基于置信度的比特币资产和衍生品价格模型

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英文标题：
《A confidence-based model for asset and derivative prices in the BitCoin
  market》
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作者：
Alessandra Cretarola and Gianna Fig\\`a-Talamanca
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We endorse the idea, suggested in recent literature, that BitCoin prices are influenced by sentiment and confidence about the underlying technology; as a consequence, an excitement about the BitCoin system may propagate to BitCoin prices causing a Bubble effect, the presence of which is documented in several papers about the cryptocurrency. In this paper we develop a bivariate model in continuous time to describe the price dynamics of one BitCoin as well as the behavior of a second factor affecting the price itself, which we name confidence indicator. The two dynamics are possibly correlated and we also take into account a delay between the confidence indicator and its delivered effect on the BitCoin price. Statistical properties of the suggested model are investigated and its arbitrage-free property is shown. Further, based on risk-neutral evaluation, a quasi-closed formula is derived for European style derivatives on the BitCoin. A short numerical application is finally provided.
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中文摘要：
我们赞同近期文献中提出的观点，即比特币价格受对底层技术的情绪和信心的影响；因此，对比特币系统的兴奋可能会传播到比特币价格，从而产生泡沫效应，这一现象在几篇关于加密货币的论文中都有记录。在本文中，我们建立了一个连续时间的双变量模型来描述一种比特币的价格动态以及影响价格本身的第二个因素的行为，我们称之为信心指数。这两种动态可能是相关的，我们还考虑了信心指标与其对比特币价格的交付效应之间的延迟。研究了该模型的统计性质，并给出了其无套利性质。此外，基于风险中性评估，推导了比特币上欧式衍生品的准封闭公式。最后给出了一个简短的数值应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：比特币 置信度 衍生品 Mathematical Quantitative

比特币市场资产和衍生价格的基于置信度的模型Alessandra CRETAROLA和GIANNA FIG`ATALAMANCAAbstract。我们赞同最近文献中提出的观点，即比特币价格受对底层技术的情绪和信心的影响；因此，对比特币系统的兴奋可能会传播到比特币价格上，造成泡沫效应，这一现象在几篇关于加密货币的论文中都有记录。在本文中，我们建立了一个连续时间的双变量模型来描述一种比特币的价格动态以及影响价格本身的第二个因素的行为，这是一个信心指标。这两种动态可能是相关的，我们还考虑了信心指标与其对比特币价格产生的影响之间的延迟。研究了该模型的统计性质，并给出了其无套利性质。此外，基于风险中性评估，针对比特币上的欧洲风格衍生品推导出一个准封闭公式。最后提供了一个简短的数值应用程序。关键词：比特币、情绪、随机模型、等价鞅测度、期权定价。1、简介比特币最初是作为对等方之间的电子支付系统引入的。它基于生成对等网络的开源软件。该网络包括大量通过互联网相互连接的计算机，并执行复杂的数学程序来检查交易的真实性和生成新的比特币。与基于对金融中介机构的信任的传统交易相反，该系统依赖于网络、固定规则和加密技术。

这个开源软件是由一位名叫中本佐弘（ThePeudonymSatoshiNakamoto）的计算机科学家于2009年创建的，他的身份目前还不得而知。比特币有几个吸引消费者的特性：它不依赖中央银行来监管货币供应，而且基本上支持匿名交易。此外，交易是不可逆转的，也可能非常小。可以在适当的网站上购买比特币，这些网站允许兑换比特币中的常用货币。此外，可以用比特币支付几项在线服务和商品的费用，而且比特币的使用正在增加。意大利佩鲁贾I-06123，路易吉·瓦维泰利，佩鲁贾大学数学和计算机科学系，Lessandra Cretarola设计了特殊应用程序。Gianna FigáTalamanca，佩鲁贾大学经济系，Via AlessandroPascoli，I-06123佩鲁贾，意大利。电子邮件地址：alessandra。cretarola@unipg.it，gianna。figatalamanca@unipg.it.2A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAfor用于比特币交易的智能手机和平板电脑以及一些ATM已经出现在世界各地（见硬币ATM雷达），以改变比特币中的传统货币。以极低的费用，也可以向国际发送加密货币。事实上，比特币在价值和交易数量上都经历了快速增长，如图1所示。虽然比特币的普及率显著提高，但加密货币如图1所示。比特币日平均价格（2012年12月至2016年9月）。仍然面临重要问题。比特币的一个主要问题是，它应该被视为货币、商品还是股票。在Yermack[20]中，作者对比特币价格行为进行了详细的定性分析。他指出，货币通常有三个属性：交换媒介、记账单位和价值存储。

