内生永久市场冲击下的完美套期保值

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英文标题：
《Perfect hedging under endogenous permanent market impacts》
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作者：
Masaaki Fukasawa and Mitja Stadje
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We model a nonlinear price curve quoted in a market as the utility indifference curve of a representative liquidity supplier. As the utility function we adopt a g-expectation. In contrast to the standard framework of financial engineering, a trader is no more price taker as any trade has a permanent market impact via an effect to the supplier\'s inventory. The P&L of a trading strategy is written as a nonlinear stochastic integral. Under this market impact model, we introduce a completeness condition under which any derivative can be perfectly replicated by a dynamic trading strategy. In the special case of a Markovian setting the corresponding pricing and hedging can be done by solving a semi-linear PDE.
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中文摘要：
我们将市场中报价的非线性价格曲线建模为代表性流动性供应商的效用无差异曲线。作为效用函数，我们采用g-期望。与金融工程的标准框架不同，交易员不再是价格接受者，因为任何交易都会通过对供应商库存的影响而对市场产生永久影响。交易策略的损益被写成非线性随机积分。在此市场影响模型下，我们引入了一个完备性条件，在此条件下，任何衍生工具都可以通过动态交易策略完全复制。在马尔可夫设定的特殊情况下，可以通过求解半线性偏微分方程来进行相应的定价和套期保值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Perfect_hedging_under_endogenous_permanent_market_impacts.pdf (206.26 KB)

2022-5-31 03:34:38 上传

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关键词：套期保值 Quantitative Mathematical Applications Indifference

内生长期市场冲击下的完美套期保值*Masaaki Fukasawa+和Mitja StadjeAbstractWe将市场报价的非线性价格曲线建模为代表性流动性供应商的效用差异曲线。作为效用函数，我们采用g-期望。与标准的金融工程框架不同，交易员不再是价格接受者，因为任何交易都会通过影响供应商的库存对市场产生重大影响。交易策略的P&Lof被写成一个非线性随机积分。在这个市场影响模型下，我们引入了一个完备性条件，在此条件下，任何衍生工具都可以通过动态交易策略完全复制。在马尔可夫设置的特殊情况下，可以通过求解半线性偏微分方程来进行相应的定价和套期保值。1简介金融工程已经很流行。如今，对冲衍生品占金融实践的很大一部分。具有讽刺意味的是，金融工程的蔓延打破了其前提，即衍生工具的基础资产价格不受对冲活动的影响。假设出售了大量的PutOption，买方承诺进行delta套期保值，即当基础资产的价格下跌时买入，当价格上涨时卖出。这种套期保值需求强劲，因此抑制了基础资产价格的波动。最终，基础资产的波动性会比以前小，这会导致买家在购买时过度估计波动性而蒙受损失。据Bookstaber（8）所述，这正是所罗门兄弟在90年代末日本市场遭受巨大损失时所发生的情况。

很多市场崩溃，比如Blac k*这项工作得到了（i）作为联合研究中心的京都大学经济研究所和（ii）日本科学促进会、KAKENHI GrantNumber 25245046和24684006（Fukasawa）以及NWO VENI 2012（Stadje）的支持。+M、 Fukasawa，大阪大学工程科学研究生院和数学建模与数据科学中心，地址：日本大阪丰中县Machikaneyama 1-3号。电子邮件：fukasawa@sigmath.es.osaka-u、 伦敦大学数学与经济学院ac.jpM.Stadje认为对冲策略对市场的反馈作用。市场流动性不足一直是解释金融危机的关键词。本文讨论了一个可处理模型下的套期保值问题，该模型内生地捕获了清算中的非线性、永久性市场影响和实际市场中观察到的非流动性导致的市场崩溃等现象。撞车是罕见的事件；因此，流动性成本的外生统计模型不足以满足我们的目的。为了更深入地理解流动性风险，需要进行经济考虑。本文提出了一种具有分析可处理结构的效用基础资产定价模型。Brennan和Schwartz[9]研究了衍生品合同对均衡价格的影响，其中衍生品合同通过修改代表性ge nt的终端财富来影响均衡。Frey和Stremme[25]研究了在一个均衡模型下动态套期保值的feedbac效应，该模型具有外部给定的供给和需求函数。Frey[24]在这样一个均衡模型下处理了一个完美的套期保值问题。Cvitani’cand Ma【19】根据倒向随机微分方程（BSDE），提出了一个具有反馈效应的套期保值问题。

