条件尾下的最优多层再保险策略

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英文标题：
《An Optimal Multi-layer Reinsurance Policy under Conditional Tail
  Expectation》
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作者：
Amir T. Payandeh Najafabadi and Ali Panahi Bazaz
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A usual reinsurance policy for insurance companies admits one or two layers of the payment deductions. Under optimal criterion of minimizing the conditional tail expectation (CTE) risk measure of the insurer\'s total risk, this article generalized an optimal stop-loss reinsurance policy to an optimal multi-layer reinsurance policy. To achieve such optimal multi-layer reinsurance policy, this article starts from a given optimal stop-loss reinsurance policy $f(\\cdot).$ In the first step, it cuts down an interval $[0,\\infty)$ into two intervals $[0,M_1)$ and $[M_1,\\infty).$ By shifting the origin of Cartesian coordinate system to $(M_{1},f(M_{1})),$ and showing that under the $CTE$ criteria $f(x)I_{[0, M_1)}(x)+(f(M_1)+f(x-M_1))I_{[M_1,\\infty)}(x)$ is, again, an optimal policy. This extension procedure can be repeated to obtain an optimal k-layer reinsurance policy. Finally, unknown parameters of the optimal multi-layer reinsurance policy are estimated using some additional appropriate criteria. Three simulation-based studies have been conducted to demonstrate: ({\\bf 1}) The practical applications of our findings and ({\\bf 2}) How one may employ other appropriate criteria to estimate unknown parameters of an optimal multi-layer contract. The multi-layer reinsurance policy, similar to the original stop-loss reinsurance policy is optimal, in a same sense. Moreover it has some other optimal criteria which the original policy does not have. Under optimal criterion of minimizing general translative and monotone risk measure $\\rho(\\cdot)$ of {\\it either} the insurer\'s total risk {\\it or} both the insurer\'s and the reinsurer\'s total risks, this article (in its discussion) also extends a given optimal reinsurance contract $f(\\cdot)$ to a multi-layer and continuous reinsurance policy.
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中文摘要：
保险公司通常的再保险政策允许一层或两层付款扣除额。在最小化保险人总风险的条件尾部期望（CTE）风险测度的最优准则下，将最优止损再保险政策推广到最优多层再保险政策。为了实现这样的最优多层再保险政策，本文从给定的最优止损再保险政策$f（\\cdot）开始。$在第一步中，它将一个区间$[0，M\\u 1）$分为两个区间$[0，M\\u 1）$和$[M\\u 1，infty.$，通过将笛卡尔坐标系的原点移到$（M\\u 1}，f（M\\u 1}）），$，并显示在$CTE$标准下$[f（x）I\\u{[0，M\\u 1}（x）+（f（x-M\\u 1））I{[M\\u 1，infty}（x）$也是一个最佳策略。可以重复此扩展过程以获得最佳的k层再保险策略。最后，使用一些额外的适当准则估计最优多层再保险政策的未知参数。已经进行了三项基于模拟的研究，以证明：（{\\bf 1}）我们的研究结果的实际应用，以及（{\\bf 2}）如何使用其他适当的标准来估计最优多层合同的未知参数。多层再保险政策，类似于原来的止损再保险政策，在同样的意义上是最优的。此外，它还有一些原政策所没有的其他优化标准。在最小化一般平移单调风险测度$\\rho（\\cdot）$的{\\it或}保险人的总风险{\\it或}保险人和再保险人的总风险的最优准则下，本文（在讨论中）还将给定的最优再保险合同$\\f（\\cdot）$扩展到多层连续再保险保单。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：再保险 Applications Multivariate Quantitative reinsurance

