条件尾下的最优多层再保险策略

Moreoverit提供了一个共享系统，其更高的层适用于较大的报告索赔规模。应用算法（1）得到以下最优k层再保险策略。异或=0 X<dαX- dαdα≤ X<毫米- dαM≤ X<M+dαX- 2dαM+dα≤ X<M。。。Mk公司- kdαMk≤ X<Mk+dαX- kdαMk+dα≤ X（4）图1（b）说明了最佳多层再保险政策（4）。（a） dαM1M1+dαM2M2+dα（b）图1：第（a）部分：移动笛卡尔坐标系并在新笛卡尔坐标系中找到最优合同，第（b）部分：止损和最佳k层再保险策略。为了简单起见，从今以后，我们设置M*:= dα，M*:= M、 M级*:= M+dα等。最优k层再保险政策（4）的累积分布函数可以重新表述为fxoptr（t）=FX（t-+ M*) I[0，M*-M*)（t） +外汇（t+M*- （M）*- M*)) I【M】*-M*,（M）*-M*)+（M）*-M*))（t） +外汇（t+M*- （M）*- M*) - （M）*- M*)) I[（M*-M*)+（M）*-M*),（M）*-M*)+（M）*-M*)+（M）*-M*))（t） +···+FXt+M*m级-2.-k/2-2Xj=1（M*2j+1- M*2j）- （M）*- M*)I[k/2-2Pj=1（M*2j+1-M*2j）+（M*-M*),∞)（t） ；下面提供了在最佳k层再保险政策（4）下，随机索赔X中再保险人风险部分的矩母函数。提案1。假设X代表随机索赔X中再保险人的风险部分，在使保险人总风险的CT E最小化的最优k-l层再保险保单下。第四，再保险人风险部分的矩母函数XoptRunder在最优k-la-yer再保险保单下。MXoptR（t）=1- et（（M*-M*)+k/2-1Pj=1（M*2j+1-M*2j））(R)外汇（百万*k-2） +ZM*M*tet（X-M*)(R)FX（x）dx+k/2-1Xj=1ZM*2j+1M*2jtet（x+（M*-M*)+j-1Pi=1（M*2i+1-M*2i）-M*2j）(R)FX（x）dx+Z∞M*k-2et（X+k/2-1Pj=1（M*2j+1-M*2j）+（M*-M*)-M*k-2） dFX（x），其中，当b<a时，Pbj=acj=0。

观察方程（4）给出的XoptR的力矩生成函数可以计算如下mxoptr（t）=ZM*dFX（x）+ZM*M*et（x-M*)dFX（x）+···+Z∞M*m级-2et（X+k/2-1Pj=1（M*2j+1-M*2j）+（M*-M*)-M*k-2） 奇数项可以直接计算。下面的计算说明了如何评估其他术语。ZM公司*M*et（x+（M*-M*)-M*)dFX（x）=et（x+（M*-M*)-M*)外汇（x）M*M*-ZM公司*M*tet（x+（M*-M*)-M*)FX（x）dx=et（M*+（M）*-M*)-M*)外汇（百万）*) - et（米*+（M）*-M*)-M*)外汇（百万）*)-ZM公司*M*tet（x+（M*-M*)-M*)FX（x）dx=et（M*+（M）*-M*)-M*)外汇（百万）*) - et（米*-M*)外汇（百万）*)-ZM公司*M*tet（x+（M*-M*)-M*)dx+ZM*M*tet（x+（M*-M*)-M*)(R)FX（x）dx=et（M*+（M）*-M*)-M*)外汇（百万）*) - et（米*-M*)外汇（百万）*)-et（米*+（M）*-M*)-M*)+ et（米*-M*)+ZM公司*M*tet（x+（M*-M*)-M*)(R)FX（x）dx。所需的证明是通过简单的计算得出的。与命题（1）类似，可以表明，在最优k层再保险合同下，保险人风险部分的矩母函数，XI=X- XoptR，来自随机声明X，isMX-XoptR（t）=FX（0）- et（Mk-2.-k/2-2Pj=1（M2j+1-M2j）-（M）-M） ）外汇（Mk-2） +zmtex'FX（x）dx+k/2-1Xj=1xM2JM2J-1台（x-（M）-M）-j-1Pi=1（M2i+1-M2i））(R)FX（x）dx+et（Mk-2.-（M）-M）-k/2-2Pj=1（M2j+1-M2j））(R)外汇（Mk-2） 其中，每当b<a时，PBJ=acj=0。使用命题（1）在最佳k层保险下，再保险人的风险预测XoptR可评估为asE（XoptR）=M*（外汇（百万）*) - 外汇（百万）*)) +ZM公司*M*(R)FX（x）dx+k/2-2Xj=1Z2j+12j？FX（x）dx+Z∞M*k-2xdFX（x）- M*k-2（1- 外汇（百万）*k-2） ）。下一节将进行几项基于模拟的研究，以展示“如何使用其他适当的标准来完全确定最佳的k层再保险合同”。3.模拟研究本节提供了四个数值示例，以说明如何将上述发现以及其他一些适当的标准应用于实践。

