内生永久市场冲击下的完美套期保值

设g={gt（z）}：Ohm ×【0，T】×R→ R是PB（R）可测函数，其中P是渐进可测σ场，因此z 7→ gt（z）（ω）是一个凸函数，每个（ω，t）的gt（0）（ω）=0∈ Ohm ×[0，T]。对于每个X∈ DT，sup0≤t型≤T∏T（X）|∈ 存在一个渐进可测量的过程Z（X），使得e[ZT | ZT（X）| DT]<∞,andX=∏t（X）+ZTtgs（Zs（X））ds-ZTtZs（X）dWs，（5）所有t≥ 示例1设Dt=L(Ohm, Ft，P）和G是一个逐步可测量的过程，因此e“exp（ztgdt）#<∞.如果∏（X）跟在（5）之后，且gs（z）=Gsz，则X=∏t（X）-ZTtZs（X）dWGs（6）和wg是Q下的标准布朗运动，其中wgt=Wt-ZtGsds，dQdP=exp（ZTGtdWt-ZTGtdt）。因此，∏t（X）=等式[X | Ft]。相反，如果∏（X）被定义为条件期望w.r.t.Q，那么根据鞅表示定理，存在Z（X），使得（6）成立，这相当于（5），其中gs（Z）=Gsz。例2：设γ>0，Dt={X∈ L(Ohm, Ft，P）；E[exp{a | X |}]<∞ 对于所有a>0}，这是一个Orlicz空间。如果∏（X）紧跟在（5）之后，gs（z）=γz/2，则Dmt=γMtZt（X）dWt，（7），其中Mt=exp{-γ∏t（X）}。这意味着{-γX}| Ft]=膨胀{-γ∏t（X）}，e等于（2）。相反地，如果∏（X）由（2）给出，则通过马丁格尔表示定理得到增益，则存在Z（X），使得（7）成立，而（5）成立。例3在好交易约束的示例中，假设我们有一个产生经济噪声的d维布朗运动W，并且股票过程的动力学由dsitsit=uidt+σidWt，i=1，k、 我们进一步假设边界的间隔率为零。设A：=（σ，…，σk）和b：=-u= -（u，…，uk）. 。

可以证明（见[39]）（3）中的计算∏是由以下（5）的期望值给出的，驱动函数（t，z）=-p∧- |PB（0）|PKernel（A）（z）+ zPB（0）。这是我们的例子。我们注意到，如果gt（z）是z中的Lipschitz，则在（ω，t）中一致∈ Ohm ×[0，T]，则X存在唯一解（π（X），Z（X））到（5）∈ L(Ohm, FT，P）和∏t（X）∈ L(Ohm, Ft，P）和∏的四个公理是一个自动满足的公理。如上所述，值得注意的是，当过滤由标准布朗运动生成时，在额外的紧性或支配假设下，满足我们公理的每一个评价∏都对应于一个预期，即存在g，使得∏满足（5）。有关这些和其他相关结果，请参见Jiang【36】、Barrieu和El Karoui【6】、Coquet等人。[18] ，Briand and Hu【10，11】，Hu等人【34】及其参考文献。设∏y=∏（HM- yS）和Zy=Z（HM- yS）对于y∈ R、 我们提出以下技术条件：条件2存在Ohm∈ F带P(Ohm) = 1和a PB（R）可测量功能Z：Ohm ×【0，T】×R→ r对于所有（ω，t，y），Z（ω，t，y）=Zyt（ω）∈ Ohm×[0，T]×R。我们将看到，对于第4节中考虑的马尔可夫模型，该条件总是满足的。即使在非马尔可夫情况下，它也遵循Ankirchneret等人的观点。