有条件尾部预期下的最优多层再保险政策Amir T.Payandeh Najafabadi&Ali Panahi Bazazi伊朗德黑兰Shahid Beheshti大学数学科学系，G.C.Evin，1983963113。2017年1月24日摘要保险公司通常的再保险保单承认一层或两层的赔付扣除额。在最小化保险人总风险的条件尾部期望（CTE）风险测度的最优准则下，将最优止损再保险政策推广到最优多层再保险政策。为了实现这样的最优多层再保险策略，本文从给定的最优止损再保险策略f（·）出发。在第一步中，它缩短了间隔[0，∞) 分为两个间隔[0，M）和[M，∞). 通过将笛卡尔坐标系的原点移到（M，f（M）），并显示在CT E标准下f（x）I[0，M）（x）+（f（M）+f（x- M） ）我，∞)（x） 也是一项最佳政策。可以重复此扩展过程以获得最佳的k层再保险策略。最后，使用一些额外的适当准则估计最优多层再保险政策的未知参数。已经进行了三项基于模拟的研究，以证明：（1）我们的发现的实际应用；（2）如何使用其他适当的标准来估计最佳多层合同的未知参数。从同样的意义上讲，与原止损再保险相似的多层再保险政策是最优的。此外，它还有一些原始政策所没有的其他最佳标准。

在最小化保险人总风险或保险人和再保险人总风险的一般平移单调风险测度ρ（·）的最优准则下，本文（在讨论中）还将给定的最优再保险合同f（·）推广到多层连续再保险保单。通讯作者：amirtpayandeh@sbu.ac.ir；电话号码+98-21-2990311；传真号码+98-21-22431649关键词：再保险单；止损再保险；平移和单调风险测度；优化；条件尾部期望（CTE）；贝叶斯方法。AMS 2010科目分类：9 7M30、97K80、62F151。在某种意义上，设计一个最优的再保险政策是现实科学中最具吸引力的方面之一。再保险是保险合同的一种形式，再保险人接受通过收取保险费来支付保险人风险的一部分。因此，再保险公司和保险公司试图设计一种最优再保险政策，以提高其在一定条件下管理风险的能力，例如，增加公司的盈余/财富，降低保险概率等。几位作者考虑了在一定的最优条件下设计最优再保险政策的问题。令人惊讶的是，在大多数研究中，止损再保险政策（或某些修改）被确立为最优政策。例如，Borch（1960）证明，在方差保留风险最优准则下，在具有相等再保险保费的再保险保单类别中，止损再保险使此类方差最小化。根据Borch（1960）的sclass of reinsurance Policys，Hesselager（1990）证明了止损再保险是一种最优保单，它为破产概率提供了最小的Lundberg上界。

Kaluszka（2005）建立了最小破产概率准则和若干前提原则下的单层止损合同的最优性。Passalacqua（2007）研究了多层止损再保险合同对信用保险风险资本估值（在SolvencyII框架下评估）的影响。Cai et al.（2008）表明，无论何时，无论割让损失函数和保留损失函数都在增加，还是保留损失函数在增加并保持连续，单层止损收缩都是最优的。Kaluszka和Okolewski（2008）建立了一个单层止损合同，该合同是在割让人的预期效用、稳定性和生存概率最大化的情况下的最优合同。Tan et al.（2011）和Chi&Tan（2011）表明，在预期保费原则假设和条件尾部预期（CTE）最小化标准下，止损再保险合同是最优的。Porth等人。（2013）采用经验再保险模型（Weng，2009）证明，在标准差保费原则和与市场实践一致的情况下，一层顶损再保险合同是最优的。在分保损失和留存损失函数被限制为增加的情况下，在方差保费原则假设下，Chi（2012）表明，在风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）标准下，单层停止损失再保险始终是最优的。Ouya ng&Li（2010）构建了多层再保险政策，以实现逆向选择和致命风险问题意义上的农业保险政策的可持续发展。2012年，Dedu将Stop loss再保险推广为多层再保险政策。