这些例子考虑的是给定的多层再保险政策，该政策是对最优止损再保险政策的扩展。每个多层再保险保单的未知参数使用额外的适当标准进行估计。Borch（1960）表明，在方差保留风险最优准则下，在等式（2）给出的再保险合同C类中，停止损失再保险是最优的。如下所示，比例再保险合同最小化了随机索赔X中保险人和再保险人风险部分方差的凸组合。命题2。假设XR=h（X），XI=X-h（X），分别为l y，代表rand om索赔X中再保险人和保险人的风险部分。然后，在再保险合同C类中，givenby方程（2），比例合同h*（十） =1+ωX使XR=h（X）和XI=X的以下方差组合最小化- h（X）Qh=ωV ar（h（X））+（1- ω） V ar（X- h（X）），其中ω∈ [0，1]。证据上述两个变量的凸组合可以重新表述为∈CQh=argminh∈C{ωV ar（h（X））- X+X）+（1- ω） V ar（X- h（X））}=argminh∈C{ωV ar（X- （十）- h（x））+（1- ω） V ar（X- h（X））}=argminh∈C{ωV ar（X）+V ar（X- h（X））- 2ωCov（X，X- h（X））}=argminh∈C{V ar（X- h（X））- 2ωCov（X，X- h（X））}=argminh∈CE[（X- h（X））]- [E（X- h（X））]- 2ωE[（X- h（X））X]+2ωE[（X- h（X））]E[X]= 阿明∈CE（十）- h（X））- 2ω（X- h（X））X- E[（X- h（X））][E[（X- h（X））]- 2ωE（X）]= 阿明∈C{E[[（X- h（X））][（X- h（X））- 2ωX]]- E[（X- h（X））]E[（1- 2ω）X- h（X）]}=argminh∈C{Cov[（X- h（X）），（1- 2ω）X- h（X）]}。因此，可以得出这样的结论：只要（X- h（X））和（1- 2ω）X- h（X）]是线性相关的。选择（1- 2ω）X- h（X）=β+β（X- h（X））导致h（X）=（1- 2Ω- β） X/（1）- β）- β/（1）- β） 。f表示0≤ h（X）≤ X表示β=0。

现在将h（X）=（1-2Ω-β） X/（1）-β） 在上述凸组合中，我们有qi=[ω（1- 2Ω- β） （1）- β） +（1- ω） （2ω）（1- β） ]V ar（X）。对于β，最小化该表达式可以得到期望的结果。命题（2）表明，合同的比例再保险最小化了X和X方差的凸组合- XR。下面的例子将此观察结果视为估计n个最优2层合同未知参数的适当标准。示例1。假设随机索赔X已根据表1第一列中给出的一种分配进行分配。此外，假设最优多层合约有2层，重列为2层-layerR（X）=0 X<dαX- dαdα≤ X<毫米- dαM≤ X<M+dαX- 2dαM+dα≤ X<毫米- 2dαM≤ X<M+dαX- 3dαM+dα≤ 为了简单起见，我们设置M=dα+和M=2dα+d+d。现在估计mH为E（XR）=E（max{X- dα，0}）。