[2] 如果gt（z）及其在z上的导数是全局Lipschitz和HMand有界的，那么Zyt（ω）在t上是连续的，在y上几乎对所有ω都是可微的，这尤其验证了条件2。引理1在条件1和2下，I（Y）=HM- ∏（HM）-Y的ZTgt（ZYt）dt+ZTZYTDWT∈ S、 式中，ZYt（ω）=Z（ω，t，Yt（ω））。证明：表示Y的不连续点∈ Sby0≤ τ<τ<·······。设n为不连续点的数量，对于k，τ=0，τk=T≥ n+1。根据定义，I（Y）=YTS-X0≤t<t∏t（HM- YtS）- ∏t（HM- Yt+S））=YTS-nXj=1∏τj（HM- YτjS）- πτj（HM- Yτj+1S））=HM- ∏（HM）-nXj=0∏τj+1（HM- Yτj+1S）- πτj（HM- Yτj+1S））。（8） 这里我们使用了∏T（HM- YTS）=HM- YTS和Y=0。再次通过定义∏τj+1（HM- yS）- πτj（HM- yS）=Zτj+1τjgs（Zys）ds-Zτj+1τjZysdWs。由于Y是一个简单的可预测过程，Yτj+1是Fτj可测量的，因此，我们可以将Y=Yτj+1替换为i（Y）=HM- ∏（HM）-nXj=0Zτj+1τjgs（ZYs）ds-Zτj+1τjZYsdWs,这意味着结果////通过这个引理，我们自然地扩展了I（Y）toS的域：=（Y：Ohm ×【0，T】→ Rp可预测ZT | ZYt | dt<∞).现在，我们准备在一个抽象的框架中给出本文的主要结果。条件3存在Ohm∈ F带P(Ohm) = 1和a PB（R）可测函数Z-: Ohm ×【0，T】×R→ r使Z（ω，t，Z-（ω，t，z））=所有（ω，t，z）的z∈ Ohm×[0，T]×R.条件1，2和3下的定理1，对于任何HL∈ DT，我们有-HL=∏（HM）- ∏（HM+HL）+I（Y*),其中Y*由Y定义*t（ω）=Z-（ω，t，Zt（HM+HL）（ω））。证明：根据条件1，存在Z*:= Z（HM+HL），使得HM+HL=∏（HM+HL）+ZTgs（Z*s） ds公司-ZTZ公司*sdWs。定义Y*作为Y*t（ω）=Z-（ω，t，Z*t（ω））。然后，ZY*t（ω）=Z（ω，t，Y*t（ω））=Z*t（ω）。因此，通过引理1I（Y*) = 陛下- ∏（HM）-ZTgt（Z*t） dt+ZTZ*tdWt，这意味着结果。

////这个定理意味着任何期权支付-HL可以通过初始资本为∏（HM）的证券的自我融资动态交易策略完美复制- ∏（HM+HL）。这是-HL，反映了风险的多样性影响。在第4节中，我们研究了更易于处理的模型，并发现在合理的假设下，条件1、2和3是满足的。4马尔可夫市场我们验证了条件2和条件3，并在马尔可夫模型下描述了半线性偏微分方程解的套期保值策略。更准确地说，除了条件1，我们假设gt（z）=g（z，t），S=S（FT），HM=HM（FT），其中g:R×[0，t]→ R、 s：R→ R和hM:R→ R是Borel函数，Fis是SDEdFt=u（Ft，t）dt+σ（Ft，t）dWt的解，其中u：R×[0，t]→ R和σ：R×[0，T]→ R+是以下se nse中的Lipschitz函数：存在L>0，使得1|u（x，t）- u（y，t）|+|σ（x，t）-σ（y，t）|≤ L | x- y |和2|u（x，t）|+|σ（x，t）|≤ L（1+| x |）表示所有x，y∈ R和t∈ [0，T]。马尔可夫过程F应理解为非经济因素。如第3节所述，过滤{Ft}应该由标准布朗运动W生成。设p:R×[0，T]×R→ R是PDE的C2,1,0解决方案tp（x，t，y）+u（x，t）xp（x，t，y）+σ（x，t）xp（x，t，y）=g(- σ（x，t）xp（x，t，y），t）（9）在R×（0，t）×R上，p（x，t，y）=hM（x）- ys（x）表示所有（x，y）∈ R、 假设它存在。