在第一步中，她考虑了一类具有一些未知参数的多层再保险保单。通过估计未知参数，使保险人总风险的VaR和CTE最小化，得到了此类再保险的最优保单。Chi（201 2）表明，在荷兰保费原则假设下，两层再保险合同是最优的，这削弱了保险人负债的风险调整价值和VaR（或CVaR）标准。Corteset al.（2013）认为是由固定数量的层组成的多层再保险合同。然后，他们确定了一个最优的多层合约，这样对于给定的预期回报，关联的风险值最小。Chi&Tan（2013）确定，在VaR和CVaR标准以及规定的保费原则上，单层止损收缩始终是最优的。蔡和翁（2014）指出，在双层再保险合同中，与预期风险衡量标准相关的风险边际将保险人对一般再保险保费原则的责任降至最低。Panahi Bazaz和Payandeh Najafabadi（2015）估计了单层再保险保单的参数，以使保险人和保险人的随机风险的CTE的凸组合最小化。Assa（2015）已经确定了扭曲风险度量和溢价下止损合同的最优性。Zhuang et al.（2016）表明，在保费预算不够高的情况下，在CVaR最优准则下，最优再保险策略将从止损合约变为单层止损。Payandeh Najafabadi和Panahi Bazaz（2016年）认为共同再保险合同是多个再保险合同的组合。

利用贝叶斯方法估计了核心保险合同的参数。为了排除道德风险，适当的再保险合同必须将递增功能分配给保险人和再保险人两部分。另一方面，保险业中报告的索赔具有这样的特性：索赔规模越大，损失概率越大，发生的频率越低。而索赔额越小，损失概率越小。不幸的是，尽管有一些众所周知的财产，但止损再保险合同并没有考虑这两个重要事实。本文将最小化保险人总风险的CT E风险度量作为设计最优再保险合同的一个最优准则。然后，介绍了一种将给定的最优止损策略推广到多层最优再保险策略的算法。为了实现这种最优的多层再保险策略，本文从给定的最优止损再保险策略f（·）出发。在第一步中，它缩短了间隔[0，∞) 分为两个间隔[0，M）和[M，∞). 通过将笛卡尔坐标系的原点移到（M，f（M）），并显示在CT E标准下f（x）I[0，M）（x）+（f（M）+f（x- M） ）我，∞)（x） 也是一项最佳政策。可以重复此扩展过程以获得最佳的k层再保险策略。最后，使用一些额外的适当准则估计多层再保险政策的未知参数。通过模拟研究，我们的发现得到了实际应用。多层再保险政策，类似于原来的止损再保险政策，在同样的意义上是最优的。此外，它还有一些原政策所没有的其他优化标准。

在最小化保险人总风险或保险人和再保险人总风险的一般平移单调风险测度ρ（·）的最优准则下，本文（在讨论中）还将最优再保险合同f（·）推广到了最优多层连续再保险合同。本文件组织如下。第2节收集了在本文剩余部分中起重要作用的一些元素。此外，第2节描述了一种算法，该算法将给定的最优止损再保险策略扩展为最优多层策略。第3节描述了三个基于模拟的研究，说明了我们结果的实际应用。对于每项模拟研究，最优多层合同的参数已使用额外的适当标准进行估计。本文的讨论结果（从两个不同的意义上）将一般平移单调风险测度ρ（·）下的n个最优再保险合同（·）推广到了一个最优的多层连续再保险合同。2、预备补充连续非负随机变量X代表保险人初始计算的总索赔额。此外，假设随机索赔X具有累积分布函数FX（t）和生存函数FX（t），以及密度函数FX定义在概率空间上(Ohm, F、 P），其中Ohm = [0，∞) F是上的Borelσ场Ohm. 现在，让xind XR，（orXR=h（X））分别代表随机索赔X中保险人和再保险人的风险部分，这样X=XI+XRand 0≤ XI X=h（X）≤ 十、