比特币确实是一种交换媒介，尽管相对交易量有限，而且基本上仅限于在线市场；然而，它缺少另外两个属性。比特币价值波动较大，在不同的交易所以不同的价格进行交易，这使得比特币作为记账单位不可靠。此外，比特币只能存放在数字墙中，而数字墙的成本很高，可能会受到黑客攻击、盗窃和其他与比特币安全相关的问题的影响。耶马克（Yermack）[20]的结论是，比特币表现为高波动性股票，大多数比特币交易的目的是投机性投资。关于比特币价格的第二个问题是，由于比特币在不同的交易所以不同的价格进行交易，因此存在套利的可能性；Lintilhac和Tourin在这一主题上做出了开创性的理论贡献[13]。近年来，出现了几篇论文来模拟比特币的价格行为。Hencic和Gouriéroux[8]在离散时间中获得了有趣的结果，作者通过非因果计量经济学模型对比特币价格变化和市场泡沫进行建模。此外，许多作者声称，比特币价格的高波动性和投机泡沫的发生取决于对比特币市场本身的积极情绪和信心：当然是对比特币的信心，或者更一般地说，在加密货币或IT金融方面，比特币市场中资产和衍生品价格的基于信心的模型3未被直接观察到，但在调查期间，可以将几个变量视为指标，从更传统的交易量或交易数量到谷歌搜索或维基百科关于该主题的请求数量。这方面的主要参考文献是Kristoufek【11，10】，Kim等人【9】。或者，Bukovina等人。

[2] 信心通过与BiCoin系统相关的情绪来衡量，并可从网站索引中获得。com。该网站通过一种基于自然语言处理技术的算法收集情感数据，该算法能够识别在某个主题上传达积极、中性或消极情感的一串单词（本例中为比特币）。论文作者在离散时间内建立了一个模型，并表明积极情绪，即对系统的过度信任，可能确实会助长比特币价格的泡沫。我们借用引用的论文中的数据，建立了一个连续时间的双变量模型来描述比特币信心指标和相应比特币价格的动态。我们还考虑了这一指标与其对比特币价格的影响之间可能存在的延迟。在本文中，我们重点讨论了建议模型的理论性质；在文献中提出的置信度指数中，最合适的置信度指数的选择，当然对我们模型的应用至关重要，推迟到未来的研究中。特别是，在分析了该模型的一些统计特性后，我们给出了该模型无套利的条件，并基于风险中性评估，推导了比特币上欧式衍生品的准闭公式。值得注意的是，最近在适当的网站上，如https://coinut.com，交易欧洲看涨期权和看跌期权以及二元期权，即纯粹押注比特币价格，支持耶马克（Yermack）[20]的观点，即比特币用于投机目的。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们描述了比特币价格动态模型，并推导了其统计特性。

在第3节中，我们通过对普通Vanilla和二元期权价格的详细计算，证明了欧式衍生品的拟闭公式。第4节致力于数值应用，第5节给出了包括备注和未来研究的提示。大多数技术证据收集在附录中。2、比特币市场模型我们确定了一个概率空间(Ohm, F、 P）具有过滤F={Ft，t≥ 满足右连续性和完整性的通常条件。在给定的概率空间上，我们考虑了一个主要市场，其中异质代理买卖比特币，并用S={St，t表示≥ 0}加密货币的价格过程。我们假设比特币价格动态由以下等式描述：dSt=uSPt-τStdt+σSpPt-τStdWt，S=S∈ R+，（2.1），其中uS∈ R \\{0}，σS∈ R+，τ∈ R+表示模型参数；W={Wt，t≥ 0}是上的标准布朗运动(Ohm, F、 P），这是F自适应的，并且P={Pt，t≥ 0}是4 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAa随机因子，代表比特币市场的信心或情绪指数，令人满意的dpt=uPPtdt+σPPtdZt，Pt=φ（t），t∈ [-五十、 0）。（2.2）此处，uP∈ R \\{0}，σP∈ R+，Z={Zt，t≥ 0}是上的标准布朗运动(Ohm, F、 P）适用于F，可能与W相关，因此对于某些常数ρ，dhW，Zit=ρdt∈ [0，1]和φ：[-五十、 0]→ [0+∞) 是连续（确定性）初始函数。请注意，函数φ的非负性对应于要求最小浓度水平为零。值得注意的是，在（2.2）中，我们还考虑了过去的影响，因为我们假设信心指数明确影响比特币价格在之前的某个时间t- τ。