那么，（y，Zy）定义的b y∏yt=p（Ft，t，y），Zyt=-σ（Ft，t）xp（Ft，t，y）是X=HM的BSDE（5）的解决方案- 每个y的y∈ R、 在下面的两小节中，我们分别处理驱动R g是lipschitz，g是二次函数，或者等价地∏是指数函数的情况。4.1 Lipschitz-Drivers定理2设Dt=L(Ohm, Ft，P）对于t∈ [0，T]和假设1。

hMand s与s′在C（R）中≥ 0，s′（英尺）∈ DT，2。u、σ和g在C1,0（R×[0，T]）和zg有界，3。p在C3,1,0（R×[0，T]×R）和满意度（9），4中。指数增长的h′Mis和σa和u是有界的，或多项式增长的h′Mis，并且以下条件之一成立，a）infx∈Rs′（x）>0。b） 1/σ有界且对于所有t∈ [0，T），存在M∈ R使INFX∈[M，∞)s′（x）>0和f+FT的支撑- P下的Ft（·| Ft=f）包括[M，∞) 对于Ft.c）中的任何f，1/σ有界于所有t∈ [0，T），存在M∈ R使INFX∈(-∞,M] s′（x）>0和f+FT的支撑- P下的Ft（·| Ft=f）包括(-∞, M] 对于Ft.d）中的任何f，σ（x，t）=σ（t）与x无关，u有界，对于所有t∈ [0，T），存在这样的间隔[a，b]- a>2（kuk∞+ kxσk∞+ kzgk公司∞)T、 infx公司∈[a，b]s′（x）>0，且支撑f+FT- P（·| Ft=f）下的Ft包括支持Ft的任何f的[a，b]。然后，条件2和3与z（ω，t，y）=-σ（Ft（ω），t）xp（Ft（ω），t，y），Z-（ω，t，z）=inf{y∈ RZ（ω，t，y）≥ z} 。特别是对于任何HL∈ DT，-HL=p（F，0，0）-∏*+ I（Y）*), Y*t（ω）=Z-（ω，t，Z*t） ，其中（π*, Z*) 是BSDEHL+hM（FT）=∏的唯一解*t+ZTtg（Z*s、 s）ds-ZTtZ公司*sdWs。（10） 备注1如果增量FT，则满足情况b）-d）中F的条件-Ft在每个初始条件Ft=f的情况下，在R中有完全支撑。备注2如果s′替换为-假设中的s′。证明：（π）的唯一存在性*, Z*) 根据g是前面提到的Lipschitz这一事实。条件2来自PDE（9）和xp。为了验证条件3，我们将显示→±∞Zyt=±∞.

（11） 设q（x，t，y）=-xp（x，t，y）并区分PDE（9），以获得，tq（x，t，y）+u（x，t）xq（x，t，y）+σ（x，t）xq（x，t，y）=- (xu（x，t）+zg（σ（x，t）q（x，t，y），t）xσ（x，t））q（x，t，y）-zg（σ（x，t）q（x，t，y），t）+xσ（x，t）σ（x，t）xq（x，t，y）。将It^o公式应用于Vyt=q（Ft，t，y）= σ-1（Ft，t）Zyt,VyT=VyT+ZTt-xu（Fs，s）+zg（Zys，s）xσ（Fs，s）Vys+zg（Zys，s）+xσ（Fs，s）σ（Ft，t）^Zysds公司-ZTtσ（Ft，t）^ZysdWs=Vyt+ZTt-xu（Fs，s）+zg（Zys，s）xσ（Fs，s）Vysds-ZTtσ（Ft，t）^ZysdWQs，其中^Zyt=-xq（Ft，t，y），WQt=Wt+Zt(zg（Zys，s）+xσ（Fs，s））ds。通过dqdp=exp定义概率度量Q（取决于y）(-ZT公司(zg（Zys，s）+xσ（Ft，t））dWt-ZT公司(zg（Zys，s）+xσ（Ft，t））dt）。