具有交易费用模型中Radner均衡的存在性

对于总需求，c=Y+Y+1，我们有uγ（Y+Y+1）=-EZ∞Uγ（t，Y1t+Y2t+1）dt= -E“Z∞e-βrt-αr（Y1t+Y2t+1）·α+αααγ-αα+αdt#=-α+αααγ-αα+αe-αr（y+y+1）βr+αr（u+u）-αr（σ+σ+2ρσ），以及相应的最优个体消耗量c，cgiven in the sup-convolutionarecγ1t=α+α（Y1t+Y2t+1）-β- βα+αt+α+αlogαγα,cγ2t=αα+α（Y1t+Y2t+1）+β- βα+αt-α+α对数αγα.均衡状态价格密度ξ=（ξt）由总消费的一阶条件ξt=Uγc（t，Y1t+Y2t+1）Uγc（0，y+y+1）描述，其中Uγc表示Uγ的消费变量的导数。给出了s状态价格密度的动力学：ydξt=-ξt（rcomptdt+ν1tdB1t+ν2tdB2t），ξ=1，其中rcomp是均衡利率，ν和ν分别是对应于布朗运动B带的风险市场价格。利用一阶条件和ξ动力学计算完全市场中的均衡利率。由COMP=βr+αr（u+u）给出-αr（σ+σ+2ρσ）。我们注意到ξ、rcomp、ν和ν与加权上标γ无关。由于代理人的偏好是由指数效用函数描述的，因此这些项不依赖于γ的平衡。我们对完全市场经济的福利水平感兴趣，并将使用代理人的确定性等价物之和作为福利的代表。定义4.3。当i=1、2且代表性代理权重γ>0时，一个值CEcompiis称为代理i ifZ的确定性等价物∞Ui（t，CEcompi）dt=-Z∞Ui（t，cγit）dt，其中cγ是代理i的最佳消费流。我们写CEcompi（γ）来强调确定性等价物对γ的依赖性。确定性等价物代表了一个恒定的消费流水平，管理者愿意用它来交换她的最优（随机）消费流。

Fori公司∈ {1，2}和γ>0，确定性等价物由cecompi（γ）=αilog给出rcompβi+ cγi0。确定性等价物之和可以用作经济中的福利衡量指标。在完全市场均衡中，对于初始财富流值y，y∈ R和代表剂重量γ>0，我们有CEcomp（γ）+CEcomp（γ）=1+y+y+αlogrcompβ+α对数rcompβ.我们注意到，确定性等价物的总和并不取决于交易成本的权重γ>0.4.3。在本节中，我们比较了代理人因交易成本造成的福利损失。与[8]中的方法类似，我们使用代理人确定性等价物的SUM作为我们的福利度量。我们发现，转移成本的引入导致了自身的严重损失。我们的结果对比了文献[8]，该文献在一个单期连续代理模型中进行了相关分析，该模型对风险资产、外生无风险资产和无收入具有异质信念。[8] 研究发现，在某些参数规定下，严格的正交易成本可以提供福利收益。我们从第4.1节得出的结果表明，在交易成本严格为正的情况下，利率可能会上升，但福利本身无法补偿。定义4.4。对于i=1，2，λ∈ [0，1）和（x，y）∈ R、 在交易成本水平λ、初始财富x和初始收入水平y ifZ下，一个值Cei称为代理人i的确定性等价物∞Ui（t，CEi）dt=Vi（x，y）。我们写CEi（λ）是为了强调确定性等价物对λ的依赖性。确定性等价物代表了一个恒定的消费流水平，管理者愿意用它来交换她的最优（随机）消费流。

