依赖于卷的Almgren-Chriss中的一个最优执行问题

这意味着我们的模型（2.1）–（2.7）也可以被视为具有随机时钟的AC框架中的最优执行问题，只要永久MIfunction是线性的。在附录B中，我们从另一个角度研究了我们的模型，即永久MI函数明确依赖于交易量vt.4主要结果4.1解析解和相应的验证理论。首先，我们提供了一个验证定理，该定理有助于找到问题的自适应最优执行策略（2.8）。因为交易量处理（vt）0≤t型≤假设总是正的，则描述对数体积过程的动态Yt：=对数VT，而不是VT本身的动态是有用的。因此，在本小节中，我们假设Yt满足以下随机微分方程（SD E）：dYt=b（t，Yt）dt+σ（t，Yt）dBt，其中b，σ：[0，t]×R-→ R是Borel可测函数。请注意（vt）0≤t型≤Tsatis fies the following SDE:dvt=^b（t，vt）dt+^σ（t，vt）dBt，其中^b（t，v）=v（b（t，log v）+σ（t，log v）/2）和^σ（t，v）=vσ（t，log v）。我们列出以下条件。直觉上，当交易量变大时，永久MI的成本似乎很小。粗略地说，这种直觉适用于凸g，但不适用于凹g。实际上，我们可以将（3.7）中的永久MI项改写为ztg（xr/vr）vrdr，以及被积函数g（x/v）v相对于vis g（x/v）的竞争关系- （x/v）g′（x/v），当g为凸（凹）时，为非正（非负）。这里，为了简洁起见，我们假设g是光滑的。注意，如果g是线性的，则每平方米项与交易量无关。

然而，即使在这种情况下，由于临时MI的期限，大量交易也会减少价格的下跌。b和σ是有界的，并且是Lipschitz连续的，也就是说，存在一个正常数，使得| b（t，y）|+|σ（t，y）|≤ K、 | b（t，y）- b（t，y′）|+|σ（t，y）- σ（t，y′）|≤ K | y- y′|对于每个t∈ [0，T]和y，y′∈ R、 [A2]对于每个λ>0，存在一个函数Wλ∈ C1,2（[0，T]×（0，∞)) 使得（i）Wλ是以下偏微分方程（PDE）的经典解：tWλ+^b（t，v）vWλ+^σ（t，v）vWλ=v（Wλ），Wλ（T，v）=λv；（4.1）（ii）存在正常数Cλ和mλ，使得0≤ Wλ（t，v）≤ Cλ（1+vmλ+v-mλ）。（4.2）[A3]存在p>2，因此EZTsupλ>0（xλt）pdt< ∞,其中xλ=（xλt）0≤t型≤定义的asxλt=Xexp-ZtvsWλ（s，vs）dsvtWλ（t，vt）。（4.3）那么我们有以下定理。定理1。假设[A1]–[A3]。那么极限x∞t=limλ→∞xλtexists dt d P-a.e.和它保持x∞= （十）∞t） 0个≤t型≤T∈ A（X）。此外，x∞是（2.8）的优化器，即x∞是适应性最优执行策略。定理1的证明在附录A中给出。注意，如附录A中所证明的，foreachλ>0，xλ=（xλt）0≤t型≤（4.3）定义的Tde是以下随机控制问题的优化器：Jλ（X）=infx∈A（X）EZTxtvtdt+λvTXT, （4.4）式中，A（X）是一组无销售条件的适应性策略，即A（X）=x=（xt）0≤t型≤T（英尺）0≤t型≤T-自适应，xt≥ 0和ZTXTDT≤ Xa。s.此外，它认为jλ（X）=XWλ（0，v）（4.5）（详见附录A）。请注意，（4.5）意味着Wλ（0，v）=Jλ（1），因此Wλ表示与优化问题（4.4）相对应的值函数，当交易人只有一份股份可出售时。显然，A（X）是▄A（X）的子集。因此，它认为jλ（X）≤ J（X），λ>0。（4.6）直觉上，最优策略x∞对于值函数，J（X）作为优化器Xλ的极限Jλ（X）。

