基于置信度的比特币资产和衍生品价格模型

如果t∈ [0，τ]。否则，我们首先观察到-τ与Wuforeveryτ<u无关≤ t、 Yt的分布，条件是{Zu-τ： τ<u≤ t型- τ} ={Pu-τ： τ<u≤ t型- τ} =FPt-τ、 平均值为0，方差σSXτt为正态。现在，对于每个t>τ，Yt的矩母函数，取决于过程P到时间t的历史-τ、 由Eheayt给出FPt公司-τi=eRtaPu-τdu=eaRtPu-τdu=ea(√Xτt），a∈ R、 这只取决于时间t的综合信息Xτtup，即EheaYtFPt公司-τi=EheaYtXτti，t>τ。比特币市场中基于信心的资产和衍生品价格模型9Point（iii）。对于t，证明是微不足道的∈ [0，τ]。如果t>τ，（2.11）和引理2.1以及It^ointegral的零期望性质，则给出[log（St）]=log（s）+uS-σSE【Xτt】=对数+uS-σSXττ+φ（0）uP（exp（uP（t- τ））- （1）.现在，我们计算log（St）的方差。因为对于每个t>τ，随机变量Ythasmean 0以FPt为条件-τ、 我们有var[对数（St）]=E日志（St）- （E[对数（St）]）=uS-σSE（Xτt）+ 2.uS-σSEhXτtEhYtFPt公司-τii+σSE[Xτt]-uS-σSE[Xτt]=uS-σSVar【Xτt】+σSE【Xτt】。因此，证明是完整的。3、存在风险中性概率测度和衍生价格，我们确定一个时间范围T>0，并假设存在无风险资产，如货币市场账户，其价值过程B={Bt，T≥ 0}由bt=exp给定Ztr（s）ds, t型≥ 0，其中r：[0+∞) → R是一个有界的确定性函数，表示瞬时无风险利率。为了排除套利机会，我们需要检查比特币价格过程S的所有等价鞅测度集是否为非空。更准确地说，它包含不止一个元素，因为P并不代表任何可交易资产的价格，因此基础市场模型是不完整的。引理3.1。

对于每个t，设φ（t）>0∈ [-五十、 0），在（2.2）中。然后，定义S的每个等价鞅测度Q(Ohm, FT）具有以下密度dqdpFT=：LQT，P-a、 其中LQt是（F，P）-鞅的终值LQ={LQt，t∈ [0，T]}给定BYQT：=E-Z·uSPs-τ- r（s）σs√聚苯乙烯-τdWs-ZtγsdZst、 t型∈ [0，T]，（3.1）对于合适的F-逐步可测过程γ={γT，T∈ [0，T]}。10 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAThe的证明推迟到附录A。这里E（Y）表示（F，P）-半鞅Y的Doleans-Dade指数。在本文的其余部分中，假设φ（t）>0，对于每个t∈ [-五十、 0），在（2.2）中。然后，Lemma3.1确保S的等价鞅测度空间由（3.1）描述。更准确地说，它由控制（F，P）-布朗运动Z漂移变化的过程γ参数化。请注意，比特币市场中Q下的信任指数动态由dpt=（uP）给出- σPγt）Ptdt+σPPtdZQt，Pt=φ（t），t∈ [-五十、 0）。γ过程可以解释为与比特币市场未来方向或未来可能走势相关的风险感知。候选等价鞅测度的一个简单示例是所谓的最小鞅测度（参见F"ollmerand Schweizer[5]，F"ollmer and Schweizer[6]），用BP表示，其密度过程L={Lt，t∈ [0，T]}，由T给出：=exp-ZtuSPs-τ- r（s）σs√聚苯乙烯-τdWs-Zt公司uSPs-τ- r（s）σs√聚苯乙烯-τds！。这是对应于选项γ的概率度量≡ 0英寸（3.1）。直觉上，在最小鞅测度saybP下，驱动比特币价格过程S的布朗运动的漂移被修改成（F，bP）-鞅，而与S强正交的布朗运动的漂移不受P-tobP的变化测度的影响。

