漂移不确定性与制度变迁下的资产清算

事实上，它的暗示对应于先验分布u在负方向上的移位r。设l：=inf supp（u），h：=sup supp（u）。很容易看出如果我≥ 0，则在终点时间T停止。同样，如果h≤ 0，则s立即（即在时间0时）顶部是最佳的。本文的其余部分将重点讨论剩余的和最令人担忧的案例。假设2.2。l<0<h.2.1测量变量下的等效重新计算让我们写下^Xt：=E[X | FS，σt]。然后，过程^Wt：=Ztσ（s）（X-^Xs）d s+Wt，称为创新过程，是一个FS，σ-布朗运动（见[1，第33页的命题2.30]）。引理2.3。波动过程σ和创新过程^W是独立的。证据由于X、W和σ是独立的，我们可以(Ohm, F、 P）作为产品空间(Ohm十、 W×Ohmσ、 FX，W Fσ，PX，W×Pσ）。让A，A′∈ B（R[0，T]）。然后^W∈ A、 σ∈ A′=ZOhm十、 W×Ohmσ{W（ωX，W，ωσ）∈A、 σ（ωσ）∈A′}d（PX，W×Pσ）（ωX，W，ωσ）=ZOhmσZOhm十、 W{^W（ωX，W，ωσ）∈A} {σ（ωσ）∈A′}dPX，W（ωX，W）d Pσ（ωσ）=ZOhmσ{σ（ωσ）∈A′}ZOhm十、 W{^W（ωX，W，ωσ）∈A} dPX，W（ωX，W）d Pσ（ωσ）=ZOhmσ{σ（ωσ）∈A′}PX，W^W（·，ωσ）∈ A.dPσ（ωσ）=P^W∈ A.Pσσ∈ A′= P^W∈ A.Pσ∈ A′, （2.3）倒数第二个等式由以下事实证明：对于任何固定ωσ，创新过程^W（·，ωσ）是PX，W下的布朗运动。因此，从（2.3）可以看出，过程^和σ是独立的。定义一个新的等效度量P~ P打开(Ohm, FT）通过Radon-Nikodym导数▄PdP=eRTσ（t）d^Wt-RTσ（t）dt和写入ST=SeXt+RTσ（s）dWs-Rtσ（s）ds=SeRt^Xsds+Rtσ（s）d^Ws-Rtσ（s）ds，我们有，对于任何τ∈ TS，σT，E[Sτ]=？EhSeRτ^Xsdsi=S？EheRτ^Xsdsi。此外，根据Girsanov定理，过程Bt：=-Rtσ（s）ds+^wt是[0，T]上的一个▄P-布朗运动。

此外，引理2.3和[1，命题3.13]告诉我们，σ的定律在▄P和P下是相同的，并且B和σ在▄P下是独立的。在不丧失一般性的情况下，我们在整篇文章中设置S=1，因此最优停止问题（2.2）可以被转换为v=supτ∈TS，σT▄E【eRτ^Xsds】。（2.4）在波动率j umps之间，股票价格是一个几何布朗运动，具有已知的恒定波动率和未知的漂移。因此，根据[15]中的推论3.4，我们得到了FS，σ=F^X，σ和TS，σT=T^X，σT，其中F^X，σ表示由^X和σ生成的过滤的通常增强，同时，T^X，σT表示F^X，σ-停止时间不超过gt的集合。因此，（2.4）isV=supτ的等效重新公式∈T^X，σTE【eRτ^Xsds】，（2.5），我们将在本文的后续部分研究。2.2马尔可夫嵌入除本文最后一节外，我们将重点讨论Xhas两点分布u=πδh+（1- π） δl，wher e h>l，π∈ （0，1）是常数，分别是h和l处的δh和δlare Dirac测度。在这种特殊情况下，表达式比一般的前一种情况更简单，参数更容易理解；尽管如此，大多数争论的核心观点都是相同的。因此，我们选择首先理解两点优先的情况，然后将结果推广到一般的优先情况将变得相当容易。由于波动率是j ump次之间的一个已知常数，在恒定波动率的情况下，使用^X的动力学（见[15]中的方程（3.9）），过程^X是d^Xt=σ（t）φ（Xt，σ（t））dt+φ（Xt，σ（t））dBt的唯一强解，其中φ（X，σ）：=σ（h- x） （十）- l） 。现在，我们可以通过定义马尔可夫值函数v（t，x，σ）：=supτ，将最优停止问题（2.4）嵌入到马尔可夫fr-amework中∈TT-tE[eRτ^Xt，x，σsds]，（t，x，σ）∈ [0，T]×（l，h）×{σ，…，σm}。

