基于置信度的比特币资产和衍生品价格模型

由于我们有兴趣给出定价公式的应用示例，因此对最优近似方法的进一步研究超出了本文的范围。我们只需补充一点，当T趋于完整时，反伽马方法是有限的，这在期权定价中很少出现，尤其是在比特币市场。18 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAFigure 5。对数ofT的经验分布-τ′P0，T-通过模拟10000条几何布朗运动路径和相应的正态函数得到的τ：P=100，uP=0.03，σP=0.35和t- τ=3个月。表1：。看涨期权价格针对不同的敲打K和比特币的不同信用价值。市场参数为S=450，r=0.01，uP=0.03，σP=0.35，σS=0.04，T=3个月，τ=1周（5天）。K 400 425 450 475 500P=10 51.24 28.35 11.46 3.09 0.54P=100 64.12 48.05 34.94 24.69 16.97P=1000 128.68 117.75 107.77 98.66 90.35在这种情况下，看涨期权定价公式为C=T- τZ+∞CBS（0，S，x）LNpdfα（T-τ），ν（T-τ）xT公司- τdx，可通过数值计算，一旦参数α（T-τ） ，ν（T-τ）通过上述等式获得。在表1中，在S=450、r=0.01、uP=0.03、σP=0.35、σS=0.04、T=3个月、τ=1周（5个工作日）的情况下报告了看涨期权价格。行对应于比特币上不同的信任值，列对应于不同的敲打价格值。正如预期的那样，看涨期权价格相对于市场信心不断上升，相对于执行价格不断下降。在表2中，通过让到期日T和信息滞后τ变化，对初始置信值P=100的看涨期权价格进行了汇总。正如所料，对于普通的VanillaCalls来说，价格会随着时间的推移而上涨。

增加延迟会降低期权价格；当然，价差与期权的到期时间成反比。比特币市场中资产和衍生品价格的基于信心的模型19表2。针对不同罢工K和不同T和tau值的看涨期权价格。市场参数为S=450、r=0.01、uP=0.03、σP=0.35、σS=0.04和P=100。K 400 425 450 475 500T=1个月，τ=1周52.85 33.09 18.27 8.81 3.71T=1个月，τ=2周51.58 30.62 15.18 6.13 2.00T=3个月，τ=1周64.12 48.05 34.94 24.69 16.97T=3个月，τ=2周62.95 46.65 33.42 23.18 15.60表3。数字现金或无需支付的价格与比特币上不同的信用价值形成鲜明对比。市场参数为S=450，r=0.01，uP=0.03，σP=0.35，σS=0.04，T=3个月，τ=5天。该选项的奖金设置为A=100。K 400 425 450 475 500P=10 97.17 82.77 50.31 18.87 4.24P=100 70.07 58.38 46.58 35.66 26.27P=1000 45.70 41.77 38.14 34.79 31.72表4。数字现金或无现金价格与不同的K和T和τ的不同值相对应。市场参数为S=450、r=0.01、uP=0.03、σP=0.35、σS=0.04和P=100。该选项的奖金设置为A=100。K 400 425 450 475 500T=1个月，τ=1周86.93 69.97 48.27 28.11 13.83T=1个月，τ=2周91.50 74.23 48.69 24.84 9.80T=3个月，τ=1周70.07 58.38 46.58 35.66 26.27T=3个月，τ=2周71.21 59.10 46.77 35.36 25.62在表3和表4中，对结果A=100的二元选项报告了类似结果，通过数值计算以下积分进行评估：C=AT- τZ+∞N（d（T- t、 S，x））LNpdfα（t-τ），ν（T-τ）xT公司- τdx。表3总结了S=450、r=0.01、uP=0.03、σP=0.35、σS=0.04、T=3个月、τ=1周（5个工作日）和多次罢工（以列为单位）的二元现金或无现金价格。行对应于比特币的不同信任值。

