比例补偿方案的渐近有效性

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英文标题：
《Asymptotic efficiency of the proportional compensation scheme for a
  large number of producers》
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作者：
Dmitry B. Rokhlin and Anatoly Usov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a manager, who allocates some fixed total payment amount between $N$ rational agents in order to maximize the aggregate production. The profit of $i$-th agent is the difference between the compensation (reward) obtained from the manager and the production cost. We compare (i) the \\emph{normative} compensation scheme, where the manager enforces the agents to follow an optimal cooperative strategy; (ii) the \\emph{linear piece rates} compensation scheme, where the manager announces an optimal reward per unit good; (iii) the \\emph{proportional} compensation scheme, where agent\'s reward is proportional to his contribution to the total output. Denoting the correspondent total production levels by $s^*$, $\\hat s$ and $\\overline s$ respectively, where the last one is related to the unique Nash equilibrium, we examine the limits of the prices of anarchy $\\mathscr A_N=s^*/\\overline s$, $\\mathscr A_N\'=\\hat s/\\overline s$ as $N\\to\\infty$. These limits are calculated for the cases of identical convex costs with power asymptotics at the origin, and for power costs, corresponding to the Coob-Douglas and generalized CES production functions with decreasing returns to scale. Our results show that asymptotically no performance is lost in terms of $\\mathscr A\'_N$, and in terms of $\\mathscr A_N$ the loss does not exceed $31\\%$.
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中文摘要：
我们考虑一个经理，他在N$理性代理之间分配一些固定的总付款金额，以最大化总产量。第i美元代理商的利润是从经理处获得的报酬（奖励）与生产成本之间的差额。我们比较了（i）管理者强制代理人遵循最优合作策略的{规范性}薪酬方案；（ii）管理者宣布每件商品的最佳报酬的{线性计件工资}补偿方案；（iii）按比例补偿计划，代理人的报酬与其对总产出的贡献成比例。将相应的总生产水平分别表示为$s ^*$、$\\ hat s$和$\\ overline s$，其中最后一个与唯一的纳什均衡相关，我们检查了无政府状态$\\ mathscr A\\N=s ^*/\\ overline s$，$\\ mathscr A\\N\'=\\ hat s/\\ overline s$as$N \\ to \\ infty$的价格限制。对于原点处具有幂渐近的相同凸成本情况，以及对应于库布-道格拉斯和广义CES生产函数且规模收益递减的功率成本情况，计算这些极限。我们的结果表明，对于$\\mathscr A\'\\N$而言，渐近没有性能损失，对于$\\mathscr A\'\\N$，损失不超过31\\%。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory        计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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PDF下载：
--> Asymptotic_efficiency_of_the_proportional_compensation_scheme_for_a_large_number.pdf (228.56 KB)

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关键词：有效性 Compensation proportional respectively Quantitative

大量生产商Dmitry B.ROKHLIN和ANATOLY USOVAbstract的比例补偿方案的渐近效率。我们考虑一位经理，他在N个理性代理人之间分配一些固定的总付款金额，以最大化总产量。i-thagent的优势在于从经理那里获得的补偿（奖励）与生产成本之间的差异。我们比较了（i）规范的薪酬方案，其中经理强制代理人遵循最佳合作策略；（ii）线性计件工资补偿方案，其中经理宣布每件商品的最佳奖励；（iii）比例补偿计划，代理人的报酬与其对总产出的贡献成比例。用s表示相应的总生产水平*, ^s and分别，其中最后一个与唯一的纳什均衡有关，我们检查无政府状态价格的极限AN=s*/s、 A′N=^s/s作为N→ ∞. 这些极限是针对相同凸成本的情况计算的，在原点处的幂为符号，以及对应于库布-道格拉斯（Coob-Douglas）和广义CES生产函数（规模收益递减）的幂成本。我们的结果表明，在A′N之间渐近没有性能损失，并且就损失而言，不超过3.1%。1、简介考虑一位经理，他在N个生产者（代理人）之间分配一些固定的总付款金额M，以最大限度地提高总产量。每个代理的利润等于从经理处获得的报酬与生产成本Дi之间的差异。如果成本函数已知，经理可以确定报酬，刺激最佳的聚合生产*. 我们称这种补偿方案为规范性的。