对于agiven影子利率ri>0，确定性等价物可以表示为asCEi=αilogriβi+ ^ci0，其中^ci0是时间0的最佳消耗水平，如（3.2）所示。在均衡状态下，我们感兴趣的是作为经济福利代理人的确定性等价物的总和。对于▄β>▄β>0，CE（λ）+CE（λ）=1+y+y+α日志r（λ）β（1+λ）+β（1+λ）r（λ）- 1.+α日志r（λ）β（1-λ）+β（1-λ） r（λ）-1., 如果λ<β-β▄β+▄β，1+y+y+α对数ββ+α对数ββ, 如果λ≥β-β▄β+▄β。以下结果表明，由于交易成本和非计划收入，经济的福利正在不完全下降。第6节给出了命题4.5的证明。提案4.5。假设▄β>▄β>0。CE（λ）+CE（λ）严格递减于[0，~β-β▄β+▄β）和[▄β上的常数-β▄β+▄β，1]。此外，完全市场福利水平决定了所有交易成本λ的不完全市场福利水平∈ 当权重γ>0时，我们得到CE（λ）+CE（λ）<CEcomp（γ）+CEcomp（γ）。图2绘制了由于图1中使用的三个输入参数化的交易成本λ函数的不完全性导致的经济福利变化。我们假设收入流相关性在hB时为零，如[5]中所示，位=0。给定的参数规格允许每个代理具有显性风险规避，同时仍确保收入调整后的时间偏好参数的顺序为▄β>▄β>0。无论输入参数化如何，确定等价物的总和CE+CE在交易成本中都在减少。当没有交易发生时，确定性等值金额在交易成本中保持不变。当从一个完整的市场转向一个不完整的市场时，经济的福利总是会减少。

尽管利息率在交易成本水平上可能是非单调的，如图1所示，但经济中的福利只会下降。5银行账户作为我们模型中的交易证券交易成本，使我们无法在年金账户和银行账户之间自由交易。使用年金作为交易证券，可以实现恒定的影子利率和在每个时间点都相同的交易策略：代理人要么买入，要么卖出，要么不交易。当b an k账户被交易时，交易成本与交易年金的简单结构是不可能的。在本节中，我们考虑当银行账户是交易证券时，交易成本的离散时间均衡。定理5.2证明了交易ban-kaccount模型阻止了恒定利率交易成本均衡。图2：不完全性导致的福利变化被绘制为交易成本的函数。实线图显示了案例1中保留的计划员和积极的消费者经济。虚线图表示积极的规划师和储备消费者经济的情况2。在这两种情况下，经济福利都在下降。与年金不同，银行账户是一种净供给为零的金融资产。对于i=1，2，影子银行帐户BI具有相关的利率过程ri=（ritn）n≥0和由Bi0=1和bitn=（1+ri0）给出) · . . . · （1+ritn-1.), n≥ 我们关注产生恒定影子利率ritn=ri的均衡，如tradedannuity案例。对于给定的投资策略θ，代理人i的影子财富由Xitn给出：=θtnBitn。

由于银行账户的净供给为零，因此（2.1）中的自我融资条件将被（θtn+1）所取代- θtn）Bitn+1=（Yitn- ctn+θtn）, n≥ 0.Thu s，对于给定的消费和投资策略（c，θ），s hadow wealthEvolutions like excitn+1-Xcitn公司=Xcitnri+Yitn- ctn公司, Xi0=θBi0=θ。可采性和价值函数的定义与定义2.1和（2.2）相同。因此，定理2.2适用于具有恒定利率的银行账户的无摩擦影子市场。定义5.1。对于交易成本参数λ∈ [0，1），银行账户的交易成本均衡由一系列过程（ri，^ci，^θi）i=1,2得出，因此（i）每个n≥ 0：Xi=1^citn =Xi=1亿 - 2λ^θ1tn+1-^θ1tnBtn+1和^θ1tn+^θ2tn=0，其中在交易中，我们定义Btn+1：=Bitn+11+λ，如果代理i∈ {1，2}购买正数量的年金股份；即θitn+1- θitn>0。（ii）对于每个代理i=1，2，消费和投资策略，即^ciand^θiw with^θi0=θi0，是最优的，影子银行账户值Bi:Vi（θi0）=-∞Xn=0Ehe-βitne-αi^citni。（iii）影子市场在以下意义上与更大的交易成本市场保持“足够接近”：对于每一个≥ 1，B1tnB2tn∈1.- λ1+λ，1+λ1- λ.此外，如果^θ1tn-^θ1tn-1> 0然后B1tn=B2tn·1+λ1-λ。If^θ1tn-^θ1tn-1<0然后B1tn=B2tn·1-λ1+λ。定理5.2表明，除了一个程式化的特例外，银行账户的任何交易成本均衡都必须具有非恒定利率。证据见第6节。定理5.2。设▄βi：=βi+αiui-αiσi，并假设i=1，2时￠βi和λ严格为正。假设（ri，^ci，^θi）i=1,2是银行账户的交易成本均衡。