在这种情况下，保险公司的总风险可以重新表述为（X）=XI+πXh=X- h（X）+πXh，（1），其中h（·）是再保险合同的函数形式，πXh代表再保险保费。现在，我们将在本文的其余部分收集一些起着重要作用的元素。定义1。当且仅当ρ（X+c）=ρ（X）+candρ（X）时，风险度量ρ（·）称为平移单调e≤ ρ（Y）无论何时，P（X≤ Y）=1和c∈ R、 在上述定义的意义上，一大类风险度量，如相干、光谱、失真、基于分位数和Wang，是平移和单调风险度量，请参见Denuit et al.（20 06），了解其他可能的平移和单对一风险度量。考虑以下类别的再保险保单。C={h（X）：h（X）和X- h（X）在X中是不变的；0≤ h（X）≤ 十、πXh=常数, （2） 其中πxH代表再保险合同h（·）下的再保险费。假设（2）给出的再保险人合同C的o类中的f（·）最小化保险公司总风险的给定平移和单净风险测度ρ（·），即f（X）≡ 阿明∈Cρ（Th（X））。现在可以缩短间隔[0，∞) 分为两个间隔[0，M）和[M，∞) 并将笛卡尔坐标系的原点移到（M，f（M）），见图1（a）。同样，在新笛卡尔坐标系下，转移再保险合同f（·）是一个最优合同，在旧笛卡尔坐标系下，再保险合同g（x）=f（x）I[0，M）（x）+（f（M）+f（x-M） ）我，∞)（x） 是一份合适的合同。由于f（·）是一个最优契约，g（·）的最优性是通过显示ρ（Tg（X））来实现的≡ ρ（Tf（X））。不幸的是，对于一般的平移风险度量和单调风险度量，这种同一性的证明是不可用的。希望Tan等人。

（2011，定理3.1）表明，在CT E标准下，g（·）∈ C和0≤ g（x）≤ f*（x） =最大{x- dα，0}，对于给定的α∈ （0，1）和所有x≥ 0，任何契约g（·）再次是最优的，即ρ（Tg（X））≡ ρ（Tf*（十） ）。利用这些开创性的结果，我们可以得出结论，在CT E最小化准则下，新合同g（x）=f*（x） I[0，M）（x）+（f*（M） +f*（十）- M） ）我，∞)（x） 是最佳的。再次缩短间隔【M，∞) 分为两个间隔【M，M】和【M，∞) 将笛卡尔坐标系的原点移到（M，f*（M）- M） ），我们可以获得新合同f*（x） I[0，M）（x）+（f*（M） +f*（十）- M） ）I[M，M）（x）+（f*（M） +f*（十）- M） ）我，∞)（x） Tan等人（2011年，定理3.1）保证其最优性。在CT E最小化标准下，上述程序的多次实施导致了最优的多层再保险合同。以下算法提供了这种多层控制。算法1。假设X代表随机索赔X中再保险人的风险部分。

以下步骤设计了一个多层再保险保单，该保单将保险人的总风险降到最低。步骤1）通过以下迭代算法获得多层再保险保单：第1部分）对于k≥ 2.缩短间隔[Mk，∞) 分为两个间隔[Mk，Mk+1）和[Mk+1，∞)并通过fk（X）=fk定义再保险人的风险部分-1（X）I[0，Mk）（X）+[fk-1（Mk）+f（X- Mk）]I[Mk，∞)（十） ，（3）式中，f（X）=f（X）=max{X- dα，0}；第2部分）如果满足给定的停止标准，则转至步骤2，否则设置k=k+1，然后转至第（1）部分步骤2）第1部分）再保险人在k-la-yer再保险单下的风险部分为XR=f（X）I[0，M）（X）+Pk-1j=1fj（X）I[兆焦耳，兆焦耳+1）（X）+[千焦耳-1（Mk）+f（X- Mk）]I[Mk，∞)（十） 。第2部分）现在根据e（max{X）的事实，通过一些额外的适当标准（或e估计方法）估计未知参数- dα，0}）=E（XR）。此外，在上述算法中，可以将与适当标准（如最优破产概率）的接近程度视为停止标准。算法（1）设计了一个最优的多层再保险策略，在初始保险人索赔X中，保险人和再保险人的份额都是递增函数。