依赖于卷的Almgren-Chriss中的一个最优执行问题

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英文标题：
《An Optimal Execution Problem in the Volume-Dependent Almgren-Chriss
  Model》
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作者：
Takashi Kato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this study, we introduce an explicit trading-volume process into the Almgren-Chriss model, which is a standard model for optimal execution. We propose a penalization method for deriving a verification theorem for an adaptive optimization problem. We also discuss the optimality of the volume-weighted average-price strategy of a risk-neutral trader. Moreover, we derive a second-order asymptotic expansion of the optimal strategy and verify its accuracy numerically.
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中文摘要：
在本研究中，我们在Almgren-Chriss模型中引入了一个显式的交易量过程，这是一个用于优化执行的标准模型。我们提出了一种惩罚方法来推导自适应优化问题的验证定理。我们还讨论了风险中性交易者的成交量加权平均价格策略的最优性。此外，我们还推导了最优策略的二阶渐近展开式，并在数值上验证了其准确性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_Optimal_Execution_Problem_in_the_Volume-Dependent_Almgren-Chriss_Model.pdf (478.08 KB)

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关键词：Almgren Chris chri Iss CHR

依赖于卷的Mgren-Chriss模型中的一个最优执行问题Takashi Kato*第一版：2017年1月31日本版：2017年8月24日摘要在本研究中，我们在Almgren–Chriss模型中引入了一个明确的交易量过程，这是一个用于优化执行的标准模型。我们提出了一种惩罚方法，用于推导自适应优化问题的验证定理。我们还讨论了风险中性交易者的成交量加权平均价格策略的最优性。此外，我们还推导了最优策略的二阶渐近展开式，并在数值上验证了其准确性。关键词：最优执行问题、市场交易量、成交量加权平均价格（VWAP）、市场影响1简介在过去二十年中，最优执行问题一直是数学金融领域的重要研究课题。Bertsimas和Lo（1998）撰写了关于最佳执行的开创性论文，Almgren和Chris（200 0）提出的模型在理论和实践上都被称为标准模型。Gatherel和Schied（2013）对解决执行问题的动态模型进行了调查。在研究执行问题时，我们必须考虑市场影响（MI），即交易者的投资行为对证券价格的影响。一些研究提出了具有永久/临时MI功能的最佳执行模型（有关永久/临时MIs的详细信息，请参阅Almgren和Chriss（2000），Gathereal和Schied（2013），以及Holthausen、Leftwich和Mayer（1987）。市场交易量（营业额）作为金融市场活动的代表性指标，是执行问题的另一个重要因素。这是尽管事实上，一些经典研究并不太关心它。如果交易量很大，证券的流动性就很高，交易者可以很容易地清算证券的股票。

作为一种利用交易量的执行策略，交易量加权平均价格（VWAP）策略是众所周知的*数学金融实验室协会（AMFiL），日本千代田市小町2–10号，东京102-0 083。电子邮件：takashi。kato@mathfi-lab.comand在实践中得到广泛应用（见Madhavan（2002））。VWAP策略是一种执行策略，其执行速度与相关证券的交易量成比例。Frei和Westray（2013）、Gu’eant和Royer（2014）以及Konishi（2002）将如何最小化VWAP滑动（即VWAP策略的复制成本）问题视为一种随机控制问题。尽管VWAP策略是一种标准的执行策略，但仍不清楚为什么它在o pt ima l execution的血液学理论方面有效。一种分类是在“体积加权时间线”上考虑执行问题Gat heral和Schied（2013）在其评论22.7中指出，“[具有恒定执行速度的策略]可以被视为sa VWAP策略，……时间参数t不测量物理时间，而是测量体积时间，这是订单执行和市场影响文献中的标准假设。”然而，我们不应忽视市场交易量过程的不确定性：在未来的时间范围内，我们无法捕获一只证券将交易多少股。Kato（2016）引入了一个明确的市场交易量过程作为随机过程，并表明涉及预期执行成本最小化问题的最优策略实际上是VWAP策略。