假设τ<L，并且在该周期内观察到因子P[-五十、 0]使双三角模型共同可行。众所周知，（2.2）的解是封闭形式的，并且对于每个t>0，Pt都有一个正态分布，见Black和Scholes[1]。为了将方程（2.1）和（2.2）中的模型所隐含的动态可视化，我们在图2中绘制了一条可能的每日观察模拟路径，用于不同相关水平下一年内的信心过程P和相应比特币价格S；比特币动力学表现为独立和完全相关的布朗运动以及ρ=0.5的情况。增加相关性可以提振比特币市场，因为它进一步加强了信任指数和价格之间的依赖性。在图3中，根据比特币价格本身与指数P之间的不同相关性值，绘制了用核平滑法估计的比特币价格的经验密度。正如inKristoufek【10】、Bukovina等人【2】所观察到的，所建议的动态似乎反映了信心/情绪驱动交易导致的比特币波动性增加。图2：。给出了信任指数演变的比特币价格动态示例（红色）：ρ=0（黑色），ρ=0.5（蓝色），ρ=0.5（绿色）。模型参数设置为uP=0.03，σP=0.35，uS=10-5，σS=0.04，τ=1周。比特币市场中基于信心的资产和衍生品价格模型5图3。根据置信指数过程中的不同相关参数，比特币价格模拟值的估计经验密度：ρ=0（黑色），ρ=1（蓝色），ρ=0.5（绿色）。模型参数设置为uP=0.03，σP=0.35，uS=10-5，σS=0.04，τ=1周。然而，不同相关参数的路径形状相似。

这激发了本文其余部分对非相关案例的关注。这意味着，在基础市场模型中，Wand Z是独立的（F，P）-布朗运动。下一步将对一般情况进行进一步研究。在图4中，报告了相同的路径，使τ发生变化；正如预期的那样，当τ增加时，市场对资产的反应会延迟。图4：。比特币价格动态的一个例子，给出了独立情况下信任指数（红色）的演变ρ=0：τ=1天（黑色），τ=2周（蓝色）。模型参数设置为uP=0.03，σP=0.35，uS=10-5，σS=0.04.6 A.CRETAROLA和G.FIG`Atalamancae我们假设参考过滤F={Ft，t≥ 0}，描述比特币市场上的信息，格式为FT=FWt∨ FZt，t≥ 0，其中FWtand fzt表示wt和zt分别在timet之前生成的σ-代数≥ 请注意，对于每个t，FZt=FPt≥ 此外，我们假设交易者的可用信息由filtrationef={eFt，t≥ 0}，定义为EFT=FWt∨ FPt公司-τ、 t型≥ 我们还注意到，所有过滤都满足完整性和权利连续性的通常条件（参见Protter[19]）。现在，为每个t>τ设置？P0，t：=RtPudu。然后，我们可以介绍综合信息过程Xτ={Xτt，t≥ 0}与密度指数P相关，如下所示：Xτt：=ZtPu-τdu=Z-τφ（u）du+Zt-τPudu=Xττ+Zt-τPudu，t≥ 0。（2.3）注意，Xτt对于t是确定的∈ [0，τ]。的确，ZtPu-τdu=0，如果t=0，Rt-τ-τφ（u）du=Xττ+Rt-τφ（u）du，t∈ （0，τ），R-τφ（u）du+Rt-τPudu=Xτ+(R)P0，t-τ、 如果t>τ。下面的引理建立了综合信息过程Xτt的基本统计特性，对于t>τ。引理2.1。

