具有预算约束的均值回复投资组合设计

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英文标题：
《Mean-Reverting Portfolio Design with Budget Constraint》
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作者：
Ziping Zhao and Daniel P. Palomar
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper considers the mean-reverting portfolio design problem arising from statistical arbitrage in the financial markets. We first propose a general problem formulation aimed at finding a portfolio of underlying component assets by optimizing a mean-reversion criterion characterizing the mean-reversion strength, taking into consideration the variance of the portfolio and an investment budget constraint. Then several specific problems are considered based on the general formulation, and efficient algorithms are proposed. Numerical results on both synthetic and market data show that our proposed mean-reverting portfolio design methods can generate consistent profits and outperform the traditional design methods and the benchmark methods in the literature.
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中文摘要：
本文研究金融市场中统计套利引起的均值回复投资组合设计问题。我们首先提出了一个一般问题公式，旨在通过优化表征均值回归强度的均值回归标准，并考虑投资组合的方差和投资预算约束，找到基础组成资产的投资组合。然后在一般公式的基础上考虑了几个具体问题，并提出了有效的算法。综合数据和市场数据的数值结果表明，我们提出的均值回复投资组合设计方法能够产生一致的利润，并优于传统设计方法和文献中的基准方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Mean-Reverting_Portfolio_Design_with_Budget_Constraint.pdf (484.82 KB)

2022-5-31 01:36:05 上传

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关键词：均值回复 组合设计 预算约束 投资组合 Quantitative

提交的论文1平均回报投资组合设计与IEEE学生成员赵子平（BudgetConstraintZhiping Zhao）和IEEE研究员Daniel P.Palomar（Daniel P.Palomar）摘要本文考虑了金融市场统计套利产生的平均回报投资组合设计问题。我们首先提出了一个通用问题公式，旨在通过优化表征平均回归强度的平均回归标准，并考虑投资组合的差异和投资预算约束，确定基础组成资产的投资组合。然后在一般公式的基础上考虑了几个具体问题，并提出了有效的算法。综合数据和市场数据的数值结果表明，我们提出的均值回复投资组合设计方法能够产生一致的结果，并优于传统设计方法和文献中的基准方法。指数术语投资组合优化、均值回归、协整、成对交易、统计套利、算法交易、定量交易。一、 简介配对交易（Pairs trading）是一种著名的交易策略，由科学家格里·班贝格（Gerry Bamberger）和大卫·肖（David Shaw）以及由摩根士丹利（Morgan Stanley）NunzioTartaglia领导的定量交易集团在20世纪80年代中期率先提出。正如名称所示，这是一种同时关注一对资产的投资策略。采用这种策略的投资者或套利者不需要预测一对资产中每一项资产的绝对价格，这在本质上很难评估，但只需要预测这对资产的相对价格。作为一种反向投资策略，为了从市场上套利，投资者需要购买定价过低的资产，卖空定价过高的资产。

然后，当相对错误定价在未来自行纠正时，交易头寸解除后，利润就会锁定。更一般而言，只有两个交易资产的配对交易属于统计套利的范畴[7]，[8]，其中基本交易篮子通常由三个或更多资产组成。由于此类套利策略的收益不取决于一般金融市场的走势和条件，因此统计套利被称为一种市场中性策略[9]、[10]。如今，金融市场中的机构投资者、对冲基金公司和许多个人投资者广泛使用statisticalarbitrage。在【11】、【12】中，作者首先提出了协整的概念，以描述潜在非平稳时间的线性平稳和亨氏平均回复关系。作者是香港九龙清水湾香港科技大学（HKUST）电子与计算机工程系的成员（电子邮件：ziping）。zhao@connect.ust.hk；palomar@ust.hk)。本文的部分结果在[1]中作了初步介绍。被命名为协整的序列。后来，提出了协整向量自回归模型[13]–[17]来描述协整关系。经验和技术分析[18]–[21]表明，协整可以用来获得统计套利机会，这种关系在金融市场中确实存在。以普通股价格为例，众所周知，股价被观察并建模为非平稳随机游走过程，很难有效预测。

然而，同一金融部门或行业中的公司通常具有相似的基本特征，那么它们的股价可能会在相同的趋势下相互变动，基于此可以建立协整关系。两个例子是美国两家著名消费主食公司可口可乐（Coca-Cola）和百事可乐（PepsiCo）的股价，以及两家能源公司Ensco和Noble Corporation的股价。其他金融资产的一些例子包括E-mini标准普尔500指数和E-mini道琼斯指数的未来合约价格、SPDR标准普尔500指数和SPDR DJIA指数的ETF价格、不同国家的美元汇率以及不同到期日的美国利率。均值回归是金融市场可预测性的经典指标，用于获得套利机会。协整关系中的资产可用于形成资产组合或篮子，并根据其平稳均值回归特性进行交易。我们将这种设计的投资组合或基础资产组合称为均值回复投资组合（MRP），有时也称为“利差”的多空投资组合。价格自然表现出平稳性的资产也是价差。统计套利的好处直接来自于围绕长期均衡的利差均值回归交易。在实践中，MRP通常使用启发式或统计方法构建。传统的统计协整估计方法有Engle-GrangerNormal最小二乘法（OLS）[12]和基于Johansenmodel的方法[14]。在实践中，不同的MRP之间可能存在内在的相关性。然而，当有多个MRP时，它们通常被单独交易，而忽略了可能的连接。因此，一个自然而有趣的问题是，我们是否可以根据潜在利差设计出一个优化的MRP，该利差可能会跑赢每一个利差。

