具有交易费用模型中Radner均衡的存在性

在[18，11]中，作者有一个单一的均衡价格，而不是两个影子价格，但这些作品需要允许代理人根据总的外部成本支付不同的交易成本。我们能够避免这种内生的成本分割，同时保持可伸缩性，部分原因是我们选择与影子市场合作。以下是本节的主要结果。证据见第6节。定理2.4。设▄βi：=βi+αiui-αiσi，并假设在i=1，2时▄βiis严格正。对于λ∈ [0，1），存在一个严格正的恒定阴影利率r，rand恒定阴影年金值A=1/r，A=1/r的均衡。投资者i=1，2的最优消费和财富过程分别由（2.3）和（2.4）决定。情况1：无交易均衡发生在ifeβ- 1eβ- 1.∈1.-λ1+λ，1+λ1-λ. （2.5）在这种情况下，r=e|β- 1.r=e|β- 1..与该均衡一致的可能恒定非影子利率范围由r=（rtn）n给出≥0带RTN∈1.-λemax（|β，|β）- 1.,1+λemin（▄β，▄β）- 1.6=.案例2：存在一种均衡，在这种均衡中，代理人1将始终在均衡状态下购买该公司的股份≥ 0（代理2出售股票）ifeβ- 1eβ- 1> 1+λ1- λ、 （2.6）如果利率r>0由以下公式唯一确定：1+r1.- λα1+r1+λα= e▄βα+▄βα，（2.7），影子利率以r=r（1+λ）=r（1）的形式给出- λ） 。参数▄β和▄β代表代理人的时间p参考参数，用于根据风险和收入调整的消费。严格正的▄βi参数对应于允许严格正均衡影子利率的经济。严格正的影子利率反过来确保影子年金价值得到明确定义。即使允许其中一个￠βi参数过零，也会导致相应的影子年金价值不确定。

从财务上讲，这一案例与银行账户无法复制（零交易成本）固定利率影子年金的案例相对应，因为bank账户的价值不断缩水。如（2.5）所示，当代理的参数▄β和▄β非常接近时，代理就没有动机进行交易，因为交易成本相对较高。只有当参数▄β和▄β相距足够远以克服交易成本时，交易才处于均衡状态。在这种情况下，代理的策略非常简单：在任何时间段都可以买入或卖出完全相同的金额。备注2.2。如果不等式（2.6）被忽略，使得Eβ- 1eβ- 1> 1+λ1- λ、 然后我们可以得出一个类似的结果，其中代理1和代理2的角色互换。3连续时间均衡在我们的简单设置中，只有一种交易证券具有恒定的分割，这就意味着最优的连续时间交易策略相对于勒贝格测度（dt）是绝对连续的，即使布朗噪声通过收入流进入经济。由于消费发生在dt时间尺度上，因此绝对连续性属性将允许在实际商品市场中以相同的dt时间尺度支付交易成本。在本节中，我们考虑有限时间h orizon-Radner平衡中的连续时间。唯一交易的证券是年金A，它是在一个净供应量中，可以按比例交易成本率λ进行交易∈ [0，1）。无风险利率r>0将使用均衡年金值在均衡中内生确定。

