漂移不确定性与制度变迁下的资产清算

，σm}。（5.2）这里的过程^X=^Xt，X，r，σi根据d^Xt+s=σψ（rt+s，^Xt+s）d s+σ（t+s）ψ（rt+s，^Xt+s）d Bt+s，s≥ 0，drt+s=σσ（t+s）ds，s≥ 0，^Xt=x，rt=r，σ（t）=σi；（5.3）给定的^X动力学是推论5.2和恒定波动率情况下^X演化方程的结果（见[15]中的方程（3.9））。此外，在（5.3）中，Bt=Rtσ（u）du+^wt的过程是一个▄P-布朗运动。最后，在（5.2）中，TT-T停止小于或等于T的停止时间集- 关于{Xt，x，r，σit+s}s产生的过滤的通常增强≥0和{σ（t+s）}s≥0、备注5.5。让我们注意到，根据第5.1节的观察结果，如果区域切换波动率被不同的随机波动率过程所取代，那么sameMarkovian嵌入（5.2）对于研究改变的p问题仍然有用。5.3近似程序和主要结果概述在任意先验条件下，也可以应用第3节的近似程序，但是，需要以适当的方式对运算符J和J（n）进行红色定义。我们重新定义了运算符J作用于函数f：[0，T]×（l，h）×[0，T]→ R as（Jf）（t，x，R，σi）：=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，r，σit+sds{τ<ηti}+eRηti^Xt，x，r，σit+sdsft+ηti，^Xt，x，r，σit+ηti，rt，rt+ηti{τ≥ηti}= supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，r，σit+s-λids+ZτeRu^Xt，x，r，σit+s-λidsft+u，^Xt，x，r，σit+u，rt，rt+ηti杜邦（5.4）然后操作员Jif：=（Jf）（·，·，σi）。直观地说，（Jif）表示一个马尔可夫值函数，对应于t+ηti之前的最佳停止，即t之后的第一次波动性变化之前，当t+ηti<t时，支付t+ηti，^Xt，x，r，σit+ηti，rt，rt+ηti收到，前提是尚未停止。

最优停止问题Jif的基本过程是差异（t，^Xt，rt）。第3节和第4节中的大多数结果都很好地推广到了任意先验情况。命题3.1逐字扩展；这些证明是类似的，只是命题3.1（iv）需要使用[15，命题3.6]中ψ的第二个性质。此外，我们还发现，r中f的减少意味着r中Jif的减少，这是由命题3.1（iv）中的百慕大近似论证通过使用[15，命题3.6]中ψ的时间衰减证明的。因此，对于f：[0，T]×（l，h）×[0，T]→ R在第一和第三个变量中减少，同时增加（尽管asx不是太快）∞) 第二个是凸的，存在一个函数（停止边界）bfσi：[0，T）×[0，T）→ [l，0]这两个变量都在增加，因此continuationregion Cfi：{（t，x，r）∈ [0，T）×（l，h）×0，T: （Jif）（t，x，r）>1}（命题3.2中所示的最优性）满足性fi={（t，x，r）∈ [0，T）×（l，h）×[0，T）：x>bfσi（T，r）}。此外，每对（Jif，bfσi）解自由边界问题tu（t，x，r）+σσiru（t，x，r）+σψ（r，x）xu（t、x、r）+σσiψ（r，x）xxu（t，x，r）+（x- λi）u（t，x，r）+λif（t，x，r）=0，如果x>bfσi（t，r），u（t，x，r）=1，如果x≤ bfσi（t，r）或t=t。将运算符J（n）重新定义为（J（n）f）（t，x，r，σi）：=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，r，σit+sds{τ<ξtn}+eRξtn^Xt，x，r，σit+sdsf（t+ξtn，^Xt，x，r，σit+ξtn，rt，rt+ξtn）{τ≥ξtn},至关重要的命题3.5一字不差。此外，函数序列{J（n）1}n≥0是递增的，从下到下以1为界，第一和第三个变量中的每个J（n）1都是递减的，第二个变量x是递增的和凸的。

根据需要，J（n）1v点方向为n∞,因此，值函数v在第一和第三个变量中是递减的，在第二个变量中是递增的和凸的；同样，v是J的固定点。此外，统一近似误差结果（3.20）也适用于紧支撑的先验值（具有异常的重新解释h=s up（suppu））。我们还可以（通过定理4.2（iii）中的类似论证）证明bg（n）iσibσi顺时针为n∞,式中，g（n）i：=Pj6=iλijλij（n）j1，极限bσiis是两个变量中均增加的函数。最后，通过与前面类似的参数，停止时间τ*= 在f{s中∈ [0，T- t） ：^Xt，x，r，σt+s≤ bσ（t+s）（t+s，rt+s）}∧ （T- t） 对于清算问题（2.5）是最优的。备注5.6。波动率越高，对漂移的学习越慢，在假设4.5下，很容易预期值函数v在波动率变量中减小，因此停止边界bσ≤ bσ≤ . . . ≤ bσmalso在无规则先验分布u的情况下。遗憾的是，作者并没有证明（或反驳）这种单调性的非相关性。参考文献【1】Bain，A.、Crisan，D.《随机过滤的基本原理》。随机建模应用概率，60。斯普林格，纽约，2009年。[2] Bayr aktar，E。跳变差有限时域美式PutOption光滑性的证明。《暹罗控制与优化杂志》，第48卷，第2期，2009年，551-572。[3] Bayr aktar，E.、Dayanik，S.、Karatzas，I.《自适应泊松无序问题》。《应用概率年鉴》，第16卷，第3号公告，2006年，1190-1261年。[4] Bayr aktar，E.，Krav itz，R.《离散控制观测的最快速检测》。顺序分析，第34卷，第1期，2015年，77-133。[5] Bayr aktar，E.关于具有跳跃的水平依赖波动性模型的永久美式看跌期权。《定量金融》，第11卷，第1期。

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