在阿马尔科夫环境的特殊情况下，BSDE与半线性偏微分方程密切相关。一方面，这些研究成功地解释了一些定性现象，如通过对冲凸期权导致标的资产波动率增大。另一方面，由于在指定模型参数以及计算价格和策略方面存在困难，因此它们对定量分析或财务实践没有多大用处。我们首先从经济学的角度对非线性市场价格进行建模。在标准限价订单市场中，流动性供需双方的角色是不对称的。流动性供应商提交限额指令，为特定数量的资产报价。他们可以相互交易，以最大限度地提高自己的效用。一旦达到平衡，在新信息出现之前，他们之间就不会再发生交易。然而，只要相应的交易提高了其效用，每个流动性供应商仍然应该有提交限额订单的动机。剩余的限价订单形成价格曲线，该曲线是数量的非线性函数。考虑到流动性供应商之间的aBertrand型竞争，将价格曲线建模为代表性流动性供应商的效用差异曲线是合理的。当流动性供应商的效用函数为冯·诺依曼-摩根斯特恩型时，Bankov和Kramkov证明了代表性流动性供应商（或，Market maker）的存在[3，4]。在本文中，关于供应商的效用函数，我们采用了Pe ng[46]引入的期望。指数效用是这两个框架的交叉点。从经济学的角度来看，广义预测的一个优点是考虑了歧义厌恶。

从技术角度来看，它的一个优点是允许对随机微积分进行分析操作。这种效用函数下代表性代理的存在源自Horst等人【32】。在本文中，我们假设有一个称为市场的代表性流动性供应商，该供应商根据效用差异原则为每一卷报价，她的效用是具有现金不变性的g-期望。如果g-期望的驱动力是一个线性函数，那么价格曲线将变为线性involume，我们将恢复金融工程的标准框架。如果市场是风险中性的，则资产的效用差异价格包括与资产相关的未来现金流的预期价值。特别是，价格曲线在数量上是线性的。这种最简单的框架被许多研究所采用，如Glosten和Milgrom【28】。我们的方法不同于经典著作，包括Garman【26】、Amihud和Mendelson【1】、Ho和Stoll【31】、Ohara和Old field【43】，在这些著作中，报价是具有外源给定订单流的做市商效用最大化问题的解。这里，我们考虑一个对冲问题，因此，逆流是内生决定的。Bank和Kramkov【3，4】分析了大型交易的市场影响，并制定了一个非线性随机积分，作为大型交易者给定策略的收益和损失。当市场效用是具有现金不变性的g-e期望时，本文证明了非线性Tochastic积分有一个用SDES族解表示的表达式。然后，我们证明了一个完美套期保值策略的存在性遵循BSDE解的存在性。

该模型代表了一种由内生决定的永久性市场影响，而文献中广泛考虑了由外生建模的即时或临时市场影响模型。参见例如Cetin等人【14】、Fukasawa【23】、Gu’eant【29】及其参考文献。Gu’eant和Pu研究了线性永久市场影响模型[30]。在第2节中，我们描述了非线性价格模型。在第3节中，Weintroducing介绍了几个条件，在这些条件下，大型交易的损益允许aBSDE表示，并且衍生品的完美对冲是可能的。在第4节中，我们考虑了一类允许更明确计算的模型，并验证了第3节中的条件。在第5节中，我们考虑了欧洲期权的套期保值，并讨论了该模型如何捕捉非流动性现象。2永久市场影响模型我们假设无风险利率为零。设T>0为会计期间的结束。每个年龄段的nt都会根据其在T时的财富来评估其效用。考虑一种证券，其在T时的价值是由祖先决定的。我们通过S andregard将该值表示为在过滤概率空间中定义的可测量随机变量(Ohm, F、 P，{Ft}）满足通常条件。这种证券在T时的价格微不足道，但在T<T时的价格应该是可测量的，并将由基于效用的机制内部决定。在我们的模型中有两个代理：一个大型交易员和一个Marke t。市场为每一卷证券报价，我们在这里有一个限额订单簿。她可以规避风险，因此她的报价在数量上可能是非线性的，并且会影响她对这种证券的库存。大商人参考报价并做出决定。

