RRTwithR是一个具有正对角元素的下三角形，我们可以得到变量变换'x=RTx。然后问题（48）变得最小化“x”xT“N（k）”x subject为“xT”x=ν，（50），其中“N（k）=R”-1N（k）R-T、 再次应用引理6，问题（50）的目标函数在'x（k）处由以下优化函数优化：u\'x，\'x（k）= ψ\'\'N（k）\'\'xT\'\'x+2\'\'N（k）- ψ\'\'N（k）我(R)x（k）T'x+'x（k）Tψ\'\'N（k）我-\'\'N（k）(R)x（k），（51），其中ψ\'\'N（k）可以使用Lemma7的结果进行选择。第一部分和最后一部分只是两个常量。请注意，尽管在推导过程中，我们两次应用了MM schemeSubmitted论文9，但它可以被视为是对w（k）处原始问题目标的直接优化。下面的引理总结了总体优化功能。引理8。对于w的问题（36）∈ W、 （41）和（51）中的优化可以显示为原始问题目标函数在W（k）处的优化，该优化通过以下函数设置约束：uw、 w（k）= 2.H（k）- ψR-第1（k）页FR-TMw（k）Tw+2ψR-第1（k）页FR-Tν- w（k）TH（k）w（k）。（52）其中最后两项为常数。证明：见附录A。然后，（50）的主要问题变为最小化“xe（k）T”x subject to“xT”x=ν，（53），其中e（k）=2\'\'N（k）- ψ\'\'N（k）我\'\'x（k）表示主修（51）。通过Cauchy-Schwartz不等式，我们得到了eT'x≥-kekk？xk=-νkek，并且只有当'x和e在相反方向上对齐时，等式才成立。考虑到约束条件，我们可以得到（53）的最优解为'x=-√νekek。

我们将此算法称为扩展IRGEVP（EIRGEVP），在算法4中进行了总结。算法4 EIRGEVP-IRGEVP的扩展算法。要求：p，Mi，i=1，p、 和ν>0.1：设置k=0，并选择初始值w（k）∈ W2： 计算M和ψ\'M;3： 重复4：计算N（k）和ψ\'\'N（k）;5： 用闭式解更新w（k+1）；6： k=k+1；7： 直到收敛vi。数值实验统计套利策略包括几个步骤，其中MRP设计是一个核心步骤。在这里，我们将整个策略分为四个连续步骤，即：资产池构建、MRP设计、单位根检验和均值反转交易。在第一步中，我们选择一组可能的综合资产候选者来构建一个资产池，本文将对此进行详细阐述。在第二步中，基于资产池中的候选资产，使用EngleGranger OLS方法[12]和Johansen方法[13]等传统设计方法或本文提出的方法设计MRP。在第三步中，采用单元根检验程序，如增广Dickey-Fuller检验[46]和Phillips-Perron检验[47]，来检验所设计MRP的平稳性或可逆性。在第四步中，通过单位根检验的MRP将根据设计的均值回归交易策略进行交易。在本节中，我们首先说明了均值回归交易策略，在此基础上，我们在第四节和第五节中使用合成数据和真实市场数据提出的RP设计方法的性能也相应显示出来。A、 均值回归交易设计在本文中，我们使用了一种简单的交易策略，其中交易信号，即买入、卖出或持有，都是基于简单的事件触发器设计的。均值反转交易是在设计利差Zt上进行的，该利差被证明是单位根平稳的。

交易头寸（1表示的顺势头寸或1表示的空头头寸-1） 表示一种投资状态，当利差ztis偏离其长期均衡uzbya预先设定的交易阈值时，该状态打开 当zt超过其平衡uz时，关闭（用0表示）。（一个常见的变化是在价差超过另一个阈值后关闭位置′.) 从持仓开始到持仓结束的时间段定义为交易期。为了获得标准的交易规则，我们通过定义z引入了标准化技术- 非正态分布分数如下：~zt=zt- uzσz，（54），其中uzandσzare是实际中在样本回顾期内计算的分布zt的平均值和标准偏差。对于▄zt，E【▄zt】=0，Std【▄zt】=1。然后，我们可以确定 = d×σz，对于d的某些值（例如，d=1）。在交易阶段，根据持有期t的交易头寸和观察到的（标准化）利差值，我们可以计算下一个连续持有期t+1的交易行为。表I总结了均值回归交易策略，图2给出了基于该策略的简单交易示例-1.5σz-σz-0.5σz0.5σzσz转换时间1。2、均值回归交易策略设计的简单示例（tradingthreshold = σz）。提交的论文10表I均值回复交易策略的交易头寸、标准化利差和交易行为t标准化利差交易头寸在持有期t+1交易头寸t+1+d内采取的行动≤ ZT关闭长位置并打开短位置-10≤ zt<+d关闭长位置0zt<0无动作1+d≤ ZT打开短位置1-d<~zt<+d无动作0zt≤ -d打开一个长的位置1-10-d<zt≤ 0关闭短路位置。