更准确地说，在P-tobP的测度变化下，我们有两个独立的（F，bP）-布朗运动cw={cWt，t∈ [0，T]}和bz={bZt，T∈ [0，T]}分别由cwt定义：=Wt+ZtuSPs-τ- r（s）σs√聚苯乙烯-τds，t∈ [0，T]，bZt：=Zt，T∈ [0，T]。（3.2）表示byeSt={eSt，t∈ [0，T]}EST给出的比特币折扣价格过程：=StBt，foreach T∈ [0，T]。然后，比特币的折扣价格在任何时候都是t∈ [0，T]，由est=sexp给出σSZtpPu-τdcWu-σSZtPu-τdu, t型∈ [0，T]，（3.3），置信指数P的行为仍由方程（2.2）描述。设H=Д（ST）是一个可测量的随机变量，代表到期日为T的欧式未定权益的支付，可在基础市场上交易。此处：R→ R是一个Borel可测函数，使得H是可积的。该功能通常称为合同功能。下面的结果给出了任意BP可积欧式未定权益在最小鞅测度BP下的arisk中立定价公式。由于鞅测度是固定的，风险中性价格比特币市场中资产和衍生品价格的基于信心的模型11与可通过投资基础市场复制的期权的无套利价格一致。设置Xτt，t：=Xτt- Xτt，对于每个t∈ [0，T），其中过程Xτ在（2.3）中定义，并用E'Ph表示·在概率测度bp等下，关于f的条件期望。定理3.2。设H=Д（ST）为到期日为T的欧式未定权益的支付。

然后，时间t of H的风险中性价格Φt（H）由Φt（H）=EbP“ψ（t，St，Xτt，t）给出St#，t∈ [0，T），其中ψ：[0，T）×R+×R+-→ R是一个Borel可测函数，使得ψ（t，St，Xτt，t）=BtEbP“BTGt、 St，Xτt，t，Yt，tFWt公司∨ FPT公司-τ#，（3.4）对于合适的函数G，取决于合同，使得Gt、 St，Xτt，t，Yt，tISBP可积。证据为了简单起见，假设τ<T并设置为Yt，T：=RTt√聚氨酯-τdcWu，对于每个∈ [0，T）。然后，在时间T时，欧洲类型或有索赔的风险中性价格ΦT（H），其中payoff H=Д（ST）由ΦT（H）=BtEbP给出^1（ST）BT英尺= BtEbPEbP公司^1StexpRTtr（u）du-σSXτt，t+σSYt，t英国电信FWt公司∨ FPT公司-τ英尺,（3.5）其中EbPh·eFtidenotes在最小鞅测度ebp下关于fts的条件期望。更一般地，（3.5）可以写成Φt（H）=BtEbP“EbP”G（t，St，Xτt，t，Yt，t）BTFWt公司∨ FPT公司-τ#Ft#，（3.6）适用于合适的功能G，具体取决于合同功能。由于驱动置信指数P的（F，P）-布朗运动Z不受最小鞅测度定义对PtobP测度变化的影响，因此Z也是一个与w无关的（F，bP）布朗运动，见（3.2）。因此，我们可以应用定理2.2证明的第（ii）点中所述的相同论证，以得到，对于每个t∈ [0，T），随机变量Yt，T以FPT为条件-τ是正态分布，平均值为0，方差为Xτt，t。然后，我们可以写出（定律）Yt，t=pXτt，t, 哪里 是一个标准的正态随机变量，这允许找到一个函数ψ，使得（3.4）成立，这意味着12 a.CRETAROLA和G.FIG`ATalamanCa关于FWt的条件期望∨FPT公司-（3.6）中的τ仅取决于林分Xτt，t，前向t∈ [0，T）。

因此，风险中性价格Φt（H）可以写成Φt（H）=EbPψ（t，St，Xτt，t）英尺= EbP“ψ（t，St，Xτt，t）St#，其中最后一个等式自S iseF调整后成立，Xτt独立于ft，对于每个∈ [0，T），参见例如Pascucci[18，引理A.108]。更准确地说，我们有EBPψ（t，St，Xτt，t）eFt公司= EbP公司ψ（t，St，Xτt，t）St公司= g（St），其中g（s）=EbPψ（t，s，Xτt，t）St=s, s∈ R+。备注3.3。值得注意的是ψ（t，St，x），x∈ R+，表示时间t的风险中性价格∈ 在Black&Scholes框架下，合同H=Д（ST）的[0，T），其中常数波动率参数σBS由σBS定义：=σSrxT- t、 对于普通欧式看涨期权的特例，下面的推论3.4明确证明了这一点。3.1。Black&Scholes型期权定价公式。让我们考虑一个执行价格为K、到期日为T的欧式看涨期权，并定义函数cbas followsCBS（T，s，x）：=sN（d（T，s，x））- K经验值-Ztr（u）duN（d（t，s，x）），（3.7），其中d（t，s，x）=对数sK公司+Rtr（u）du+σSxσS√x（3.8）和d（t，s，x）=d（t，s，x）- σS√x、 或更明确地表示yd（t，s，x）=logsK公司+Rtr（u）du-σSxσS√x、 （3.9）这里，N代表标准高斯累积分布函数N（y）=√2πZy-∞e-zdz， y∈ R、 比特币市场资产和衍生品价格的基于信心的模型13推论3.4。比特币上的欧洲看涨期权的风险中性价格Ctat时间t，价格S在t内到期，履约价格为K，由公式CT=EbP给出CBS（t，St，Xτt，t）St公司, t型∈ [0，T），（3.10），其中函数CBS：[0，T）×R+×R+-→ R由（3.7）给出，函数d、dare分别由（3.8）-（3.9）给出。证据在定理3.2的证明中，假设τ<T。