因此，如果我们为每个λ找到（4.1）的解，我们可以通过（4.3）显式构造（2.8）的优化器，并让λ→ ∞. 另请注意，极限W∞（t，v）≡ limλ→∞Wλ（t，v）对于每个（t，v）都存在∈ [0，T）×（0，∞) （我们应该注意W∞（T，v）发散）和T hat x∞如果我们将λ替换为∞. 此外，我们还有以下普通微分方程，用于分配股份的过程∞t=X-Ztx公司∞sds：x∞t=-˙X∞t=X∞tvtW公司∞（t，vt），0≤ t<t.（4.7）事实上，一个简单的计算得出∞t=X-Ztx公司∞sds=X1.-Ztexp公司-ZsvrW公司∞（r、vr）drvsW公司∞（s，vs）ds= Xexp-ZtvtW∞（t，vt）dt,因此我们可以写x∞t=X∞tvtW公司∞（t，vt）对于每个t∈ （2.6）中，我们要求（xt）0的非负性≤t型≤T、 这意味着我们不考虑在销售计划期间购买证券的可能性。这种设置很自然，因为我们的重点是销售执行问题。的确，x∞在定理1中，由于假设Wλ，实际上为非负≥ [A2]（ii）中的0。然而，在一些执行模型中，最优销售执行计划包括采购订单（例如，见Alfonsi、Schied和Slynko（20 12））。此外，有一种情况是，最优执行策略在买卖订单之间波动。这一问题与“交易引发的价格操纵”的概念有关（见Gatheral和Schied（2013）中的定义22.2）。因此，考虑负xt的可能性是有意义的。

此外，在附录B中，我们面临的情况是，最优销售策略包含购买订单。事实上，我们可以放宽受理条件asA（X）=x=（xt）0≤t型≤T∈^A（0，X）；ZTxtdt=Xa。s, （4.8）其中^A（t，X）=x=（xs）t≤s≤T（Fs）t≤s≤T-适应，essinfs，ωxs（ω）>-∞ ANDZTXSD≤ X a.s。.（4.9）注意，对于每个x=（xt）0≤t型≤Tin（4.8），过程（Xt）0≤t型≤（2.1）定义的Tde基本上是有基础的（见附录B中的引理2）。因此，我们从可接受的策略中排除了强烈振荡的执行策略（4.8）。为了简洁起见，我们采用（2.6）作为可接受的策略类别，但我们强调，当我们将A（X）的定义替换为（4.8）时，我们的主要结果是有效的。类似地，处理最优策略x∞取负值，我们可以将（4.2）概括如下：-C′≤ Wλ（t，v）≤ Cλ（1+vmλ+v-mλ），（4.10），其中C′是一个与t、v和λ无关的常数。4.2示例：依赖时间的ent Black-Scholes模型在本小节中，我们考虑依赖时间的Black-Scholes模型，即B（t，v）=bt，σ（t，v）=σt（4.11）作为确定性有界Borel可测函数给出的酪蛋白。定理2。假设（4.11）。那么它认为j（X）=XvZTexp公司Zt（bs- σs/2）dsdt公司-1、此外，战略x∞= （十）∞t） 0个≤t型≤Tde定义的byx∞t=Xexp-RTt（bs- σs/2）dsRTexp-RTs（br- σr/2）drDSA是（2.8）的优化器。证据我们可以通过wλ（t，v）=v的简单计算来验证条件[A1]–[A3]ZTtexpZst（br- σr/2）drds+λexpZTt（bs- σs/2）ds-1，Jλ（X）=XWλ（0，v），Xλt=Xλexp-RTt（bs- σs/2）ds1+λRTexp-RTs（br- σr/2）drds。我们的断言是通过定理1得到的。请注意，x∞与预期的VWAP执行策略一致，它认为^Jadap（X）=^Jstat（X）。备注5。