其他两个参数D和D已经估计，因此平方差为qx2-layerR层- Qh公司*iis最小化，其中Qhand h*在Pro位置（2）给出n。表1显示了上述最佳2层X2未知参数的估计值f-第二层。表1：当ω=0.2和α=0.1时，方差最优准则下最优2层合同未知参数的估计。随机索赔分布dαMME（hSL（X））=E（h2-层（X））CT EhSL=CT Eh2-layerQh层*QhSLQh2-layerExp（10）23.0259 24.4258 48.4516 1 10.423 16.667 52.948 46.1586Exp（8）18.4206 26.4986 45.9192 0.4498 8.14 6.6707 33.8867 29.5415Exp（4）9.2103 13.2103 18.1928 0.4099 4.0743 1.6692 8.4717 7 7.3853威布尔（1,2）1.5174 4.1396 6.657 0.028 0.2865 0.0358 0.1638威布尔（3,2）4.5523 12.7469 18.2992 0.02135 1.2235 0.322 1.475 1.204Q手动h*在命题（2）中给出，hSL（X）=max{X- dα，0}和h2-层（X）=X2-layerR（X）。表1的最后三列显示了XR=h（X）和xi=X方差的凸组合- h（X）对于最优停损，分别为最优2层和比例（由比例2给出）合同。可以观察到，在最优2层合约下，与最优止损相比，这种方差的对流组合得到了改进。我们推测，通过增加层的数量，这种方差的凸组合将得到改善。在预期效用最大化的标准下，可以确定最优再保险合同（更多详情请参见Ka luszka&Okolewski，2008），也可以估计最优再保险合同的未知参数（更多详情请参见Dickson，2005§9.2）。下面的示例考虑最大化X和X的期望指数效用的凸组合的标准- XRas是一个额外的适当标准，用于估计两层最优再保险合同的未知参数。示例2。

假设随机索赔X已根据表2第一列中给出的一种分配进行分配。此外，还需要示例（1）中给出的最优2层契约。与示例（1）类似，为了简单起见，我们将M=dα+d，M=2dα+d+d。现在估计mH，使得E（XR）=E（max{X- dα，0}）。其他两个参数的变化会导致以下X和X的预期指数效用的组合- XRhas已最小化。Uh=ωE（exp(-β（h（X）））+（1- ω） E（经验值(-β（X- h（X）））。（5） 其中，我们设置ω=0.2，β=β=1。表2显示了最佳2层X2未知参数的估计值f-第二层。表2：当ω=0.2和α=0.1时，以最小化Uhas为最优准则的最优2层合同未知参数的估计。随机索赔分布dαMME（hSL（X））=E（h2-层（X））CT EhSL=CT Eh2-layerUhSLUh2层-layerExp（10）23.0259 24.4259 48.4518 1 10.423 0.9312 0.9163Exp（8）18.4206 31.4132 51.1488 0.4498 8.14 0.6412 0.5629Exp（4）9.2103 13.2103 23.4037 0.4099 4.0743 0.8449 0.2000Weibull（1,2）1.5174 4.1396 6.657 0.028 0.2865 0.5629 0.4593Weibull（3,2）4.5523 12.7469 18.2992 0.02135 1.2235 0.3069 0.1465Qhand h*由方程（5）给出，hSL（X）=max{X- dα，0}和h2-层（X）=X2-layerR（X）。表2的最后两列显示了xr=h（X）和XI=X的预期指数效用的凸组合- h（X）分别用于最优停止损耗和最优2层反向。可以观察到，在最优2层合约下，与最优止损合约相比，这种凸效用组合得到了改进。以可信性方法命名的贝叶斯方法在实际科学的各个领域都很有名。例如，见：Whitney（1918）和Payandeh Najafabdi等人。

