漂移不确定性与制度变迁下的资产清算

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英文标题：
《Asset liquidation under drift uncertainty and regime-switching
  volatility》
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作者：
Juozas Vaicenavicius
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Optimal liquidation of an asset with unknown constant drift and stochastic regime-switching volatility is studied. The uncertainty about the drift is represented by an arbitrary probability distribution; the stochastic volatility is modelled by $m$-state Markov chain. Using filtering theory, an equivalent reformulation of the original problem as a four-dimensional optimal stopping problem is found and then analysed by constructing approximating sequences of three-dimensional optimal stopping problems. An optimal liquidation strategy and various structural properties of the problem are determined. Analysis of the two-point prior case is presented in detail, building on which, an outline of the extension to the general prior case is given.
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中文摘要：
研究了具有未知常数漂移和随机制度转换波动率的资产的最优清算问题。漂移的不确定性由任意概率分布表示；随机波动率由$m$状态马尔可夫链建模。利用滤波理论，将原问题等效为四维最优停止问题，然后通过构造三维最优停止问题的近似序列进行分析。确定了最优清算策略和问题的各种结构性质。详细分析了两点先验情况，在此基础上，给出了对一般先验情况的扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Asset_liquidation_under_drift_uncertainty_and_regime-switching_volatility.pdf (307.24 KB)

2022-5-31 02:51:06 上传

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关键词：制度变迁 不确定性 不确定 确定性 Mathematical

漂移不确定性和体制转换波动下的资产清算Juozas Vaicenavicius*2018年7月31日，星期二摘要研究了具有未知常数漂移和随机区域切换波动率的资产的最优清算。漂移的不确定性用任意概率分布表示；随机波动率用m-s塔特马尔可夫链建模。利用滤波理论，将原始问题等效为四维最优停止问题，然后通过构造三维最优停止问题的近似序列进行分析。确定了最优清算策略和问题的各种结构性质。详细分析了两点先验情况，在此基础上，给出了对一般先验情况的扩展。MSC 2010学科分类：初级60G40；次级y 91G80，60J25。关键词和短语：最优清算、漂移不确定性、制度转换波动性、序列分析、最优停止、随机过滤。1简介销售是一种基本的、无处不在的经济活动。随着商品价格随着时间的推移而变化，“什么时候是出售资产以实现收入最大化的最佳时机？”质量是金融学的一个基本问题。假设一项资产需要在已知的决定性时间T>0和th之前出售，卖方可用的唯一信息来源是价格历史。

上述最优销售问题的一个自然数学公式是找到销售时间τ*∈ TTE[Sτ*] = supτ∈TTE[Sτ]，（1.1），其中{St}t≥0表示价格过程，tts表示价格过程S的停止时间集。许多流行的价格过程连续模型的形式为dst=αStdt+σ（t）StdWt，（1.2）*瑞典乌普萨拉大学信息技术系，邮箱337，751 05乌普萨拉。电子邮件：juozas。vaicenavicius@it.uu.sewhereα∈ R称为漂移，σ≥ 0被称为波动过程。通过简化假设，即波动率与W以及时间齐次无关，m状态时间齐次马尔可夫链是一个基本但仍然非常灵活的随机波动率模型（在[11]中提出），我们选择在本文中使用该模型。灵活性来自这样一个事实，即我们可以选择状态空间以及状态之间的转换强度。尽管ich（1.2）中的问题（1.1）在数学上已得到很好的解决，但从财务角度来看，已知的漂移假设被广泛认为是不合理的（例如，见[32，第144页第4.2节]），需要放宽。因此，使用贝叶斯范式，我们通过概率分布（在贝叶斯推理中称为先验）对d裂谷的初始不确定性进行建模，该概率分布包含了有关参数及其不确定性的所有可用信息（有关先验解释的更多信息，请参见[15]）。如果初始不确定性的量化是主观的，那么先验知识表示了人们对漂移采用不同值的可能性的看法。