我们可以将上述结果推广到▄g为（3.6）且k（v）=γv的情况-β对于某些β≥ 0和γ>0，交易量过程满足vt=(R)utexpZtσsdBs对于某些连续正函数（(R)ut）0≤t型≤Tand有界borelmeasureable函数（σt）0≤t型≤T、 在这种情况下，我们看到∞t=Xexpβ2αRTtσsds\'\'uβ/αtRTexpβ2αRTsσrdr\'uβ/αsds，也等于（扭曲的）预期VWAP策略，它认为^Jadap（X）=^Jstat（X）。细节留给读者。4.3自适应最优策略的渐近展开在第4.1节中，我们引入了验证定理，以便于推导（2.8）的非优化因子。此外，在第4.2节中，我们使用广义Black-Scholes模型获得了自适应优化问题的解析解。然而，在一般情况下，仍然很难找到最佳策略。如果（vt）0≤t型≤这是确定性的，最优策略显然是预期的VWAP策略^xstat。因此，我们考虑导出关于^xstat的渐近展开公式。请注意，本小节中的论点仅为正式论点；在未来的工作中，我们打算寻求主题公正。我们考虑以下小参数ε>0的扰动体积过程：vt=(R)utexpεZ0,0t,其中（(R)ut）0≤t型≤这是一个确定的连续正函数和（Zt，zs）t≤s≤这是一个满足以下SDE的stocha-sticprocess：dZt，zs=α（s，Zt，zs）ds+β（s，Zt，zs）dBs，Zt，Zt=zf，用于一些适当的函数α（s，z）和β（s，z）。这里，术语εZt，zs描述了交易量过程中的一个小噪音。设Wε，λ（t，z）为以下偏微分方程的经典解：tWε，λ+α（t，z）zWε，λ+β（t，z）zWε，λ=？uteεz（Wε，λ），Wε，λ（T，z）=λ。（4.12）注意，Jε，λ（X）=XWε，λ（0，0）作为以下值函数给出：Jε，λ（X）=infx∈A（X）EZTxtvtdt+λXT.我们很容易看到W0，λ（t，z）=W0，λ（t）=（(R)UT-\'\'Ut+1/λ）-1，其中“Ut=Zt”usds。

对于小ε>0，我们考虑了形式展开式wε，λ（t，z）=W0，λ（t，z）+εI1，λ（t，z）+εI2，λ（t，z）+··（4.13）。用（4.13）代替（4.12），我们正式获得t+α（t，z）z+β（t，z）zW0，λ+εI1，λ+εI2，λ+··= “”ut1+εz+εz+···W0，λ+εI1，λ+εI2，λ+··.展开两边，比较ε和ε的系数，我们得到tI1，λ+α（t，z）zI1，λ+β（t，z）zI1，λ=z？ut（W0，λ（t））+2？utW0，λ（t）I1，λ，tI2，λ+α（t，z）zI2，λ+β（t，z）zI2，λ=(R)utz（W0，λ（t））+2zW0，λ（t）I1，λ（t，z）+（I1，λ（t，z））+ 2'utW0，λ（t）I2，λ和I1，λ（t，z）=I2，λ（t，z）=0。然后，我们应用Feynman–Kac公式得到I1，λ（t，z）=-EZTtZt，zs（W0，λ（s））(R)使用xp-2ZstW0，λ（r）’urdrds公司,I2，λ（t，z）=-E“ZTtn（Zt，zs）（W0，λ（s））+2Zt，zsW0，λ（s）I1，λ（s，Zt，zs）+（I1，λ（s，Zt，zs））o×’usexp-2ZstW0，λ（r）’urdrds#。出租λ→ ∞, 我们得到以下形式展开式：Wε（t，z）=UT-\'Ut+εI（t，z）+εI（t，z）+··，（4.14），其中I（t，z）=-（(R)UT-\'Ut）ZTtm（s，t，z）\'usds，I（t，z）=-（(R)UT-Ut）ZTtA（s，t，z）+A（s，t，z）- 2A（s、t、z）\'usds，m（s，t，z）=E[Zt，zs]，A（s，t，z）=E[（Zt，zs）]，A（s，t，z）=（\'UT-“美国）E”ZTsm（r、s、Zt、zs）–urdr#,A（s、t、z）=UT-“UsZTsE[Zt，zsm（r，s，Zt，zs）]”urdr。用（4.14）代替（4.7），我们得到以下最优自适应策略的二阶近似公式：x∞t=X∞tvtWε（t，Z0,0t）≈ 十、∞tvt“”UT-\'Ut+εI（t，Z0,0t）+εI（t，Z0,0t）, （4.15）或相当于x∞t型≈ Xexp-ZTV“”UT-\'Us+εI（s，Z0,0s）+εI（s，Z0,0s）ds公司×vt“UT-\'Ut+εI（t，Z0,0t）+εI（t，Z0,0t）.为了将符号与^xantand^xstat对齐，我们还表示^xadap=（^xadapt）0≤t型≤T=（x∞t） 0个≤t型≤T、 我们还得到了^Jadap（X）：^Jadap（X）的近似公式≈ 十、κ+～κ\'UT+εI（0，0）+εI（0，0）.再次注意，上述推导只是形式上的，因此在此阶段无法保证近似值的准确性。