这是Black-Scholes模型给出的一般形状和证券价格波动的MI函数。相比之下，Kato（2015）研究了VWAP策略在配备了体积相关临时MI功能的广义Almgren–Chriss（AC）模型中是否是最优的。正如该研究所述，当交易者是风险中性的，并且我们的可接受策略是静态的（即确定性的）或预期的（即取决于未来的信息）时，VWAP策略是最优的。然而，将该论点推广到一个标准的自适应优化问题上的注意力有限。在本研究中，我们提出了一种简单的惩罚方法，为广义AC模型中的自适应优化问题提供了验证型定理。例如，我们给出了加藤（2015）启发式得出的结果的广义版本。该结果表明，在时变Black-Scholes框架下，预期的VWAP策略是最优的。我们还提供了自适应最优策略（say^xadap）的二阶渐近展开式。当市场交易量符合几何奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程时，我们将^xadap的绩效与加藤（2015）定义的预期/精确VWAP策略进行了数值比较。这里，预期（对应，精确）VWAP策略，比如^xstat（对应，^xant），是静态（对应，预期）最优执行问题的解决方案。我们的数值结果总结在图中。1–4。我们发现，当交易量的平均回复速度较低时，^xadap的波动与^xantuntilclose的波动非常相似，直至最终时段（注意，^xanti的波动与市场交易量过程的波动完全成比例：见第3节（3.3））。

这也意味着^xadapdap的形式与^xstat的形式不同：^xstatis determinative and not flucted randocally。然而，对应于^xadap的执行成本与^xstat产生的执行成本相差不大，这在实践中很容易实现。相反，当平均恢复速度较高时，我们不仅看到^xadap的形式明显不同于^xstat的形式，而且自适应优化比静态优化的执行成本更低。这些结果表明，当市场交易量过程具有很强的均值回复特性时，交易者在构建^xadapto时有动机花费精力来改进执行算法。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将介绍我们的基本模型设置。在第3节中，我们列出了VWAP执行策略的定义，并讨论了它们的合理性。在第4节中，我们介绍了我们的主要结果。我们在第5节总结本文。附录A总结了定理1的证明。在附录B中，我们讨论了一个较小的推广，其中永久和临时MI函数都取决于市场交易量。2模型设置在本节中，我们介绍我们的最优执行问题模型。我们的模型基于Almgren和Chriss（2000）提出的AC模型以及Gatheral和Schied（2011）和Schied（2013）提出的广义AC模型。我们假设存在一个由无风险资产（称为现金）和风险资产（称为证券）组成的金融市场。现金价格固定为1，而证券价格随机波动。为了描述这些价格波动，我们引入了概率模型。让T>0，让(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）为随机基，设（St）0≤t型≤Tbe a c\'adl\'ag（英尺）0≤t型≤T-鞅满足[sup0≤t型≤T | St |]<∞. 在这里，STI被视为时间t时证券的未受影响价格。

当没有MI时，我们可以用安全性换取价格St。为简洁起见，我们假设F是平凡的，即所有F-可测随机变量几乎都是常数。接下来，我们引入一个在初始时间t=0时拥有X份证券的交易员。交易员必须在固定时间范围t>0之前清算所有股票。executionstrategy x=（xt）0≤t型≤这是一个随机过程。这里，Xt表示时间t的执行速度。证券的剩余份额为Xt=X-Ztxrdr。（2.1）在给定的执行策略下x=（xt）0≤t型≤T、 证券价格定义如下：St=St-Ztg（xr）dr- g（vt，xt），（2.2），其中g（resp.，g）是永久（resp.，g）MI函数，（vt）0≤t型≤Tis a正极（Ft）0≤t型≤描述瞬时市场交易量过程的T适应过程。在本研究中，假设g是一个线性函数，即对于某些κ>0，g（x）=κx。这一假设在一些相关研究中是标准的，如Almgren和Chris（2000）、Bertsimas和Lo（1998）、Cheng、Giacinto和Wang（2017）、Gatherel和Schied（2011）、Kato（2011）和Schied（2013）。请注意，首先假设g的线性是为了其可跟踪性，thatAlmgren等人（2005a，b）从经验的角度提出了其有效性。此外，Gatheral（2010）从经济学角度证明了这一点，即只有当g为线性时，市场才允许无动态套利（换句话说，无价格操纵）。相比之下，加藤（2014a，b）专注于g的非线性版本，并用凸/S形MI函数构建了优化执行的数学模型。Alfonsi、Fruth和Schied（2010）、Gu’eant（2014）和Kato、Ogihara和Takada（2014）从经济学和实证角度讨论了g的非线性。临时MI功能▄g取决于执行策略XT和交易量VT。