除了成本函数已知这一非常不切实际的假设之外，该方案还克服了另一个缺点：它没有宣布任何常见的奖励分享规则。但是，s*可以作为基准。另一个想法是使用线性计件工资补偿方案，宣布单位货物的价格u。因此，第i个代理的报酬uxio将在其生产水平xi中呈线性。假设个体最优（理性）代理行为，管理者可以选择u，使总回报不超过M，并且总产量不能通过另一个线性回报规则提高。显然，该补偿方案还要求了解生产成本函数，尽管分配一个参数u比分配全套rewa RD更容易，如在标准方案中。还要注意的是，在分项费率分配方案中，非理性代理人要求的总回报可能超过M。然而，我们将值^s视为另一个基准。本研究的主要重点是比例补偿方案，其中第i个代理的Mxi/（x+···+xN）与他对聚合生产的贡献成比例。该方案的实施不需要有关cost2010数学科目分类的信息。91B32、91B40、91B38。关键词和短语。比例补偿方案、总产量、无政府价格、渐近效率、塔洛克竞争。2 DMITRY B.ROKHLIN和ANATOLY USOVfunctions，无论代理行为如何，总奖励都等于M（普通情况除外，其中x=0）。因此，管理者允许员工在（非合作）博弈过程中，利用支付函数Mxix+····+xN，自行确定最佳生产水平- ^1i（xi）。（1.1）在成本函数为凸函数且严格递增的假设下，博弈（1.1）具有唯一的纳什均衡。

我们表示相应的总产量。有人可能会说，纳什均衡的计算还需要成本函数的知识。然而，这种均衡也可以通过无遗憾学习机制，在重复博弈中作为代理交互的结果出现。我们在本文末尾回顾了这一概念。对于每个代理，无悔学习不需要了解其他代理的成本函数。博弈（1.1）是古诺寡头垄断的一个特例：[27，25]，它符合广泛研究的竞争理论：参见[7，21，8，32]的评论（实验研究见[12]）。在比赛中，每个球员的报酬函数是比赛成功函数（CSF）和球员报酬成本之间的差异。玩家的CSF通常等于赢得不可分割奖品的预期价值，或者，就像我们的情况一样，等于玩家获得的奖品份额。这取决于所有玩家的影响力，一个选定玩家的影响力在增加，另一个玩家的影响力在减少。有关CSF的说明，请参见[18]。使用替代fi（yi）=Д-1i（yi），我们可以将ga me（1.1）减少为战略上等效的竞赛MFi（yi）f（y）+···+fN（yN）- yi（1.2）和广义逻辑形式的CSF（在[32，第4章]的术语中）。此外，在我们的主要电力成本示例中，νi=cixαi，α≥ 1，对应于规模收益递减的广义CESproduction函数，博弈（1.2）归结为fi（yi）=（yi/ci）1/α的图洛克竞赛。竞赛被用来模拟寻租、资源分配、专利跟踪、体育、广告等方面的冲突情况。本文分析了劳动合同中的相对绩效激励方案。20世纪80年代，人们开始积极研究这些问题：[23、14、26、24]。

我们还提到了最近几篇侧重于实验和实证研究的论文：[6、15、29]，读者可以在这些论文中找到许多其他参考文献。流行的概念是奖品的排名分配（排名巡回赛）。然而，在[3]中，比例奖竞赛是通过实验研究的手段推广的。本文的主要特点是分析了“无政府状态的代价”的以下两个版本：AN=s*/s、 A′N=^s/s，对于大量N个代理。与[22]相一致，ana r chy的价格表明，由于缺乏协调，性能损失了多少。对无政府价格的研究最近成为一个活跃的研究领域。我们只提到了几篇论文，研究了不同模型中比例资源分配机制的效率：[19、5、2]。在第2节中，我们描述了上述三种补偿方案。我们特别指出，任何竞赛方案都不能比规范方案更好（备注2）。在第3节中，我们研究了无政府状态的价格AN，A′对于大N。我们的结果表明，对于相同的凸成本Дi=Д且原点处具有幂渐近性的情况（定理1），以及对于具有幂成本Дi（x）=cixα，α>1的异质代理，比例补偿方案3的渐近效率（定理2），在A′N方面失去了渐近yno性能，损失不超过3.1%。这些结果描述了比例补偿方案的渐近有效性。我们还推测，对于具有线性成本函数（α=1）和i.i.d.边际成本ci的异构代理，此结果仍然成立。2、三种补偿方案让xibe第i个代理商生产的货物数量。用Дi表示：R+7→ R+相关生产成本。