如果r是罕见的严格正常数，则必须满足以下条件：（1）代理的参数满足▄β=▄β。（2） 在均衡情况下不发生交易：^θitn-^θitn-对于i=1、2和n，1=0≥ 1.（3）影子利率相同且满足r=r=e▄β- 1..虽然可以使用变分不等式系统考虑银行账户交易成本均衡中的随机利率，但不清楚是否存在这种均衡。年金的简单数学结构无法通过研究交易银行账户来获得。该年金在所有可能的消费时间提供恒定的股息流，使代理人能够在不产生交易成本的情况下获得恒定的未来股息。6证明我们从证明离散时间情况下的定理2.2开始。证据我们检查^ci是否可接受，注意ehexp-βitn-αiriX^ciitn- αiYitni=E“exp-αiriXi0- n对数（1+ri) -αiσin -αinXk=1√σiZitk！#=（1+ri)-nexp公司(-αiriXi0）-→ 0作为n→ ∞.我们有c 7→ -e-αic+e-βiEhJ公司x（1+ri）) + y-c、 y+ui + σi√Ziismaximized for^c=^c（x，y）=rix+y+￠βiαiri-αiri对数（1+ri), 其中Z表示标准正态随机变量。因此(-n-1Xk=0e-αictn+e-βitnJ我Xcitn，Yitn)n≥0是所有c∈ A.iand是c=^ci的鞅∈ A.i、 因此，对于^ci，J（x，y）=-E“nXk=0e-αi^citk#+e-βitn+1EhJ我X^ciitn+1，Yitn+1i=-E“∞Xk=0e-αi^citk#通过横截性条件，其中imp表示J我≤ 五、i、 类似地，对于任何c∈ A.i、 J（x，y）≥ -E“nXk=0e-αictk#+e-βitn+1EhJ我Xcitn+1，Yitn+1i=-E“∞Xk=0e-αictk#由横截性条件决定。周四s，Ji=Vi、 和^ci∈ A.是最优的消费策略。对于初始财富X=θi0Ai=θi0/ri，对应于^ciis^Xi=X^cii和^Xitn=θi0ri+tnαiri的最优财富政策对数（1+ri) -βi.我们现在开始证明定理2.4。

最优政策（2.2）和（2.3）的自我融资条件（2.1）意味着Yitn公司- ^citn+^θitn =^θitn-^θitn-1.Aitn=αiri对数（1+ri) -βi. （6.1）对于i=1，2，我们定义fifi（r）：=αir日志（1+r) -βi, r>0。（6.2）使用定义2.3第（i）部分，我们寻求解r，r>0，使得F（r）+F（r）=λ|F（r）| 1+λ+| F（r）| 1-λ{F（r）≥0}+λ|F（r）| 1-λ+| F（r）| 1+λ{F（r）<0}。通过重写该方程并包括定义2.3中的条件（iii），我们可以看到kr，r>0，从而得出f（r）=(-1.-λ1+λF（r），如果F（r）≥ 0，-1+λ1-λF（r），如果F（r）≤ 0.（6.3）和RR=1+λ1-λ、 如果F（r）>0,1-λ1+λ，如果F（r）<0，∈h1-λ1+λ，1+λ1-λi，如果F（r）=0，（6.4）命题6.1。设▄βi：=βi+αiui-αiσi/2，并假设▄βi在i=1，2时严格正。存在唯一的严格正解对r，rto（6.3）和（6.4）。案例1：Ifeβ-1eβ-1.∈h1-λ1+λ，1+λ1-λi，thenr=eβ- 1.r=e|β- 1.. （6.5）案例2：如果我们有eβ-1eβ-1> 1+λ1-λ、 然后唯一正解满足∈e▄β- 1.,1.-λ1+λeβ- 1.!!r=1+λ1- λr.证明。通过检验这两种情况，我们证明了唯一解对的存在性。假设E▄β- 1eβ- 1.∈1.-λ1+λ，1+λ1-λ.（6.5）中的rand-ras是（6.3）和（6.4）的唯一解，因此F（r）=F（r）=0。为了表现独特性，我们从矛盾出发。为了矛盾起见，假设存在严格正解r，rsuch，F（r）>0。只有当F（r）<0，r > e▄β- 1和r < e▄β- 1、Th enby（6.4），eβ- 1eβ- 1<rr=1- λ1+λ≤e▄β- 1eβ- 1，这是一个矛盾。在这里，我们使用了▄β，▄β是严格正的，以确保e▄βi- 1>0。同样的论点也适用于排除F（r）<0和F（r）>0的情况。因此，我们必须使F（r）=F（r）=0，在which ich caser=e▄β中-1.r=e|β-1..我们现在考虑情况2中解的存在性。