（2015）关于其在经验评级体系中的应用；Bailey（1950）、Payandeh Najafabdi（2010）和Payandeh Najafabdi等人（2012）在评估保险费方面的应用；Hesselager&witting（19 98）和England&Verral（2002）在IBNR索赔准备金制度中的应用；参见Makov et al.（1996）、Makov（2001）和Hossack et al.（1999），了解其在精算学中的一般应用。现在，我们使用贝叶斯估计方法作为一种合适的方法来估计最优多层再保险合同的未知参数。推导M的任意Bayes估计*, · · · , M*m级-2，基于i.i.d.随机索赔X（1），····，X（n）。必须考虑M的初始值*, · · · , M*m级-2、然后，使用这些初始值，他/她可以确定i.i.d再保险人的随机索赔X（1）R、···、X（n）R。现在，使用X（1）R、··、X（n）给出的信息以及参数M的先前信息*, · · · , M*m级-对于其他未知参数，参数M的Bayes估计*, · · · , M*m级-2，说^M*, · · · ,^M*m级-2、在适当的损失下可以得到函数。当然，这种Bayes估计量可以通过使用^M进行迭代改进*, · · · ,^M*m级-2a是M的一个新的初始估计量*, · · · , M*m级-2、确定X（1）R、··、X（n）R，并最终重新评估Bayes估计量^M*, · · · ,^M*m级-2，再次。假设X（1），···，X（n），给定参数θ，一个具有公共密度函数FX和分布函数FX的r e i.i.d.随机索赔。此外，假设m*, · · · , m级*k-2代表M的初始值*, · · · , M*k-2.

使用简单的计算，随机变量x（i）R的密度函数，对于i=1，···，n，给定参数Θ：=（θ，M*, · · · , M*k-2） 在观测值y（i）下，等于x（i）R |（y（i））=（FX（M*) - FX（0））I{0}（y（I））+FX（y（I）+M*)I（0，M*-M*)（y（i））+（FX（M*) - 外汇（百万）*)) 我*-M*}（y（i））+fX（y（i）+M*- （M）*- M*))I（M*-M*,M*-M*+M*-M*)（y（i））+（FX（M*) - 外汇（百万）*)) I{M*-M*+M*-M*}（y（i））+···+fXy（i）+M*k-2.-k/2-2Xj=1（M*2j+1- M*2j）- （M）*- M*)I（k/2-2Pj=1（M*2j+1-M*2j）+（M*-M*),∞)（y（i））使用随机变量X（1）R，···，X（n）稀有i.i.d.因此，X（1）R，···，X（n）R的j点密度函数，给定参数Θ：=（θ，M*, · · · , M*k-2） 可重述为FX（1）R、··、X（n）R（y（1）、··、y（n）|Θ）=[FX（M*) - FX（0）]nnYi=1fX（y（i）+M*)[外汇（百万）*) - 外汇（百万）*)]n···×nYi=n+···n（k-2） 外汇y（i）+M*k-2.-k/2-2Xi=1（M*2i+1- M*2i）- （M）*- M*),式中，n：=#（y（i）=0，n：=#（0<y（i）<（M*- M*)), n： =#（y（i）=（M）*- M*)), · · · , nk公司-2： =#（k/2-2Pi=1（M*2i+1- M*2i）<y（i））。假设π（θ，M*, ..., M*k-2） 是向量（θ，M）的先验分布*, · · · , M*m级-2） ，向量的联合后验分布Θ：=（θ，M*, · · · , M*k-2） 是π（θ，M*, · · · , M*m级-2 | y（1），···，y（n））=fX（1）R，··，X（n）R（y（1），··，y（n）|θ，M*, · · · , M*k-2） π（θ，M）*, · · · , M*k-2） RM*k-2···RΘfX（1）R，··，X（n）R（y（1），··，y（n）|θ，M*, · · · , M*（k）- 2） ）π（θ，M*, · · · , M*k-2） dθdM*, · · · , dM公司*k-2、使用上述联合后验分布，每M*, ..., M*k-2在方形误差损失函数下，为^M*i=ZM*k-2···ZΘM*iπ（θ，M*, · · · , M*k-2 | y（1），··，y（n））dθdM*· · · dM公司*k-2，（6）对于i=0，···，k- 2.现在，作为上述发现的应用，我们考虑以下示例。示例3。假设随机索赔X已根据表3第一列中给出的一种分配进行分配。