为了能够合并任意先验信念，我们着手解决漂移的任意先验下的最优销售问题（1.1）。在本文中，我们分析并解决了S跟随（1.2）且具有m状态时间齐次马尔可夫链波动率和未知漂移的情况下的资产清算问题（1.1），其不确定性由任意概率分布建模。特定四维过程第一次到达特定边界时，确定停止集是最优的。此停止边界具有吸引人的单调性，可以使用已开发的近似程序找到。让我们更深入地阐明我们对最优销售问题的研究。利用非线性滤波理论，将具有参数不确定性的原始销售问题重写为标准形式的等价最优停止问题（即无未知参数）。在这个新的最优停止问题中，后验平均作为基础过程，并作为一个随机创建率；问题中的payoff函数是常数。后验平均值是SDE的解，依赖于之前和整个波动历史。将最优停止问题嵌入到马尔可夫框架中是非常重要的，因为整个后验分布需要作为一个变量包含在内。幸运的是，我们证明，在固定了先验知识之后，后验知识只有两个实值参数：后验平均值和有效学习时间。

因此，我们能够定义具有四个基本变量（时间、后验平均值、有效学习时间和波动率）的相关马尔可夫值函数，并将最优停止问题研究为四维马尔可夫最优停止问题（波动率取单位集中的值，但有点滥用术语，我们仍称之为d提升）。利用区域切换之间的波动率是常数，我们构造了简单辅助三维马尔可夫最优停止问题的m序列，其极限值单调收敛于真值函数。与直接处理问题的完全变分不等式相比，这种近似序列方法的主要优点是避免了处理分析复杂的耦合系统。相反，只需对更简单的标准非耦合自由边界问题进行分析或数值求解，即可得到理想的结果。我们表明，值函数在时间和有效学习时间上是递减的，在后验均值上是递增的和凸的。由停止边界指定的区域的首次拟合时间是时间、有效学习时间和波动率的函数，显示为最优。停止边界是在时间上的缓和，有效的学习时间，是从辅助问题单调增加的边界序列的限制。此外，使用辅助问题的近似过程产生了一种数值计算值函数以及最佳停止边界的方法。在两点先验情况下，后验平均值充分表征了后验分布，使问题更容易处理，并允许我们获得一些附加结果。

特别地，我们证明了在无sk-ip波动率假设下，马尔可夫值函数在波动率中是递减的，停止边界在波动率中是递增的。在更广泛的数学背景下，所研究的销售问题似乎是文献中研究的第一个具有参数不确定性和随机波动性的最优停止问题。因此，本文提出的想法可能会在其他同类优化停止问题中得到应用；例如，在贝叶斯序列分析的经典问题中（例如，见[30，第六章]），随机演化的噪声强度。作者很清楚，通过额外的努力，文章的许多结果可以被重新定义或概括。然而，所选择的目标是提供对问题和解决方案的直观理解，同时保持可读性和清晰性。这也解释了为什么在大多数情况下，我们将重点放在两点先验情况上，并仅在最后概述了对一般先验情况的扩展。1.1相关文献针对具有区域切换波动率的模型中的资产清算问题进行了一系列研究，唉，它们要么只涉及一类特殊的次优策略，要么将漂移视为不可观测的。在[36]中，提出并研究了一个限制性资产清算问题；漂移和波动性被视为不可观察的，而忽略了从观察中了解参数的可能性。随后的论文【34】、【35】、【17】探讨了同一公式的各个方面。带支付的非最优销售问题-rτ（Sτ- K） 在[26]中研究了BlackScholes模型，在[21]中研究了双态政权切换模型，在[35]中研究了具有有限视界的m状态模型。

在这三种情况下，假设drif t和波动率是完全可观测的。在另一项研究中，在漂移具有任意不确定性的Black-Scholes模型中，解决并分析了最优停止问题（1.1）。文献[13]研究了两点先验案例，而文献[15]使用不同的方法解决了一般先验案例。这篇文章可以被看作是对[15]的概括，包括了仓促制度转换波动率。文献[18]、[33]研究了不完全信息下的相关期权估值问题，这两种情况都是在两点先验情况下进行的，而文献[10]则是在n点先验情况下进行的。我们采用的方法是通过一系列简单常数波动率问题的值函数来近似马尔可夫值函数，之前在[24]中曾用于研究区域切换模型中具有完整信息的有限期美式看跌期权问题（也是其轻微推广）。遗憾的是，在3个或更多挥发分的情况下，【24，第5节】中的递归近似s-tep包含错误；我们在本文第3.2节中对其进行了更正。分析和解决最优停止问题的一种可能的替代方法是，直接使用弱解技术（例如，见[6，29]）分析处理变分不等式系统，类似于[7]中关于具有制度转换波动率的美国期权。需要使用PDE技术建立结构和规律性属性。如果可以获得适当的理论结果，则在[22]中讨论的数值PDE格式应该会产生数值解。

