漂移不确定性与制度变迁下的资产清算

，m} 。根据命题3.1（iv），（3.23）中的每个函数都是空间变量x的凸函数，因此[14，定理6.1]yieldsJn+1m1≤ 冀Xj6=iλijλij（n）j≤ Jn+11。因为我是任意的，我们也有jn+1σm1≤ J（n+1）1≤ Jn+1σ1。（3.24）备注3.8。如果我们选择常数函数eh而不是1来应用运算符J（n）ito，那么，遵循与上面相同的策略，{J（n）iehT}n≥0是一个递减的函数序列，极限J（n）iehTvipointwise为n∞.设Bb（[0，T]×（l，h）；R） 表示从[0，T]×（l，h）到随机定义运算符J:Bb（[0，T]×（l，h）的有界函数集；R） m级→ Bb（[0，T]×（l，h）；R） mbyJffm公司:=J（Pj6=1λ1jλfj）。。。Jm（Pj6=mλmjλmfj）.提案3.9。（i） 让f∈ Bb（[0，T]×（l，h）；R） m.Thenlimn→∞Jnf=v虚拟机.（ii）向量（v，…，vm）trof值函数是运算符▄J的固定点，即▄Jv虚拟机=v虚拟机. （3.25）证明。（i） O注意到命题3.7第（iii）部分证明中的论点也表明J（n）ig→ 过孔n→ ∞ 对于任何有界g，因此要完成证明，就不需要回忆命题3.5中的关系（3.13）。（ii）让我∈ {1，…，m}。根据命题3.5，J（n+1）i1=JiXj6=iλijλij（n）j. （3.26）根据提案3.7（iii），对于每个j∈ {1，…，m}，序列J（n）j1vjasn∞, 所以，让n∞ 在（3.26）中，单调收敛定理告诉usthatvi=JiXj6=iλijλivj. （3.27）4价值函数和停止策略在本节中，我们证明了价值函数v具有吸引人的结构属性，并确定了清算问题的最优策略（2.7）。边界下的首次通过时间是时间和波动性的递增函数，被证明是最优的。

此外，我们还提供了一种逼近最优停止边界的方法，通过证明它是第3节中较容易的辅助问题中停止边界递增序列的一个极限。定理4.1（值函数的性质）。（i） v在第一个变量t中减少，在第二个变量x中增加和凸出。（ii）v在第i个变量中连续∈ {1，…，m}。（iii）ˋvσm≤ v≤ ˋvσ，（4.1），其中ˋvσi：[0，T]×（l，h）→ R表示（2.7）中的马尔可夫值函数，但对于具有常数波动率σi.Proof的价格过程（2.1）。（i） 由于根据命题3.7（ii），每个J（n）1在第一个变量t中递减，在第二个变量x中递增且凸，因此这些性质也保留在逐点极限limn中→∞J（n）1，由位置3.7（iii）表示为v。（ii）使用上述第（i）部分，该主张源自命题3.9（ii），即（v，…，vm）三是命题3.3意义上正则化算子J的固定点。（iii）出租n→ ∞ 在（3.21）中，命题3.7（iii）给出了（4.1）。对于具有常数波动率σ的最优清算问题（2.4），即σ=…=σm=σ，如【15】所示，最优清算策略的特点是不断增加的连续停止边界ˇbσ：[0，T）→ [l，0]带ˇbσ（T-) = 0，使得停止时间ˇτσ=in f{t≥ 0：^Xt≤ˇbσ（t）}∧ T是最佳值。正如下一个定理所示，我们的制度转换波动率模型中的最优清算策略与恒定波动率情况有一些相似之处。定理4.2（最优清算策略）。（i） 每一个我∈ {1，…，m}，存在bσi:[0，T）→ [l，0]这是递增的，右连续左极限，满足等式bσi（T-) = 0和标识符guii={（t，x）∈ [0，T）×（l，h）：x>bσi（T）}，（4.2），其中ui：=Pj6=iλijλivj。