此外，假设最优多层合约有1层并重述为asX1-layerR层=0 X<MX- 毫米≤ X<毫米- 毫米≤ X<MX+（M- M）- 毫米≤ 十、 为了简单起见，我们设置d=M，d=M- M、 d=M- M、 现在，假设未知参数d、d和dare的先验分布是独立的，分别在表3的第二、第三和第四列s中给出。为了构造未知参数的Bayes估计，我们采用d=0.20、d=0.15和d=0.02作为初始值。表3的最后三列分别表示d、d和d的贝叶斯估计量的平均值和标准差，该估计量从给定分布中生成100个随机数。当Bayesestimator对d，dand的100次迭代的平均值用作d，dand的估计值时，使用方程（6）得出该估计值。这些估计值的小方差表明，估计方法是用于不同样本的合适方法。4、结论与建议本文将止损再保险政策概括为一种新的连续多层再保险政策，该政策最小化了保险人总风险的条件尾部期望（CTE）风险度量。新的最优多层再保险政策的未知参数可以使用其他适当的标准进行估计。因此，新的多层再保险政策不仅与原止损再保险政策相似，在相同意义上是最优的，而且它还具有原止损再保险政策所不具备的其他适当标准。

本文的估计方法可以推广到其他适当的标准，如破产概率（Fa ng&Qu，2014），百分位匹配估计方法（Teugels&Sundt，2004）等。以下两个命题是本文在一般转移和单调风险测度ρ（·）下的推广结果。以下假设，在平移单调风险度量ρ（·）的最小化准则下，保险人对总风险再保险合同f（·）是最优的。然后，它提供了一个多层保险合同，其相应的风险度量与合同f（·）下保险人的总风险一致，如图2（a）所示。提案3。假设ρ（·）是一个平移单调风险测度。此外，假设再保险策略类别C中的F（·）最小化了保险公司总风险的风险度量。此外，再保险g（·）还简化了保险公司总风险的风险度量。g（X）=f（X）I[0，M）（X）+（X- M+f（M））I[M，M）（X）+f（M*)I【M，M】*)（十） +（X- M*+ f（米*))I【M】*,M） （X）+··+（X）- M*k+f（M*k） ）我*k∞)（十） ，其中M，M，···，mk是新最优再保险的未知参数，M*, M*, · · · , M*使用方程式f（M）计算khave*) = M- M+f（M）和f（M*i） =英里- M*我-1+f（M*我-1） 对于i=3，···，k.证明。由于ρ（·）是一个可平移的风险度量，可以这样写ρ（X- g（X）+πXg）=ρ（X- g（X））+πXg=ρ（十）- f（X））I[0，M）（X）+（M- f（M））I[M，M）（X）+（X- f（米*)I【M，M】*)（十） ）+（米*- f（米*))I【M】*,M） （X）+（X- f（米*))I【M，M】*)+ · · · + （M）*k- f（米*k） ）我*k∞)（十）+ πXg≤ ρ（X- f（X））+πXg=ρ（X- f（X）+πXg）=ρ（X- f（X）+πXf）。上述不等式来自于ρ（·）是单调风险测度且X- g（X）≤十、- f（X），概率为1。现在使用ρ（X- f（X））=最小值∈Cρ（X- h（X）+πXh）我们得出结论，上述不等式必须改为等式。