0zt≤ -d关闭短位置，打开长位置1B。绩效衡量构建MRP后，我们需要确定设计的MRP与基础金融资产之间的关系。回想一下，设计MRP的价差为zt=wTst，其中st=[s1，t，s2，t，…，sN，t]Twith sN，t=wtsnyt，n=1，2，N、 通过定义st=WTsytwith Ws=【Ws，Ws，…，wsN】，我们得到利差zt=wTpyt，其中WP=Wsw表示直接定义在基础资产上的投资组合权重。基于之前引入的均值回归交易策略和wphere定义的MRP，我们在数值实验中采用了以下性能指标。1） 投资组合回报指标：在下文中，我们首先对单个资产的回报进行定义，然后讨论MRP的几种不同回报指标。对于单个资产，τ持有期的收益率或累计收益率定义为rt（τ）=pt-pt公司-τpt-τ、 其中，括号中的τ表示周期长度，通常在长度为1时使用。这里，回报率rt（τ）作为回报率，用于衡量一段时间τ内一项资产投资策略的收益或损失总额（百分比）。a） 盈亏（P＆L）：盈亏（P＆L）衡量在某些持有期内投资组合的盈亏金额（以美元为单位）。在一个交易期内，如果在时间to在MRP上打开多头头寸，在时间tc关闭多头头寸，则该MRP在时间t的多期损益（到≤ t型≤ tc）累计fromtois计算为P&Lt（τ）=wTprt（τ）=wTprt（t- to），其中τ=t- todenotes表示保持期的长度，rt（τ）=[r1，t（τ），r2，t（τ），…，rM，t（τ）]是返回向量。

更一般而言，该MRP的累积损益t为τ（0≤ τ≤ t型- to）持有期定义为asP&Lt（τ）=wTprt（t- 收件人）- wTprt公司-τ（t- τ- 至），（55），其中我们定义rt（0）=0。然后，我们计算出以P&L表示的单周期P&L（如每日P&L、每月P&L）时间t（即τ=1）为asP&Lt=wTprt（t- 收件人）- wTprt公司-1（t- 1.- 至）。（56）同样，在一个交易期内，如果该MRP上的空头头寸增加，则多期损益为P&Lt（τ）=wTprt-τ（t- τ- 收件人）- wTprt（t- 至），且单期损益为损益=wTprt-1（t- 1.- 收件人）-wTprt（t- 至）。关于交易期内的投资组合损益计算，我们有以下引理。引理9（均值回归交易的损益计算）。在一个交易期内，如果MRP中每个资产的价格变化足够小，那么（55）中的损益可以通过对数价格分布的变化来近似计算。具体而言，1）对于MRP上的多头头寸，P&Lt（τ）≈zt公司- zt公司-τ；和2）对于MRP上打开的空头头寸，P&Lt（τ）≈zt公司-τ- zt。证据：见附录B。这个引理揭示了MRP设计的原理，也揭示了均值回归交易，通过显示对数价差值和投资组合回报之间的联系。由于两个交易期之间没有交易行为，损益指标（多期损益和单期损益）仅定义为0。b） 累计损益：为了衡量MRP的累计回报绩效，我们定义了从一次交易到塔斯库姆的累计损益。

损益（t，t）=Ptt=tP&Lt.（57）c）投资回报率（ROI）：由于不同的MRP可能因wp而具有不同的杠杆特性，我们引入了另一种投资组合回报率度量（回报率），称为投资回报率（ROI）。在一个交易周期内，时间t的ROI（到≤ t型≤ tc）定义为t时的单期损益，由部署的总投资进行标准化，即kwpk（即市场总投资敞口，包括长仓投资和短仓投资）writenasroit=损益/kwpk。（58）与损益指标一样，在两个交易期之间，收益率定义为0.2）夏普比率（SR）：夏普比率（SR）[48]是计算风险调整后回报率的指标。它描述了一个人可以从额外的波动性中获得多少超额回报（方差的平方根）。此处，从时间到某个交易阶段的投资回报率夏普比率（或相当于夏普损益比率）定义如下：提交的论文112.04.06.0yyyyyyyy-0.4-0.20.00.20.4-0.20.00.2-0.50.00.51.0-1.00.01.0Time index0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264-0.50.00.5图。3、原木价格和五个估计价差。（样本内训练的样本长度选择为5×12×22，样本外交易的样本长度选择为12×22。）SRROI（t，t）=uROIσROI，（59），其中uROI=t-tPtt=TroItan，σROI=ht-tPtt=t（ROIt- uROI）1/2。在计算夏普比率时，我们将无风险回报设置为0，在这种情况下，它将降低为信息比率。C、 合成数据实验对于合成数据实验，我们使用多变量综合系统生成金融资产对数价格的样本路径【33】，【49】，其中存在r长协整关系和M- r共同趋势。我们将样本路径分为两个阶段：样本内训练阶段和样本外回测或交易阶段。