随着交易量的增加，临时MI自然会减少，因为交易量大意味着市场流动性高。其中一个最简单的设置是，g（vt，xt）与x成正比，与vt成反比。因此，为了简单起见，我们采用以下形式的▄g：▄g（v，x）=▄κxv，（2.3），其中▄κ>0。接下来，我们定义我们的目标函数。对于给定的x，实施差额（IS）成本定义为asC（x）=SX-ZTStxtdt。（2.4）将（2.2）代入（2.4）并应用分部积分，我们得到c（x）=κx-ZTXtdSt+￠κZTxtvtdt，（2.5），其中（Xt）在（2.1）中定义。我们现在定义了一套可行的策略：a（X）=x=（xt）0≤t型≤T（英尺）0≤t型≤T-自适应，xt≥ 0和ZTXTDT=Xa。s. （2.6）请注意，上述右侧的最终相等表示卖出条件XT=0，即禁止交易员在时间范围T内持有任何剩余证券。我们将A（X）中的一个元素称为“适应性策略”，以区别于下面给出的其他类型的策略。还要注意xt≥ 0表示x不包含任何采购订单。有关此条件的详细信息，请参见第4节中的备注4。我们准备将优化问题定义为最小化预期成本的问题：^Jadap（X）=infx∈A（X）E[C（X）]。（2.7）从（2.5）中，我们可以很容易地看到上述问题等价于j（X）=infx∈A（X）EZTxtvtdt. （2.8）事实上，它认为^Jadap（X）=κX/2+～κJ（X）。3 VWAP战略在本节中，我们简要介绍VWAP执行战略。此外，我们回顾了加藤（2015）的研究结果，以验证VWAP策略在某些情况下的最优性。我们说x=（xt）0≤t型≤如果保持tha txt=γvt，t，则为VWAP策略∈ [0，T]a.s.（3.1），对于某些γ>0。这里，γ被称为市场参与率。

请注意，如果x是VWAP战略，则交易对手的执行VWAP SvwapT（x）与市场VWAP SvwapT一致：SvwapT（x）=RTStxtdtRTxtdt，SvwapT=RTStvtdtRTvtdt（详见加藤（2015））。我们注意到，任何（自适应）容许策略x∈ A（X）不能成为严格意义上的VWAPstrategy。事实上，如果x满足（3.1），sell-o-off条件XT=0立即意味着γ=x/VT，这与XT的假设相矛盾∈ Ft，其中VTI累积交易量过程：Vt=Ztvrdr，t∈ [0，T]。（3.2）然而，我们重视VWAP战略，将其作为适当执行战略的“基准”。实际上，正如加藤（2015）定理3所述，策略^xant=（^xantt）0≤t型≤T、 ^xantt=XvtVT，T∈ [0，T]（3.3）是“预期”优化问题的解决方案^Jant（X）=infx∈Aant（X）E[C（X）]，其中Aant（X）是（^Ft）0的集合≤t型≤T-适应过程满足ztxtdt=X。此处，（^Ft）0≤t型≤定义为^Ft=GT∨Ht，其中（Gt）0≤t型≤T（分别，（Ht）0≤t型≤T） 是由（vt）0生成的过滤≤t型≤T（分别），（St）0≤t型≤T） 。我们将该策略（3.3）称为“精确的VWAP策略”如果我们可以在时间t=0时使用随机变量vt的全部信息，则精确的VWAP策略在最小化预期成本的意义上是最优的。然而，在时间t=t之前不可能观察到VT，因此我们无法在实践中实施准确的VWAP策略。作为（3.3）的替代，我们定义了^xstat=（^xstat）0≤t型≤T、 ^xstatt=XutUT，T∈ [0，T]，（3.4），其中ut=Ev-1吨-1，UT=ZUTDT。严格的s峰值，为了显示xantfor^Jant（X）的最优性，我们需要一个附加条件，例如，（Gt）0≤t型≤Tand（Ht）0≤t型≤皮重独立。我们省略了这里的细节，因为本文的主要内容是自适应优化问题。这里，UT给出了随机变量vt的调和平均值。

