具有预算约束的均值回复投资组合设计

（9） 提交的论文43）交叉统计croz（w）和惩罚交叉统计pcroz（p，w）：中心单变量平稳过程的交叉统计（零交叉率）ztis定义为ascroz=T- 1E“TXt=2{ztzt-1.≤0}#，（10），其中1E（zt）是定义为1E（zt）=（1，如果zt∈ E0，若为zt/∈ E、 这里的事件是E={ztzt-1.≤ 0}。交叉统计用于测试平稳过程与单位时间平均值交叉的概率，很容易注意到croz∈ [0，1]。根据[35]，[36]，对于中心平稳高斯过程zt，我们有以下关系：croz=πarccos（ρ）。（11） 备注1。作为特例，如果zt是中心平稳ar（1），则zt=φzt-1+t，（12）其中|φ|<1且是高斯白噪声，则φ=ρ，因此交叉统计为croz=πarccos（φ）。使用该准则，为了获得具有manyzero交叉点的扩展Zt，而不是直接最大化croz，我们可以最小化ρ。对于扩展zt=wTst，我们可以尝试最小化（8）中给出的zt的一阶自相关。在文献[25]中，除了将一阶自相关最小化外，还建议确保高阶ρi | s（i=2，…，p）的绝对自相关同时很小，这会导致良好的性能。在本文中，我们也采用了这一标准，并将其称为Pcroz（p，w）=WTMWtmw+ηpXi=2定义的顺序p的惩罚交叉统计wTMiwwTMw, （13） 式中，η是一个正的预先指定惩罚因子。B

一般MRP设计问题公式MRP设计问题被公式化为均值回归准则的优化，通常表示为Fz（w），可以被视为前面提到的任何准则。该统一标准可以写成紧凑形式，即：asFz（w）=ξwTHwwTMw+ζwTMwwTMw+ ηPpi=2wTMiwwTMw,（14） 具体化为i）prez（w），当ξ=1，H=T，ζ=η=0时；ii）porz（p，w），当ξ=0，ζ=η=1时；iii）croz（w），当ξ=1，H=M，ζ=η=0时；和iv）pcroz（p，w），当ξ=1，H=M，ζ=0，η>0时。假设（14）中的矩阵Mis是对称的，不会失去一般性，因为它们可以对称化。价差的方差也应控制在一定的水平上，可以用Var表示wTst公司=wTMw=ν。由于此方差约束，可以删除Fz（w）的分母。用W表示组合投资预算约束，一般MRP设计问题可表示为：mininizewξwTHw+ζwTMw+ ηPpi=2wTMiw公司以wTMw=νw为准∈ W、 （15）其中，目标函数在下面用fz（W）表示。由于目标函数和约束集的非凸性，（15）中的问题是一个非凸问题。C、 投资预算约束在投资组合优化中，通常会施加约束来代表特定的投资指南。在本文中，我们使用W来表示它，并重点讨论了两种类型的预算约束：美元中性约束和净预算约束。美元中性约束，用W表示，表示净投资或净投资组合头寸为零；换句话说，所有多头头寸都是由空头头寸融资的，通常称为自我融资。它在数学上表示为=Tw=0.

（16） 净预算约束，用W表示，意味着净投资或净投资组合头寸不为零，等于当前预算，该预算标准化为1。它以数学方式表示为byW=Tw=1. （17） 值得注意的是，对于WTYTAND定义的两个交易利差-当然，它们是一样的，因为不稳定套利-实际投资不仅取决于确定利差的W，还取决于交易中该利差的多头头寸还是空头头寸。四、 通过GEVP和GTRS算法的问题解决算法本节介绍了使用prez（w）和croz（w）（即，ζ=η=0的（15））解决MRP设计问题公式的方法。A、 基于prez（w）和croz（w）和w的MRP设计的GEVP求解算法∈ wf为了符号的简单性，我们通常用矩阵H表示矩阵T inprez（w）和Min croz（w），并将问题转化为如下：最小化wwthw受wTMw=νTw=0，（18）美元中性约束通常不能用传统的设计方法来满足，如[12]和[14]中的方法，以及[25]中的方法。在净预算约束下，净投资组合头寸可以是正的，也可以是负的。由于（15）中的问题公式对w的符号是不变的，因此只考虑预算归一化为正1的情况。提交的论文5，其中ν为正常数。上述问题等效于以下非凸二次约束二次规划（QCQP）[37]公式：最小化加权服从wTMw=νwTEw=0，（19），其中E=11T。通过使用矩阵提升技术，即定义W=wwT，上述问题可以通过以下凸SDP松弛问题来解决：最小化EWTR（HW），Tr（MW）=νTr（EW）=0W 以下定理给出了变量数量和等式约束数量之间的有用关系。定理2（[38，定理3.2]）。