此外，ˇbσ≤ bσi≤ˇbσm.对于任何i∈ {1，…，m}。（ii）停止策略τ*:= inf{s∈ [0，T- t） ：^Xt，x，σt+s≤ bσ（t+s）（t+s）}∧ （T- t） 。对于最优销售问题（2.7）是最优的。（iii）对于i∈ {1，…，m}，边界bg（n）iσibσi顺时针为n∞,式中，g（n）i：=Pj6=iλijλij（n）j1。（iv）对（v，bσ），（v，bσ），（vm，bσm）满足m个自由边界问题的耦合系统tvi（t，x）+σiφ（x，σi）xvi（t，x）+φ（x，σi）xxvi（t，x）+（x- λi）vi（t，x）+Pj6=iλijvj（t，x）=0，i f x>bi（t），vi（t，x）=1，i f x≤ bi（t）或t=t，（4.3），其中i∈ {1，…，m}。证据（i） bσi的存在性：[0，T）→ [l，h]这是增加的，右连续左极限，满足度（4.2）遵循固定点属性（3.25），数据定理4.1（i）、（ii）。由于bσ、bσmis[l，0]和bσ（T-) =ˇbσm（T-) = 0，使用定理4.1（iii），我们还得出如下结论：ˇbσ≤ bσi≤ˇbσ和bσi（T-) = 0对于每个i.（ii），让我们定义D：={（t，x，σ）∈ [0，T]×（l，h）×{σ，…，σm}：v（T，x，σ）=1}。然后τD：=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，x，σ（t）t+s，σ（t+s））∈ D} 是问题（2.7）的最优解，由[30，推论2.9]。最后，根据固定点性质（3.25）和命题3.2，我们得出结论τ*= τD，它完成了性能。（iii）自J（n）i1vias n∞ 和J（n）i1≥ 1对于所有n，我们有一个limn∞bg（n）iσi≥ bσi.同样，如果x<limn∞bg（n）iσi（t），然后J（n）i1（t，x）=1表示所有n∈ N和so vi（t，x）=limn∞J（n）i1（t，x）=1。因此，limn∞bg（n）iσi≤ bσi.因此，limn∞bg（n）iσi=bσi。（iv）自由边界问题是命题3.4（ii）和执行点性质（3.25）的结果。备注4.3。建立时间非齐次自由边界问题的经典解的唯一性通常是一项技术任务（例如，请参见[27]）。

自由边界问题（4.3）和（3.11）的解的唯一性不是本文的中心任务，也没有被追求。备注4.4（一种可行的替代方法）。值得指出的是，研究值函数和最优策略的一种潜在的替代方法是直接分析由最优停止问题（2.7）产生的变分不等式公式（例如，见[29，第5.2节]）。需要使用偏微分方程理论中的弱解技术研究变分不等式耦合系统（例如，见[6，29]），以获得值函数和顶部区域所需的正则性和结构特性。虽然作者不知道任何直接详细研究这类自由边界问题的工作，但有可用的理论结果[7]，包括粘性解的存在性、唯一性，以及制度转换模型中美式期权定价的比较原则。同时，在某些条件下，证明了数值函数的稳定、单调和一致逼近格式的收敛性。文献[22]讨论了适用于此类耦合系统的数值偏微分方程方法及其优缺点。考虑到这一替代路线（前提是可以建立所有所需的技术结果），我们的方法具有明显的好处：避免了在整个系统的研究中出现的许多分析复杂性（比较[7]），并为值函数和停止边界生成了一个非常直观的单调近似方案。为了进一步研究本节中的问题，我们将对波动率的马尔可夫链建模进行结构假设。假设4.5。马尔可夫链σ是无跳的，即f或所有i∈ {1。

，m}，如果j，λij=0/∈ {i- 1，i，i+1}。由于许多流行的金融随机波动率模型具有连续的轨迹，无跳马尔可夫链是连续过程的自然离散状态空间近似，假设4.5似乎不是一个严格的限制。引理4.6。设δ>0，g：（l，h）×0，∞) → [0，∞) 在第一个变量中增加和凸出，在第二个变量中减少。然后u：（l，h）×{σ，…，σm}→ R defendbyu（x，σi）：=ehrΔ^Xx，σiudug（^Xx，σδ，σ（δ））i（4.4）在第一个变量中增加且凸，在第二个变量中减少。证据我们将使用耦合论证来证明这一主张。让(Ohm′, F′，~P′）是g a布朗运动B中的概率三重态，两个波动过程σ，σ的状态空间和跃迁密度如（2.1）所示。此外，我们假设B独立于（σ，σ），起始值满足σ（0）=σi≤ σj=σ（0），且σ（t）≤ σ（t）表示所有t≥ 此外，当σ分别被σ和σ替换时，让^xandxdenote将解表示为（2.6）。让我们定义一个任意ω∈ Ohm′. 由于^W与σ无关，^E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσδi（ω）=^E′heRδ（^X）xudug（（X）Xδ，σ（δ，ω））i，（4.5）Xdenotes过程^X，波动过程σ被确定性函数σ（·，ω）代替。此外，（4.5）中的右手（以及左手）作为x的函数增加了[31，定理IX.3.7]，而凸的增加了[14，定理M5.1]。Henceu（·，σi）：x 7→~E′h ~E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσδii是递增的和凸的。接下来，我们观察到▄E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））▄Fσ，σδi（ω）≥E′heRδ（^X）δudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσ，σδi（ω）≥~E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσ，σδi（ω）。

