依赖于卷的Almgren-Chriss中的一个最优执行问题

结合[A2]和（A.2），我们得到ZT公司∧τRtxsvsds+E\'Jλ（T∧ τR，XT∧τR，vT∧τR）≥\'Jλ（t，X，v）。（A.4）它从引理1起成立→∞τR≥ 因此，（a.4）左侧的第一项收敛于脚趾ZTt（xs/vs）ds作为R→ ∞ 利用单调收敛定理。至于第二学期，我们观察到\'Jλ（T∧ τR，XT∧τR，vT∧τR）= λEXTvT；τR≥ T+E\'Jλ（τR，XτR，vτR）；τR<T,那是XTvT；τR≥ T-→EXTvT公司, R→ ∞而那0≤E\'Jλ（τR，XτR，vτR）；τR<T≤ XCλE1+支持≤s≤Tvmλs+支持≤s≤电视-mλs{τR<T}-→ 0，R→ 利用引理1和支配收敛定理。将这些与（A.4）相结合，我们得到ZTtxsvsds+λXTvt≥\'Jλ（t，X，v）。由于x是任意的，我们得到了断言。提案2。Jλ（t，X，v）≤\'Jλ（t，X，v）。证据Setxλs=X exp-ZstvrWλ（r，vr）drvsWλ（s，vs）。那么xλ=（xλs）t≤s≤Tis（Fs）t≤s≤T-自适应，非负，andXλs：=X-Zstxλrdr=X exp-ZstvrWλ（r，vr）dr≤ 十、 t型≤ s≤ T、 因此xλ∈A（t，X）保持不变。我们观察到X'Jλ（s，Xλs，vs）=XλsvsWλ（s，vs）=Xλsto到达（Xλs）vs- xλsX'Jλ（s，Xλs，vs）=-vs（XλsWλ（s，vs））。（A.5）通过与命题1证明中相同的计算，将（A.3）替换为（A.5），我们看到jλ（t，X，v）≤EZTt（xλs）vsds+λvtXλs=\'Jλ（t，X，v）。从Pro位置1和2，我们得到（4.5），我们看到xλ∈由（4.3）定义的A（0，X）是Jλ（X）的优化器。根据定义，我们可以看到每个（t，v）∈ [0，T）×（0，∞), 函数族swλ（t，v）=Jλ（t，1，v），λ>0，是非负的，且单t 1相对于λ增加。此外，它认为supλWλ（t，v）<∞. 实际上，设置x=（xs）t≤s≤T∈ A（t，1）asxs=1/（t- t） ，我们看到jλ（t，1，v）≤E“ZTXSVSD+λvt1.-ZTXSDS#≤T- tE公司sup0≤s≤电视-1秒≤CT- t由于引理1。因此，极限W∞（t，v）=limλ→∞Wλ（t，v）对于每个（t，v）都存在∈[0，T）×（0，∞).

因此，单调收敛定理意味着limitx∞t=limλ→∞xλt=Xexp-ZtvrW公司∞（s，vs）dsvtW公司∞（t，vt）（A.6）也存在于几乎所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.看看x的可接受性∞= （十）∞t） 0个≤t型≤T、 我们观察到λE“vT十、-ZTxλtdt#≤ Jλ（X）≤Cxto到达时间λ→∞E“vT十、-ZTxλtdt#= 因此，Fatou引理意味着Lim infλ→∞十、-ZTxλtdt= 0 a.s.（a.7）此外，（a.6）和支配收敛定理意味着limλ→∞ZTxλtdt=ZTx∞tdta。s、 将此与（A.7）相结合，我们得到了ZTX∞tdt=X a。s、 ，这意味着x∞∈ A（X）。最后，我们证明了x的最优性∞. 我们有jλ（X）=XWλ（0，v）≥EZT（xλt）vtdt.出租λ→ ∞, 我们获得XW∞（0，v）≥EZT（x∞t） vtdt≥ J（X）（A.8），再次使用Fatou引理。然而，（4.5）和（4.6）意味着XW∞（0，v）≤ J（X）。因此，（A.8）保持不变，替换“≥” 带“=”因此，证明是完整的。B依赖于交易量的永久MI函数直到现在，我们假设永久MI函数g是关于执行速度的线性函数，与市场交易量无关。这里，我们研究g和▄g都依赖于市场交易量的情况，即g（v，x）=κxv，▄g（v，x）=κxv。在这种情况下，它保持t^Jadap（X）=infx∈^A（0，X）EZTκXTXTXT+￠κxtvtdt, （B.1）其中^A（t，X）的定义如（4.8）所示，以在可接受的策略包括采购订单时处理机会（见备注4）。在这里，我们确认了^A（t，X）中每种策略持有的证券份额过程的有界性。引理2。对于每个x=（xs）t≤s≤T∈^A（t，X），定义（Xs）t≤s≤Tby（A.1）。然后它认为Esssups，ω| Xs（ω）|<∞.证据表示x+s=max{xs，0}和x-s=- min{xs，0}使xs=x+s- x个-砂| xs |=x+s+x-s

根据假设，我们有0≤ η-s≤ CT和Xs=X- η+s+η-s≤ 十、- η+s+Ct每s∈ [t，t]a.s.，其中η±s=Zsx±rdr，C=esssups，ωx-s（ω）<∞.具体而言，可以得出0≤ XT公司≤ 十、- η+T+CT，因此为0≤ η+s≤ η+T≤ 每个X+CT∈ 现在我们的主张是显而易见的。当（vt）0时≤t型≤它被称为几何布朗运动（3.5），与附录a中的论点相似，将假设（4.2）替换为（4.10），从而得出以下定理。定理3。放置￠u=u- σ/2和D=￠u- 2￠uκ/￠κ。优化器^xadap=（^xadapt）0≤t型≤Tof（B.1）如下所示。（i） 如果D<0且γT<2π，则^xadapt=XeuT/22 sin（γT/2）nγcosγ（T- t）- usinγ（T- t）o、 （ii）如果D=0，则^xadapt=Xeut/2T-u1.-tT.（iii）如果D>0，则^xadapt=X2（eγT- （1）（￠u+γ）e（￠u+γ）t/2- （￠u）- γ） e（￠u-γ） t/2+γt.上述定理表明，最优策略在每种情况下都是静态的，但不再是VWAP策略。此外，在某些情况下，最优执行速度可能是负的（即，最优销售策略包含购买行为）。感谢匿名推荐人提出了许多宝贵的意见和建议，提高了论文的质量。参考文献Alfonsi，A.、Fruth，A.和Schied，A.，2010年。最优执行策略出现在具有一般形状函数的极限序书中。《定量金融》，10（2），第143-157页。Alfonsi，A.、Schied，A.和Slynko，A.，2012年。订单弹性、价格操纵和正投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1），第511-533页。Almgren，R.F.和Chriss，N.，2000年。O投资组合交易的最优执行。《风险杂志》，18（2），第57-62页。Almgren，R.、Thum，C.、Hauptmann，E.和Li，H.，2005a。直接估计股权市场影响。预印本。Almgren，R.、Thum，C.、Hauptmann，E.和Li，H.，2005b。股票市场影响。《风险》，7月，第57-62页。An\'e，T.和Geman，H.，2000年。

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