我们再次关注允许恒定正利率的均衡，在这种情况下，年金价值将是常数A=1/r。这两个代理中的每一个都有一个外部收入流，由Yi=（Yit）t，i=1，2给出，d y namicsdYit=uidt+σidBit，Yi0∈ R、 其中ui∈ R、 σi＞0，且带隙可能与布朗运动相关。代理人还被赋予在数量θi0中的初始股份分配权∈ R表示θ+θ=1。经济中的信息流由F=（Ft）t表示≥0，其中Ft=σ（B1u，B2u：0≤ u≤ t） 。假设所有流程都适用于F，并且所有代理共享相同的过滤。3.1个体代理人问题我们考虑了代理人i的影子市场i的单代理人投资和消费问题∈ {1，2}。我们关注的是影子年金和影子利率（由内生均衡决定）的值分别为常数Sait=Ai=1/ri和ri>0的模型。对于给定的投资策略θ，代理人i的影子财富由Xit定义：=θtAit。对于测量，适用的消耗过程c=（ct）Tf，其中ct | dt<∞ 几乎可以肯定的是，对于所有的T>0，与c相关的影子财富过程的演变就像xcit=（Xcitri-ct+Yit）dt，Xci0=θi0/ri∈ R、 与离散时间情形一样，我们考虑了具有指数偏好的代理超越消费，风险规避αi>0，时间偏好参数βi>0。定义3.1。让我∈ {1，2}。如果横截性条件成立，则强制过程c=（ct）称为代理人i的可容许性：limt→∞Ehe公司-βit-αiriXct-αiYiti=0。在这种情况下，我们写c∈ Ai。对于i∈ {1，2}，代理i的值函数由vi（x，y）给出：=supc∈艾兹∞Ui（t，ct）dt，x，y∈ R、 我们在定理3.2（如下）中证明了Vi=Ji，其中Ji（x，y）=-riexp-αirix- αiy+1-~βiri！。

（3.1）我们注意到Vi（x，y） -→ Ji（x，y）as → 0，其中Viis（2.2）定义的离散时间值函数。下面的结果建立了个体代理人的最优投资策略。该证明被省略，因为它与离散时间情况没有实质性的变化。定理3.2。对于i=1，2，设▄βi：=βi+αiui-αiσi.代理人i的最优消费政策和财富过程由^cit=ri^Xit+Yit+βiriαi给出-αi，（3.2）^Xit=X^cit=θi0ri+αi1-~βiri！t、 （3.3）此外，值函数与（3.1）一致；也就是说，Vi=Ji。3.2连续时间均衡除了确定均衡的存在性外，我们还对均衡利率如何依赖λ感兴趣。定义3.3。对于交易成本参数λ∈ [0，1），交易成本的均衡由一系列过程（Ai，^ci，^θi）i=1,2给出，因此（i）对于i=1,2，最优投资策略^θ可以与衍生品^θ′it在时间上进行区分。（ii）真实金融市场对于所有≥ 0：Xi=1^cit=1+Xi=1 YIT- 2λ^θ′1tAtand^θ1t+^θ2t=1，其中，在交易中，如果代理人i∈ {1，2}购买一定数量的年金股份；i、 e.，^θ′it>0。（iii）对于每个代理i=1，2，消费和投资策略，即^ciand^θiwith^θi0=θi0，是最优的，年金价格Ai:Vi（θi0Ai0，Yi0）=Z∞E[Ui（t，^cit）]dt。（iv）影子市场在以下意义上与基础交易成本市场保持“足够接近”：对于所有≥ 0，A1tA2t∈1.- λ1+λ，1+λ1- λ.此外，如果^θ′1t>0 th en A1t=A2t·1+λ1-λ。如果^θ′1t<0 th en A1t=A2t·1-λ1+λ。备注3.1。当交易发生时，我们能够确定：=Ait1+λ，其中代理i∈ {1，2}购买正数量的股份，^θ′it>0。

在这种情况下，如果我们考虑恒常利率均衡，那么均衡利率由r=1/A=1/At唯一确定。以下结果为连续时间模型建立了平衡。省略该项，因为它反映了定理2.4的证明。定理3.4。设▄βi：=βi+αiui-αiσi，并假设在i=1，2时▄βiis严格正。对于λ∈ [0，1），存在一个严格正的恒定阴影利率r，rand恒定阴影年金值A=1/r，A=1/r的均衡。最优消费政策和财富过程分别由（3.2）和（3.3）给出。情况1：如果▄β▄β，则不会出现贸易均衡∈1.- λ1+λ，1+λ1-λ. （3.4）在这种情况下，r=￠β和r=￠β。与该均衡一致的可能（非影子）利率范围为r=（rt）t≥0其中rt∈ [（1- λ） 最大值（℃，β），（1+λ）最小值（℃，β）]6=.案例2：存在一个均衡，在这个均衡中，代理人1将在任何时候购买均衡中的纽约大学的股票≥ 0（当代理2出售股份时），如果▄β▄β>1+λ1-λ。（3.5）在这种情况下，利率r>0由r=β/α+β/αα（1+λ）+α（1）确定-λ） 。（3.6）影子利率为r=（1+λ）r=（1- λ） r.代理在连续时间均衡中的行为与在离散时间中的行为相似。如（3.4）所示，当代理人的收入调整后时间偏好参数▄β和▄β是有效的环时，代理人就没有动机进行交易，因为交易成本相对较高。他们的s hadow利率反映了他们个人对市场的无摩擦看法，其差异不足以鼓励贸易。只有当参数▄β和▄β充分分开以克服交易成本时，交易才会在均衡状态下发生。在（3.5）中，代理人1比代理人2更看重年金（影子利率更低），这鼓励她购买年金股份。