对于F（r）>0，（6.3）和（6.4），减少到求解r>0，从而1+r ·1+λ1-λ1/α（1+r）)1/α=exp▄βα+▄βα！!, （6.6）当r=1+λ1时-λ·r。假设|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||¤|||||||||||||¤¤|||||||||。我们注意到x 7→1+x·1+λ1-λ1/α（1+x）1/α严格地将fr om 1增加到∞ 对于x∈ [0，∞). 因此，存在唯一的解决方案r>0到（6.6）。此外，eβ-1eβ-1> 1+λ1-λ表示R∈e▄β- 1.,1.- λ1+λeβ- 1.!!.我们通过反正证明了情况2的唯一性，这将排除找到F（r）的解的可能性≤ 假设存在严格正解r，r，如F（r）≤ 0、自F（r）起≤ 仅当F（r）时，如果为d，则为0≥ 0，r ≤ e▄β- 1和r ≥ e▄β- 1，我们有1+λ1- λ≥rr（右后）≥e▄β- 1eβ- 1，根据需要。定理2.4的证明。根据定理2.2和定义2.3，我们必须求解均衡影子利率的（6.3）和（6.4）。第6.1条根据需要为我们提供了正影子利率的存在性和唯一性。在案例1中，代理人选择不进行交易，市场利率不能唯一确定。年金价值与此平衡值一致，必须满足A∈A1+λ，A1- λ∩A1+λ，A1- λ=最大（A，A）1+λ，最小（A，A）1- λ.自Ai以来=eβi-1对于i=1，2，我们可以将上述间隔改写为∈（1+λ）emin（▄β，▄β）- 1.,（1）- λ）emax（|β，|β）- 1..此间隔由（2.5）表示为非空。如果A=1/r，我们有∈1.- λemax（|β，|β）- 1.,1+λemin（▄β，▄β）- 1.6=.交易发生在案例2中，在这种情况下，我们可以确定唯一的市场利率。当▄β- 1eβ- 1> 1+λ1- λ、 我们有r=1+λ1-λ·r当r>0时求解（6.6）。在这种情况下，1/r=A=A（1+λ）=（1+λ）/r，这意味着r=（1+λ）r。