（4.6）在上文中，考虑到条件期望可以被改写为普通期望，类似于（4.5），第一个不等式后面是【14，定理6.1】，第二个不等式后面是第二个变量中g的衰减。积分（4.6）总可能ω的两侧∈ Ohm′关于dP′，我们得到了u（x，σ）≥ u（x，σ）。因此，我们可以得出结论，u在第一个变量中是增加和凸的，在第二个变量中是减少的。定理4.7（波动性排序）。（i） v在波动性变量中是递减的，即。vσ≥ vσ≥ . . . ≥ vσm.（ii）波动率中的边界按asbσ排序≤ bσ≤ . . . ≤ bσm.证明。（i） 我们将通过用值函数序列{vn}n逼近值函数v来证明这一说法≥对应百慕大最优停止问题的0。让Vn表示（2.7）中的值函数，只允许在某些时候停止kTn:k∈ {0，1，…，2n}.让我们确定∈ N、 我们将证明，对于任何给定的k∈ {0，…，2n}和任意∈ [knT，T]，值函数vn（T，x，σ）在x中是递增的和凸的，在σ中是递减的（注意，她的eσd等于过程T 7的初始值→σ（t））。证明方法是从k=2n向下反向归纳到k=0。由于vn（T，·，·）=1，基本步长k=2n通常成立。现在，假设，对于给定的k∈ {0，…，2n}，对于任何t，值vn（t，x，σ）在x上增加和凸，在σ上减少∈ 【knT，T】。引理4.6告诉我们∈ [（k-1） Tn，kTn），f（t，x，σ）：=~EeRkTnt^Xt，x，σuduvnkTn，^Xt，x，σkTn，σkTn公司,在x上是递增的和凸的，在σ上是递减的。因此，sincevn（t，x，σ）=（f（t，x，σ），t∈ （（k-1） Tn，kTn），f（t，x，σ）∨ 1，t=（k-1） Tn，（4.7）对于任何固定的t，值vn（t，x，σ）在x上增加和凸出，在σ上减少∈ [k]-1nT，T]。

因此，通过反向归纳，vnis在第二个参数x中减少了d凸，在第三个参数σ中减少了。最后，由于vn→ v点方向为n→ ∞, 我们可以得出结论，值函数v在σ中递减。（ii）根据定理4.2（ii）的证明，该主张是上述第（i）部分的直接结果。备注4.8.1。当波动率是任何连续时间齐次正马尔可夫过程，且与驱动布朗运动W无关时，初始波动率的值函数也在减小（定理4.7（i））。该断言通过检验引理4.6的证明得到证实，在引理4.6中，波动轨迹的交叉不重要，马尔可夫链结构也不重要。2、虽然没有理由相信任何边界bσ，bσ不连续，证明了它们的连续性，除了最低的一个，超出了常规技术的能力。最低边界的连续性可以类似于[15，定理3.10]第4部分的证明，利用边界的顺序来证明。证明上界连续性的绊脚石是，在向下波动率跳变时间，值函数具有正跳变，其幅度难以量化。5任意先验的推广在本节中，我们将前面部分的大多数结果推广到一般先验情况。