在最小鞅测度bp下，风险中性价格Ctat时间t∈ 比特币上的欧洲看涨期权（价格S在T中到期，履约价格为K）的[0，T]由CT=BtEbP给出最大值（ST- K、 0）BTeFt公司= BtEbPheST{ST>K}eFti公司- K经验值-ZTtr（u）duEbPh{ST>K}eFti=：BtJ- K经验值-ZTtr（u）duJ、 回想一下，Yt，T=RTt√聚氨酯-τdcWu，对于每t∈ [0，T）。那么，术语jc可以写成j=EbPhEbP{ST>K}| FWt∨ FPT公司-τeFti=EbP英国石油公司StexpZTtr（u）du-σSXτt，t+σSYt，t> KFWt公司∨ FPT公司-τeFt公司= EbP公司英国石油公司σSYt，T>logKSt公司-ZTtr（u）du+σSXτt，tFWt公司∨ FPT公司-τeFt公司= EbP“bP-Yt，TpXτt，t<对数StK公司+RTtr（u）du-σSXτt，tσSpXτt，tFWt公司∨ FPT公司-τ！eFt#=EbPNd（t，St，Xτt，t）eFt公司,对于每个t∈ [0，T），随机变量-Yt，TpXτt，Thas是给定FWt的标准高斯定律N（0，1）∨ FPT公司-τ在最小鞅测度bp下。关于J，考虑辅助概率度量“P”(Ohm, FT）定义如下：d'PdbP：=经验-σSZTPu-τdu+σSZTpPu-τdcWu,英国石油公司- a、 s。。根据Girsanov定理，我们得到过程W={Wt，t∈ [0，T]}，定义为“Wt：=cWt”- σSZtpPu-τdu，t∈ [0，T]，14 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAfollows一个标准（F，\'P）-布朗运动。此外，使用（3.3），我们得到了eStexpσSZTtpPu-τd'Wu+σSZTtPu-τdu,每t∈ [0，T]。

由于S iseF适应了（3.3）和关于条件期望概率测度变化的Bayes公式，对于每个t∈ [0，T）我们得到j=EbPheST{ST>K}eFti=eStEbP经验值-σSXτt，t+σSYt，t{ST>K}eFt公司=eStEbP公司经验值-σSXτT+σSY0，T{ST>K}eFt公司经验值-σSXτt+σSY0，t=eStE'P{eST>KB-1T}eFt公司=eStE“P”eStexpσS'Yt，T+σSXτT，T>K经验值(-RTr（u）du）eFt#=eStE“P”E“P”σS’Yt，T>对数KSt公司-RTtr（u）du-σSXτt，tFWt公司∨ FPT公司-τ#eFt#=eStE“P”P-\'Yt，TpXτt，t<对数StK公司+RTtr（u）du+σSXτt，tσSpXτt，tFWt公司∨ FPT公司-τ！eFt#=eStE'PNd（t，St，Xτt，t）eFt公司, （3.11）d（t，St，Xτt，t）=d（t，St，Xτt，t）+σSqXτt，t。在上述计算中，与之前类似，我们设置了‘Yt，t：=RTt√聚氨酯-τd'Wu，对于每个∈ [0，T）。因此，我们有关于FPT的“Yt，T”条件-τ、 是一个正态分布的随机变量，每个t的平均值为0，方差为Xτt，t∈ [0，T），因为Z不受从bp到“P”的度量变化的影响。事实上，通过numéraire定理的变化，我们发现概率度量“P”是与选择比特币价格过程作为基准相对应的最小鞅度量。