类似地，r=（1- λ） r.因此，市场利率r>0由1+r1.-λα1+r1+λα= eβα+▄βα,影子利率以r=r（1+λ）=r（1）的形式给出- λ） 。在连续时间中，定理3.2和3.4的证明反映了其离散时间对应项。对于i=1，2 byFi（r）：=αi1，给出了（6.2）中定义的连续时间模拟-βir！，r>0。现在我们证明定理3.5。定理3.5的证明。因为▄β/▄β>1+λ1-λ、 定理3.4表明交易发生在 = 0和r（0）由（3.6）唯一给出。此外，eβ- 1eβ- 1.-→βИβas → 0，根据定理2.4，这意味着交易发生的时间非常小 > 0。在这种情况下，r() > 0由（2.7）的解唯一给出。用于(, r）∈ [0，∞) ×（0，∞), 我们定义(, r） :=1+r1+λα1+r1.-λα, 对于 > 0exprα（1+λ）+α（1-λ）, 对于 = 0、对于足够小的 > 0和 = 0，r() 选择G(, r()) =经验值βα+▄βα. 因为G在[0]上是光滑的，∞) ×（0，∞) 和Gr（0，r（0））6=0（单边竞争），隐函数定理暗示r() -→ r（0）as → 我们现在证明推论4.1。证据根据定理3.4，λ将达到与trad e的平衡∈h0，￠β-β▄β+▄β, 其中，代理人1购买年金股份，代理人2出售年金股份，均衡利率由（λ）=β/α+～β/α（1+λ）+α（1）给出-λ） 。在λ中微分，我们看到r在λ处有局部极值-=√α-√αα- α和λ+=√α+√αα- α。当α>α时，λ和-, λ+<0。在这种情况下，r在h0上严格递减，|β-β▄β+▄β. 当α<α时，我们有λ-∈ （0，1），λ+>1，r严格递增于0，minλ-,β-β▄β+▄β, r在上严格递减最小值λ-,β-β▄β+▄β,β-β▄β+▄β.认识到^λ=λ-产生所需的结果。我们接下来证明命题4.5。证据不完全市场确定性等价物的总和在[0，~β]上是不同的-β▄β+▄β）。

导数屈服值sce′（λ）+CE′（λ）的计算=-2（°β（1- λ）-β（1+λ））（α（1+λ）+α（1- λ） ）（α（1+λ）+α（1- λ） ）（1+λ）（1- λ） （▄βα+▄βα）。自▄β（1-λ）-∧β（1+λ）对于λ是严格正的∈ [0，℃β-β▄β+▄β），我们发现CE+CEI严格降低。关于【】β-β▄β+▄β，1]，我们得到CE+CEis常数。接下来我们验证CE（λ）+CE（λ）<CEcomp（γ）+CEcomp（γ），并且我们记得右侧d不依赖于γ。自λ7起→ CE（λ）+CE（λ）在减小，需要检查不等式是否适用于λ=0。通过代数，我们得到CE（λ）+CE（λ）<CEcomp（γ）+CEcomp（γ）当且仅当rcomp>r（0），这反过来又成立当且仅当αασ+ασ- 2ρσ>0。当σσ≥ 0，这个等式成立，因为αασ+αασ- 2ρσ≥αασ+αασ- 2σσ=rασ-rασ> σσ<0的情况类似处理。最后，我们给出了定理5.2。定理5.2的证明。假设r，稀有的严格正常数。根据mod if y ing（6.1）对交易银行账户的说明，我们得出了（6.2）中相同形式的FIA。根据定义5.1（iii），rand rmust必须满足（6.3）和1+r1+rn∈1.- λ1+λ，1+λ1- λ, 对于n≥ 0，而对于每个n≥ 0，B1tn=B2tn·1+λ1-λif^θ1tn-^θ1tn-1> 0，且B1tn=B2tn·1-λ1+λif^θ1tn-^θ1tn-1<0。由于λ6=0，我们必须得到r=rand^θ1tn-^θ1tn-1=^θ2tn-^θ2tn-对于所有n，1=0≥ 此外，（6.3）意味着F（r）=F（r）=0，而tuslog（1+r) =β =β = 日志（1+r),根据需要。参考文献【1】Orazio P.Attanasio和Monica Paiella。跨期消费选择、交易成本和金融市场有限参与：数据和理论的协调。《应用计量经济学杂志》，26（2）：322–3432010年2月。[2] Adrian Buss、Raman Uppal和Grigory Vilkov。具有递归效用和由交易成本引起的非流动性的一般均衡资产价格。工作文件，2014年1月。[3] 劳伦特·E·卡尔维特。不完全市场和波动性。