代理商的策略非常简单：要么一直以相同的价格买入，要么一直以相同的价格卖出。定理3.5证明了离散时间利率作为时间步长传递给连续时间均衡利率 趋于零。定理3.5。假设▄β▄β>1+λ1-λ。让r() 是（2.7）的解，对应于时间步长 > 0，设r（0）为（3.6）给出的连续时间均衡利率。然后r() > 0是非常小的固定利率中唯一的利率,和r() -→ r（0）as → 0、备注3.2。当▄β▄β>1+λ1时-λ、 我们可以得出与定理3.4案例2和定理3.5类似的结果，其中代理1和代理2的角色互换。与推论4.1类似的结果适用于交易成本的▄β>▄β>0.4影响。在本节中，我们分析了交易成本对均衡利率和代理人福利的影响。我们求解均衡的方法与零交易成本和非零交易成本的方法相同，这使得我们可以轻松地比较λ变化时的内生利息率。由于交易成本趋于零，连续时间限制模型的简单性有助于进一步研究。即使在这种程式化的模型中，均衡利率也会以非平凡的方式受到摩擦的影响，而且并非总是单调的。零交易成本和交易随机性从s-tochastic收入流出发，完成了市场和帕累托最优均衡配置。在我们的模型中，与代理人的随机收入流相关的风险没有市场。因此，即使交易成本为零，均衡分配也是非帕累托最优的。在下面的第4.3节中，我们使用确定性等价物来比较由于交易成本和均衡中的未计划收入造成的福利损失，类似于[8]。

两种类型的不完整性都会导致福利损失。4.1利率影响对于i=1，2，我们回顾，风险和收入调整后的时间偏好参数由￠βi给出：=βi+αiui-αiσi。当▄β和▄β不同且为严格正时，定理3.4建立了一个连续时间均衡，在该均衡中，交易将发生在交易成本非常小的情况下。我们定义了交易成本阈值^λ∈ R乘以λ：=√α-√αα- α。推论4.1描述了交易发生时均衡利率的行为。证据载于第6节。推论4.1（小额交易成本的影响）。假设▄β>▄β>0。对于λ∈ [0，℃β-在恒常利率均衡中，平衡利率是唯一的，并且具有r（λ）=β/α+～β/α（1+λ）+α（1）给出的显式形式-λ） 。当α<α时，交易成本阈值^λ严格为正。在这种情况下，r在0，最小值β-β▄β+▄β，^λ并严格减少最小值β-β▄β+▄β，^λ,β-β▄β+▄β.当α≥ α、 在这种情况下，^λ≤ 0.交易成本对均衡利率的影响取决于代理风险规避α和风险调整后的时间参考参数βi的配置。具有较大▄β的代理是一个规划师：对于足够小的交易成本，她将选择放弃现在的消费，以投资于年度股票，以确保未来的消费流。有一个小▄β的代理人是消费者：为了让sm有足够的交易成本，她将出售年金股票，以便今天消费，尽管她将错过未来的股息流。除了调整的时间偏好参数外，代理人的风险规避水平还决定了交易成本对均衡利率和利率水平的影响。