因此，我们通过数值实验检验了近似自适应最优策略的准确性和性质。我们考虑了噪声过程遵循Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程的情况，即α（t，z）=-ρz和β（t，z）≡ σ对于某些常数ρ，σ>0。在这种情况下，近似项为asI（t，z）=-z（(R)UT-Ut）ZTte-ρ（s-t） \'\'usds，I（t，z）=-（(R)UT-Ut）ZTtze公司-2ρ（s-t） +σ2ρ（1- e-2ρ（s-t） （）^Us-(R)usds，其中^Us=1-“”UT-\'\'UsZTse-ρ（r-s） \'\'urdr。我们将参数设置为κ=0.0001、？κ=0.01、T=1、X=10和σ=0.3。对于ρ，我们检查ρ=0.3、2和5的三种模式。在区间[0,1]中选择参数ε。我们还假设“ut”始终为100。我们使用涉及Theuler–Maruyama近似的数值计算来比较三种执行策略的性能，即预期VWAP策略（3.4）、自适应（近似）最优策略（4.15）和精确VWAP策略（3.3）。首先，我们研究ρ=0.3的情况。当ρ很小时，过程（vt）以类似于几何布朗运动的方式发生变化，因此^Jadap（X）的值预计将小于^Jstat（X）（见定理2）。结果总结在图中。1，我们看到^Jadap（X）与^Jstat（X）非常相似。这一结果表明，即使ε接近1，我们的近似方法也是准确的。有趣的是，尽管^xadap的预期成本接近^xstat，但这些策略的形式有所不同。图2显示了ε=0.3的三种策略^xstat、^xadap和^xantf的示例路径。^xadap的波动与^xants的波动比^xstat的波动更为相似，尤其是当t很小时。只要我们遵循适应性投资策略，我们就无法观察到VT的最终值。因此，当t接近t=1时，^xadaptdt的波动变得稳定，以符合销售条件zt^xadaptdt=X。

作为一个序列，在这种情况下，相对于^Jstat（X），^xadap无法改善预期的IS成本。1.50%1.51%1.52%0.2 0.4 0.6 0.8图1：通过参数ε，与静态/自适应/预期最优策略相对应的预期成本∈ [0，1]对于ρ=0.3。垂直轴与成本值相对应（实线：^Jadap（X）；菱形破损虚线：^Jstat（X）；da棚线：^Jant（X））。水平轴对应于t oε。0 0.2 0.4 0.6 0.8图2：ρ=0.3和ε=0.3时静态/自适应/预期最优策略的样本路径。纵轴对应于每个策略的执行速度（实线：^xadap；菱形虚线：^xstat；虚线：^xant）。横轴与时间t相对应。接下来，我们研究ρ=2和5的情况。图3显示了ρ=2（左）和5（右）时^Jstat（X）、^Jadap（X）和^Jant（X）值的比较。在这些情况下，我们发现当ε较大时，^Jadap（X）明显小于^Jstat（X）。特别是，随着平均回复速度参数ρ的增加，^Jadap（X）和^Jstat（X）之间的差异变得更加明显。这是因为，当vt波动较大时，预计vt将迅速接近平均回复水平；自适应策略可以考虑这些信息。因此，在这些情况下，自适应优化比静态优化效果更好。图4显示了与最优策略相对应的样本pat hs。与ρ=0.3的情况一样，我们观察到^xadap与^xantt协同作用，直到时间t接近销售时间t。1.498%1.500%1.502%1.504%1.506%1.508%1.510%0.2 0.4 0.6 0.8 11.498%1.500%1.502%1.504%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1图3：通过参数ε与静态/自适应/预期最优策略相对应的预期成本∈ [0，1]（左：ρ=2；右：ρ=5）。