然而，这种替代方法需要一个不同的工具包，在分析上似乎要求更高，因此本文没有进一步研究。尽管目前的论文是[15]从恒常波动率到政权转换随机波动率模型的推广，但扩展实际上并不简单。需要新的统计学习直觉，并开发新的证明以得出论文的结果。[15]中关于波动率恒定的最优清算问题的主要见解之一是，当前时间和价格是最优销售问题的有效统计数据。然而，将波动率从常数变为随机，使得漂移的后验分布真正依赖于价格路径。这就提出了一个问题，即是否可以使用主流的有限维马尔可夫技术来处理最优清算问题，以及是否可以利用恒定波动率情况下的任何发展。在之前关于制度转换波动性的两点案例中，以下新见解是关键。尽管后验b是股票价格的路径依赖函数，但我们可以证明，当前时间、后验平均值和瞬时波动率（从价格过程中提取）是最优清算问题的有效统计数据。唉，对于任何支持点超过两个的先验知识，相同的三倍不再是有效的统计数据。幸运的是，如果除了时间-价格波动性Triplet之外，我们还引入了一个额外的统计数据，我们将其命名为有效学习时间，那么得到的4元组将成为一般先验知识下销售问题的有效统计数据。

除了这些见解之外，还必须解决一些新的技术问题（特别是引理（2.3）），以将最优卖出问题重新表述为标准的马尔可夫形式。关于[24]，虽然我们使用相同的一般迭代逼近思想来构造马尔可夫值函数的逼近序列，但细节，包括证明和结果，都是明显不同的。首先，我们致力于更一般的设置、证明和表述更抽象的结果，以及在多个实例中新类型的结果。例如，我们证明的是m-状态，而不是两国政权切换模型。这使我们能够捕捉并纠正具有两种以上波动率状态的模型中近似序列的错误构造。此外，几乎所有的证明都遵循不同的论点，要么是因为销售问题的结构差异，要么是因为我们更喜欢另一种方式，似乎更透明和直接，以获得结果。最后，本文中的许多结果都是特定于问题的，甚至根本不依赖于值函数的迭代近似。迭代构造一系列在极限内收敛到真值函数的辅助值函数的想法是通用的，并且多次成功地应用于具有可数个离散事件（例如跳跃、离散观测）的最优停止问题。在部分观测的情况下，在[3]中采用迭代近似方案来研究具有未知无序后强度的泊松无序检测问题，然后在[9]中，分析组合泊松-维纳无序检测问题，最近在[4]中，研究离散观测下的维纳无序检测问题。

在完全可观测的情况下，这种迭代近似至少早在[19]就开始了，它处理的是阿马尔科夫最优停止问题，其基础是一个分段确定性。在金融数学中，在[2]和[5]中使用了迭代构造的近似方法，分别研究了有限期和永久期美式看跌期权的价值函数，以获得跳跃差异。除了最优s Toping之外，迭代逼近技术还被用于最优红利政策的奇异控制问题[16]。2问题集过滤能力空间上的金融市场模型(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）满足通常条件。这里，测度P表示物理概率测度。价格过程由dst=XStdt+σ（t）StdWt（2.1）建模，其中X是具有概率d分布u的随机变量，W是标准布朗运动，σ是时间齐次右连续m态马尔可夫链，其生成器∧=（λij）1≤i、 j≤mand取值σm≥ . . . ≥ σ> 0。此外，我们假设X、W和σ是独立的。由于可以通过在任意短时间内（至少在理论上）观察S来估计波动率，因此可以合理假设波动率过程{σ（t）}t≥0是可见的。因此，可用信息由过滤FS建模，σ=nFS，σtot≥0由过程S和σ生成，并由F的零集扩充。请注意，漂移X和随机驱动程序不可直接观察。我们感兴趣的最优销售问题isV=supτ∈TS，σTE[Sτ]，（2.2），其中TS，σT表示小于或等于预定时间范围T>0的一组FS，σ-停止时间。备注2.1。包含贴现系数e很简单-rτin（2.2）。