由于市场的库存考虑，她无法避免交易对报价的影响，并在这种内生市场影响下寻求最佳策略。作为市场的定价规则，我们的模型采用效用差异原则。作为市场的效用评估，我们考虑了一类{（πτ，Dτ）}τ的泛函∏τ：DT→ Dτ具有以下性质，其中τ是一个[0，T]值的停止时间，Dτ是Fτ-可测随机变量的线性空间：对于任何X，Y∈ DT，1。πτ（0）=0,2。πτ（X+Y）=如果Y，则∏τ（X）+Y∈ Dτ，3。πτ（λX+（1- λ） Y）≥ 所有λ为0∈ [0，1]如果∏τ（X）≥ 0和∏τ（Y）≥ 0,4。πτ（X）≥ 存在σ时∏τ（Y）≥ τ使得∏σ（X）≥ πσ（Y）。对这一公理化的ap p方法的评论如下：1。最简单的例子是∏T（X）=E[X | Ft]（1），其中Dt=Lp(Ohm, Ft，P）带P≥ 1、当p=2时，该评估可解释为未来碳潮流的正交投影。一个更有趣的例子是经验效用：∏t（X）=-γ对数E[经验{-γX}| Ft]（2），Dt=L∞(Ohm, Ft，P），其中γ>0是风险规避的参数。Bylettingγ→ 0，我们恢复上一个示例。让γ→ ∞, wehave∏t（X）=infnEQ【X | Ft】；Q~ P、 Q=Fto上的P。它本质上代表了Kupper和Schachermayer[41]给出的条件概率Ft下X的最大值，冯·诺依曼-摩根斯坦类型的任何其他效用都不等同于满足四个公理的评估。3、更一般而言，∏t（X）=-ρt（X）满足四个公理，如果{ρt}是一个动态凸风险度量，请参见Barrieu和El Karoui[5]、Riedel[44]、Delbaen[20]、Delbaen等人[21]、Kl–oppel和S c hweizer[38]、Cheridto、Delbaen和Kupper[15]、Rusczy\'nsky和Shapiro[45]、Detlefsen和Scandolo[22]、Cherny和Madan[16]。凸风险度量对于银行或保险公司的风险管理具有重要作用。4.

当Dt=L时∞(Ohm, Ft，P），在所谓的fatou性质的附加假设下，∏允许表示∏t（X）=ess。infnEQ【X | Ft】+ct（Q）；Q~ P、 Q=Fto上的P，其中CT（Q）=ess。supn∏t（X）- 等式【X | Ft】；十、∈ Dto。基于这种表述，根据Gilboa和Schmeidler[27]的多优先级决策理论以及Maccheroni等人[4 2]的变量偏好，使用∏作为效用评估的代理可以被解释为是模糊厌恶的，另见Cerreia Vioglio等人[13]。在多先验的情况下，ct（Q）只能取零值或整数值，而变分偏好允许使用一般惩罚函数c。ct（Q）可以被视为在时间t时，在ct（Q）=∞ 这意味着该模型完全不可靠，并被排除在分析之外。有关此类评估具有时间一致性的充分和必要条件，请参见示例【21】。上述形式的robustexpections是稳健统计学中已知的一个lso，参见Huber[35]或更早的Wald[47]。在无套利定价理论中，试图通过限制所考虑的定价核集合来缩小无套利界限。其中一种方法是在Cochrane和Sa'a-Requejo【17】中引入的ansatz的良好交易边界，该边界对应于排除导致夏普比率过高的定价核。直觉是，这些交易“太好了，不可能是真的”，并将在竞争市场中被淘汰。使用Hansen-Jagannathan界限，如[17]所示，这对应于只考虑接近物理度量的定价核，因为它们的方差或在连续时间内其波动性是有界的，另请参见Bj¨ork和Slinko[7]。