然后Vyt=EQ“exp（ZTt(xu（Fs，s）+zg（Zys，s）xσ（Fs，s））ds）VyT英尺#=- EQ“exp（ZTt(xu（Fs，s）+zg（Zys，s）xσ（Fs，s））ds）h′M（FT）Ft#+yEQ“exp（ZTt(xu（Fs，s）+zg（Zys，s）xσ（Fs，s））ds）s′（FT）英尺#。注意，Q d在y上延伸。在Q下，dFt=（u（Ft，t）-zg（σ（Ft，t）q（Ft，t，y），t）-xσ（Ft，t））dt+σ（Ft，t）dwqt，尤其是F是马尔可夫。请注意，每个Q下的F具有不同的分布。自k起xuk∞+ kzgk公司∞kxσk∞< ∞ 和s′≥ 0，这是足够的toshowsupy∈需求| h′M（FT）| FT=fi<∞ （12） andinfy公司∈要求s′（FT）| FT=f> 0.（13）Let fix t∈ [0，T）和f，以支持Ft.define FQu和\'FQu，u≥ t bydFQu=（u（FQu，u）- K） du+σ（FQu，u）dWQu，FQt=f，d'FQu=（u（'FQu，u）+K）du+σ（'FQu，u）dWQu，'FQt=f，其中K=Kzgk公司∞+ kxσk∞. 根据【37】第5节中的2.18号提案，我们拥有FQU≤ 傅≤(R)所有u的FQU∈ [t，t]。为了检查方程（12），请注意，如果h′Mgrows atmost exponentially且u和σ有界，则我们有sup∈需求| h′M（FT）| FT=fi≤L supy公司∈需求量（C'FQT）| FQT=fi+L供应∈REQhexp(-CFQT）| FQt=fi≤L supy∈REQ“exp（CZTtσ（(R)FQs，s）dWs-CZTtσ（(R)FQs，s）ds）| FQt=f#+~L supy∈REQ“exp(-CZTtσ（FQs，s）dWs-CZTtσ（FQs，s）ds）| FQt=f#<∞对于某些常数L，C，~L>0，其中最后一个不等式由Novikov\'scriterion保持。

对于没有u和σ有界的多项式增长的h′Mis的情况，也存在类似的论点，其中我们使用了等式[| | FQT | m | | FQT=f]<∞, 等式[| FQT | m | FQT=f]<∞对于任何m∈ N、 请注意，左侧不依赖于Q，因此也不依赖于y。为了检查（13），我们按顺序考虑这四种情况。案例a）：在这种情况下，案例（13）是明确的。案例b）：假设s′（x）≥ 对于所有x，>0∈ [M，∞). 很明显，每个Q下的FQ都具有相同的分布和对“FQ”的保留。因此，等式[s′（FT）| FT=f]≥ 公式[s′（FT）1[M，∞)（FQT）| Ft=f]≥ Q（FQT≥ M） >0，其中最后一个严格不等式保持为FQThas，在P′下由dp′dQ=exp给出的分布相同KZTtdWQuσ（FQu，u）-KZTtduσ（FQu，u）P下为Ft（·| Ft=f）。由于1/σ上的有界性假设，概率测度P′得到了很好的定义。其余部分来自定理1。案例c）：与案例b）处理类似。案例d）：定义FQu，u≥ t byd^FQu=u（^FQu，u）du+σ（^FQu，u）dWQu=u（^FQu，u）du+σ（u）dWQu，^FQt=f。显然，在P（·| Ft=f）下，每个Q下的^fqtun与f具有相同的分布。由于σ不依赖于x，k^FQT- FTk公司∞= k^FQT-^FQt- （英尺- Ft）k∞≤ （K+KuK∞)（T- t） 。