我们假设函数是两次连续可微分的，函数的值为φi（0）=0，φ′i（xi）>0，φ′i（xi）≥ 0，xi>0。很容易得出以下结论：Дi（xi）→ +∞, xi→ +∞.（i） 规范的薪酬方案。Agent i知道奖励函数ψi（xi）≥ 生产周期开始时为0，并最大化其收益：ψi（xi）- ^1（xi）→ maxxi公司≥0。（2.1）设ψi（0）=0，并表示为（2.1）的▄xi=▄xi（ψi）最优解，为简单起见，假设存在。管理者有M个单位的资金供其使用。他的目标是使总产量最大化：NXi=1xi→ maxover所有奖励函数ψi，满足条件snxi=1ψi（～xi）≤ Mψi≥ 0，i=1，N、 自ψi（～xi）- ^1i（xi）≥ 0，我们得到估计值nxi=1хi（▄xi）≤NXi=1ψi（￠xi）≤ M、 因此，给定预算M，总产量不能超过*= sup（NXi=1xi：NXi=1хi（xi）≤ M、 x个≥ 0）（2.2）对于任何类型的奖励ψi，另一方面，可以获得接近s的任意总产量*宣布奖励ψi（xi）=Дi（x*i） i【x】*我-εi，∞)（xi），（2.3），其中x*= （十）*i） Ni=1是（2.2）和εi的最优解∈ （0，x*i） ，如果x*i> 0；εi=0，如果x*i=0。实际上，在这种情况下，（2.1）的最优ima l解的形式为▄xi=（x*我- εi，x*i> 0,0，x*i=0和PNI=1xi=s*-PNi=1εi，而PNi=1ψi（￠xi）=PNi=1Дi（x*（一）≤ M、 因此，人们可以认为*作为规范补偿方案下的最优总产量。4 DMITRY B.ROKHLIN和ANATOLY USOV（ii）线性计件工资补偿方案。假设成本函数是严格凸的，经理试图选择一个最佳线性奖励函数ψi（xi）=uxi。生产水平^xi（u）由问题uxi决定- ^1i（xi）→ maxxi公司≥0。（2.4）函数^xi（u）是非递减的，u的最佳选择对应于不违反预算约束的最大总产量：uNXi=1^xi=M。

（2.5）总产量由^s=PNi=1^xi给出。（iii）比例补偿计划。（2.5）的左侧等于总奖励。如果代理预期经理会以这种方式选择u，则他们会参与非合作博弈，其支付函数shi（x）=MxiPNi=jxj- ^1i（xi），x≥ 0（2.6），约定0/0=0。总产量等于tos=NXi=1xi，其中x是博弈（2.6）的唯一纳什均衡（纯策略）：Hi（x，…，xi，…，xN）≥ 嗨（x，…，xi，…，xN），j=1，N、 xi≥ 0、纳什均衡的存在唯一性（对于N≥ 2） 已在[30]中证明。该屋顶在【9】中进行了简化，另见【10】中的说明。很容易看出X至少有两个正分量。此外，对于此类X，函数xi7→ Hi（x，…，xi，…，xN）是（严格地）凹的。对相应的一维问题的初步分析表明，x具有以下关系式的特征：ν′i（xi）=Ms- xis，如果Д′i（0）<Ms，（2.7）xi=0，如果Д′i（0）≥Ms，（2.8）s=NXj=1xj。（2.9）在【30】之后，请注意，当s>0时，关系sД′i（zi）=M（s- zi），sа′i（0）<M，（2.10）zi（s）=0，sа′i（0）≥ 通用定义的连续功能。显然，x是纳什均衡i ffx=z（s），其中是方程nxi=1zi（s）=s的解，s>0。（2.11）比例补偿方案5的渐近有效性遵循[9，1 0]，让我们从置换函数s传递到共享函数σi（s）=zi（s）/s。根据共享函数的性质（参见[10，命题2]），Na-sh平衡的存在性和唯一性遵循（2.11）：σi是连续的，在正的情况下严格递减，lims→0σi（s）=1，lims→∞σi（s）=0。因此，方程nxi=1σi（s）=1，s>0，（2.12）相当于（2.11），具有唯一的解。备注1。

在介绍游戏（2.6）时，我们遵循了[19]的推理。在他们的模型中（受[20]的启发），用户共享某个给定容量的通信链路。linkmanager从用户那里获得付款（出价），并根据公布的价格分配费率。管理者调整价格以分配整个链路容量。如果用户是价格接受者，则该模型被称为竞争均衡。如果他们预测价格，那么他们就参与了一场博弈，并且假设他们的RBID对应于纳什均衡。奖励函数（2.3）实际上只告诉代理生产级别x*我- εi，由经理指定。这一规范性方案对单独的成本函数Дi非常合理。此外，它没有宣布任何共同的补偿规则。所有这些缺点迫使我们寻求更可靠的补偿方案。下面的讨论表明，这项任务并非微不足道。我们发现（2.2）是一个可解的凸优化问题，满足Slater条件。因此，x*≥ 如果存在λ，0是（2.2）的最优解*≥ 0，使λ*И′j（x*j） =1，如果x*j> 0；λ*И′j（0）≥ 1，如果x*j=0；（2.13）λ*NXi=1хi（x*（一）- M！=0，NXi=1хi（x*（一）≤ M、 等效地，x*≥ 如果存在λ，0是（2.2）的最优解*> 0，使得（2.13）和等式nxi=1хi（x*i） =M（2.14）为真。此外，对于给定的λ*> 0 a点x*≥ 每x 0个满意度（2.13）*iis问题的非最优解xi/λ*- ^1i（xi）→ maxxi公司≥0（2.15）类似于（2.4）。假设νi是严格凸的。那么（2.14）意味着t hatx*唯一且λ*也由（2.13）唯一定义，因为至少有一个组件o f x*I积极。很容易尝试ψi（xi）=xi/λ*对于奖励功能的作用。实际上，到（2.15），它们刺激了最佳生产水平x*i、 然而，与计件工资制度相比，6 DMITRY B。