与成本值相对应的垂直轴（实线：^Jadap（X）；菱形标记虚线：^Jstat（X）；虚线：^Jant（X））。水平轴对应于ε。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8图4：ε=0.3（左：ρ=2；右：ρ=5）的静态/自适应/预期最佳策略的样本模式。垂直a x对应于每个策略的执行速度（实线：^xadap；菱形标记虚线：^xstat；虚线：^xant）。横轴与时间t.5的结论相对应。在本研究中，我们在广义AC模型中处理了最优执行问题，使得临时MI函数取决于市场交易量。我们使用验证定理推导了一个自适应最优执行策略，并且作为一个应用，我们表明，当交易量过程为依赖时间的Black-Scholes模型时，预期的VWAP策略是最优的。在对风险中性交易者的最优执行问题的研究中经常会发现这一点（例如，Alfonsi、Fruth和Schied（2010）、Gathereal和Schied（2011）、Ka t o（20 14a）、K uno和Onishi（2010）以及Schied和Zhang（201 3）），自适应最优策略是由确定性过程给出的。因此，几乎没有动机通过使用市场数据随时间随机变化的当前信息更新执行速度来构建动态战略。在依赖时间的Black-Scholes框架中，这种现象也适用于我们的情况。然而，我们的数值实验表明，自适应最优策略通常不是静态的。当交易量过程为几何OU过程时，与静态优化相比，动态（自适应）优化改进了预期成本。

特别是，当平均回复速度较高时，我们观察到^Jadap（X）和^Jstat（X）之间存在明显差异。如备注3所述，我们的模型可以解释为在体积时间线上定义的AC模型。要看到这一点，g的线性度至关重要。此外，如备注1和5所述，我们的结果也适用于一般形状为g的形式（3.6），而我们无法避免g在任何情况下的线性。然而，加藤（2014a，b，2015，2017）成功地解决了MI函数为非线性的最优执行问题。面临的挑战是研究具有依赖于市场交易量的非线性g形式的AC模型。定理1的证明在这一节中，我们总是假设[A1]–[A3]。对于v±mt.lemma 1，[A1]和Krylov（1980）中的推论2.5.10立即得到了以下引理。每m≥ 1，存在常数Cm>0，因此esup0≤t型≤Tvmt公司≤ Cm（1+vm），Esup0≤t型≤电视-mt公司≤ 厘米（1+v-m） 。定义λ（t，X，v）=infx∈A（t，X）E“ZTtxsvsds+λvt十、-ZTXSDS#,其中（vs）t≤s≤这是一个解决方案todvs=^b（s，vs）ds+^σ（s，vs）dBs（s≥ t） ，vt=vand▄A（t，X）=x=（xs）t≤s≤T（Fs）t≤s≤T适应，xs≥ 0和ZTXSD≤ X a。s.我们还将Jλ（t，X，v）=XWλ（t，v）。提案1。Jλ（t，X，v）≥\'Jλ（t，X，v）。证据修复任意x∈A（t，X）和setXs=X-Zstxrdr，t≤ s≤ T、 （A.1）对于每个r>0，设置τr=inf{s≥ t；|对数vs|≥ R} （infφ≡ ∞). 应用伊藤公式，wesee thatZT∧τRtxsvsds+(R)Jλ（T∧ τR，XT∧τR，vT∧τR）=Jλ（t，X，v）+ZT∧τRt“(s+^bv+^σv） \'Jλ（s，Xs，vs）+xsvs- xs型X'Jλ（s，Xs，vs）#ds+（鞅），（A.2），包括“∞ = ∞” （请注意，上述等式的双方可能会偏离∞因为xs/vs的积分≥ 0）。我们注意到thatxv- x个X'Jλ（s，X，v）=vx个- vXWλ（s，v）- vX（Wλ（s，v））≥ -每个x的vX（Wλ（s，v））（A.3）≥ 0（请注意，（A.3）对于所有x也是有效的∈ R） 。