在本文中，这一问题得到了明确的解决。通过选择各种资产的比例来设计一个MRP通常是一个投资组合优化或资产配置问题[22]。如今，投资组合优化被认为是投资组合管理以及数学交易的重要组成部分。1952年，马科维茨（Markowitz）的开创性论文【23】奠定了现在普遍重新提交的论文2的基础，即均值-方差投资组合优化和现代投资组合理论。给定一组金融资产，传统的均值-方差投资组合设计问题的目的是在预期收益和方差衡量的风险之间找到折衷。与均值-方差投资组合设计的要求不同，为了设计均值回复投资组合，需要考虑两个主要因素：i）设计的MRP应表现出强烈的均值回复，表明其应具有频繁的均值交叉点，从而带来交易机会，ii）设计的DRP应显示出充分但受控的方差，以便每笔交易都能提供足够的收益，同时控制被认为的平均回归平衡下降的概率。在【24】中，作者首次提出通过优化表征平均回复强度的标准来设计MRP，这是一种无模型方法。后来，文献[25]中的作者意识到，解决文献[24]中的问题可能会得到方差非常低的投资组合，然后考虑方差控制，并为MRP设计问题提出了表征均值回归特性的新标准。在【24】，【25】中，使用半有限规划（SDP）松弛方法来解决非凸问题公式；然而，这些方法通常计算成本很高。

除此之外，【24】、【25】中的设计方法都是通过施加l-投资组合权重的范数约束。该约束为优化问题带来了数学上的便利，但其在金融应用中的实际意义值得怀疑，因为l规范在金融环境中没有意义。在本文中，我们建议在设计问题中使用投资预算约束。本文的贡献可以总结如下。首先，提出了MRP设计问题的一般问题公式，在此基础上，考虑不同的均值回归准则，详细阐述了几个具体问题公式。其次，考虑了两类常用的投资预算约束对投资组合权重的影响，即美元中性约束和净预算约束。第三，对所提出的问题公式提出了有效的算法，结果表明，通过求解著名的广义特征值问题（GEVP）和广义信赖域子问题（GTR），可以很容易地解决重新公式化后的一些问题。基于优化最小化（MM）框架，通过求解一系列GEVP和GTRSs，可以轻松解决其他问题，这两个问题分别被称为迭代加权广义特征值问题（IRGEVP）和迭代加权广义信赖域子问题（IRGTRS）。还提出了在每次迭代中具有闭式解的IRGEVP的一个扩展，称为EIRGEVP（extended IRGEVP）。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了均值回复投资组合的设计。在第三节中，我们给出了MRP的一些均值回复准则，并提出了MRP设计问题的一般公式以及两种常用的投资预算约束。第四节制定了GEVP和全球技术法规的解决方法。

第五节阐述了MM框架和基于MM的求解算法。第六节对所提出算法的性能进行了数值评估，最后，第七节给出了结论。表示法：黑体大写字母表示矩阵，黑体小写字母表示列向量，斜体数字标量。符号1和I分别表示大小适当的全一列向量和单位矩阵。R表示实数，R+表示正实数，RN表示N维实向量空间。Ndenotes自然领域。Z表示整数圈，Z+表示正整数。sk表示K×K维对称矩阵。上标（·）和（·）-1分别取消矩阵转置和逆运算符。由于非奇异矩阵的逆变换和转置，上标（·）-Tdenotes thematrix reverse and transpose操作符。xi，jdenotes是矩阵X的（第i个，第j个）元素，xidenotes是向量X的第i个元素。Tr（·）表示矩阵的迹。vec（·）表示矩阵的向量化，即vec（X）是由X的所有列叠加而成的列向量。 表示两个矩阵的克罗内克积。二、金融资产的均值回复投资组合（MRP），例如普通股、期货合约、ETF或其组合，其在时间指数或持有期t的价格∈ Z+用pt表示∈ R+，以及相应的对数价格或对数价格yt∈ R的计算公式为yt=对数（pt），其中lo g（·）是自然对数。如果我们考虑一篮子中的M资产集合，其原木价格可以相应地表示为yt=[y1，t，y2，t，…，yM，t]t∈ RM。根据这一篮子，相应地由投资组合权重或对冲比率确定的MRPI=[ws，1，ws，2。