给出一个可分SDP，如下所示：minimizeX，。。。，XLPLl=1Tr（AlXl）主题toPLl=1Tr（BmlXl）=bm，m=1，MXl公司 0，l=1，五十、 （21）假设可分SDP是严格可行的。然后，问题总是有一个最优解（X, . . . , 十、五十） 这样的LXL=1[秩（Xl） ]≤ M、 注意，如果只有一个变量X，也就是说，L=1，我们可以得到秩（X) ≤√M、 此外，如果约束数M≤ 3，秩1解总是可以得到的。引理3。（18）或（19）中的非凸问题具有无度间隙。证明：这个引理直接来自定理2以及问题（18）和（19）的等价性。换言之，通过求解（20）中的凸SDP，始终存在W的秩-1解，这是原始问题（18）的解，然而，在实践中，为了找到此类解，应采用秩缩减方法，这可能会导致计算成本高昂。作为上述SDP程序的替代方法，我们发现（18）中的问题可以通过重新计算有效地作为广义特征值问题（GEVP）[40]解决。考虑到w=Fx，其中F是跨越1T的零空间的内核，即1TF=0，并且还需要半幺正，即FTF=i，我们可以定义N=FTHF和N=FTMF，这是正定义，那么问题（18）等价于以下问题：minimizextnx受制于xTNx=ν，（22），这仍然是非凸QCQP。然而，这个问题成为了经典的GEVP问题，可以使用定制的算法轻松解决。在这里，我们将应用最速下降算法来解决这个问题。

算法1总结了解决问题（18）的步骤。算法1 GEVP-MRP设计问题的算法使用prez（w）和croz（w）和w∈ W、 要求：N、N和ν>0.1：设置k=0，然后选择x（k）∈x:xTNx=ν;2： 重复3：计算Rx（k）= x（k）TNx（k）/x（k）TNx（k）；4： 计算d（k）=Nx（k）- Rx（k）Nx（k）；5： x=x（k）+τd（k），τ选择最小化x（k）+τd（k）;6： x（k+1）=√νx/pxTNx；7： k=k+1；8： 直到收敛b。GTRS-使用prez（w）和croz（w）和w的MRP设计求解算法∈ 之前，为了一般性，我们将prez（w）中的矩阵T和Min-croz（w）表示为H。然后，可以将问题重写为最小wwthw，前提是wTMw=νTw=1，（23），其中ν是一个正常数。如前所述，将约束1Tw=1重写为wTEw=1（因为问题与w中的符号变化有关），并使用矩阵提升技术，可以通过以下凸SDP问题来解决（23）中的问题：最小化wtr（HW）服从Tr（MW）=νTr（EW）=1W 与之前一样，（23）中的非凸问题没有对偶映射。除了上述SDP方法外，我们还通过将（23）重新表述为代理化信赖域子问题（GTR）来引入一种有效的解决方法【42】。考虑w=w+Fx，其中w是任何满足1Tw=1且F是满足1TF=0且满足FTF=I的半幺正矩阵的核。让我们定义N=FTHF，p=FTHw，b=wTHw，N=FTMF为正有限，p=FTMw，b=wTMw，那么（23）中的问题等价于以下问题：最小化xTNx+2pTx+b服从xTNx+2pTx+b=ν，（25）这是一个非凸QCQP，这种类型的QCQP被专门命名为GTRSs。这类问题通常是非凸的，但具有必要和充分的最优性条件，据此可以导出有效的求解方法。我们首先介绍以下有用的定理。提交的论文6定理4（【42，定理3.2】）。