（2.7）这里，^Xt，x，σ表示（2.6）中的过程^x在时间t开始，^Xt=x，σ（t）=σ，和TT-T表示一组小于或等于T的停止时间- 关于{Xt，x，σt+s}s产生的过滤的通常增强≥0和{σ（t+s）}s≥0.公式（2.7）解释了一个最优s topping问题，即常数pAyo fff 1和贴现率-^Xs；从现在起，我们将研究这个折扣问题。通常使用符号vi：=v（·，·，σi）。3近似程序不清楚如何计算（2.7）中的v或直接对其进行分析。因此，在本节中，我们开发了一种通过一系列值函数来近似值函数v的方法，对应于更简单的常数波动率最优停止问题。3.1运算符ji为了表示法的简洁性，让λi：=Pj6=iλij表示波动性从状态σi跳跃的总强度。此外，让我们定义ηti：=inf{s>0 |σ（t+s）6=σ（t）=σi}，这是一个Exp（λi）-分布的随机变量，表示从波动性状态σiat时间t开始，直到波动性变化的持续时间。此外，让我们定义一个作用于有界f：[0，T]×（l，h）的算子J→ Rby（Jf）（t，x，σi）：=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，σit+sds{τ<ηti}+eRηti^Xt，x，σit+sdsf（t+ηti，^Xt，x，σit+ηti）{τ≥ηti}（3.1）=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，σit+s-λids+λiZτeRu^Xt，x，σit+s-λidsf（t+u，^Xt，x，σit+u）d u, （3.2）其中TT-T使停止时间集小于或等于T- 关于{Xt，x，σit+s}s产生的过滤的通常增强≥0和{σ（t+s）}s≥0.为了简化符号，我们还定义了一个运算符JibyJif:=（Jf）（·，·，σi）。直观地，（Jif）表示对应于t+ηti之前的最优停止的马尔可夫值函数，即。

在t之后的第一次波动变化之前，当t+ηti<t时t+ηti，^Xt，x，σit+ηti如果尚未停止，则接收。提案3.1。设f:[0，T]×（l，h）→ R有界。那么（i）Jf是有界的；（ii）第二个变量x中f的增加意味着第二个变量x中Jf的增加；（iii）第一变量t中f的减少意味着第一变量t中Jf的减少；（iv）f在第二个变量x中增加且凸意味着Jf在第二个变量x中增加且凸；（v） J保持秩序，即f≤ F模板Jf≤ Jf；（六）Jf≥ 1.证明。除索赔（iv）外，所有索赔均为陈述（3.2）的预期后果。为了证明（iv），我们将通过百慕大选择近似求解最优停止问题（3.2）。设i和n为x。我们将通过值函数w（f）i来近似值函数Jif，对于相应的百慕大问题，仅允许有时停止kTn:k∈ {0，1，…，2n}. 我们对w（f）i的定义大致如下。首先，w（f）i，n（T，x）：=1。然后，从k=2n开始，然后递归到k=1，我们定义新的（f）i，n（t，x）=（g（t，x，kTn），t∈ （（k-1） Tn，kTn），g（（k-1） Tn、x、kTn）∨ 1，t=（k-1） Tn，（3.3），其中函数g由g（t，x，kTn）给出：=~EeRkTnt^Xt，x，σis-λidsw（f）i，nkTn，^Xt，x，σikTn+ZkTnteRut^Xt，x，σis-λidsf（u，^Xt，x，σiu）d u. （3.4）接下来，我们通过对k的反向诱导，证明了w（f）i，nis在第二个变量x中增加且凸。假设对于某些k∈ {1，2，…，2n}，函数w（f）i，nkTn·是递增且凸的（基本步骤k=2n的假设显然成立）。利特∈ [（k-1） Tn，kTn）。