ROKHLIN和ANATOLY USOVψi（xi）=xi/λ*不是合法的奖励功能，因为x*i/λ*- ^1i（x*i） x大于0*i> 0，总奖励超过预算M:NXi=1ψi（x*i） =λ*NXi=1x*i> NXi=1хi（x*i） =M。注意，替换xi=Д-1i（yi）将（2.2）简化为以下等效问题：sup（NXi=1Ui（yi）：NXi=1yi≤ M、 y型≥ 0），（2.16），其中Ui（yi）=Д-1i（yi）是严格递增的凹函数。这是一个常见的非线性资源分配问题：参见，例如，[28]。如果函数Ui是严格凹的，则与上述讨论类似，存在唯一对（y*, u*) 带y*≥ 0，u*> 0，满足最优性条件su′i（y*i） =u*, 如果y*i> 0；U′i（0）≤ u*, 如果y*i=0；NXi=1y*i=M。因此，唯一最优解y*可以从一维优化问题sui（yi）中恢复（2.16）的- u*易→ 马毅≥0。（2.17）因此，通过以u的价格出售资源*（每单位），管理者可以刺激o ptima lplan y*. 但在目前的情况下，yi=Дi（xi）对应于生产成本，因此优化问题（2.17）没有经济意义。备注2。结束本节，我们将展示任何竞赛方案都不能产生比（2.2）更好的结果。考虑N个代理之间的非合作博弈，其支付函数shi（x）=ψi（x，…，xN）- ^1i（x），x≥ 0，其中ψi≥ 0是第i个代理的报酬，ψi（0）=0。设随机向量（ξ，…，ξN）≥ 0be纳什均衡（在混合策略中）：E（ψi（ξ，…，ξn）- Дi（ξi））≥ E（ψi（ξ，…，ξi，…，ξn）- Дi（ξi）），ξi≥ 我们隐含地假设所有期望都存在。如果ξi=0，我们推断e（ψi（ξ，…，ξn）- Дi（ξi））≥ 0。如果平均总奖励不超过M:PNi=1Eψi（ξ。

，ξn）≤ M、 thenNXi=1EДi（ξi）≤ M、 更进一步，PNi=1Дi（Eξi）≤ 根据Jensen不等式和s的定义（2.2）*因此，Nxi=1Eξi≤ s*.比例补偿方案的渐近有效性7这一消极结果绝不表明竞争补偿方案是无用的。关键是，竞赛的组织可能不需要了解生产成本函数Дi.3。在大量生产者的情况下，无政府状态的价格在本文中，我们对以下两种版本的“无政府状态价格”的行为感兴趣：AN=s*/s、 A′N=^s/s对于大量N个代理。回想一下，数量s*, ^s，s描述了三种类型的骨料生产：（i）s*对应于由奖励功能（2.3）实施的优化合作策略：见（2.2）（规范性薪酬方案）；（ii）^s与“接受奖励”代理人的情况有关：见（2.4）、（2.5），其中“最佳”通用线性奖励函数由经理宣布（线性计件工资补偿方案）；（iii）s对应于“预期回报”代理人（比例补偿方案）博弈的纳什均衡（2.6）。我们将相关问题称为（i）、（ii）和（iii）。下面的定理考虑了相同成本函数的情况。定理1。假设Дi=Д和Д（y）~ cyα，Д′（y）~ αcyα-1，y→ +0；c>0，α≥ 1.（3.1）ThenlimN→∞AN=α1/α，limN→∞A′N=1。证据（i） 如第2节所述，向量x*是（2.2）i fits（2.14）的最优解，并且存在λ*≥ 0，令人满意（2.13）。寻求（2.13），（2.14）的对称形式的解是很自然的：x*i=y*> 0，i=1，N、 我们有λ*И′（y）*) = 1，λ*≥ 0；NИ（y*) = M、 （3.2）显然*, λ*) 存在。