因此，对于波动率以常数∧>0（取决于可能的最高夏普比）为界的局部鞅测度，在布朗环境中进行良好的界估计的惩罚函数为零。因此，如果我们让M b e是局部等价鞅测度集并识别每个测度Q<< P具有Radon NikodymderivativedQdP=E（q·W）T, E表示随机指数，我们可以定义An：={Q<< P|q|≤ ∧}。然后用∏t（X）=ess给出了好的交易界估计。supQ公司∈M∩AnEQ[X | Ft]。（3） 例如，从[20]可以看出，这种评估是时间一致的。我们假设S∈ 在续集中。假设市场最初被赋予风险资产，该资产在时间T产生现金流，以HM表示∈ DT。如果时间t的市场∈ [0，T]持有所讨论证券的z个单位和库存HM，然后她的效用被测量为∏T（HM+zS）。根据效用差异原则，市场对y个证券单位的卖出价byPt（z，y）：=inf{p∈ R∏t（HM+zS- yS+p）≥ ∏t（HM+zS）=∏t（HM+zS）- ∏t（HM+（z- y） S）。（4） 对于等式，我们使用了∏的第二个公理（现金不变性）。请注意，在风险中性情况（1）中，Pt（z，y）=yE【S | Ft】。一般来说，价格取决于证券的库存z，它描述了永久市场影响。在建模长期市场影响的文献中，价格操纵的存在性一直是一个关键问题；例如，参见Gu’eant[29]及其引用。我们的模型d不允许任何价格操纵，因为往返成本始终为0:Pt（z，y）+Pt（z- y-y） =0。对于所有的t和z，Pt（z，y）是y的凸函数，其中Pt（z，0）=0 b是∏（凹度）的三次方。

这尤其意味着-Pt（z，-y）≤ Pt（z，y）表示任何y和z，这意味着某个金额的售价高于或等于相同金额的买价。这代表了衡量市场流动性的投标报价。设Sbe为Y=0的简单可预测过程Y的集合。大交易者可以接受任何元素Y∈ 作为她的交易策略。时间t时证券y单位的价格为Pt(-Yt，y）。这是因为市场占有-由于之前与大交易者的交易，YT持有的证券单位。然后是与Y相关的时间t的利润和损失∈ S（即，与自我融资策略Y相对应的最终财富）由i（Y）给出：=YTS-X0≤t<TPt(-年初至今，Yt）。由于（4），I（Y）具有Inkuta研究的非线性随机积分的形式【40】；见下文（8）。注意，在风险中性情况（1）中，I（Y）=YTST-X0≤t<TStYt=ztytdsby按部件积分，其中st=E【S | Ft】。在第3节中，我们证明了当∏是g-e期望时，I（Y）允许用bsde表示，这使我们能够将域扩展到更大的可预测过程集。现在，假设大交易者有一个相当于支付的期权合同-HL公司∈ DTat T。套期保值问题就是要找到一个唯一的元素（a，Y）∈ R×S，以便-HL=a+I（Y）。3具有g-期望的市场中的套期保值在连续时间环境中，过滤是由布朗运动生成的。众所周知，满足我们的公理的∏本质上等于满足g-期望的∏。g-期望也给出了I（Y）的方便表示。更准确地说，我们在效用函数（πt，Dt）的以下条件下工作：条件1过滤{Ft}是标准布朗运动W生成的过滤的增强。