在上述市场模型中，对于每个t>τ，我们有：E[Xτt]=Xττ+φ（0）uP（exp（uP（t- τ））- 1） ；Var[Xτt]=2φ（0）（uP+σP）（2uP+σP）经验值2uP+σP（t- τ）- 1.-2φ（0）uP（uP+σP）（exp（uP（t- τ )) - （1）-φ（0）uP（exp）（uP（t- τ））- （1）.对于t∈ [0，τ]，我们得到E[Xτt]=Rτ-t型-τφ（u）du和Var[Xτt]=0。证明推迟到附录A。方程式（2.1）和（2.2）给出的系统在R+中定义良好，如以下定理所述，这也提供了其显式解。定理2.2。在上述市场模型中，以下情况成立：（i）二元随机时滞微分方程dSt=uSPt-τStdt+σS√Pt公司-τStdWt，S=S∈ R+，dPt=uPPtdt+σPPtdZt，Pt=φ（t），t∈ [-五十、 0），（2.4）比特币市场中基于信心的资产和衍生品价格模型7有一个连续的、适应F的、唯一的解决方案（S，P）={（St，Pt），t≥ 0}由t=sexp给定uS-σSZtPu公司-τdu+σSZtpPu-τdWu, t型≥ 0，（2.5）Pt=φ（0）expuP-σPt+σPZt, t型≥ 0。（2.6）更精确地说，S可以按如下步骤逐步计算：对于k=0，1，2。andt公司∈ [kτ，（k+1）τ]，St=SkτexpuS-σSZtkτPu-τdu+σSZtkτpPu-τdWu. （2.7）尤其是Pt≥ 所有t均为0 P-a.s≥ 此外，如果φ（0）>0，则所有t的Pt>0 P-a.s≥ 0.（ii）此外，对于每t≥ 0，给定综合信息Xτt，St的条件分布为对数正态分布，平均对数（s）+uS-σSXτtand方差σSXτt.（iii）最后，对于每t∈ [0，τ]，随机变量对数（St）具有平均对数（s）+uS-σSXτtand方差σSXτt；对于每一个t>τ，log（St）具有分别由[log（St）]=log（s）给出的均值和方差+uS-σSE[Xτt]；Var[对数（St）]=uS-σSVar[Xτt]+σSE[Xτt]，其中E[Xτt]和Var[Xτt]均由引理2.1提供。证据第（i）点。显然，（2.5）和（2.6）中分别给出的S和P是具有连续轨迹的F适应过程。

与Mao和Sabanis【14，定理2.1】类似，我们通过使用长度为τ的正向诱导步骤，提供了系统（2.4）中随机微分方程对强解的存在性和唯一性，而无需检查系数的任何其他假设，例如局部Lipschitz条件和线性增长条件。首先，请注意，系统（2.4）中的第二个方程不依赖于S，它的解对于所有t都是众所周知的≥ 很明显，等式（2.6）表示Pt≥ 所有t均为0 P-a.s≥ 0且φ（0）>0意味着溶液P在[0]上严格大于0+∞), i、 所有t的e.Pt>0，P-a.s≥ 接下来，通过（2.4）中的第一个方程，并将其公式应用于log（St），我们得到了d log（St）=uS-σSPt公司-τdt+σSpPt-τdWt，（2.8）8 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAor，以积分形式等效Sts公司=uS-σSZtPu公司-τdu+σSZtpPu-τdWu，t≥ 0.（2.9）对于t∈ [0，τ]，（2.9）可写入日志Sts公司=uS-σSZtφ（u- τ） du+σSZtpφ（u- τ） dWu，（2.10）即，（2.7）对k=0保持不变。鉴于STI现在以t∈ [0，τ]，我们可以限制（2.4）ont中的第一个方程∈ 【τ，2τ】，因此它对应于t的考虑（2.8）∈ [τ，2τ]。等效地，以整数形式，logStSτ=uS-σSZtτPu-τdu+σSZtτpPu-τdWu。这表明（2.7）适用于k=1。k=2，3，…，的类似计算。，给出最终结果。第（ii）点。设置Yt：=Rtpφ（t- τ） dWu，用于t∈ [0，τ]和Yt：=Ykτ+Rtkτ√聚氨酯-τdWu，堡垒∈ （kτ，（k+1）τ），其中k=1，2。。然后，通过应用第（i）点的结果和分解日志Sts公司= 日志StSkτ+k-1Xj=0对数S（j+1）τSjτ,对于t∈ （kτ，（k+1）τ），其中k=1，2。，我们可以写日志（St）=日志（s）+uS-σSXτt+σSYt，t≥ 0.（2.11）为了完成证明，必须表明≥ 0以Xτt为条件的随机变量Yt正态分布，平均值为0，方差为Xτt。