然后，由于f在第二个变量x中也是增加的和凸的，我们得到了函数g（T，·，kTn），因此w（f）i，n（T，·），根据【14，定理5.1】是凸的。此外，从（3.4）和[31，定理IX.3.7]可以清楚地看出，在w（f）i，n（t，·）处，th正在增加。因此，通过向后推导，我们得到百慕大值函数w（f）i，nis在第二个变量中增加且凸。出租n∞, 百慕大值w（f）i，nJif逐点。因此，Jif在第二个参数中是递增的和凸的，因为在取逐点极限时保持了凸性和单调性。设置Cfi：={（t，x）∈ [0，T）×（l，h）：（Jif）（T，x）>1}，（3.5）Dfi：={（T，x）∈ [0，T]×（l，h）：（Jif）（T，x）=1}=[0，T]×（l，h）\\Cfi，对应于停止问题Jif的继续集和停止集，如下一个建议所示。命题3.2（最佳停车时间）。停止时间τfσi（t，x）=inf{u∈ [0，T- t] ：（t+u，^Xt，x，σit+u）∈ Dfi}（3.6）对于问题（3.2）是最优的。证据[23]中定理D.12的标准应用。提案3.3。如果a有界f：[0，T]×（l，h）→ R在第一个变量中减小，在第二个变量中增大且凸，然后Jif是连续的。证据该论点是对文献[15]中定理3.10第三部分证明的无故障扩展；为了完整起见，我们将其包括在内。在开始之前，为了简化符号，我们将写u：=Jif。首先，我们让r∈ （l，h）并将证明存在K>0，这样，对于每个∈ [0，T]，地图x 7→ Jif（t，x）在（l，r）上是K-Lipschitz连续的。为了得到一个矛盾，假设没有这样的K。然后，通过第二个变量中u的凸性，有一个序列{tn}n≥0 [0，T]使得左导数-u（tn，r）∞ .

因此，对于r′∈ （r，h），序列u（tn，r′）→ ∞, 这与u（tn，r′）相矛盾≤ u（0，r′）<∞适用于所有n∈ N、 现在，仍然需要证明u在时间上是连续的。假设地图t 7→ 对于某些x，u（t，x）在t=t时不连续。由于u在时间上减少，u（·，x）在t时有负跳跃。接下来，我们将研究u（t-, x） >分别为u（t，x）和u（t，x）>u（t+，x）。假设u（t-, x） >u（t，x）。根据第二个变量的Lipschitz连续性，存在δ>0，因此，写入R=（t- δ、 t）×（x- δ、 x+δ），inf（t，x）∈Ru（t，x）>u（t，x+δ）。（3.7）因此R Cfi。让t∈ （t- δ、 t）和τR：=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，x，σit+τR）/∈ R} 。然后，通过延拓区域中的鞅性，u（t，x）=~EeRτR^Xt，x，σit+u-λiduu（t+τR，^Xt，x，σit+τR）+ZτReRu^Xt，x，σit+s-λidsf（t+u，^Xt，x，σit+u）d u≤Ee（t-t） （x+δ）+u（t，x+δ）{t+τR<t}+e（t-t） （x+δ）+u（t，x+δ）{t+τR=t}+Zt-teRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）| du≤ e（t-t） （x+δ）+u（t，x+δ）~P（t+τR<t）+e（t-t） （x+δ）+u（t，x+δ）+Zt-t▄EheRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）| idu→ u（t，x+δ）为t→ t、 矛盾（3.7）。另一种情况是u（t，x）>u（t+，x）；我们首先进入u（t，x）>u（t+，x）>1的情况。第二个变量中的局部Lipschitz连续性和第一个变量中的衰减意味着存在>0和δ>0，因此，写入R=（t，t+）×[x- δ、 x+δ]，u（t，x）>sup（t，x）∈Ru（t，x）≥ inf（t，x）∈Ru（t，x）>1。