接下来，漂移的先验u不再是两点，而是任意概率分布。5.1后验分布的二维表征我们首先要更抽象地思考一下，以发展对任意先验情况的直觉。根据后验分布的Kushner-Stratonivich随机偏微分方程（SPDE）（见[8]第3.2节），如果我们将驱动SPDE和波动率的创新过程作为可用信息源，则后验分布是一个度量值马尔可夫过程。遗憾的是，对于测度值随机过程的最优停止问题，目前还没有适用的通用方法。如果我们能够用Rn值马尔可夫过程描述后验分布过程（关于创新和波动过程产生的过滤），那么我们应该设法将具有随机测度值的最优停止问题减少为具有Rn值马尔可夫过程的最优停止问题。幸运的是，我们很快就会看到，这种一厢情愿的想法在现实中变成了可能。与【15】中研究的恒定波动率问题不同，当波动率变化时，由经过时间t和后验平均值^X组成的对不足以描述给定FSσt的后验分布utof X。因此，我们需要一些额外的信息来描述后验分布。令人惊讶的是，所有这些需要的额外信息都可以在一个额外的可观察统计数据中捕获，我们将其命名为“有效学习时间”。

我们首先介绍一些有用的旋转来开始开发。定义Y（i）t：=Xt+σi并让u（i）t，yde注意给定Y（i）t=Y时X的后验分布。需要指出的是，对于任何给定的前u，给定FY（i）的X和给定Y（i）的X的分布是相等的（见[15]中的命题3.1），这仅对最后一个值Y（i）t进行调节。此外，请记住，l=inf supp（u），h=supp（u）。下一个引理提供了关键的见解，允许仅通过两个参数来描述后验分布。引理5.1。Letσ≥ σ> 0。然后{u（1）t，y:t>0，y∈ R} ={u（2）t，y:t>0，y∈ R} ，即两种情况下X的可能条件分布集是相同的。证据设t>0，y∈ R、 根据标准滤波理论（广义贝叶斯规则），u（i）t，y（du）：=e2uy-ut2σiu（du）RRe2uy-ut2σiu（du）。（5.1）然后取r=σσt和y=σσy、 我们有u（2）t，y（du）=u（1）r，y（du）。从引理5.1和[15，引理3.3]中，我们得到了以下重要推论，告诉我们，在固定了先验分布后，任何可能的后验分布只能由两个参数来充分表征。推论5.2。让t>0。然后，对于任何后验分布，ut（·）=P（X∈ · | FS，σt）（ω），存在（r，x）∈ （0，T）×（l，h）使得uT=u（1）r，y（r，x），其中y（r，x）定义为满足E[x | y（1）r=y（r，x）]=x的唯一值。特别是，我们可以取r=Rtσσ（u）（ω）du和y（r，x）=Rtσσ（u）（ω）dYu（ω），其中Yu=log（Su）+Ruσ（b）db。当波动性变化时，了解漂移的速度也会变化。推论告诉我们，我们可以将r解释为在恒常性σ下测量的有效学习时间。

该名称的直觉是，即使波动率随时间变化，也可以在具有恒定波动率σ的恒定波动率模型中获得相同的后验分布ut，仅在不同的时间r和不同的价格值S。备注5.3。值得注意的是，推论5.2也适用于任何合理的正波动过程。事实上，使用K allianpur-Striebel公式和时间依赖性（参见第39页的定理2.9，共[8]），引理5.1的证明同样适用于任意正的时间依赖性波动率，并立即得出旋涡的结果。接下来，我们对先验分布u进行方便的技术假设。假设5.4。先验分布u为1。RReauu（du）<∞ 对于某些a>0,2。ψ（·，·）：[0，T]×（l，h）→ 由ψ（t，x）定义：=σE[X | Yt=y（t，X）]- x个=σVarX | Yt=y（t，X）是一个有界函数，在s秒变量中是Lipschitz连续的。特别是，已知所有紧支撑分布以及正态分布都满足假设5.4（见[15]），因此这对于实际应用来说是一个无关紧要的限制。5.2马尔可夫嵌入与两点先验情况类似，我们将通过将最优停止问题（2.5）嵌入马尔可夫ian框架来研究它。推论5.2告诉我们，有效学习时间r和后验均值x充分表征了后验分布，现在，我们可以通过定义马尔可夫值函数v（t，x，r，σ）：=supτ，将最优停止问题（2.5）嵌入到标准马尔可夫框架中∈TT-tEheRτ^Xt，x，r，σt+sdsi，（t，x，r，σ）∈ [0，T]×（l，h）×[0，T]×{σ。