，ws，M]T∈ RMand its（对数价格）价差定义为st=wTsyt=PMm=1ws，mym，t。VectorWS表示投资于基础资产的市场价值比例。对于m=1，2，M、 ws，M>0，ws，M<0，ws，M=0分别表示多头头寸（即资产被购买）、空头头寸（即资产被卖空，或者更明确地说，借入和出售）和无头寸。图1给出了设计MRP的价差以及两种基础资产的原木价格。值得注意的是，MRP可以解释为综合固定资产。因此，价差是指其原木价格，该原木价格可以更容易预测，并且可以通过与本MRP中的基础组成资产的比较来获利。假设存在N个MRP，其价差由st=[s1，t，s2，t，…，sN，t]t表示∈ 注册护士。不同的分布在本质上可能具有不同的均值回归和方差特性。我们的目标是设计一个MRP，将这些价差组合成具有更好属性的改进的整体价差。特别是，我们用w=[w，w，…，wN]T表示投资组合∈ RN，其中w表示市场价值。如果利差是基于资产价格p而不是对数价格设计的，则ws表示以股份计量的资产金额比例。提交的论文3-2yyTime index0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 240 260 280 300-1y-0.8yFig。两项资产和一个设计价差的原木价格示例。关于潜在利差。由此产生的总体利差由zt=wTst=NXn=1wnsn，t.（1）III.MRP设计问题公式传统的投资组合设计问题基于诺贝尔奖获得者马科维茨投资组合理论[23]、[26]–[28]。其目的是在回报和风险之间找到理想的权衡，后者传统上是通过方差来衡量的，或者更复杂的方式是通过风险价值和条件风险价值来衡量的。

最近提出的风险平价投资组合【29】–【31】也可以归类为该设计问题。对于均值回复投资组合，我们可以通过优化一些均值回复准则来描述设计问题，这些准则包括抑制利差zt的均值回复强度，同时控制其方差并施加投资预算约束。A、 均值回复准则在本节中，我们介绍了几种均值回复准则，它们可以表征设计价差zt的均值回复强度。我们首先确定随机过程的第i阶（lag-i）自协方差矩阵，stasMi=Cov（st，st+i）=Eh（st- E【st】（st+i- E[st+i]）Ti，（2）其中i∈ N、 具体而言，当i=0时，Ms表示yt的（正定义）协方差矩阵。因为对于任何随机过程st，我们都可以得到它的centeredparter▄stas▄st=st- 在下面，我们将使用st表示其中心形式st.1）可预测性统计prez（w）：考虑一个中心单变量平稳自回归过程，如下所示：zt=^zt-1+t，（3）其中^zt-1是基于截至时间t的信息对ZT的预测- 1，且t表示与^zt无关的白噪声-1、可预测性统计数据[32]定义为asprez=σ^zσz，（4），其中σz=Ezt公司σ^z=E^zt-1.. 如果我们定义σ=Et, 然后从（4）中，我们可以在分离器中得到σz=σ^z+σ。当Prezi较小时，tdominatesthat^zt的方差-1，zt的行为类似于白噪声；当prezislarge时，^zt的方差-1主导了t，并且可以通过^zt很好地预测zt-1.

可预测性统计通常用来衡量随机过程与白噪声的接近程度。在此准则下，为了设计尽可能接近白噪声过程的扩展zt，我们需要最小化prez。对于价差zt=wTst，我们假设价差遵循1阶中心向量自回归模型（VAR（1）），如下所示：st=Ast-1+et，（5），其中A是自回归系数，et表示与st无关的白色噪声-1、我们可以从自相关矩阵中得到A=MM-1、乘（5）byw并进一步定义^zt-1=wTAst-1和t=wTet，我们可以得到σz=wTMw和σ^z=wTTw，其中t=AMAT=MM-1公吨。p>1的高阶模型VAR（p）可以通过适当的参数化，轻松地重新表示为VAR（1）[33]。然后，ZT的可预测性系统统计估计量计算为asprez（w）=wTTwwTMw。（6） 2）Portmanteau Statistics porz（p，w）：对于中心单变量平稳过程，p阶Portmanteau Statistics定义为porz（p）=TpXi=1ρi，（7），其中ρi是定义为ρi=E[ztzt+i]E[zt]的第i阶自相关（lag i的自相关）。portmanteau统计量用于测试随机过程是否接近白噪声。根据上述定义，我们得到了porz（p）≥ 0，而porz（p）的最小值是通过白噪声过程获得的，即，对于任何p，白噪声过程的portmanteau统计量都是0。在这个标准下，为了得到接近白噪声过程的扩展zt，我们需要将特定阶次p的porz（p）最小化。对于MRP zt=wTst，第i阶自相关由ρi=e[ztzt+i]e[zt]=wTE给出stsTt+iwwTE公司stsTt公司w=wTMiwwTMw。（8） 然后我们可以得到p orz（p，w）asporz（p，w）=TpXi=1的表达式wTMiwwTMw.