PutB=（x∈ Rx个-a+b<b- 一- （K+KuK∞)T） 。然后，等式[s′（FT）| FT=f]≥ 等式[s′（FT）1B（FT+^FQT-^FQt）| Ft=f]≥ Q（f+^FQT）-^FQt∈ B） =P（f+FT- 英尺∈ B | Ft=f）>0，其中第二个不等式成立，因为必然是f+Ft- 英尺∈ [a，b]iff+^FQT-^FQt∈ B、 其余部分来自定理1////4.2指数效用定理3设Dt={X∈ L(Ohm, Ft，P）；E[exp{a | X |}]<∞ 对于所有a>0，u（x，t）=b（t），σ（x，t）=σ（t），和g（z，t）=β（t）z+γz/2，其中b∈ L（[0，T]），β满足经验值RTβ（t）dt< ∞ γ>0。如果s和HMA是线性增长的，s在R上是严格单调的，则条件1、2和3成立。证明：扩展示例2，我们得到∏t（X）=-γlog EQ[经验{-γX}Ft]，dQdP=exp（ZTβ（t）dWt-X的ZTβ（t）dt）∈ DT。

特别是，条件1成立且∏yt=-γlog EQ[经验{-γ（hM（FT）- ys（FT））}| FT]，FT=σ0，TWQT+B（T），其中wqi是在QandB（T）=Zt（B（s）+β（s））ds和σT下的标准布朗运动，T=sZTtσ（s）ds。通过简单的计算，我们可以看到，p（x，t，y）=-γlogZexp-γ（hM（u）- ys（u））-（u）- x+B（t）- B（T））2^σT，Tduq2π^σt，Tand so，- xp（x，t，y）γex p(-γp（x，t，y））=Z（u- x+B（t）- B（T））√2π^σt，Texp-γ（hM（u）- ys（u））-（u）- x+B（t）- B（T））2^σT，T杜。因此Zy=-xp（Ft，t，y）在y中是连续的，尤其是条件2保持不变。用（l，r）表示间隔s（r）。修复t∈ [0，T）和定义：[l，r]→[-∞, ∞] 按Д（v）=s-1（v）- x+B（t）- B（T）^σT，T。此外，通过u（dv）=exp定义（l，r）上的测量u-γhM（s-1（v））-s-1（v）- x+B（t）+B（t）2^σt，ts-1（dv）。然后，通过应用附录中的引理2，我们得到了limy→±∞|xp（x，t，y）|=∞,这意味着条件3////下面的命题表明，s的严格单调性是条件3保持指数效用的必要条件。这与Lipschitz司机的情况相反。命题1设u=0，σ=1，g（z，t）=γz/2，hM=0，s（x）=（x- k） +，其中k∈ R、 那么，对于任何t∈ [0，T），石灰→∞Zyt=∞, 石灰→-∞Zyt=-φk-Wt公司√T-t型γ√T- tΦk-Wt公司√T-t型,其中φ和Φ分别为标准正态密度和d分布函数。证明：Sincep（w，t，y）=-γlog E[exp（yγ（WT- k） +）| Wt=w]，我们得到exp(-γp（w，t，y））=经验T- tγy+γy（w- k）1.- Φk- w√T- t型-√T- tγy！！+Φk- w√T- t！因此，Zyt=-pw（Wt，t，y）=y expT-tγy+γy（Wt- k）1.- Φk-Wt公司√T-t型-√T- tγy经验值T-tγy+γy（Wt- k）1.- Φk-Wt公司√T-t型-√T- tγy+ Φk-Wt公司√T-t型.这里我们使用了identityexpT- tγy+γy（w- k）φk- w√T- t型-√T- tγy！=φk- w√T- t！。自Φ(-∞) = 0，我们有limy→∞Zyt=∞.