正如预期的那样，价格相对于执行价格正在下降。在这里，现金内（ITM）期权的价值相对于现金外（OTM）期权的价值在下降，而现金外（OTM）期权的价值在上升。20 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAdi在ITM和OTM价格方面的差异对于P值较低而言较大，而对于比特币的高信任度而言则非常小。这可能是因为，当比特币的收益率很高时，所有的赌注都是值得的，即使是OTM的，因为潜在价值预计会爆炸。二元看涨期权价格相对于ITM期权的到期时间降低，而对于OTM期权，二元看涨期权价格则增加，因为OTM期权更有可能被行使。延迟值的影响很小，就像普通选项一样，在短时间内对成熟度的影响更大。5、结论性评论在本文中，我们借用了最近文献中提出的观点，即比特币价格是由信心推动的，即对比特币系统和基础技术的积极情绪。特别是，我们认为，过度自信可以解释关于所分析加密货币的几篇论文中记录的泡沫。该领域的主要参考文献有Kristoufek【11，10】、Kim等人【9】、Bukovina等人【2】。为了解释这种行为，我们开发了一个连续时间模型，该模型描述了两个因素的动态，一个代表比特币系统的信任指数，另一个代表比特币价格本身，这直接受第一个因素的影响。这两种动态可能是相关的，我们还考虑了信心指数与其对比特币价格产生的影响之间的延迟。Hencic和Gouriéroux[8]考虑了一种不同的方法，作者通过非因果离散时间模型对比特币价格和市场泡沫的存在进行建模。

我们研究了该模型的统计性质，并证明了它的无套利性质。通过应用经典的风险中性评估，我们能够为比特币上的欧式衍生品推导出一个准封闭公式，并特别关注已经存在市场的普通期权和二元期权（例如。https://coinut.com)。当然，人们对比特币或更普遍的加密货币或金融的信心或看法并没有直接观察到，但可以将几个变量视为指标，例如交易量或交易数量。或者，如Kristoufek【10】、Kim等人【9】、Bukovina等人【2】所述，可以使用更多的非传统实体指标作为谷歌搜索的数量、维基百科对主题的请求数量或基于自然语言处理技术的指标，通过识别对比特币系统表达积极、消极或中立情绪的一串单词。还有几个问题有待进一步研究；首先，在提议的指标中选择最合适的浓度指标对于我们模型的应用至关重要。然后，我们还将关注两个因素之间具有非零相关性的全规格模型。事实上，如图2所示，我们认为我们引入的模型能够通过简单地调节相关参数值来描述比特币市场中的泡沫。最后但并非最不重要的一点是，利用第2节中描述的统计特性，我们将解决建议模型与观测数据的拟合问题。致谢比特币市场资产和衍生品价格的基于信心的模型21作者感谢意大利银行和佩鲁贾基金会的财政支持。参考文献【1】Fischer Black和Myron Scholes。