考虑以下QCQP：minimizexq（x），xTAx+2aTx+A受c（x）约束，xTBx+2 bTx+b=0。（26）假设约束集c（x）是非空的，并且c（x）=2 B 6=0。向量x是问题（26）的全局极小值和一个乘数ξ当且仅当满足以下条件时：q（x）) + ξc（x) = 0c（x) = 0q（x）) + ξc（x)  0，由i={ξ| A+ξB定义的区间集 0}不为空。根据定理4，主变量和对偶变量（x）的最优性条件, ξ) 问题（25）如下所示：（N+ξ）N） x个+ p+ξp=0xTNx公司+ 2pTx+ b- ν=0N+ξN 0。（27）我们假设N+ξN 0，那么我们可以看到最优解是由x（ξ）=-（N+ξN）-1（p+ξp），（28）和ξ是以下方程的唯一解，定义为区间I：φ（ξ）=0，ξ∈ 一、 （29）其中函数φ（ξ）由φ（ξ）=x（ξ）TNx（ξ）+2pTx（ξ）+b定义- ν、 （30）区间I由所有ξ组成，其中N+ξN 0，表示i=(-λmin（N，N），∞) , （31）其中λmin（N，N）是矩阵对（N，N）的最小广义特征值。定理5（【42，定理5.2】）。假设I不是空的，那么函数φ（ξ）在I上严格递减，除非x（ξ）在I上是常数。实际上，x（ξ）在I上是常数的情况不会发生。因此，从定理（5）中，我们知道当φ（ξ）在I上严格递减时，可以使用一种简单的线搜索算法（如分段算法）来查找I上的最优ξ。算法2总结了问题（23）的算法。极限情况N+ξNbeing奇异（即ξ=-λmin（N，N））可单独处理。

这里的假设是合理的，因为ξ=-λmin（N，N）在理论和实践上都很少见。算法2全球技术法规-MRP设计问题的算法使用prez（w）和croz（w）和w∈ W、 要求：N，N，p，p，b，λmin（N，N），且ν>0.1：设置k=0，并选择ξ（k）∈ (-（N，N），∞);2： 重复3：计算φξ（k）根据（30）；4： 根据φ值更新ξ（k+1）ξ（k）采用aline搜索算法；5： k=k+1；6： 直到收敛7：根据（28）计算x。五、 通过优化-最小化方法解决问题的算法在本节中，我们首先讨论优化-最小化或最小化-最大化（MM）方法，然后使用porz（p，w）（即，（15）ξ=0和ζ=η=1）和pcroz（p，w）（即，（15）ξ=1，H=M）解决MRP设计问题公式的算法，ζ=0和η>0）是基于MMframework和上一节提到的GEVP和GTRS算法推导出来的。A、 MM方法MM方法【43】–【45】指的是最大化最小化或最小化最大化，这是著名的期望最大化（EM）算法的推广。MM背后的思想是，它解决了一系列简单的代理子问题，而不是处理可能难以直接跟踪的原始优化问题。假设优化问题是最小的exf（x）服从x∈ 十、 （32）其中约束集X 注册护士。一般来说，对于f（x）上的凸性和可微性没有任何假设。MM方法旨在通过优化一系列代理函数来解决这个问题，这些代理函数将目标函数f（x）优化到集合x上。

更具体地说，从初始可行点x（0）开始，该算法生成一个序列x（k）根据以下更新规则：x（k+1）∈ arg minx∈徐x、 x（k）, （33）其中x（k）是第k次迭代时更新规则生成的点，代理函数ux、 x（k）是点x（k）处f（x）的相应优化函数。如果误差函数满足以下性质，则称为点x（k）处f（x）的优化函数：ux、 x（k）≥ f（x），x个∈ 十、 u型x（k），x（k）= fx（k）.（34）也就是说，代理函数ux、 x（k）应为原始函数f（x）在x上的上界，并与点x（k）处的f（x）重合。虽然u的定义x、 x（k）提交的论文7为我们选择它提供了很大的灵活性，在实践中，代理函数ux、 x（k）必须正确选择，以使（33）中的迭代更新易于计算，同时保持迭代的快速收敛。MM方法迭代运行，直到满足某种收敛标准。在这种MM方法下，目标函数值在每次迭代中单调递减，即fx（k+1）≤ ux（k+1），x（k）≤ ux（k），x（k）= fx（k）.（35）第一个不等式和第三个等式分别来自（34）中的优化函数的第一和第二个属性，第二个不等式来自（33）。B、 IRGEVP和IRGTRS-使用porz（p，w）和pcroz（p，w）的MRP设计求解算法我们在一般公式中使用porz（p，w）和pcroz（p，w）重写问题如下：minimizewξwTMw+ζwTMw+ηPpi=2wTMiw公司以wTMw=νw为准∈ W、 （36）如果特定的投资组合权重约束由W隐式替代。要通过优化最小化来解决（36）中的问题，关键步骤是找到目标函数的优化函数，以便优化子问题易于解决。