此外，通过再次应用比特币市场中资产和衍生品价格的BayesA基于置信度的模型15关于条件预期概率测度变化的公式，我们得到j=eStE'PNd（t，St，Xτt，t）eFt公司=eStEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）经验值-σSRTPu-τdu+σSRT√聚氨酯-τdcWueFt公司经验值-σSRtPu-τdu+σSRt√聚氨酯-τdcWu=eStEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）经验值-σSZTtPu-τdu+σSZTtpPu-τdcWueFt公司=eStEbP公司EbP公司Nd（t，St，Xτt，t）经验值-σSXτt，t+σSYt，tFWt公司∨ FPT公司-τeFt公司=eStEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）经验值-σSXτt，tEbP公司exp（σSYt，T）FWt公司∨ FPT公司-τeFt公司=eStEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）eFt公司, （3.12）由于Yt的条件高斯分布，TgivesEbPexp（σSYt，T）FWt公司∨ FPT公司-τ= 经验值σSXτt，t.最后，收集每个t的两个项（3.12）和（3.11）∈ [0，T）我们得到ct=BteStEbPNd（t，St，Xτt，t）eFt公司- K经验值-ZTtr（u）duEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）eFt公司= StEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）eFt公司- K经验值-ZTtr（u）duEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）eFt公司= EbP公司CBS（t，St，Xτt，t）eFt公司= EbP公司CBS（t，St，Xτt，t）St公司,其中，最后一个等式再次来自Pascucci【18，引理A.108】，因为对于每个t∈[0，T），XτT，独立于fta和StiseFt可测量。值得注意的是，期权定价公式（3.10）仅取决于Xτt的分布，t在测量值bp和'P下均相同。如备注3.3所示，在st中评估的公式（3.10）对应于t时的Black&Scholes价格∈ 在a.CRETAROLA和G.FIG`ATalamancath波动率参数由σSpxT给出的市场中，以履约价格K和到期日T在S上书写的欧洲看涨期权的[0，T-t。

然后，对于每个t∈ [0，T）可写成：Ct=Z+∞CBS（t，St，x）fXτt，t（x）dx，（3.13），其中fXτt，t（x）表示每个t的xτt，t的密度函数∈ [0，T）（如果存在的话）。可以为其他欧洲风格的衍生品计算类似的公式，就像在比特币市场上报价的二元期权一样。对于现金或空头支票的情况，本质上是在行权事件上下注a，风险中性定价公式由ct=a exp给出-ZTtr（u）dsEbP公司Nd（t，St，Xτt，t）St公司= A经验值-ZTtr（u）dsZ+∞N（d（t，St，x））fXτt，t（x）dx，t∈ [0，T）。（3.14）普通香草欧式期权在T时的价格也可以写成Black&Scholes风格的价格：Ct=StQ- K经验值-ZTtr（u）dsQ其中Q=EbPNd（t，St，Xτt，t）St公司=Z+∞N（d（t，St，x））fXτt，t（x）dx，and q=EbPNd（t，St，Xτt，t）St公司=Z+∞N（d（t，St，x））fXτt，t（x）dx。要用上述公式计算数值导数价格，我们应该计算Xτt，t的分布，这不是一项容易的任务。通过应用布朗运动的标度性质（参见Carr和Schr"oder[3]），forevery t∈ [0，T]，我们得到ztpudu=PZtexpσZu+（u- 0.5σ）udu=4PσZσt/4exp2（Zv+（0.5u- 0.25σ）4/σvdv）=4PσA（m）h，其中A（m）h=Rhexp（2（Zv+mv））dv是所谓的Yor过程，h=σt/4，m=2u/σ- 因此，Xτ0，tca的分布可以通过过程A（m）h的分布来获得，对于h≥ 0；从Yor（21）开始，有大量文献致力于这一目标，例如Dufresne（4）、Matsumoto和Yor（15、16）。上述结果在金融上的主要应用是亚洲期权定价：参见Geman和Yor的开创性论文【7】比特币市场资产和衍生品价格的信心模型17以及最近的Carr和Schr"oder【3】。

严格应用引用文件的结果应通过计算（至少是数字）第（3.13）或（3.14）中的积分来提供定价公式，但这超出了本文的范围。文献中给出了几何布朗运动积分分布的几种近似方法，其中包括Levy【12】和Milevsky以及Posner【17】。4、数值应用在Levy【12】中，作者声称，平均积分布朗运动的分布‘P0’可以近似为平均α（s）和方差ν（s）的对数正态分布，至少对于模型参数的合适值而言。特别是，通过应用动量匹配技术，对数正态参数由以下公式给出：α（u）=loguE(R)P0，uqE(R)P0，u,ν（u）=对数(R)P0，uE(R)P0，u,可根据uPandσP计算所有u∈ （0，T），根据引文2.1中的结果。在引用的论文中的假设和假设T>τ的情况下，Xτ0，T的近似分布可以从-τ′P0，T-τasfXτ0，T（x）=T- τLNpdfα（T-τ），ν（T-τ）xT公司- τ.式中，LNpdfm，vdenotes参数为m和v的对数正态分布的概率分布函数，定义为LNpdfm，v（y）=y√2πve-（对数（y）-m） 2v， y∈ R+。为了直观评估建议近似值的适当性，我们在图5中绘制了对数ofT的经验分布-τ′P0，T-τ、 通过模拟几何布朗运动的10000条路径获得，dt=1/10000，P 0=100uP=0.03，σP=0.35，T- τ=3个月。在同一幅图中，采用了拟合正态分布。看来，对于所考虑的参数情况，该近似最终是可靠的。当然，还有其他可能的近似方法，例如米列夫斯基和波斯纳[17]中的反gammaapproximation。