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根据关系式（2.3），由于每个t>0的Pt>0，通过应用Fubini定理，我们得到E[Xτt]=Xττ+E“-P0，t-τ= Xττ+EZt公司-τPudu= Xττ+Zt-τE[Pu]du，t>τ，其中对于每个u≥ 0，我们有e[Pu]=φ（0）expuP-σPuE[exp（σPZu）]=φ（0）exp（uPu），因为P是从φ（0）开始的几何布朗运动。HenceE[Xτt]=Xττ+φ（0）Zt-τexp（uPu）du=Xττ+φ（0）uP（exp（uP（t- τ））- 1） ，t>τ。让我们计算Xτt的方差，对于每个t>τ。给定t>τ，我们有Var[Xτt]=VarZt公司-τPudu= E“Zt公司-τPudu#- EZt公司-τPudu,带E“Zt公司-τPudu#= 2E类Zt公司-τPvdvZv-τPudu= 2E类Zt公司-τZv-τPuPvdvdu= 2Zt-τZv-τE[PuPv]dvdu，（A.1）比特币市场23中资产和衍生品价格的基于置信度的模型，由于富比尼定理，最后一个等式成立。此外，根据布朗运动的增量依赖性，对于0<u<v≤ t、 we getE[PuPv]=EPuexp公司uP-σP（五）- u） +σP（Zv- Zu）= 经验值uP-σP（五）- u）EPuE公司exp（σP（Zv- Zu））| FPu= 经验值uP-σP（五）- u）E聚氨酯E[exp（σP（Zv- Zu））]=经验uP-σP（五）- u）E聚氨酯E经验值σP（v- u） （）= exp（uP（v- u） ）E聚氨酯.此外，E聚氨酯= φ（0）expuP-σPuE[exp（2σPZu）]=φ（0）exp2uP+σPu.HenceE【PuPv】=φ（0）exp（uP（v- u） ）经验值2uP+σPu, （A.2）和通过将（A.2）插入（A.1），对于每个t>τ，我们有“Zt公司-τPudu#= 2φ（0）Zt-τexp（uPv）Zv-τexpuP+σPududv=2φ（0）（uP+σP）（2uP+σP）经验值2uP+σP（t- τ）- 1.-2φ（0）uP（uP+σP）（exp（uP（t- τ））- 1） 。最后，收集结果，我们得到Var[Xτt]=2φ（0）（uP+σP）（2uP+σP）经验值2uP+σP（t- τ）- 1.-2φ（0）uP（uP+σP）（exp（uP（t- τ））- （1）-φ（0）uP（exp）（uP（t- τ））- （1）,对于每t>τ。引理3.1的证明。首先，我们证明公式（3.1）定义了一个概率测度Qe等价于(Ohm, 英尺）。这意味着我们需要证明LQis是（F，P）-鞅，即EhLQTi=1。

由于可以适当地选择F-逐步可测过程γ，为了证明这一关系，我们可以假设γ≡ 0，不丧失通用性。设置αt：=uSPt-τ- r（t）σS√Pt公司-τ、 t型∈ [0，T]。（A.3）我们观察到，由于φ（t）>0，对于每个t∈ [-五十、 0]，在（2.2）中，根据定理2.2，点（i），我们得到-τ> 0，所有t的P-a.s∈ [0，T]，因此过程α={αT，T∈ [0，T]}给定24 A.CRETAROLA和G.FIG`ATALAMANCAin（A.3）以及随机变量LQT。显然，α是一个F-渐进的可测量过程。此外，RT |αu | d<∞ P-a.s.，因为过程P的样本路径连续性产生了P对几乎确定有界性的充分定义；另一方面，对于每t，条件φ（t）>0∈ [-五十、 0），这意味着σS√Pt公司-τ、 t型∈ [0，T]在紧致区间[0，T]上有界。设置FPt：=FP={Ohm, },对于t≤ 那么，αu，对于每个u∈ [0，T]为FPT-τ-可测量。自祖以来-τ与Wu无关，对于每个u∈ [τ，T]，以FPT为条件的随机积分rtαudwu-τ具有均值为零且方差为|αu | du的异常分布。因此，正态分布的矩母函数公式经验值ZTαudWuFPT公司-τ= 经验值ZT |αu | du,或同等经验值ZTαudWu-ZT |αu | duFPT公司-τ= 1.（A.4）取（A.4）双方的期望值，立即得出EhLQTi=1。现在，seteSt：=StBt，对于每个t∈ [0，T]。仍需验证比特币折扣价格过程={eSt，t∈ [0，T]}是（F，Q）-鞅。

根据Girsanov定理，在测度从P变为Q的情况下，我们有两个独立的（F，Q）-布朗运动WQ={WQt，t∈[0，T]}和ZQ={ZQt，T∈ [0，T]}分别由wqt定义：=Wt+Ztαudu，T∈ [0，T]，ZQt：=Zt+Ztγsds，T∈ [0，T]。在鞅测度Q下，比特币贴现价格过程满足以下动态测试=测试σSpPt-τdWQt，eS=s∈ R+，这意味着es是（F，Q）-局部鞅。最后，如上所述，很容易检查es是真（F，Q）-鞅。