观察目标函数在w中是四次函数。以下数学操作是必要的。我们首先计算M=LLT的Cholesky分解，其中L是具有正对角元素的下三角形。让我们定义“w=LTw，”“Mi=L”-1英里-T、 和“W=”W“wT。投资组合权重集W在线性变换L下映射到“W”。然后问题（36）可以写成最小化“W”，WξTr“米”W+ ζTr公司“米”W+ηPpi=1Tr公司“Mi”W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈自Tr以来的W.（37）“Mi”W= vec公司\'英里Tvec公司\'\'W（回想一下对称的Mis区域），问题（36）可以重新表述为最小化“w”，wξvec\'MTvec公司\'\'W+ vec公司\'\'WT'Mvec\'\'W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈W，（38），其中在目标函数中M=ζvec\'Mvec公司\'MT+ηPpi=2vec\'英里vec公司\'英里T、 （39）具体而言，我们可以将portmanteaustatistics porz（p，w）（即ζ=1和η=1）和惩罚交叉统计pcroz（p，w）（即ζ=0和η>0）的表达式如下：(R)Mporz=Ppi=1vec\'英里vec公司\'英里T=（L L）-1Ppi=1vec（Mi）·vec（Mi）T（L L）-T'Mpcroz=ηPpi=2vec\'英里vec公司“米T=η（L L）-1Ppi=2vec（Mi）·vec（Mi）T（L L）-T、 （40）现在，（38）中的目标函数是‘W’的二次函数，然而，由于rank1约束‘W=’W’wT，这个问题仍然很难解决。然后，我们基于以下简单结果考虑在这个问题（38）上应用MM技巧。引理6（[41，引理1]）。让A∈ SKA和B∈ SKsuchthat B公司 A、 然后对于任意点x∈ RK，二次函数xTAx主要由xTBx+2xT（A- B） x+xT（B- A） xat x.根据引理6，在第k次迭代时给定W（k），我们知道问题（38）的目标函数的第二部分在W（k）处由以下优化函数优化：u\'W，\'W（k）= ψ\'Mvec公司\'\'WTvec公司\'\'W+2vec(R)W（k）T\'M- ψ\'M我vec公司\'\'W+vec公司(R)W（k）Tψ\'M我-\'Mvec公司(R)W（k）,（41）式中ψ\'M是一个依赖于M且满足ψ的标量数\'M我\'M。

自第一期vec起\'\'WTvec公司\'\'W=“重量”w= ν和最后一项只取决于W（k），它们只是两个常数。关于ψ的选择\'M, 根据引理6，很明显可以看到ψ\'M可轻松选择为λmax\'M=\'M. 在算法的实现中，虽然\'M整个算法只需计算一次，计算起来仍然不容易。有鉴于此，我们引入以下引理来获得ψ的更多可能性\'M这可能比较容易计算。引理7（[40]）。对于任何矩阵B∈ RP×Q，关于kBkhold的以下不等式：kBk≤kBkF=qPPi=1PQj=1 | bij|√P kBk∞=√P最大值=1，。。。，PPQj=1 | bij|√Q kBk=√Q maxj=1，。。。，QPPi=1 | bij|√P Q kBkmax=√P Q最大值=1，。。。，Pmaxj=1，。。。，Q | bij | pkBk∞kBk=r最大值=1，。。。，PPQj=1 | bij|maxj=1，。。。，QPPi=1 | bij|.提交论文8根据上述关系，ψ\'M可以选择为大于的任何数字\'M但计算起来要容易得多。在忽略（41）中的常数后，问题（38）的优化问题由最小化\'w，\'wξvec给出\'MTvec公司\'\'W+2vec(R)W（k）T\'M- ψ\'M我vec公司\'\'W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈\'W，（42），可进一步写为最小化\'W，\'WξTr“米”W+ 2ζTr米宽（k）Tr公司“米”W+2ηPpi=2Tr“Mi”W（k）Tr公司“Mi”W-2ψ\'MTr公司\'W（k）\'W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈W.（43）通过将W改回W，问题（43）将W wT H（k）wsubject最小化为W=νW∈其中，在目标函数中，H（k）定义为H（k）=ξM+2ζ“w（k）T”M“w（k）”\'M+2ηPpi=2“w（k）T”Mi“w（k）”\'英里- 2ψ\'M\'w（k）\'w（k）T。