（3.8）因此，R Cfiand writingτR：=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，x，σit+s）/∈ R} 我们有u（t，x）=~EeRτR^Xt，x，σit+u-λiduu（t+τR，^Xt，x，σit+τR）+ZτReRu^Xt，x，σit+s-λidsf（t+u，^Xt，x，σit+u）d u≤~Ehe（x+δ）+u（t，x+δ）{τR<}i+~Ee（x+δ）+u（t+，x+δ）{τR=}+ZeRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）| du≤ e（x+δ）+u（t，x+δ）~P（τR<）+e（x+δ）+u（t+δ，x+δ）+ZeRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）|杜邦→ u（t+，x+δ）为0，与（3.8）相矛盾。最后，假设u（t，x）>u（t+，x）=1。根据第二个变量的Lipschitz连续性，存在δ>0，使得infx∈（十）-δ、 x）u（t，x）>u（t+，x）=1。（3.9）因此，（t，t）×（x-δ、 x） Dfi。因此，过程^Xt，x-δ/2，σi为立即停止区域，因此（t，x- δ/2）∈ Dfi，与（3.9）相矛盾。命题3.4（最佳停车边界）。设f:[0，T]×（l，h）→ R有界，在第一个变量中递减，在第二个变量中递增且凸。然后保持以下状态。（i） 存在函数bfσi：[0，T）→ [l，h]这两个值都在增加，右连续，左极限，满足fi={（t，x）∈ [0，T）×（l，h）：x>bfσi（T）}。（3.10）（ii）对（Jif，bfσi）满足自由边界问题tu（t，x）+σiφ（x，σi）xu（t，x）+φ（x，σi）xxu（t，x）+（x- λi）u（t，x）+λif（t，x）=0，如果x>bfσi（t），u（t，x）=1，如果x≤ bfσi（t）或t=t.（3.11）证明。（i） 根据命题3.1（iv），存在一个独特的函数bfσ正在满足（3.10）。此外，根据命题3.1（iii），该边界bfσiis增加。因此，利用命题3.3，我们还得到bfσiis与左极限右连续。（ii）证明遵循一个众所周知的标准论点（例如。

参见【23，第2章定理7.7】），因此我们省略了它。3.2近似问题序列定义停止时间序列{ξtn}n≥0通过ξt：=0递归，ξtn：=inf{s>ξtn-1： σ（t+s）6=σ（t+ξtn-1） }，n>0。这里ξtn表示自时间t以来直到第n次波动率跳跃的持续时间。此外，让我们定义一个操作符序列{J（n）}n≥0by（J（n）f）（t，x，σi）：=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，σit+sds{τ<ξtn}+eRξtn^Xt，x，σit+sdsf（t+ξtn，^Xt，x，σit+ξtn）{τ≥ξtn},（3.12）式中，f：[0，T]×（l，r）→ R是有界的。特别要注意的是，J（0）f=f和J（1）f=Jf。与运算符J类似，我们定义J（n）ibyJ（n）if:=（J（n）f）（·，·，σi）。提案3.5。让n≥ 0和i∈ {0，…，m}。然后j（n+1）i=JiXj6=iλijλij（n）j. （3.13）证明。证明是归纳法。为了在保留复杂符号的同时给出证明的论点，我们将只证明，对于有界f：[0，T]×（l，h）→R和x∈ （l，h），恒等式（J（2）if）（t，x）=（Ji（Pj6=iλijλiJjf））（t，x）成立。感应步骤J（n+1）i=JiPj6=iλijλij（n）j遵循类似的参数，但使用了更多ab stractnotation。请注意，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设t=0，我们就是这样做的。首先，我们将显示（J（2）if）（0，x）≤ 冀Pj6=iλijλi（Jjf）（0，x），然后是相反的不等式。对于j∈ N、 我们将写出ξjas的ξjinstead，并使用符号ηj：=ξj- ξj-1、Letτ∈ t和考虑因素（τ）：=▄EheRτ^X0，x，σisds{τ<η}+eRτX0，x，σisds{η≤τ<ξ}+eRξ^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} i=~EeRτX0，x，σisds{τ<η}+~EeRτ^X0，x，σisds{η≤τ<ξ}+eRξ^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} | F^X0，x，σi，Nη, （3.14）其中{Nt}t≥0表示计算波动率跳跃的过程。