下表4.2概述了有助于确定两种平衡状态的四种可能的药剂配置。表4.2：。小风险大风险规避，αi>0规避，αi>0小调整积极性规划师保留规划师时间偏好，投资年金投资年金βi>0偏好未来消费偏好未来消费最寻求风险最大寻求风险最大规避大调整积极性消费者保留消费时间偏好，出售年金出售年金▄βi>0偏好今天的消费偏好今天的消费最追求风险最规避风险在以下分析中，我们考虑了推论4.1中代理参数的配置，其中▄β>▄β>0，以便代理1购买，而代理2出售的交易成本足够小。通过投资年金股份，代理人1计划未来，将其今天的消费品神圣化，以备日后年金的担保分割流。代理2现在寻求消费。他出售年金股份，以从出售中获得即时消费单位，同时放弃年金未来的股息分配。为了确定交易成本对利率和福利的影响，我们考虑了代理人风险规避的两种配置。案例1：α≥ α。配置▄β>▄β>0和α>α>0对应于一个保守的规划师（代理人1）和积极的消费者（代理人2）经济。Agent1在风险规避和时间参考方面更为保守，而Agent2更为傲慢的态度迫使他承担额外的风险，以便消费更多。由于经济中引入了摩擦，代理人的相对风险和时间偏好转化为均衡利率的较低溢价。情况2：α<α。配置▄β>▄β>0和α>α>0对应积极的规划师（代理人1）和保留的消费者（代理人2）经济。

均衡利率反映了市场对未来消费的补偿。小摩擦（高达^λ级）有利于积极的计划者，因为她渴望投资年金以确保未来的消费。她对风险的适度偏好反映在她的风险规避参数α上，该参数以α为主导，但仍然是有效的sm，因此代理人愿意与▄β<▄β进行交易。图1：在案例2交易范围【0，】β中，将均衡利率绘制为λ交易成本的函数-β▄β+▄β）。实线图显示了案例1中的储备计划和积极的消费经济。虚线图表示案例2，具有积极的规划师和保留的消费者经济。当交易成本变得足够大，超过阈值λ时，积极的规划师将不再为其未来规划收取额外的利率溢价。在这种情况下，随着交易成本上升到^λ以上，利率下降，储备消费者开始从低利率环境下出售年金股份中受益。综上所述，对于严格正向但较小的交易成本，如果另一个代理更厌恶风险，更喜欢即时消费，则偏好未来消费和适度的风险可能是有益的。对于λ>^λ，利率溢价下降。图1绘制了均衡利率作为交易成本λ在范围[0，~β]内的函数-三种不同的输入参数化和上述两种情况下的。我们假设图1中的代理具有相同的收入波动率σi=。01和时间首选参数βi=。02，i=1，2；见【5】。他们的风险厌恶程度αi介于2和8之间，而收入漂移uiis介于0.02和0.1之间，i=1，2；参见[1]、[5]和[21]。

给定的参数规格允许每个代理具有显性风险规避，同时确保收入调整后的时间偏好参数的顺序为▄β>▄β>0。虽然输入参数在某种意义上是合理的，并且利率的表达式是明确的，但交易成本对均衡利率的影响在参数化之间存在显著差异，如图1.4.2所示，完全市场均衡模型的不完整性源于未规划的流入流和交易成本。当交易成本为零时，可以通过引入额外的财务安全来完成市场。为了衡量由于不完全性造成的福利损失，我们将我们的市场与具有相同总需求和代理人偏好的市场进行比较，其中交易风险通过引入风险金融资产以动态完全的方式跨越。由于交易的金融证券跨越B类，我们将B类与ρ之间的相关性表示为∈ [-所以d hB，Bit=ρdt。对于i=1，2，我们回忆起Ui（t，x）=-e-βit-αix.我们考虑一个重量γ>0的代表性，给定消耗流的间接效用c由sup卷积给出，Uγ（c）：=supc∈A、 c类∈答：t、 c1t+c2t≤ctE公司Z∞（U（t，c1t）+γU（t，c2t））dt.我们定义了代表性风险规避参数αr>0和代表性时间偏好参数βrbyαr：=1/α+1/α和βr：=β/α+β/α1/α+1/α。相应的代表性效用函数由Uγ（t，x）=e给出-βrt-αrx。