我们将（3.4）给出的策略称为“预期VWAP策略”这是一种静态（即确定性）策略，因此我们可以仅在初始时间使用信息来构建它。Kato（2015）中的定理4表明，预期的VWAP策略是静态优化问题的解决方案^Jstat（X）=infx∈Astat（X）E[C（X）]，其中Astat（X）是一组X∈ A（X）使得Xt是非随机的。注意，这些结果不需要体积过程（vt）0的任何显式模型≤t型≤T、 此外，对于未受影响的价格过程（St）0≤t型≤T、 我们只假设马氏体的性质。因此，在AC模型框架下，精确/预期VWAP策略的最优性是鲁棒的。至于自适应优化问题（2.7）–（2.8），K ato（2015）中的结果要求（vt）0≤t型≤几何布朗运动：dvt=udt+σdBt，v>0。（3.5）此处，u∈ R和σ>0是常数，（Bt）0≤t型≤Tis一维（Ft）0≤t型≤T-布朗运动。加藤（2015）的定理6暗示，在没有详细证明的情况下，作为自适应优化问题的解决方案，预期的VWAPstrategy仍然是最优的，即^Jadap（X）=^Jstat（X）=E[C（^xstat）]。因此，在这种特殊情况下，我们无法通过将可接受策略类从Astat（X）扩展到Aadap（X）来提高执行成本。备注1。注：上述结果可推广为▄g表示为▄g（v，x）=k（v）xα，（3.6），其中α>0为常数，k为正连续函数。在这种情况下，静态/预期问题的最优策略不再是VWAP策略。在加藤的R emark 5（2015）中，我们将这些策略称为“扭曲的VWAP策略”备注2。

当VT为常数时，最优策略是以恒定速率出售（即xt=X/T；这是原始AC模型中优化问题的精确解）。这种策略称为时间加权平均价格（TWAP）策略。在Kat o（2014a，b，2016，2017）中，我们发现类似的结果表明，当永久MI函数为非线性时，TWAP策略是风险中性交易者的最佳策略。备注3。如备注2所述，TWAP策略在原始ALAC模型中是最优的，不考虑市场交易量。在这里，我们通过引入“音量时间（stocha stic clock）”的概念（seeAn\'e和G eman（2000）、Geman（2008）、a和Veraat以及Winkel（2010））对我们的模型进行了另一种解释，类似于Kato（2016）。我们使用（2.1）、（2.4）和（2.7）来定义最小化预期成本问题的价值函数。然而，我们假设证券价格过程由t=~SVt给出，而不是由（2.2）给出-Ztg公司xrvr公司数字录像机- ^gxrvr公司, （3.7）其中（▄S▄t）▄t≥0是一致可积（~F ~t≥0）~t≥0-鞅和过滤（~Ft）~t≥0由▄F▄t=FV给定-1t（注意V-1▄t：=inf{t≥ 0；Vt公司≥t}∧ T为（Ft）0≤t型≤T-每个固定T）的停止时间。这里，g（r esp.，^g）是关于瞬时市场参与率xt/vt的永久（分别，临时）MI函数。我们将累积交易量过程vt视为交易量时间：vt增长越快，时间流逝越快。未受影响的安全公关流程在数量时间轴上而不是在物理时间轴上进行标记。永久MI也根据体积时间增量dVtrather比dt累积。很容易看出进程（St）0≤t型≤由St确定的Tde=~SVtis an（英尺）0≤t型≤T-鞅。因此，当g是一个线性函数时，（3.7）可以通过用^g（xt/vt）替换g（vt，xt）重写为（2.2）。