（3.14）满意度中的内部条件预期eRτ^X0，x，σisds{η≤τ<ξ}+eRξ^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} | F^X0，x，σi，Nη= eRη^X0，x，σisds{η≤τ} EeRτη^X0，x，σisds{τ<ξ}+eRξη^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} | F^X0，x，σi，Nη= eRη^X0，x，σisds{η≤τ} Xj6=iλijλiEη，^X0，x，σiη，σjeR▄τXη+sds{▄τ<η}+eRηXη+sdsf（η+η，^Xη+η）{▄≥η}, （3.15）式中τ=τ- η在η的情况下≤ τ≤ T因此，将（3.15）代入（3.14），然后取∧τ的上确界，我们得到a（τ）≤EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλisupτ∈TT-T∧ηИEη，^X0，x，σiη，σjeR▄τXη+sds{▄τ<η}+eRηXη+sdsf（η+η，^Xη+η）{▄≥η}=EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλi（Jjf）（η，X0，x，σiη）（3.16）取（3.16）中τ的上确界，我们得到（J（2）if）（0，x）=supτ∈TTA（τ）≤ 冀Xj6=iλijλi（Jjf）（0，x）。（3.17）仍然需要建立相反的不平等。Letτ∈ t定义τ：=τ{τ≤η} +（η∧ T+τσ（η））{τ>η}，（3.18），其中τσ（η）：=τfσ（η）（η∧ T、 ^X0，x，σiη∧T） 。显然，ˇτ∈ TT。然后（J（2）f）（0，x）≥ A（ˇτ）=EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλiEη，^X0，x，σiη，σjeRτσj^Xη+sds{τσj<η}+eRηXη+sdsf（η+η，^Xη+η）{τσj≥η}=EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλi（Jjf）（η，^X0，x，σiη）,其中，命题3.2用于获得最后一个等式。因此，通过取supremumover停止时间τ∈ TT，我们得到（J（2）if）（0，x）≥ 冀Xj6=iλijλi（Jjf）（0，x）。（3.19）最后，（3.17）和（3.19）一起表示（J（2）if）（0，x）=JiXj6=iλijλi（Jjf）（0，x）。备注3.6。在[24]中，作者使用与本文中相同的近似程序来处理具有制度转换波动率的最优停止问题。幸运的是，在[24]的方程式（18）中，amistake出现了，当波动状态的数量大于2时，它破坏了后续的近似程序。

其中的标识（18）应替换为（3.13）。3.3收敛到值函数命题3.7（近似序列的性质）。（i） 函数序列{J（n）1}n≥0是递增的，从下到下以1为界，从上到下以ehT为界。（ii）每个J（n）1在第一个变量t中减少，在第二个变量x中增加和凸出。（iii）函数序列J（n）1v点方向为n∞.此外，近似误差Kv- J（n）1k∞≤ ehTλT（λT）n-1（n- 1） 哦！作为n→ ∞, （3.20）式中λ：=最大{λi:1≤ 我≤ m} 。（iv）对于每n∈ N∪ {0}，Jnm1≤ J（n）1≤ Jn1.（3.21）证明。（i） {J（n）i1}n≥0在增加，从下到下以1为界，从上到下以EHT为界，这是定义的直接结果（3.12）。（ii）在归纳步骤中，使用命题3.1（iii）、（iv）和命题3.5，声称第一个变量t中的每个J（n）i1都在减少，第二个变量x中的每个J（n）i1都在增加和凸，然后对n进行直接归纳。（iii）首先，让我∈ {1，…，m}注意，对于任何n∈ N、 J（N）i1≤ vi.这里的不等式是次优的，因为J（n）i1对应于问题（2.4）中特定停止时间的预期支付。接下来，deneu（i）n（t，x）：=supτ∈TT-tEheRτ^Xt，x，σit+sds{τ<ξtn}i.ThenU（i）n（t，x）≤ （J（n）i1）（t，x）≤ vi（t，x）≤ U（i）n（t，x）+eh（t-t） P（ξtn≤ T- t） 。（3.22）因为跳跃强度λ：=max{λi:1的泊松过程的n次跳跃时间（称为ζn）是一个标准事实≤ 我≤ m} 遵循Erlang分布，wehaveP（ξtn≤ T- t）≤ P（ζn≤ T- t） =（n- 1） 哦！Zλ（T-t） 联合国-1e级-udu≤ λT（λT）n-1（n- 1） ！。因此，通过（3.22），kv- J（n）1k∞≤ ehTλT（λT）n-1（n- 1） 哦！作为n→ ∞.（iv）将通过归纳法证明一串不等式（3.21）。首先，基底台阶是不透水的。现在，s uppose（3.21）适用于一些n≥ 因此，对于任何i∈ {1，…，m}，Jnm1≤Xj6=iλijλij（n）j1≤ Jn1。（3.23）让我们∈ {1。