所有参数，如价差平衡uz，交易阈值, 而portfolioweight w则是在训练阶段决定的。在tradingstage中测试了我们设计方法的样本外性能。在合成实验中，我们将M=6和r=5设置为净预算约束W下的MRP设计方法的性能。我们使用生成的样本路径估计N=5个利差。基于这5个价差，MRPI设计为zt=wTst。交易阶段的模拟原木价格和分布如图3所示。使用我们提出的方法设计的MRP的性能与基于pcroz（5，w）和prez（w）（如图4和图5所示）的一种基础价差和[25]中的方法进行了比较。从我们的模拟中，我们可以得出结论，我们设计的MRP确实产生了一致的正收益。模拟结果还表明，我们设计的投资组合可以跑赢基础利差，并且使用[25]中的方法设计的MRP具有更高的投资回报率和更高的累计损益-0.50.5MRP-pcro（道具）摊铺s0.10.2MRP-pcro（道具）-SR=0.614010.1扩散s-SR=0.54688时间指数0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264MRP pcro（道具）展开sFig。4、使用我们提出的方法设计的MRP之间的ROI、ROI的夏普比率和累计损益比较，表示为MRP pre（prop.）一个基础价差表示为价差s.-1MRP pre（道具）MRP pre（存在）0.1MRP-pre（prop.）-SR=0.612630.1MRP-pre（exis.）-SR=0.58533时间索引0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264MRP预处理（道具）MRP pre（存在）图5：。使用我们提出的方法设计的MRP之间的ROI、ROI的夏普比率和累积损益的比较，表示为MRP pcro（prop.）[25]中的一种现有基准方法表示为MRP pcro（exist.）。D

市场数据实验我们还使用标准普尔500指数的真实市场数据来测试我们的方法，标准普尔500指数通常被认为是美国股市的最佳代表之一。数据是从Yahoo！采用财务和调整后的每日收盘股价。我们首先选择有可能整合成股票资产池的股票候选人。一个股票池是{APA、AXP、CAT、COF、FCX、IBM、MMM}，其中股票由其股票代码表示。从该池中构建了三个排列。然后采用MRP设计方法，通过单位根检验检验其可交易性。股票的对数价格和三个展讯网的对数价格http://fi。雅虎。COM提交的论文123.03.54.04.55.05.5APAXPCATCOFFCxiBMM5.25.45.65.05.25.42012 2013 20145.56.0图。图6显示了{APA、AXP、CAT、COF、FCX、IBM、MMM}和三个价差s、s和s的原木价格。基于前面提到的均值回归交易框架，2012年2月1日至2014年6月30日进行了一次交易实验。在图7中，我们比较了我们设计的MRP与基础利差的表现。报告了设计利差的对数价格以及样本外表现，如ROI、ROI的夏普比率和累计损益。结果表明，使用我们的方法，设计的MRP可以实现更高的夏普比率和更好的最终累积收益-0.20.2MRP-cro（支柱）排列s-0.020.02MRP-cro（道具）-SR=0.113750.02Spread s-SR=0.037232201201340.5MRP-cro（道具）展开sFig。7、使用我们提出的方法设计的MRP之间的ROI、ROI的夏普比率和累积损益的比较，表示为MRP cro（prop.）有一个底层排列表示为排列s。我们还使用图8中的porz（5，w）将我们提出的设计方法与[25]中的方法进行了比较。

我们可以看到，我们的方法在夏普比率和回报率性能方面优于基准方法。七、结论本文考虑了由统计套利引起的均值回复投资组合设计问题。We-0.50.5MRP-por（道具）MRP por（存在）-0.020.02MRP-por（属性）-SR=0.073177-0.020.02MRP-por（存在）-SR=0.0490782012 2013 2014年RP por（道具）MRP por（存在）图8。使用我们提出的方法设计的MRP之间的ROI、ROI的夏普比率和累积损益的比较，表示为MRPpor（prop.）[25]中的一种现有基准方法表示为MRP por（exist.）。通过优化表征投资组合平均回归强度的均值回归准则，同时考虑投资组合的方差和投资预算约束，以一般形式制定了MRP设计问题。基于总体设计思想，提出了几个具体的优化问题。已推导出有效的算法来解决设计问题。数值结果表明，我们提出的方法能够产生一致的正结果，并且显著优于文献中的设计方法。附录A引理8W的问题（36）的预防∈ W、 第一个优化步骤（41）中的优化函数用u表示w、 w（k）, 第二步（51）中的优化函数用U表示w、 w（k）.