Sincelimx公司→∞x（1- Φ（x））φ（x）=1，我们有limy→-∞Zyt=石灰→-∞yφk-Wt公司√T-t型φk-Wt公司√T-t型+k-Wt公司√T-t型-√T- tγyΦk-Wt公司√T-t型 = -φk-Wt公司√T-t型γ√T- tΦk-Wt公司√T-t型.////5欧式期权的显式计算在这里，我们考虑带有Borel函数HL:R的情况HL=HL（S）→ R在上一节的马尔科夫框架下。这与大型交易员需要对冲欧洲期权的情况相对应-hL（S）写在S上。然后，溶液（π*, Z*) BSDE（10）的*t=v（Ft，t），Z*t=-σ（Ft，t）xv（Ft，t），其中tv（x，t）+u（x，t）xv（x，t）+σ（x，t）xv（x，t）=g(-σ（x，t）xv（x，t），t），v（x，t）=hM（x）+hL（s（x））。现在，让我们考虑一个特定的模型来讨论我们对市场的考虑如何影响对冲策略。设Ft=Wt，HM=与a相同∈ R、 S=b+带b的CWT∈ R、 c>0且g（z，t）=γz/2，带γ≥ 那么，当γ>0时，∏yt=p（Wt，t，y）=-γ对数E[经验-γ（a- y） （b+cWT）|Wt]=（a- y） （b+cWt）-T- tγ（a- y） c.这也可以从p（x，t，y）=（a）的事实中看出- y） （b+cx）-T- tγ（a- y） C解决方案tp（x，t，y）+xp（x，t，y）=γ|xp（x，t，y）|，p（x，t，y）=（a- y） （b+cx）。（当γ=0时也是如此。）那么很容易看出Zyt=-（a）- y） c、Z-（ω，t，z）=a+zc，因此-hL（S）isY*t=a-cxv（Wt，t），其中v是电视（x，t）+xv（x，t）=γ|xv（x，t）|，v（x，t）=a（b+cx）+hL（b+cx）。请注意，这是一个向后的Kardar Parisi-Zhang方程，导数Eu=xv解出一个反向Burgers方程：图（x，t）+xu（x，t）=γu（x，t）xu（x，t），u（x，t）=ac+ch′L（b+cx）。（14） 我们还有一个积分表示；当γ>0时，v（x，t）=-γ对数E[经验-γ（a（b+cWT）+hL（b+cWT））|Wt=x]=-γlogZexp-γ（ay+hL（y））p2πc（T- t） 经验值(-（y）- b- cx）2c（T- t） 当γ=0时，v（x，t）=a（b+cx）+E[hL（b+cWT）| Wt=x]，这对应于Bachelier模型下的套期保值。在某些情况下，我们可以更加明确。

众所周知，如果u是Burgers方程的解，那么uλ（x，t）=λu（λx，λt）也是Burgers方程的解。此外，还有一些非平凡的显式解决方案可用；例如，u（x，t）=1-tanh（γx+γt+δ）和δ∈ R a和1- tanh（γx+γT+δ）为终端条件。假设γ>0，a=0，大交易方必须对冲大量的输出期权（K∈ R、 λ>>1）2λ（K- S）+≈ λK- S+λγ对数余弦(-λγ（K- S） ）！=：- hL（S）。Sinceh′L（s）=λ（1- tanh公司(-λγ（K- s） ）），则（14）的解u由u（x，t）=λc（1）给出-tanh（γλcx+γλct+δ）），（15），其中δ=λγ（b- K）- γλcT。因此，套期保值策略是*t=-λ（1- tanh（γλ（b+cWt- K）- γλc（T- t） ））。（16） 它也遵循v（x，t）=λ（b+cx-K- λγc（T- t）-λγ对数余弦λγ（b+cx- K）- λγc（T- t）)因此，根据定理1，时间0的复制成本计算为asp（W，0，0）-v（W，0）=λ（K- S+λγcT+λγlog cosh-λγ（K- S）- λγcT)≈ 2λ（K- S+λγcT）+，其中S=b+cW。这里可以清楚地看到λ中的非线性。另一方面，当γ=0时，我们处于Bachelier模型下，因此，看跌期权的套期保值是标准的；输出St=E【S | Ft】=b+cWt，E【2λ（K- S） +| Ft]=2λ（K- St）ΦK- Stc公司√T- t！+c√T- tφK- Stc√T- t！！所以对冲策略是*t=-2λΦK- Stc公司√T- t！=-2λΦK- b- cWtc√T- t！。（17） （16）和（17）都是(-St的2λ，0）值增函数。显著差异在于它们依赖于T-t、 当策略变得更加灵活时-t在Bachelier模型下增加（17），t-t只是一个位置参数，不会改变（16）下的功能形状。函数（15）被解释为从终端条件h′L传播的冲击波。Esscher测度的收敛引理2设u为R上的测度，z（1+| x |）eyxu（dx）<∞对于所有y∈ R